《公式法（1）》名師教案

.2.2公式法第一課時(shí)（王鵬鵬）一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程.2.掌握公式結(jié)構(gòu)，知道使用公式前先將方程化為一般形式，通過判別式判斷根的情況.（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)掌握一元二次方程的根的判別式．（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)理解求根公式的推導(dǎo)過程及判別公式的應(yīng)用．二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)任務(wù)求根公式解方程的一般步驟：1、把方程化成一般形式,并寫出a，b，c的值．2、求出的值．3、代入求根公式:，(a≠0,b2-4ac≥0)4、寫出方程的解：預(yù)習(xí)自測(cè)1.一般地，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，它的根是_____，當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程_________．【知識(shí)點(diǎn)】求根公式【解題過程】當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，x=，當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，無實(shí)數(shù)根【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的求根公式．【答案】x=，無實(shí)數(shù)根2.方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則有________，若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有_________，若方程無解，則有__________．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根的情況．【解題過程】b2-4ac=0，b2-4ac>0，b2-4ac<0【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的求根公式適用條件．【答案】b2-4ac=0，b2-4ac>0，b2-4ac<03.不解方程，判定2x2-3=4x的根的情況是______（填“兩個(gè)不等實(shí)根”或“兩個(gè)相等實(shí)根或沒有實(shí)根”）【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的求根公式．【解題過程】原方程可化為【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的求根公式【答案】有兩個(gè)不等實(shí)根4.下列一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式．【解題過程】解：A.Δ=22﹣4×1×1=0，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.Δ=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)正確；C.Δ=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.Δ=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；【思路點(diǎn)撥】求出每個(gè)方程的根的判別式，然后根據(jù)判別式的正負(fù)情況即可作出判斷．【答案】B．（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧用配方法解一元二次方程的步驟是：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1——兩邊同除以二次項(xiàng)的系數(shù)；（2）移項(xiàng)——將含有的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；（3）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）將原方程變成的形式；（5）判斷右邊代數(shù)式的符號(hào)，若，可以直接開方求解；若原方程無解．教師引導(dǎo)學(xué)生回憶配方法解一元二次方程的基本思路及基本步驟，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊．2.問題探究探究一探索一元二次方程的求根公式●活動(dòng)①?gòu)?fù)習(xí)舊知用配方法解下列方程：解：（4）移項(xiàng)得到6x2-7x=-1，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得到配方得到x2-x+（）2=-+（）2寫成（x+m）2=n形式得到（x-）2=，直接開平方，得到x-=±，教師問：為什么有的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？有的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有的方程沒有實(shí)數(shù)根呢？學(xué)生答：當(dāng)被開方數(shù)大于0的時(shí)候有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)被開方數(shù)等于0的時(shí)候有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)被開方數(shù)小于0的時(shí)候沒有實(shí)數(shù)根．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在用配方法的基礎(chǔ)上解一元二次方程，探索出方程的根的情況．●活動(dòng)=2\*GB3②以舊引新問題1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）轉(zhuǎn)化為（x+m)2=n的形式嗎？說明：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的過程，讓學(xué)生分組討論交流，達(dá)成共識(shí)，最后化成（x+)2=∵a≠0，方程兩邊都除以a,得x2+移項(xiàng)，得x2+配方，得x2+即（x+問題2：當(dāng)b2_4ac≥0，且a≠0時(shí)，大于等于零嗎？教師讓學(xué)生思考，分析，發(fā)表意見，得出結(jié)論：當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，因?yàn)閍≠0，說以4a2＞0，從而得出問題3：在問題2的條件下直接開平方，你得到了什么？讓學(xué)生討論可得x+說明：若有必要可讓學(xué)生討論為什么成立.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在配方法的基礎(chǔ)上解一元二次方程，進(jìn)而探索出配方法．并學(xué)生探索出公式法的使用條件．探究二證明一元二次方程的求根公式.★▲●活動(dòng)①大膽猜想，探究新知由問題1，問題2，問題3，你能得出什么結(jié)論？讓學(xué)生討論，交流，從中得出結(jié)論，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根為x+,即x=由以上研究結(jié)果得到了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的求根公式：x=），這個(gè)公式就稱為“求根公式”．利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．（1）求根公式（b2-4ac≥0）是專指一元二次方程的求根公式，b2-4ac≥0是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的重要條件．（2）用公式法（求根公式）解一元二次方程，實(shí)際上就是給出a、b、c的數(shù)值（或表示式），然后對(duì)代數(shù)式進(jìn)行求值，由于這樣的計(jì)算比較復(fù)雜，所以提醒學(xué)生計(jì)算時(shí)注意a、b、c的符號(hào)．【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生建立用公式法解一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想．●活動(dòng)=2\*GB3②集思廣益，探究一元二次方程解的情況老師問：當(dāng)b2-4ac≥0，方程才有實(shí)數(shù)根，那么什么時(shí)候有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根？什么時(shí)候有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根？什么時(shí)候沒有實(shí)數(shù)根呢？，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；，沒有實(shí)數(shù)根．一般的，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母表示它，即【設(shè)計(jì)意圖】將公式法的公式進(jìn)行拓展，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和知識(shí)遷移能力．探究三利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況.★▲●活動(dòng)①用根的判別式判斷方程解的個(gè)數(shù)例1.下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=0【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式．【解題過程】解：A∵Δ=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)正確；B∵Δ=36﹣4×1×9=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C∵Δ=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D∵Δ=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；【思路點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．【答案】A練習(xí)1.下列方程有實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣x﹣1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣6x+10=0 D．x2﹣x+1=0【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式【解題過程】解：A、Δ=b2﹣4ac=(-1)2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，則方程有實(shí)數(shù)根．故正確；B、Δ=1﹣4×1×1=﹣3＜0，則方程無實(shí)數(shù)根，故錯(cuò)誤；C、Δ=36﹣4×1×10=﹣4＜0，則方程無實(shí)數(shù)根，故錯(cuò)誤；D、Δ=2﹣4×1×1=﹣2＜0，則方程無實(shí)數(shù)根，故錯(cuò)誤．故選A．【思路點(diǎn)拔】判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式Δ=b2﹣4ac的值的符號(hào)就可以了．一元二次方程有實(shí)數(shù)根即判別式大于或等于0．總一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．【答案】A例2.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式【解題過程】解：∵a=1，b=﹣4，c=4，∴Δ=16﹣16=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故選C．【思路點(diǎn)撥】要判斷方程x2﹣4x+4=0的根的情況就要求出方程的根的判別式，然后根據(jù)判別式的正負(fù)情況即可作出判斷．【答案】C練習(xí)2.已知關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列說法正確的是（）A．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式【解題過程】解：∵Δ=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【思路點(diǎn)撥】先求出Δ的值，再判斷出其符號(hào)即可【答案】B【設(shè)計(jì)意圖】根的判別式的應(yīng)用：判斷方程的解的個(gè)數(shù)．●活動(dòng)=2\*GB3②用根的判別式根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)判斷系數(shù)例3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0，不論m為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式【解題過程】解：由題意有Δ=（2m﹣1）2﹣4m20，解得，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【思路點(diǎn)撥】若一元二次方程有兩實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ=b2﹣4ac0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍.【答案】練習(xí)3.（1）若關(guān)于x的方程x2+x﹣a+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)≤2 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)＜2【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式【解題過程】解：根據(jù)題意得Δ=12﹣4（﹣a+）＞0，解得a＞2．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)判別式的意義得到Δ=12﹣4（﹣a+）＞0，然后解一元一次不等式即可．【答案】C練習(xí)3.（2）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．k≥0 B．k＞0 C．k≥ D．k＞【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式【解題過程】解：∵關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，∴Δ=b2﹣4ac=（﹣3）2+4=9k+4≥0，解得：k≥，又∵方程中含有∴k≥0，故本題選A．【思路點(diǎn)撥】若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．還要根據(jù)二次根式的意義可知k≥0，然后確定最后k的取值范圍．【答案】A例4.一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞2 B．k＜2且k≠1 C．k＜2 D．k＞2且k≠1【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式【解題過程】解：∵a=1﹣k，b=﹣2，c=﹣1，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=b2﹣4ac=22﹣4×（1﹣k）×（﹣1）＞0，解得k＜2，∵（1﹣k）是二次項(xiàng)系數(shù)，不能為0，∴k≠1且k＜2．故選B．【思路點(diǎn)拔】在與一元二次方程有關(guān)的求值問題中，必須滿足下列條件：（1）二次項(xiàng)系數(shù)不為零；（2）在有不相等的實(shí)數(shù)時(shí)下必須滿足Δ=b2﹣4ac＞0．【答案】B練習(xí)4.已知關(guān)于x的方程kx2﹣3x+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A． B．k＜ C．k＜且k≠0 D．且k≠0【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式【解題過程】解：由題意得：9﹣4k×2≥0；k≠0，∴k≤，且k≠0，故選D．【思路點(diǎn)拔】讓△=b2﹣4ac≥0，且二次項(xiàng)的系數(shù)不為0保證此方程為一元二次方程．【答案】D【設(shè)計(jì)意圖】根的判別式的應(yīng)用：根據(jù)判斷方程的解的個(gè)數(shù)判斷系數(shù)大小．●活動(dòng)=3\*GB3③根的判別式的綜合應(yīng)用例5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）0可能是方程的一個(gè)根嗎？若是，請(qǐng)求出它的另一個(gè)根；若不是，請(qǐng)說明理由．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式，解一元二次方程【解答】解：（1）∵Δ=[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）=4k2﹣8k+4﹣4k2+4=﹣8k+8，又∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴﹣8k+8＞0，解得k＜1，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＜1；（2）假設(shè)0是方程的一個(gè)根，則代入原方程得02+2（k﹣1）?0+k2﹣1=0，解得k=﹣1或k=1（舍去），即當(dāng)k=﹣1時(shí)，0就為原方程的一個(gè)根，此時(shí)原方程變?yōu)閤2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4，所以它的另一個(gè)根是4．【思路點(diǎn)撥】（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，必須滿足Δ=b2﹣4ac＞0，由此可以得到關(guān)于k的不等式，然后解不等式即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）利用假設(shè)的方法，求出它的另一個(gè)根．【答案】（1）k＜1；（2）0是該方程的根，它的另一個(gè)根為4.練習(xí)5.閱讀材料并回答問題．求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根（用配方法）．解：ax2+bx+c=0，∵a≠0，∴x2+x+=0，第一步移項(xiàng)得：x2+x=﹣，第二步兩邊同時(shí)加上（）2，得x2+x+（）2=﹣+（）2，第三步整理得：（x+）2=，直接開方得x+=±，第四步∴x=，∴x1=，x2=，第五步上述解題過程是否有錯(cuò)誤？若有，說明在第幾步，指明產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，寫出正確的過程；若沒有，請(qǐng)說明上述解題過程所用的方法．【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程﹣公式法．【解題過程】解：有錯(cuò)誤，在第四步．錯(cuò)誤的原因是在開方時(shí)對(duì)b2﹣4ac的值是否是非負(fù)數(shù)沒有進(jìn)行討論．正確步驟為：（x+）2=，①當(dāng)b2﹣4ac≥0時(shí)，x+=±，x+=±，x=，∴x1=，x2=．②當(dāng)b2﹣4ac＜0時(shí)，原方程無解．【思路點(diǎn)拔】①檢查原題中的解題過程是否有誤：在第四步時(shí)，在開方時(shí)對(duì)b2﹣4ac的值是否是非負(fù)數(shù)沒有進(jìn)行討論；②更正：分類討論b2﹣4ac≥0和b2﹣4ac＜0時(shí)，原方程根的情況．【答案】①當(dāng)b2﹣4ac≥0時(shí)，∴x1=，x2=．②當(dāng)b2﹣4ac＜0時(shí)，原方程無解．例6.設(shè)m為整數(shù)，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，求m的值及方程的根．【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程﹣公式法．【解題過程】解：解方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0，得，∵原方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，∴2m+1為完全平方數(shù)，又∵m為整數(shù)，且4＜m＜40，2m+1為奇數(shù)完全平方數(shù)，∴2m+1=25或49，解得m=12或24．∴當(dāng)m=12時(shí)，，x1=26，x2=16；當(dāng)m=24時(shí)，．【思路點(diǎn)拔】根據(jù)求根公式可知：x==（2m﹣3）±，根據(jù)4＜m＜40可知m的值為12或24，再把m值代入求解即可．【答案】m的值為12或24；當(dāng)m=12時(shí)，x1=26，x2=24，當(dāng)m=24時(shí)，x1=52，x2=38.練習(xí)6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)x12﹣x22=0時(shí)，求m的值．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式、解一元二次方程﹣公式法．【解題過程】解：（1）由題意有Δ=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是；（2）由兩根關(guān)系，得x1+x2=﹣（2m﹣1），x1?x2=m2，由x12﹣x22=0得（x1+x2）（x1﹣x2）=0，若x1+x2=0，即﹣（2m﹣1）=0，解得，∵＞，∴不合題意，舍去，若x1﹣x2=0，即x1=x2∴Δ=0，解得m=，由（1）知，故當(dāng)x12﹣x22=0時(shí)，．【思路點(diǎn)撥】（1）若一元二次方程有兩實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍；（2）由x12﹣x22=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0；當(dāng)x1+x2=0時(shí)，運(yùn)用兩根關(guān)系可以得到﹣2m﹣1=0或方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，Δ=0，據(jù)此即可求得m的值．【答案】（1）．（2）【設(shè)計(jì)意圖】根的判別式的綜合應(yīng)用．3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理1.本節(jié)課通過配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步驟解一元二次方程．2.求根公式是一元二次方程的專用公式，只有在確定方程是一元二次方程時(shí)才能使用，同時(shí)，求根公式也適用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的萬能求根公式．重難點(diǎn)歸納（1）用求根公式解方程的一般步驟：1、把方程化成一般形式,并寫出a，b，c的值．2、求出b2-4ac的值．3、代入求根公式:(a≠0,b2-4ac≥0)4、寫出方程的解：x1=?,x2=?（2）公式法解一元二次方程的前提：b2-4ac≥0（3），有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；，沒有實(shí)數(shù)根.（三）課后作業(yè) 基礎(chǔ)型自主突破1.下列一元二次方程中有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A．2x2﹣6x+1=0 B．3x2﹣x﹣5=0 C．x2+x=0 D．x2﹣4x+4=0【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式．【解題過程】解：A、∵Δ=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×1=28＞0，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；B、∵Δ=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）=61＞0，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；C、∵Δ=b2﹣4ac=12﹣4×1×0=1＞0，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；D、∵Δ=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．【思路點(diǎn)撥】由根的判別式為Δ=b2﹣4ac，挨個(gè)計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)中的△值，由此即可得出結(jié)論．【答案】D2.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式.【解題過程】解：∵Δ=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選B．【思路點(diǎn)撥】代入數(shù)據(jù)求出根的判別式△=b2﹣4ac的值，根據(jù)△的正負(fù)即可得出結(jié)論．【答案】B3.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式.【解題過程】解：在方程x2﹣4x+4=0中，Δ=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故選B．【思路點(diǎn)撥】將方程的系數(shù)代入根的判別式中，得出△=0，由此即可得知該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．【答案】B．4.關(guān)于x的方程kx2﹣4x﹣=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式；一元一次方程的解【解題過程】解：當(dāng)k=0時(shí)，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，當(dāng)k≠0時(shí)，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根據(jù)題意可得：Δ=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，綜上k≥﹣6，故答案為k≥﹣6．【思路點(diǎn)撥】由于k的取值不確定，故應(yīng)分k=0（此時(shí)方程化簡(jiǎn)為一元一次方程）和k≠0（此時(shí)方程為二元一次方程）兩種情況進(jìn)行解答．【答案】k≥﹣65.試證明：不論m為何值，方程2x2﹣（4m﹣1）x﹣m2﹣m=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式【解題過程】證明：∵Δ=[﹣（4m﹣1）]2﹣4×2×（﹣m2﹣m）=24m2+1＞0∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【思路點(diǎn)撥】利用根的判別式列出關(guān)于方程系數(shù)的代數(shù)式，通過配方法化為完全平方式來判斷△的正負(fù)，從而證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【答案】見解題過程.6.己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求此時(shí)方程的根．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式．【解題過程】解：Δ=（﹣3）2﹣4（m﹣1），（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＞0，解得m＜．（2）∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=0，即9﹣4（m﹣1）=0解得m=∴方程的根是：x1=x2=．【思路點(diǎn)撥】（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即Δ＞0，即可求得關(guān)于m的不等式，從而得m的范圍；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)Δ=0時(shí)，即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程求得m的值．【答案】m＜．x1=x2=能力型師生共研7.若n＞0，關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣2n）x+mn=0有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根，求的值．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式．【解題過程】解：根據(jù)題意知△=0，即（m﹣2n）2﹣mn=0，整理得m2﹣5mn+4n2=0，即（m﹣n）（m﹣4n）=0，解得m=n或m=4n，當(dāng)m=n時(shí)，∵n＞0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：原方程的兩個(gè)解x1+x2=m﹣2n=﹣n＜0，不合題意原方程兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根，故m=n舍去；當(dāng)m=4n時(shí)，∵n＞0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：原方程的兩個(gè)解x1+x2=m﹣2n=2n＞0，符合題意，∴=4．答：的值是4．【思路點(diǎn)撥】由方程有兩相等的正實(shí)數(shù)根知△=0，列出關(guān)于m，n的方程，用求根公式將n代替m代入求出它的值．【答案】48.已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0較大的根，則下面對(duì)a的估計(jì)正確的是（）A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5 C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜3【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程﹣公式法；估算無理數(shù)的大小【解題過程】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0較大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，【思路點(diǎn)撥】先求出方程的解，再求出的范圍，最后即可得出答案【答案】C探究型多維突破9.已知：關(guān)于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判別方程根的情況；（2）若方程有一個(gè)根為3，求m的值．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的解【解題過程】解：（1）由題意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1，∵Δ=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一個(gè)根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．【思路點(diǎn)撥】（1）找出方程a，b及c的值，計(jì)算出根的判別式的值，根據(jù)其值的正負(fù)即可作出判斷；（2）將x=3代入已知方程中，列出關(guān)于系數(shù)m的新方程，通過解新方程即可求得m的值．【答案】．(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)m=﹣4或m=﹣210.關(guān)于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)m=0時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；②當(dāng)m≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解；③無論m取何值，方程都有一個(gè)負(fù)數(shù)解，其中正確的是（填序號(hào)）．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式；一元一次方程的解．【解題過程】解：當(dāng)m=0時(shí)，x=﹣1，方程只有一個(gè)解，①正確；當(dāng)m≠0時(shí)，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，②錯(cuò)誤；把mx2+x﹣m+1=0分解為（x+1）（mx﹣m+1）=0，當(dāng)x=﹣1時(shí)，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正確；故答案為①③．【思路點(diǎn)撥】分別討論m=0和m≠0時(shí)方程mx2+x﹣m+1=0根的情況，進(jìn)而填空【答案】①③自助餐1.當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？此時(shí)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根是多少？【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式；解一元二次方程【解題過程】解：由題意知，Δ=（﹣4）2﹣4（m﹣）=0，即16﹣4m+2=0，解得：m=．當(dāng)m=時(shí)，方程化為：x2﹣4x+4=0，∴（x﹣2）2=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=2．【思路點(diǎn)撥】方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，必須滿足△=b2﹣4ac=0，從而求出實(shí)數(shù)m的值及方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】當(dāng)m=時(shí)，x1=x2=22.已知關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）當(dāng)m取值范圍是多少時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）為m選取一個(gè)合適的整數(shù)，使方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并求出這兩個(gè)實(shí)數(shù)根．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式【解題過程】解：（1）由題意知：△=b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=[﹣2（m+1）+2m][﹣2（m+1）﹣2m]=﹣2（﹣4m﹣2）=8m+4≥0，解得m≥．∴當(dāng)m≥時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）選取m=0．（答案不唯一，注意開放性）方程為x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．【思路點(diǎn)撥】（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足Δ=b2﹣4ac≥0，從而建立關(guān)于m的不等式，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）答案不唯一，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即Δ＞0，可以解得m＞﹣，在m＞的范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)求解就可以【答案】(1)m≥．(2)m=0時(shí),x1=0，x2=23.已知關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷直線y=（2k﹣3）x﹣4k+12能否通過點(diǎn)A（﹣2，4），并說明理由．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征【解題過程】解：∵x2+（2k+1）x+k2+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴Δ=b2﹣4ac=0∴（2k+1）2﹣4（k2+2）=0，即4k﹣7=0，∴k=，∴2k﹣3=2×﹣3=，﹣4k+12=﹣4×+12=﹣7+12=5，∴直線方程y=x+5，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=×（﹣2）+5=4，∴A（﹣2，4）在直線y=x+5上．【思路點(diǎn)撥】方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△=0，據(jù)此算出k的值，得到直線解析式，看當(dāng)x=﹣2時(shí)，y是否等于4．【答案】能通過4.已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．（1）求證：無論k取任意實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）若等腰三角形ABC的一邊a=1，另兩邊長(zhǎng)b、c恰是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式；三角形