2024年四川省達州市中考數(shù)學真題（解析版）

第1頁/共30頁2024年四川省達州市中考數(shù)學試題本考試為閉卷考試．考試時間120分鐘、滿分150分．本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1-2頁，第Ⅱ卷3-8頁，共8頁．溫馨提示：1．答題前，考生需用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號正確填寫在答題卡對應位置，待監(jiān)考老師粘貼條形碼后，再認真核對條形碼上的信息與自己的準考證上的信息是否一致．2．選擇題必須使用2B鉛筆在答題卡相應位置規(guī)范填涂．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡對應的框內(nèi)．超出答題區(qū)答案無效；在草稿紙、試題卷上作答無效．3．不要折疊、弄破、弄皺答題卡．不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀等影響答題卡整潔．4．考試結(jié)束后，將試卷及答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、單項選擇題（每小題4分．共40分）1.有理數(shù)2024的相反數(shù)是（）A.2024 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的相反數(shù)，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0，據(jù)此求解即可．【詳解】解：有理數(shù)2024的相反數(shù)是，故選：B．2.大米是我國居民最重要的主食之一，與此同時，我國也是世界上最大的大米生產(chǎn)國，水稻產(chǎn)量常年穩(wěn)定在2億噸以上．將2億用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了科學記數(shù)法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值大于與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【詳解】解：2億，故選：B．3.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了完全平方公式，積的乘方計算，同底數(shù)冪除法計算，合并同類項，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；B、，原式計算錯誤，不符合題意；C、，原式計算正確，符合題意；D、，原式計算錯誤，不符合題意；故選：C．4.如圖，正方體的表面展開圖上寫有“我們熱愛中國”六個字，還原成正方體后“我”的對面的字是（）A.熱 B.愛 C.中 D.國【答案】B【解析】【分析】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，正方體的平面展開圖中，相對面的特點是中間必須間隔一個正方形，據(jù)此作答即可．【詳解】解：正方體的平面展開圖中，相對面的特點是中間必須間隔一個正方形，則與“我”字相對的字是“愛”，與“們”字相對的字是“中”，與“國”字相對的字是“熱”，故選：B．5.小明在處理一組數(shù)據(jù)“12，12，28，35，■”時，不小心將其中一個數(shù)據(jù)污染了，只記得該數(shù)據(jù)在30~40之間．則“■”在范圍內(nèi)無論為何值都不影響這組數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù) C.中位數(shù) D.方差【答案】C【解析】【分析】此題考查數(shù)據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)方差的計算方法，根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得．【詳解】解：依題意“■”該數(shù)據(jù)在30~40之間，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，∴“■”在范圍內(nèi)無論為何值都不影響這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．故選：C．6.當光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向發(fā)生了改變，這就是光的折射現(xiàn)象（如圖所示）．圖中，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，代入數(shù)據(jù)，即可求解．【詳解】解：依題意，水面與容器底面平行，∴∵，，∴故選：B．7.甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先加工30分鐘后，甲開始加工．甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的倍，最后兩人同時完成．求乙每小時加工零件多少個？設(shè)乙每小時加工個零件．可列方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，設(shè)乙每小時加工個零件，則甲每小時加工個零件，再根據(jù)時間工作總量工作效率結(jié)合甲的工作時間比乙的工作時間少30分鐘列出方程即可．【詳解】解：設(shè)乙每小時加工個零件，則甲每小時加工個零件，由題意得，故選：D．8.如圖，由8個全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個小菱形的邊長均為2，，其中點，，都在格點上，則的值為（）A.2 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，延長交格點于點，連接，分別在格點上，根據(jù)菱形的性質(zhì)，進而得出，解直角三角形求得的長，根據(jù)對頂角相等，進而根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長交格點于點，連接，分別在格點上，依題意，，∴∴又，∴∴故選：B．9.拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為，依題意，，根據(jù)題意拋物線開口向下，當時，，即可判斷A選項，根據(jù)對稱軸即可判斷B選項，根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．判斷C選項，無條件判斷D選項，據(jù)此，即可求解．【詳解】解：依題意，設(shè)拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別依題意，∵，拋物線開口向下，∴當時，，即∴，故A選項正確，符合題意；若對稱軸為，即，而，不能得出對稱軸為直線，故B選項不正確，不符合題意；∵拋物線與坐標軸有2個交點，∴方程有兩個不等實數(shù)解，即，又∴，故C選項錯誤，不符合題意；無法判斷的符號，故D選項錯誤，不符合題意；故選：A．10.如圖，是等腰直角三角形，，，點，分別在，邊上運動，連結(jié)，交于點，且始終滿足，則下列結(jié)論：①；②；③面積的最大值是；④的最小值是．其中正確的是（）A.①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】過點作于點，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷①；得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷②；在的左側(cè)，以為斜邊作等腰直角三角形，以為半徑作，根據(jù)定弦定角得出在的上運動，進而根據(jù)當時，面積的最大，根據(jù)三角形的面積公式求解，即可判斷③，當在上時，最小，過點作交的延長線于點，勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，∵，，∴∴又∵∴，∴，故①正確；∵∴∴，故②正確，如圖所示，在的左側(cè)，以為斜邊作等腰直角三角形，以為半徑作∴∵∴∴在的上運動，∴，∴當時，面積的最大，連接交于點，則，∴，故③正確；如圖所示，當在上時，最小，過點作交的延長線于點，∴是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，∴的最小值是．故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補，求圓外一點到圓上的距離最值問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．第II卷（非選擇題共110分）二、填空題（每小題4分，共20分）11.分解因式：3x2﹣18x+27=________．【答案】3（x﹣3）2【解析】【分析】先提取公因式3，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解．【詳解】3x2-18x+27，

=3（x2-6x+9），

=3（x-3）2．

故答案為：3（x-3）2．12.“四大名著”《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》是中國優(yōu)秀文化的重要組成部分．某校七年級準備從這四部名著中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本）開展“名著共讀”活動，則該年級的學生恰好抽取到《三國演義》和《西游記》的概率是______．【答案】【解析】【分析】本題考查畫樹狀圖法求等可能事件的概率；畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩本恰好是《水滸傳》和《西游記》的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》四本書分別記為A，B，C，D，根據(jù)題意，畫出如下的樹狀圖：由樹狀圖可知看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．兩本是《三國演義》和《西游記》的結(jié)果有2種，所以P（兩本是《三國演義》和《西游記》）．故答案為：．13.若關(guān)于的方程無解，則的值為______．【答案】4【解析】【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，先解分式方程得到，再根據(jù)分式方程無解得到，解方程即可得到答案．【詳解】解：去分母得：，解得，∵關(guān)于的方程無解，∴原方程有增根，∴，即，∴，故答案為：．14.如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則______度．【答案】【解析】【分析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先分別對運用三角形的外角定理，設(shè)，則，，則，得到，，同理可求：，所以可得．【詳解】解：如圖：∵，，∴設(shè)，則，，則，由三角形的外角定理得：，，∴，如圖：同理可求：，∴，∴，即，故答案為：．15.如圖，在中，．點在線段上，．若，，則的面積是______．【答案】【解析】【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理．過作于，設(shè)，則，利用列出等式即可．【詳解】解：過作于，，，，是等腰直角三角形設(shè)，則解得（舍去）或經(jīng)檢驗是原分式方程的解，．故答案為：．三、解答題：解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共90分）16.（1）計算：；（2）解不等式組【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，解一元一次不等式組；（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪進行計算即可求解；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：（1）（2）解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：17.先化簡：，再從，，0，1，2之中選擇一個合適的數(shù)作為的值代入求值．【答案】，當時，原式．【解析】【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把小括號內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡，接著根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，最后代值計算即可．【詳解】解：，∵分式要有意義，∴，∴且且，∴當時，原式．18.2024年4月21日，達州馬拉松暨“跑遍四川”達州站馬拉松賽鳴槍開跑．本次賽事以“相約巴人故里，樂跑紅色達州”為主題．旨在增強全市民眾科學健身意識．推動全民健身活動，本屆賽事共設(shè)置馬拉松，半程馬拉松和歡樂跑三個項目賽后隨機抽樣了部分參賽選手對本次賽事組織進行滿意度評分調(diào)查，整理后得到下列不完整的圖表：等級分數(shù)段頻數(shù)m請根據(jù)表中提供的信息．解答下列問題：（1）此次調(diào)查共抽取了______名選手，______，______；（2）扇形統(tǒng)計圖中，等級所對應的扇形圓心角度數(shù)是______度；（3）賽后若在三個項目的冠軍中隨機抽取兩人訪談，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的概率．【答案】（1），，（2）（3）【解析】【分析】本題考查了列表法求概率，頻數(shù)分布表以及扇形統(tǒng)計圖；（1）根據(jù)等級的人數(shù)除以占比得出總?cè)藬?shù)，進而求得的值；（2）根據(jù)等級的占比乘以，即可求解；（3）設(shè)三個項目的冠軍分別為，根據(jù)列表法求概率，即可求解．【小問1詳解】解：依題意，名選手，，∴故答案為：，，．【小問2詳解】扇形統(tǒng)計圖中，等級所對應的扇形圓心角度數(shù)是，故答案為：．【小問3詳解】解：設(shè)三個項目的冠軍分別為，列表如下，

共有6種等可能結(jié)果，其中恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的有2種情形，∴恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的概率為19.如圖，線段、相交于點．且，于點．（1）尺規(guī)作圖：過點作的垂線，垂足為點、連接、；（不寫作法，保留作圖痕跡，并標明相應的字母）（2）若，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．（若前問未完成，可畫草圖完成此問）【答案】（1）見解析（2）四邊形是平行四邊形，理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，垂線的尺規(guī)作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定：（1）先根據(jù)垂線尺規(guī)作圖方法作出點F，再連接、即可；（2）先證明，得到，再證明，進而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】解：四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．20.“三匯彩婷會”是達州市渠縣三匯鎮(zhèn)獨有的傳統(tǒng)民俗文化活動、起源于漢代、融數(shù)學，力學，鍛造，綁扎，運載于一體，如圖1，在一次展演活動中，某數(shù)學綜合與實踐小組將彩婷抽象成如圖2的示意圖，是彩婷的中軸、甲同學站在處．借助測角儀觀察，發(fā)現(xiàn)中軸上的點的仰角是，他與彩婷中軸的距離米．乙同學在觀測點處借助無人機技術(shù)進行測量，測得平行于水平線，中軸上的點的仰角，點、之間的距離是米，已知彩婷的中軸米，甲同學的眼睛到地面的距離米，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求中軸上的長度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)，）

【答案】中軸上的長度為米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用；過點作于點，分別求得的長，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，依題意，四邊形是矩形，∴，∴米答：中軸上的長度為米．21.如圖，一次函數(shù)（、為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于點，．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）若點是軸正半軸上的一點．且．求點的坐標．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題型，也考查了銳角三角函數(shù)的應用．（1）用待定系數(shù)法先求反比例函數(shù)解析式，再求一次函數(shù)解析式即可；（2）過作軸于，過作軸于，設(shè)，先求得得到，即，得出等量關(guān)系解出即可．【小問1詳解】解：將代入得將代入得將和代入得解得故反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式分別為和；【小問2詳解】如圖，過作軸于，過作軸于，即設(shè)，則，解得（舍去）或經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，．22.為拓寬銷售渠道，助力鄉(xiāng)村振興，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)幫助農(nóng)戶將、兩個品種的柑橘加工包裝成禮盒再出售．已知每件品種柑橘禮盒比品種柑橘禮盒的售價少元．且出售件品種柑橘禮盒和件品種柑橘禮盒的總價共元．（1）求、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為多少元？（2）已知加工、兩種柑橘禮盒每件的成本分別為元、元、該鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃在某農(nóng)產(chǎn)品展銷活動中售出、兩種柑橘禮盒共盒，且品種柑橘禮盒售出的數(shù)量不超過品種柑橘禮盒數(shù)量的倍．總成本不超過元．要使農(nóng)戶收益最大，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)應怎樣安排、兩種柑橘禮盒的銷售方案，并求出農(nóng)戶在這次農(nóng)產(chǎn)品展銷活動中的最大收益為多少元？【答案】（1）、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為元（2）要使農(nóng)戶收益最大，銷售方案為售出種柑橘禮盒盒，售出種柑橘禮盒盒，最大收益為元【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用；一元一次不等式的應用，一次函數(shù)的應用；（1）設(shè)、兩種柑橘禮盒每件售價分別為a元，b元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，即可求解；（2）設(shè)售出種柑橘禮盒盒，則售出種柑橘禮盒盒，根據(jù)題意列出不等式組，得出，設(shè)收益為元，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，進而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為元，b元，根據(jù)題意得，解得：答：、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為元；【小問2詳解】解：設(shè)售出種柑橘禮盒盒，則售出種柑橘禮盒盒，根據(jù)題意得，解得：設(shè)收益為元，根據(jù)題意得，∵∴隨的增大而減小，∴當時，取得最大值，最大值為（元）∴售出種柑橘禮盒（盒）答：要使農(nóng)戶收益最大，銷售方案為售出種柑橘禮盒盒，售出種柑橘禮盒盒，最大收益為元．23.如圖，是的直徑．四邊形內(nèi)接于．連接，且，以為邊作交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）過點作交于點．若，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖所示，連接，由直徑所對的圓周角是直角得到，導角可證明，進而得到，據(jù)此即可證明是的切線；（2）延長交于H，延長交于G，連接，由直徑所對的圓周角是直角得到，證明，得到，接著證明，得到，進一步證明，得到，設(shè)，則，，進而得到，則，由勾股定理得到，，則，進一步可得．【小問1詳解】證明：如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∵是的半徑，∴是切線；【小問2詳解】解：如圖所示，延長交于H，延長交于G，連接，∵是的直徑，∴，即，∵，∴垂直平分，∴，∴，∵，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的判定，求角的余弦值，直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．24.如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標；（3）若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）或；（3）或或或【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐標，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點，則得出是等腰直角三角形，進而得出，則點與點重合時符合題意，，過點作交拋物線于點，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．【小問1詳解】解：∵拋物線與軸交于點和點，∴解得：∴拋物線的解析式為；【小問2詳解】由，當時，，則∵，則，對稱軸為直線設(shè)直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為，當時，，則∴∴∴是等腰三角形，∴連接，設(shè)交軸于點，則∴是等腰直角三角形，∴，，又∴∴∴點與點重合時符合題意，如圖所示，過點作交拋物線于點，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：，