第01講 集合的概念 2024-2025年新高一暑假自學課（教師版）

第01講集合的概念1.通過實例了解集合的定義，體會元素與集合間的屬于關系；2.能通過自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，感受集合的意義和作用.1元素與集合的概念一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合(或集)，構成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員).2集合的元素特征①確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.

②互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現的.

③無序性：集合中的元素無順序，可以任意排列、調換.3元素與集合的關系若a是集合A的元素，則稱a屬于集合A，記作a∈A；

若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A，記作a?A.

4常用數集

自然數集(或非負整數集)，記作N；正整數集，記作N?有理數集，記作Q；實數集，記作R. 5集合的分類有限集，無限集，空集?.6集合的表示方法①列舉法

把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫列舉法.②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.

方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x

【題型一】集合的概念相關知識點講解1元素與集合的概念(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母a,b,c…表示；(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合，常用大寫的拉丁字母A,B,C…表示.比如：四十個學生組成的高一(1)班中，班級就是個集合，每個學生就是其中的元素.2集合的元素特征①確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.

Eg：街上叫聲帥哥，是男的都回個頭，帥哥沒有明確的標準，故“帥哥”不能組成集合.②互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現的.

Eg：兩個學生名字都是“熊濤”，老師也要給他們起小名"熊大""熊二"，以視區(qū)別.若集合A={1，2，a}，就意味a③無序性：集合中的元素無順序，可以任意排列、調換.Eg：高一(1)班每月都換座位也改變不了它是(1)班的事實，1，2，3={2，3，1}【典題1】(多選)下列說法正確的是(

)A．我校愛好足球的同學組成一個集合B．{1,2,3}是不大于3的正整數組成的集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D．數1，0，5，12，32，64【答案】BC【分析】根據集合的元素的特征逐一判斷即可.【詳解】我校愛好足球的同學不能組成一個集合；{1,2,3}是不大于3的正整數組成的集合；集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合；由于32=64,12=1故選：BC變式練習1.下列對象中不能構成一個集合的是(

)A．某校比較出名的教師 B．方程x?2=0的根C．不小于3的自然數 D．所有銳角三角形【答案】A【分析】根據集合的性質判斷各項描述是否能構成集合即可.【詳解】A：比較出名的標準不清，故不能構成集合；B：x?2=0?x=2，方程根確定，可構成集合；C：不小于3的自然數可表示為{x∈ND：所有銳角三角形內角和確定且各角范圍確定，可構成集合.故選：A2.(23-24高一上·天津南開·期中)下列給出的對象能構成集合的有(

)①某校2023年入學的全體高一年級新生；②2的所有近似值；③某個班級中學習成績較好的所有學生；④不等式3x?10<0的所有正整數解A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據集合的定義判斷即可.【詳解】對于①：某校2023年入學的全體高一年級新生，對象確定，能構成集合，故①正確；對于②：2的所有近似值，根據精確度不一樣得到的近似值不一樣，對象不確定，故不能構成集合，故②錯誤；對于③：某個班級中學習成績較好是相對的，故這些學生對象不確定，不能構成集合，故③錯誤；對于④：不等式3x?10<0的所有正整數解有1、2、3，能構成集合，故④正確；故選：B3.若a，b，c，d為集合A的四個元素，則以a，b，c，d為邊長構成的四邊形可能是()A．矩形 B．平行四邊形C．菱形 D．梯形【答案】D【詳解】由于集合中的元素具有“互異性”，故a，b，c，d四個元素互不相同，即組成四邊形的四條邊互不相等.選D.4.(23-24高一上·安徽蚌埠·階段練習)下列各組對象能構成集合的是(

)A．充分接近5的所有實數 B．所有的正方形C．著名的數學家 D．1，2，3，3，4，4，4，4【答案】B【分析】根據構成集合元素的特征滿足確定性、互異性判斷各選項即可.【詳解】對于A，充分接近5的所有實數不能滿足集合元素的確定性，故A錯誤；對于B，所有的正方形可以構成一個集合，故B正確；對于C，著名的數學家不能滿足集合元素的確定性，故C錯誤；對于D，元素有重復，不滿足集合元素的互異性，故D錯誤.故選：B.【題型二】元素與集合間的關系相關知識點講解1常用數集自然數集(或非負整數集)，記作N；正整數集，記作N?或N+；整數集，記作有理數集，記作Q；實數集，記作R. 2元素與集合的關系若a是集合A的元素，則稱a屬于集合A，記作a∈A；

若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A，記作a?A.

Eg：菱形【典題1】(多選)(23-24高一上·湖北咸寧·階段練習)已知x,y,z為非零實數，代數式xx+yy+A．?2∈A B．0?A C．?4∈A D．4∈A【答案】CD【分析】對非零實數x,y,z的符號分情況進行討論即可求得所有可能的取值為4,0,?4，即可得出結論.【詳解】依題意，當x,y,z都為正數，代數值等于4；當x,y,z中只有一個負數兩個正數，代數值為0；當x,y,z中只有一個正數兩個負數，代數值為0；當x,y,z都為負數，代數值為?4.故選：CD【典題2】(23-24高一下·安徽安慶·開學考試)已知實數集A滿足條件:若a∈A，則1+a1?a∈A，則集合A中所有元素的乘積為(A．1 B．?1 C．±1 D．與a的取值有關【答案】A【分析】根據題意，遞推出集合A中所有元素，可得答案．【詳解】由題意，若a∈A，1+a1?a∴1+∴1+∴1+綜上，集合A=a,?所以集合A中所有元素的乘積為a??故選：A.變式練習1.(2022高一上·全國·專題練習)下列關系中，正確的個數為(

)①5∈R；②13∈Q；③0=?；④0?N；A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】根據元素與集合的關系逐個判斷即可.【詳解】由元素與集合的關系，得：在①中，5∈R，故在②中，13∈Q，故②正確；在③中，0=?不正確，故③錯誤；在④中，0∈在⑤中，π?Q，故⑤錯誤；在⑥中，?3∈Z故選：D.2.(2023·河南駐馬店·一模)已知集合A=xxx+1A．0∈A B．1∈AC．?1?A D．0?A【答案】A【分析】根據題意，求得A={0,1}，結合元素與集合的關系，逐項判定，即可求解.【詳解】由方程x(x+1)=0，解得x=0或x=?1，所以A={0,1}，所以0∈A，1?A，?1∈A.故選：A.3.已知集合A=4,x,2y，B=?2,x2,1?y，若A=BA．{?1,0,2} B．{?2,2} C．?1,0,2 D．{?2,1,2}【答案】B【分析】根據集合元素的唯一性分類討論即可.【詳解】因為A=B，所以?2∈A.當x=?2時，2y=1?y，得y=1當2y=?2時，則x=2.故實數x的取值集合為?2,2.故選：B4.(多選)(2024·全國·模擬預測)非空集合A具有如下性質：①若x,y∈A，則xy∈A；②若x,y∈A，則x+y∈A下列判斷中，正確的有(A．?1?A B．2022C．若x,y∈A，則xy∈A D．若x,y∈A，則x?y∈A【答案】ABC【分析】根據元素與集合的關系進行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于A，假設?1∈A，則令x=y=?1，則xy令x=?1,y=1，則x+y=0∈A，令x=1,y=0，不存在xy，即y≠0∴?1?A，故A對；對于B，由題，1∈A，則1+1=2∈A,2+1=3∈A,?,2022∈A,2023∈A,∴20222023對于C，∵1∈A，x∈A，∴1∵y∈A,1對于D，∵1∈A，2∈A，若x=1,y=2，則x?y=?1?A，故D錯誤．故選：ABC．5.設關于x的不等式ax2?2x+a≤0的解集為S，若?0∈S?且?【答案】?1<a≤0【分析】根據已知條件列不等式組，由此求得a的取值范圍.【詳解】依題意a×0解得?1<a≤0.故答案為：?1<a≤0【題型三】集合互異性的應用相關知識點講解互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現的.

Eg：若集合A={1，2，a}，就意味a【典題1】(多選)已知集合A=a?2,2a2+5a,A．?1 B．?32 C．1 【答案】BD【分析】由題意可得?3=a?2或?3=2a2+5a或1+2a=?3【詳解】?3∈A，集合A=a?2得?3=a?2或?3=2a2+5a解得a=?1或a=?32或當a=?1時，a?2=?3，2a2+5a=?3，不符合集合中元素的互異性，故當a=?32時，a?2=?72，當a=?2時，a?2=?4，2a2+5a=?2故選：BD.變式練習1.(23-24高三下·山東青島·開學考試)已知x∈1,2,x2，則xA．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【答案】C【分析】根據條件，利用元素與集合的關系及集合的性質即可求解.【詳解】由元素和集合關系可知：x=1或x=2或x=x解的x=0或1或2，由集合的性質可知，當x=1時，1,2,1不滿足互異性，所以x的取值為0或2.故選：C.2.(23-24高一上·江西萍鄉(xiāng)·期末)已知集合A=?1,a2?2a+1,a?4，若4∈A，則A．?1，3 B．?1 C．?1，3，8 D．?1，8【答案】D【分析】由集合與元素的關系分類討論即可求解.【詳解】由題意若a2?2a+1=4，解得a=3或a=?1，若a?4=4，解得當a=?1時，A=?1,4,?5當a=3時，A=?1,4,?1當a=8時，A=?1,4,49綜上所述，a的值可能為?1，8.故選：D.3.(2024高三·全國·專題練習)已知集合A=0,m,m2?3m+2，且2∈A，則實數A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3【答案】B【分析】由題意可得m=2或m2【詳解】因為A=0,m,m2所以m=2或m2①若m=2，此時m2②若m2?3m+2=2，解得當m=0時不滿足元素的互異性，當m=3時，A={0,3,2}符合題意.綜上所述，m=3.故選：B【題型四】集合的表示方法角度1列舉法相關知識點講解把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫列舉法.Eg：11以內偶數的集合為{2,4,6,8,10}；一次函數y=2x與y=【典題1】用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負偶數組成的集合；(2)方程x2＝2x的所有實數解組成的集合；(3)直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合；(4)由所有正整數構成的集合．【答案】(1){0，2，4，6，8，10}；(2){0，2}；(3){(0，1)}；(4){1，2，3，…}．【分析】根據題意求得集合的元素，然后用列舉法表示集合.【詳解】解(1)因為不大于10是指小于或等于10，非負是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負偶數集是{0，2，4，6，8，10}．(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解組成的集合為{0，2}．(3)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點是(0，1)，故交點組成的集合是{(0，1)}．(4)正整數有1，2，3，…，所求集合為{1，2，3，…}．變式練習1.用列舉法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全體；(2)大于?3.5小于12.8的整數的全體；(3)方程2x?1+(4)方程x?1x?2【答案】(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}(2)?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12(3){((4)1,2【詳解】(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2)?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．(3)方程2x?1+|2y+1|=0的解集為{((4)1,2.角度2描述法相關知識點講解用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.

方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x∈A|p(x)}.

用符號描述法表示集合時應注意：

集合元素化簡結果{x|方程x2{?1,2}{x|不等式x2{x|?1<x<2}{x|y=函數y=x2?x?2R{y|y=函數y=x2?x?2{y|y>?{(x,y)|y=函數y=x看集合先看元素類型.【典題1】(多選)已知集合A=x∈Zmx∈Z,?9≤m≤9，則滿足AA．6 B．?6 C．9 D．?9【答案】AB【分析】根據題意依次討論當m為6，?6，9，?9時，集合A中的元素個數．【詳解】當m=6時，滿足mx∈Z的x有6，3，2，1，?1，?2，?3，?6當m=?6時，滿足mx∈Z的x有6，3，2，1，?1，?2，?3，?6當m=9時，滿足mx∈Z的x有9，3，1，?1，?3，?9當m=?9時，滿足mx∈Z的x有9，3，1，?1，?3，?9故選：AB．【典題2】(多選)已知集合A=xx=3k?1,k∈Z，B=xx=3k+1,k∈Z，C=xx=3k,k∈Z，且a∈A，A．2a∈B B．2b∈AC．b+c∈A D．a+b∈C【答案】ABD【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由a∈A，b∈B，c∈C，分別設出a,b,c的特征表達式，通過運算及變形整理找到新元素的特征歸屬即可.【詳解】因為a∈A,b∈B,c∈C，可設a=3k?1,k∈Z，b=3k1+1,選項A，2a=2(3k?1)=6k?2=6k?3+1=3(2k?1)+1,2則2a∈B，故A正確；所以2b=2(3k則2b∈A，故B正確；所以b+c=3k1+1+3則b+c∈B，故C錯誤；所以a+b=3k?1+3k1+1=3(k+則a+b∈C，故D正確.故選：ABD.變式練習1.設集合A={?1,1,2}，集合B={x|x∈A且2?x?A}，則B=(

)A．{1} B．{2} C．{?1,2} D．{1,2}【答案】C【解析】對A中元素進行討論，若滿足x∈A且2?x?A則此元素是B集合中的元素.【詳解】集合B={x|x∈A且2?x?A]，集合A={?1,1,2}，當x=?1時，可得2?(?1)=3?A；當x=1時，可得2?1=1∈A；當x=2時，可得2?2=0?A.綜上B={?1,2}.故選：C2.若集合A=?2,1,4,8，B=x?y2∣x∈A,y∈AA．4 B．5 C．7 D．10【答案】C【分析】根據B中元素的特征，只需滿足xmax【詳解】由題意，x?y故選：C3.(22-23高一下·江蘇蘇州·開學考試)集合x,y2x+y≤6,x,y∈A．1 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】根據x，y∈N【詳解】x,y2x+y≤6,x,y∈故選：D．4.(2024高一上·全國·專題練習)已知集合A=x|ax2?3x+2=0,x∈R，若集合A中至多有一個元素，則實數A．a=0 B．a≥98 C．a=0或a≥【答案】C【分析】根據給定條件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分類求解即得.【詳解】因為集合A=x|a①當a=0時，A=x|?3x+2=0②當a≠0時，方程ax于是Δ≤0，即9?8a≤0，解得a≥所以實數a應滿足a=0或a≥9故選：C5.(多選)已知集合A=xx=2m?1,m∈Z，B=xx=2n,n∈Z，且x1A．x1x2∈A B．x2x【答案】ABC【分析】利用元素的特征及元素與集合的關系一一判定選項即可.【詳解】由題知：集合A為奇數集，集合B為偶數集，所以x1,x所以x1x2是奇數，x2x即x1x2∈A，x2故選：ABC．6.(多選)對于集合M=aa=xA．如果a1∈M，aB．如果a1∈M，aC．如果B=bb=2n+1,n∈ND．若C=cc=2n,n∈N.對于?c∈C【答案】AC【分析】對于A：設a1=x12?y12,a2=x22?y2【詳解】對于選項A：因為a1∈M，a2則a1因為x1,x所以a1對于選項B：因為a=x2?若x=y，則若x=y+1若x≥y+2綜上可知：2?M.顯然12?02=1∈M對于選項C：令x=n+1，y=n,n∈Z，則b=x即對任意b∈B，均有b∈M，所以B?M，故C正確；對于選項D：由選項B可知：2∈C,2?M，故D錯誤.故選：AC.【A組基礎題】1.下列說法正確的是(

)A．0與0的意義相同B．某市文明市民可以組成一個集合C．集合A=x,yD．方程x2【答案】C【分析】根據元素與集合的定義逐一判斷即可.【詳解】A：0是集合0的一個元素，因此本選項不正確；B：因為文明市民的標準不確定，所以組成不了集合，因此本選項不正確；C：由3x+y=2?y=2?3x，顯然給x一個自然數的值，y都有唯一的一個實數與之對應，而自然數集是無限集，因此集合A是無限集，因此本選項正確；D：x2方程x2故選：C2.由a2,2?a,4組成一個集合A，A中含有3個元素，則實數a的取值不可以是(A．?1 B．2 C．3 D．6【答案】B【分析】根據集合元素互異性求解即可.【詳解】由題意知，a2≠42?a≠4a2所以實數a的取值可以是?1，3,6故選：B3.(23-24高一上·上?！て谀?數集A={x|x=2k?1,k∈Z}，B={x|x=2k,k∈Z}，C={x|x=4k?1,k∈Z}，若a∈A，b∈B，則a+b∈(A．A B．B C．C D．A，B，C都有可能【答案】B【分析】根據可知：集合A為奇數集，結合B為偶數集，結合元素與集合之間的關系分析判斷.【詳解】由題意可知：集合A為奇數集，集合B為偶數集，即a為奇數，b為偶數，則a+b為奇數，所以AD錯誤，B正確；例如a=1,b=0，令a+b=4k?1，即1=4k?1，解得k=12?Z故選：B.4.集合A=63?x【答案】?6,?3,?2,?1,3,6【分析】利用A中元素x滿足的條件可知，3?x可以取?6,?3,?2,?1,1,2,3,6，分別對其進行驗證看是否符合題意即可.【詳解】根據集合A中的63?x∈Z可知3?x當3?x=?6時，x=9∈N當3?x=?3時，x=6∈N當3?x=?2時，x=5∈N當3?x=?1時，x=4∈N當3?x=1時，x=2∈N當3?x=2時，x=1∈N當3?x=3時，x=0?N當3?x=6時，x=?3∈N即符合題意的3?x的值可以取?6,?3,?2,?1,1,2，對應63?x的值依次是?1,?2,?3,?6,6,3所以可得集合A列舉法可以表示為?6,?3,?2,?1,3,6.故答案為：?6,?3,?2,?1,3,65.已知集合A={0,1,2},【答案】6【分析】由題意分類討論x的取值，確定y的值，即可求得答案.【詳解】因為x?y∈A，所以x≥y．當x=0時，當x=1時，y=0或當x=2時，故集合B={(0,故答案為：66.設數集A由實數構成，且滿足：若x∈A(x≠1且x≠0)，則(1)若2∈A，試證明A中還有另外兩個元素；(2)集合A是否為雙元素集合，并說明理由；(3)若A中元素個數不超過8個，所有元素的和為143，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合A【答案】(1)證明見解析；(2)不是，理由見解析；(3)A={?1,1【分析】(1)利用集合與元素之間的關系證明即可；(2)根據條件求出元素間的規(guī)律即可；(3)先利用x1【詳解】(1)由題意得若2∈A，則11?2又因為?1∈A，所以11?即集合A中還有另外兩個元素?1和12(2)由題意，若x∈A(x≠1且x≠0)，則11?x∈A，則11?所以集合A中應包含x,11?x,1?(3)由(2)得集合A中的元素個數應為3或6，因為x11?x1?所以A中應有6個元素，且其中一個元素為?1，由?1∈A結合條件可得12又因為?1+12+2=32解得x=?1故A={?1,17.已知n元有限集A=a1,a2,a3,?,(1)寫出一個“二元和諧集”(無需寫計算過程)；(2)若正數集A=a1,a2(3)是否存在集合中元素均為正整數的“三元和諧集”？如果有，有幾個？請說明理由.【答案】(1)3,(2)證明過程見解析(3)存在1個，1,2,3，理由見解析【分析】(1)令A=3,(2)利用反證法進行證明或者構造一元二次方程利用判別式法證明；(3)設A=a1,a2,a3滿足要求，則【詳解】(1)不妨令A=3,32(2)法一：假設命題不成立，即元素a1，a因為a1>0,aa1+a2=因為a2a1>1，所以故假設不成立，元素a1，a法二；集合A=a1,則a1,a則Δ=t2?4t>0，解得：t<0(舍)或所以至少有一個大于2.(3)設正整數集A=a則a1不妨設a1<a2<因為a1,a綜上，A=1,2,3存在1個集合中元素均為正整數的“三元和諧集”，即A=1,2,3【B組提高題】1.若M=x