天津市紅橋區(qū)2024屆高三下學期二模數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市紅橋區(qū)2024屆高三下學期二模數(shù)學試卷第Ⅰ卷參考公式：·柱體體積公式：，其中s表示柱體底面積，h表示柱體的高．·錐體體積公式：，其中表示錐體底面積，h表示錐體的高．·球體表面積公式：，其中R表示球體的半徑．·球體體積公式：，其中R表示球體的半徑．·如果事件A，B互斥，那么．·對于事件A，B，，那么.一、選擇題1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)并集、補集的定義計算可得.【詳析】因為，，所以，又，所以.故選：A2.下列條件中，使得“”成立的充分不必要條件是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A：因為在定義域上單調(diào)遞增，所以由可以得到，故充分性成立，由可以推得出，故必要性成立，所以是的充要條件，故A錯誤；對于B：因為在定義域上單調(diào)遞減，由可得，故充分性成立，由不一定得到，故必要性不成立，故是的充分不必要條件，故B正確；對于C：當，時滿足，但是不成立，即充分性不成立，當，時滿足，但是，故必要性不成立，所以是的既不充分又不必要條件，故C錯誤；對于D：當，時滿足，但是不成立，即充分性不成立，當，時滿足，但是不成立，即必要性不成立，所以是的既不充分又不必要條件，故D錯誤.故選：B3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當時，，可排除A，，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；結(jié)合圖象可得C正確；故選：C.4.某同學于2019年元旦在銀行存款1萬元，定期儲蓄年利率為，以后按約定自動轉(zhuǎn)存，那么該同學在年元旦可以得到本利和為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗記年后得到的本利和為，根據(jù)題意知，即數(shù)列是一個首項為，公比為的等比數(shù)列，∴該同學年元旦在銀行存款萬元，年元旦即年后得到的本利和為：（元）.故選：A5.如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出來，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設圓錐的半徑為，高為，母線長為，則母線長為，所以圓錐的側(cè)面積是，半球的面積，由題意可得，解得，所以圓錐體積為，半球的體積為，所以此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為，故選：B.6.若，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，而，所以a，b，c的大小關系為.故選：C7.已知是函數(shù)圖象的一個對稱中心，則（）A.函數(shù)的圖象可由向左平移個單位長度得到B.函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點C.直線是函數(shù)圖象對稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗D〖解析〗由已知可得，可得，因為，所以，所以，對于A：由向左平移個單位長度得到，故A錯誤；對于B：當時，，設，則由正弦函數(shù)圖像可知，只有一個極值點，故B錯誤；對于C：，所以直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，故C錯誤；對于D：當時，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故D正確；故選：D8.2023年7月31日國家統(tǒng)計局發(fā)布了制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）如下圖所示：有下列說法：①從2022年7月到2023年7月，這13個月的PMI的極差為5.6%；②PMI大于50%，表示經(jīng)濟處于擴張活躍的狀態(tài)，PMI小于50%，表示經(jīng)濟處于低迷萎縮的狀態(tài)，則2023年1月到2023年3月，經(jīng)濟處于擴張活躍的狀態(tài)；③從2023年1月到2023年7月，這7個月的PMI的第75百分位數(shù)為51.9%；④2023年7月份，PMI為49.3%，比上月上升0.3個百分點．其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗D〖解析〗①由圖可得這13個月的PMI的最大值為52.6%，最小為47.0%，所以極差為，故①正確；②由圖可得，2023年1月到2023年3月的PMI分別為50.1%，52.6%，51.9%均大于50%，故②正確；③從2023年1月到2023年7月的PMI的值從小到大排列為，因為，所以這7個月的PMI的第75百分位數(shù)為第六個數(shù)是51.9%，故③正確；④2023年7月份，PMI為49.3%，6月份PMI為49.0%，所以比上月上升0.3個百分點，故④正確；所以正確的個數(shù)為4個，故選：D.9.過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，，拋物線的準線與x軸交于點C，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設拋物線的準線為，過作于，過作于點，過作于，設，因為，所以，所以，所以，在中，，所以，因為，所以，又，所以，又由，可得，所以，所以，所以，所以.故選：B.第Ⅱ卷二、填空題10.i是虛數(shù)單位，則復數(shù)________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：11.在的展開式中，的系數(shù)為________.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗展開的通項為，令，得，此時的系數(shù)為.故〖答案〗為：.12.已知，，則______．〖答案〗〖解析〗由題設，則且，所以，即，故.故〖答案〗為：13.某同學高考后參加國內(nèi)3所名牌大學的“強基計劃”招生考試，已知該同學能通過這3所大學招生考試的概率分別為，該同學能否通過這3所大學的招生考試相互獨立，且該同學恰好能通過其中2所大學招生考試的概率為，則該同學至少通過1所大學招生考試的概率為______；該同學恰好通過兩所大學招生考試的概率最大值為______．〖答案〗〖解析〗該同學能否通過這3所大學的招生考試相互獨立，∴該同學恰好能通過其中2所大學招生考試的概率所以該同學至少通過1所大學招生考試的概率為，由得，，所以，即，解得或，即或，又∵，，，，∴當時，該同學恰好通過兩所大學招生考試的概率取得最大值．故〖答案〗為：．14.太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓O和兩個對稱的半圓弧組成的，線段MN過點O且兩端點M，N分別在兩個半圓上，點P是大圓上一動點，令，，若，則________；的最小值為________．〖答案〗0〖解析〗由圓的對稱性可得為的中點，所以，；，因為，所以，所以當取得最大值2時，的最小值為0,；故〖答案〗為：；0.15.函數(shù)有且只有一個零點，則m的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗由題意可得，問題等價于與有且只有一個交點.分別作圖如下：考慮他們的臨界情況，即與相切時，如上圖，即與相切時，僅有一個交點.設切點為，則，所以，，所以，即，但因為與有且僅有一個交點，所以，即，故〖答案〗為：.三、解答題16.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）因為，由正弦定理可得，所以，又，所以；（2）由余弦定理，即，所以（負值已舍去）；（3）由，，所以，所以，，所以.17.在如圖所示的幾何體中，平面，，四邊形為平行四邊形，，，，．（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角正弦值；（3）求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：因為平面，，如圖建立空間直角坐標系，因為四邊形為平行四邊形，，，，，則，，，解得（負值已舍去），則，，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，取，所以，即，又平面，所以平面.（2）解：因為，，設平面的法向量為，則，取，所以，所以直線與平面所成角正弦值為.（3）解：設平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為.18.已知橢圓過點，長軸長為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于不同的兩點、，直線、分別與直線交于點、，為坐標原點且，求證：直線過定點，并求出定點坐標．（1）解：因為橢圓的長軸為，可得，將點的坐標代入橢圓的方程可的，可得，因此，橢圓的標準方程為.（2）解：如圖，直線與橢圓方程聯(lián)立，化簡得，，即.設、，則，．直線的方程為，則，直線的方程為，則，因為，所以，所以，所以，把韋達定理代入整理得，所以，或，當時，直線方程為，此時，直線過定點，不符合題意，所以舍去；當時，直線方程為，直線過定點，合乎題意.綜上所述，直線經(jīng)過定點，且定點坐標為.19.已知是等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，，．（1）求數(shù)列{，的通項公式；（2）設，（?。┣?；（ⅱ）求．解：（1）設的首項為，公差為，的公比為，因為，，所以，解得或（舍），所以，即，所以，又，，即，解得，所以，即（2）（ⅰ）因為，則，則；（ⅱ）因為，所以.20.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，設函數(shù)在上的極值點為，求證：.解：（1）當時，，定義域為，，令，得.極大值當時，的極大值為，無極小值.（2），由題意對恒成立.，，對恒成立