數(shù)學建模 關于高等教育學費標準的探討

關于高等教育學費標準的探討摘要高等教育收費是個非常復雜的問題，受各種因素的影響。為了探討我國高校收費的合理性，我們建立“成本分擔”理論模型，對我國十四類不同類型的大學進行了數(shù)據(jù)收集分析，并據(jù)此得出了結論。進一步地，為了尋求合適的高校收費標準，以使得高等教育資源能得到最優(yōu)化配置，我們在前一步模型數(shù)據(jù)基礎上建立了“拉姆齊定價模型”[1]。并通過這個模型求得了實現(xiàn)高等教育資源最優(yōu)化配置的合理收費理論?！俺杀痉謸蹦Ｐ驼J為，高等教育要本著“誰受益,誰承擔”的原則，本文根據(jù)中國的具體國情，對約翰斯通提出的“成本分擔”模型進行了改進，提出了基于中國國情的責任體簡化模型。指出我國高等教育的成本應由學生，政府，學校三方進行承擔的原則。為了考察中國目前高等教育收費的合理性，我們我國的高等學校按地區(qū)和類別劃分為十四個種類，并對每類學校的教育成本分擔情況進行分析，并結合我國居民可支配收入的情況，得出了我國高等教育收費基本合理但對弱勢群體和貧困地區(qū)學生政策優(yōu)惠力度不夠的明確結論。并討論了學校擴張導致的學校承擔部分的上升及其后果。而后我們在前一模型數(shù)據(jù)基礎上建立其模型二“拉姆齊定價模型”[1]。拉姆齊定價原則是針對公共事業(yè)進行定價的最有效的手段。能使得社會整體福利最大化，從而最優(yōu)化配置了社會的公共資源。拉姆齊定價原則在保證學校和社會雙方利益的同時，采用“次最優(yōu)解”法，使得系統(tǒng)達到帕累托最優(yōu)。具體的解法是首先，以純數(shù)學角度將教育總福利最大化得“最優(yōu)定價”，即定價為邊際成本，但不適用我國市場經(jīng)濟體制，綜合學生的利益角度，又進一步引入“次優(yōu)解”，通過限定學校的收支平衡約束條件，通過拉格朗日乘數(shù)法,確定目標函數(shù)，其最優(yōu)解為資金的機會成本(影子價)，得到次優(yōu)定價公式為:。最后，再對拉姆齊定價公式假設前提的修正，將學校、學生的利益統(tǒng)一而非割裂，做出修正的拉姆齊定價。本文的特點在于：詳細的數(shù)據(jù)分類，將全國大學細化為十四類進行數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與分析，并考慮了諸如居民可支配收入，學校擴建的銀行負債等外部因素的影響?！俺杀痉謸蹦Ｐ秃侠淼脑u價了我國當前高等教育收費合理性的問題，并得出了明確的評價結論。成功地對“拉姆齊定價模型”進行了修正，得到了適合教育體系的拉姆齊定價模型，并形成了促使教育資源利用最大化的合理的定價理論。為我們制定高等教育學費提供了強有力的理論支持。關鍵字：成本分擔論，拉姆齊定價模型，邊際成本，教育總福利，能力支付原則一問題重述高等教育是關系我國經(jīng)濟發(fā)展，民族振興的大事。因而如何促進我國高等教育事業(yè)的健康發(fā)展就成了所有人關心的大事。高等教育質量要靠必要的教育經(jīng)費來保障。目前我國高等教育經(jīng)費的來源主要學校自籌、社會捐贈和學費收入等幾部分組成。對于困難學生，政府提出了“不讓一個孩子因為貧困上不起大學”的大學生助學貸款計劃。此外還有學費減、免、補等各種方式。而高等教育的學費問題是個非常復雜的問題。它涉及到眾多因素和不同群體的利益，既要保證高等學校有足夠資金來保證教育質量和自己的健康發(fā)展，又要考慮到人民群眾的承受能力。此外還收其他眾多社會、歷史因素的影響。問題要求中國的具體國情，結合自己搜集到相關數(shù)據(jù)，通過數(shù)學建模分析以下問題：對幾類學?；驅I(yè)的學費標準進行定量分析，得出明確、有說服力的結論。根據(jù)最終的建模分析的結果，給有部門寫一份報告，提出具體建議。二問題的分析（一）數(shù)據(jù)收集中國高等教育的學費問受很多因素的影響，合理的學費定位既要考慮到保證高等學校有足夠資金來保證教育質量和自己的健康發(fā)展，又要考慮人民群眾的承受能力。我們認為，在假設各種社會不確定因素（如社會穩(wěn)定，經(jīng)濟正常發(fā)展）不變的情況下，我國現(xiàn)階段的合理的高等教育學費主要受以下六個因素的影響：（1）國家生均撥款（2）家庭收入（3）生均培養(yǎng)費用（4）學校類型（5）專業(yè)差別（6）地域差別而這些數(shù)據(jù)大部分可以在《2007國家統(tǒng)計年鑒》和《2007中國教育經(jīng)費統(tǒng)計年鑒》中查找到。我們根據(jù)地域性差異和學校類別的差異將全國的大學劃分為十四類進行統(tǒng)計分析。（二）模型自1998年高校擴招后，中國高等教育規(guī)模迅速擴張，維持高等教育正常運轉所需經(jīng)費劇增，高等教育的供求矛盾成為高等教育發(fā)展中遇到的重大問題，高等教育形成賣方市場，造成學費過高，甚至超出了普通家庭的經(jīng)濟承受能力。隨著我國市場經(jīng)濟的進一步發(fā)展，高等教育產(chǎn)業(yè)化的趨勢日趨明顯,以學生、學校雙方利益的統(tǒng)一為前提,高校通過收取合理的學費，讓更多的學生有學可上，并希望能達到社會教育資源利用率最大。高校通過收費可以減輕國家財政負擔，也有利于高校產(chǎn)業(yè)化的健康發(fā)展，使更多的學生收益其中。但考慮到高校產(chǎn)業(yè)化不是一夜之間的事情，不可能在短時間內建立其與商品市場相一支的定價機制。而且，高校的定價機制不僅要與我國目前經(jīng)濟狀況相適應，還應考慮到具體家庭的實際收入情況，學校的成本問題，國家及其他機構的撥款等因素共同作用。為了對我國現(xiàn)在的高等教育收費的合理性進行分析，我們建立“成本分擔”模型，按照“誰受益,誰承擔”的原則，對上面十四類大學進行了詳細的評價，最終得出明確的結論。在此基礎上，我們又建立了經(jīng)過修正的“拉姆齊定價模型”，使這一公共事業(yè)定價準則能很好的應用于教育系統(tǒng)，并給出能促使教育資源利用最大化的合理的定價理論。三符號的約定：生均培養(yǎng)成本地區(qū)影響因子（或地區(qū)不平衡系數(shù)）：專業(yè)的不平衡系數(shù)：生均培養(yǎng)成本：國家生均撥款：國家生均撥款的地區(qū)不平衡系數(shù)Fee：高等教育的收費：高等教育收費的地區(qū)不平衡性：學生入學數(shù):學生入學需求函數(shù):最優(yōu)定價，是學生入學需求數(shù)的逆函數(shù)；:學校的成本函數(shù):與學生數(shù)無關的學校固定成本,包括：土地，設備等:高校學生培養(yǎng)成本函數(shù):為高校獲得資金函數(shù)，包括：國家撥款，社會捐贈，其他科研收入等：學校的邊際成本：拉格朗日乘數(shù)：學校景氣引發(fā)的學費景氣系數(shù)K：為生均培養(yǎng)成本與生均贊助的差四模型的基本假設假設我國經(jīng)濟保持現(xiàn)階段的健康穩(wěn)定成長引用文獻中討論的問題科學合理，能夠反映我國的現(xiàn)實情況調查數(shù)據(jù)是真實可信的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。最優(yōu)定價函數(shù)為學生需求入學的逆函數(shù)五模型的建立與求解5.1模型一：成本分擔論5.1.1高等教育收費的成本分擔論高等教育的成本分擔理論是美國教育經(jīng)濟學家布魯斯·約翰斯通(D.BruceJohnstone)于1986年正式提出的。其《高等教育成本分擔:英國、聯(lián)邦德國、法國、瑞典和美國的學生資助》一書,按照“誰受益,誰承擔”的原則,闡述了各分擔方的責任。約翰斯通認為高等的教育成本由四部分構成：①政府或者說納稅人②學生家長③學生本人④私人或社會事業(yè)捐贈。成本分擔論的理論基礎主要建立在以下幾個理論上：1.公共產(chǎn)品理論。這一理論是從高等教育的性質出發(fā)來討論的,高等教育服務是介于私人產(chǎn)品和公共產(chǎn)品兩者之間的準公共產(chǎn)品,但是高等教育具有巨大的正外部效應,如可以推動經(jīng)濟增長、改善收入分配的不公平,增進社會物質文明和精神文明。2.教育投資個人收益論。高等教育的成本支出是一種人力資本投資,它具有物質資本的基本特性和類似的性質,即能帶來一定經(jīng)濟收入或其他收益。3高等教育的市場效率論。5.1.2結合中國國情的改進的成本分擔論隨著經(jīng)濟的發(fā)展，高校教育成本不斷上升，各國政府都不得不開始考率使用成本分擔模型來重新構造高等教育經(jīng)費的來源。我國也開始了始于上世紀90年代的高等教育收費制度。但是成本分擔理論必須結合各國情況。在我國，人民的收入較低，人均經(jīng)濟水平處于發(fā)展中國家的中等水平，我們在堅持“誰受益,誰承擔”的原則的同時，還要堅持維護人民群眾利益，保證教育的公平性。在我國學生一般沒有穩(wěn)定的收入，而且勤工助學只能解決非常一小部分費用，而且學生的自主打工在我國大部分高校不是很普遍，這一點與外國截然不同。中國學生大部分的學費最終都是由家長來承擔的，因而學生家長和學生可以合并為一項。因而在中國教育的受益者有三：受教育者本人，政府，企事業(yè)單位。其中關于收益者一，教育可以給受教育者本人帶來巨大的回報，教育投資是一種投資的觀念已經(jīng)被大家廣泛接受。關于收益者二，其實政府是整個社會群體利益的代表，教育水平的提高可以促進整個社會的物質和文化發(fā)展，因而整個社會都是高等教育的直接受益者，而政府則是整個社會和納稅人的代表。關于收益者三，企事業(yè)單位是高等教育成果的主要摘取者和教育投資的主要受益者。企業(yè)擁有的勞動力和專門人才的數(shù)量、質量是企業(yè)能否生存和發(fā)展的重要條件。例如:美國公司企業(yè)的發(fā)展在很大程度上得益于其擁有的大量高素質人才。據(jù)統(tǒng)計[2],美國20世紀初工程師和工人的比例為0.4∶100;60年代上升為2∶100;80年代則達到33∶100。因而在中國，高等教育經(jīng)費應主要由這三個受益者來承擔，如下圖所示:5.1.3成本分擔論的數(shù)據(jù)的收集與整理要了解但前高等教育體系收費的合理性的情況，必須首先對高校教育成本、學生人均學費、政府人均撥款、企事業(yè)單位及社會人事捐款進行分析。為了保證這四個數(shù)據(jù)的可比性，都要單位統(tǒng)一化，將四個指標全部化為生均費用，單位元/人。同時，考慮到這四個因素又受到地區(qū)差異、學校差異、專業(yè)差異等因素的影響，因而有必要將數(shù)據(jù)按類統(tǒng)計。同時，在對最終的數(shù)據(jù)分析上，可以采取三個差異參數(shù)乘以全國平均水平來得到，例如甲類地區(qū)A類學校的專業(yè)的生均成本計算方法如下：甲類地區(qū)A類學校的專業(yè)的生均成本=全國平均生均成本地區(qū)系數(shù)專業(yè)系數(shù)學校類別系數(shù)（1）生均培養(yǎng)成本的分析高等教育生均成本是高等教育經(jīng)濟學的核心概念之一,它是指高等學校為實現(xiàn)教育的基本職能(不包括其他職能),并達到教學質量的基本標準,在一定的會計期間(一年)所必須發(fā)生的,平均用于每個學生的直接支出和應計費用的總和。它一般由人員經(jīng)費、公用經(jīng)費、對個人和家庭的補助支出和固定資產(chǎn)折舊支出等部分構成。如下圖所示：圖一高等學校教育經(jīng)費支出構成根據(jù)下列表一和表二提供的數(shù)據(jù)，我們利用下面的公式計算出相應的生均成本地區(qū)性影響因子：生均培養(yǎng)成本的地區(qū)影響因子=表一中央高校生均培養(yǎng)成本C單位：元地區(qū)北京上海東北華北華南中部西部全國費用3650630911246002195132223207601832327054表二普通高校生均培養(yǎng)成本C單位：元地區(qū)北京上海東北華北華南中部西部全國費用2812723702124041080019765103001093412544注：以上兩表通過計算數(shù)各省據(jù)所得，具體分省資料見附錄（一）資料來源：國家統(tǒng)計局.2007中國教育經(jīng)費統(tǒng)計年鑒.中國統(tǒng)計出版社為了體現(xiàn)中央院校與地方院校的差異，我們可以利用下面的公式計算生均成本學校類別影響因子：根據(jù)上面兩個公式我們可以計算得到地區(qū)性因子對生均成本的影響因子為（認為全國的平均水平為1）：表三中央高校生均教育經(jīng)費支出的地區(qū)性因子R地區(qū)北京上海東北華北華南中部西部全國費用1.351.140.910.811.190.770.681.00表四普通高校生均教育經(jīng)費支出的地區(qū)性因子R地區(qū)北京上海東北華北華南中部西部全國費用2.241.890.990.861.580.820.871.00從上面兩表可以看出，地區(qū)性因素對高校生均教育成本有很大的影響。這主要是由于不同地區(qū)的消費水平，勞動力成本，資源成本的差異造成的。此外，我們還可以看到，普通高校受地區(qū)性因子的影響要比中央高校大的多。（2）國家生均撥款國家生均撥款是指國家每年預算內撥付學校的人均財政經(jīng)費。是高校教育經(jīng)費的要組成部分。下面兩表分別是中央高校和地方高校分地區(qū)的生均撥款情況表：表五中央高校國家生均撥款單位：元/人地區(qū)北京上海東北華北華南中部西部全國費用14476122451150072501650081001145511956表六普通高校國家生均撥款單位：元/人地區(qū)北京上海東北華北華南中部西部全國費用1577012901583052007200512067006395注：以上兩表通過計算數(shù)各省據(jù)所得，具體分省資料見附錄（一）資料來源：國家統(tǒng)計局.2007中國教育經(jīng)費統(tǒng)計年鑒.中國統(tǒng)計出版社計算地區(qū)因素和學校類別因素對生均撥款的影響因子的公式如下：國家生均撥款的地區(qū)影響因子=生均成本學校類別影響因子：通過上面的兩個公式，我們可以分別計算得到我國中央高校國家生均撥款和普通高校國家生均撥款受地區(qū)性因子的影響程度，結果如下面兩表所示：表七中央高校國家生均撥款的地區(qū)影響因子地區(qū)北京上海東北華北華南中部西部全國費用1.211.020.960.611.380.680.961.00表八普通高校國家生均撥款的地區(qū)影響因子地區(qū)北京上海東北華北華南中部西部全國費用2.462.020.910.811.130.801.051.00（3）人均家庭收入的數(shù)據(jù)分析2006年我國城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入[4]為11759.5元，農村農村居民家庭人均純收入3587元。（4）不同地區(qū)高校學費情況的數(shù)據(jù)分析：高等學校學費是指高等學校依據(jù)國家物價局的規(guī)定向受教育者收取的費用。我國不同地區(qū)不同高校的平均收費狀況如下表所示：表九全國高校學費各地平均情況單位：元/人地區(qū)北京上海東北華北華南中部西部全國費用50005000460045004800430040004600注：此表信息來源于新華網(wǎng)[3]（5）數(shù)據(jù)的綜合與簡單分析表十中央高校情況匯總（2007年）北京上海東北華北華南中部西部全國C/元36506309112460021951322232076018323270541.351.140.910.811.190.770.681.00Br/元144761224511500725016500810011455119561.211.020.960.611.380.680.961.00Fee/元500050004600450048004300400046001.091.091.000.981.040.930.871注：C代表生均培養(yǎng)成本(cost)，代表生均培養(yǎng)成本地區(qū)影響因子（或地區(qū)不平衡系數(shù)），Br代表國家生均撥款，代表國家生均撥款的地區(qū)不平衡系數(shù)，F(xiàn)ee代表高等教育的收費，代表高等教育收費的地區(qū)不平衡性。表十一普通高校情況匯總(2007年)單位：元/人北京上海東北華北華南中部西部全國C28127237021240410800197651030010934125442.241.890.990.861.580.820.871.00Br15770129015830520072005120670063952.462.020.910.811.130.801.051.00Fee500050004600450048004300400046001.091.091.000.981.040.930.871初步分析：從表中可以看出，1普通高等學校受地區(qū)因素影響要比中央高校大的多。另外，學費受地域性影響不是很大，沒有生均培養(yǎng)成本和國家生均撥款對地區(qū)因素的依賴程度大。此外，普通高校和中央高校的學費水平并沒有什么明顯差別，幾乎是完全一樣。5.1.4基于成本分擔理論對高等教育收費的分析與評價（1）根據(jù)表十和表十一，我們研究的高校可以分為十四類，即根據(jù)高校類型分為中央高校和普通高校，按地域可以分為北京、上海、東北、華北等七個地區(qū)，這樣共有2X7=14類。下面我們將分別對這十四類高校的教育成本分配情況進行定量析。由于社會企事業(yè)單位捐資和集資辦學經(jīng)費占整個高校經(jīng)費來源的比例非常小,基本上是在1%-2%之間波動。鑒于此，我們在接下來的分析中就不再討論社會企事業(yè)單位的捐贈所分擔的成本。我們將分別計算十四類學校中個人學費、國家撥款、和其他部分（主要是高校自籌或銀行貸款）占生均培養(yǎng)成本的比例。最終結果如表十二所示：表十二高校教育成本的構成中央高校北京上海東北華北華南中部西部個人學費所占比例13．7%16．2%18．7%20．5%14．9%20．7%21．8%國家撥款所占比例39.6%39.6%46.7%33.0%51.2%39.0%62.5%其它部分所占比例46.6%44.2%34.6%46.5%33.9%40.3%34%普通高校北京上海東北華北華南中部西部個人學費所占比例17.8%21.1%37.1%41.7%24.3%41.8%36.6%國家撥款所占比例56.1%54.4%47.00%48.2%36.4%49.7%61.3%其它部分所占比例30.20%24.50%15.90%10.20%39.30%8.60%2.10%我們把表十二中的數(shù)據(jù)用折線表示出來，就如圖二所示：對運用成本分擔理論對上述圖表的分析：A學生個人及學生家長分擔部分從圖中可以看出，在十四類學校中，處于富裕地區(qū)的北京、上海，華南地區(qū)，個人支付的學費占整個學生培養(yǎng)成的較低，而比較貧窮的中部，西部地區(qū)，個人支付的教育費用則明顯過高，特別是普通高校，在中部，西部和東北的一些省份，其比例已經(jīng)超過了教育成本的35%，這與國家規(guī)定的高等學校收取的學費不能超過其教育成本的25%上限相違背。而且在這些不發(fā)達地區(qū)，人民的生活水平本來就不高，過高的學費更會加劇地區(qū)間的不公平性。學費的制定不但要考慮學校方面的成本分擔原則，在中國這樣一個發(fā)展中國家，更要堅持能力支付原則，為了使教育公平化，我們必須保證高等教育對所有人都是可獲得的，不能使學費定價成為貧困地區(qū)學生享受高等教育的一道門檻。我國始于上個世紀的高等教育收費曾經(jīng)一度過高，嚴重的超過了居民的可承受能力。我們搜集整理了1996年至2005年高等教育學費占居民可支配收入的情況，如表十三所示：表十三1996-2005年城鎮(zhèn)與農村居民對高等教育學費的經(jīng)濟承受能力[8]年份全國高校平均學費（元）城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入學費占城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的比例（%）農村居民家庭人均可支配收入學費占農村居民人均可支配收入的比例（%）199612004838.925%1926.162%199720005160.339%2090.1247%199832005425.159%2162.0148%199935005854.060%2210.3158%200045006280.072%2253.4200%200143596859.664%2366.4184%200242187702.856%2475.6207%200344248472.252%2622.2161%200447859421.651%2936.4161%2005516810493.049%3254.9159%將上表數(shù)據(jù)制作成圖像形式，如圖三所示從表十三和圖三中可以很明顯的看到，由于農村和城鎮(zhèn)的差異，對于一個農村家庭而言，或者對欠發(fā)達地區(qū)的家庭而言高等教育的收費已經(jīng)達到了難以接受的程度。對比同時期的高校收費情況和城鄉(xiāng)居民家庭收入情況,我們可以看出:一個大學生一年僅學費項就要耗掉一個城鎮(zhèn)居民大部分收入,并超過一個農村居民一年的收入。在2001年學費猛漲之后,全國平均有60%的城鎮(zhèn)居民戶、72.154%的農村居民戶支付不起當年的高等教育學費和生活費。因而，我們認為目前的高等教育收費在平衡地區(qū)差異方面做得還不夠到位，而且往往貧窮的地方高等教育收費反而要比發(fā)達地區(qū)還多。B社會分擔部分社會分擔部分原本應由兩部分構成，但是其中企事業(yè)單位及個人的捐贈在我國高等教育成本中占得比例實在是太少了。企事業(yè)單位也是高等教育的巨大受益者，也有義務為高等教育支付一定的費用，因而加強對于這方面的政策誘導及積極的輿論導向，有利于我國高等教育事業(yè)的健康發(fā)展。社會承擔的另一部分就是政府，從圖二中可以看出，國家生均撥款在全國來講平均占到了高等教育成本的40%--50%左右，相對于中國處于發(fā)展中國家的財政情況來講，也基本上是可以的。C其它部分（學校盈利及其銀行貸款）從圖中我們可以看到，其它部分在生均培養(yǎng)成本中所占的比例相當大，有時甚至能達到40%，這部分資金主要來自于高校各種其他的盈利渠道以及銀行貸款等。這部分資金有利的推動了高等教育的發(fā)展。但我們同時應該注意到，有些學校這部分資金的比例過大，這很有可能是學校盲目擴張，向銀行過度貸款而產(chǎn)生的。這部分的過度信貸必定會在將來反應在學生的收費中。目前有很多高校盲目擴張，導致學校債臺高筑。根據(jù)2007年教育經(jīng)費統(tǒng)計年鑒顯示：中央高等學校年均經(jīng)費支出共計880億元，其中自籌基礎設施建設費用高達71億元（基本全部來自銀行貸款），約占總經(jīng)費支出的8.07%，，地方高等學校年均經(jīng)費支出全國共計1815億元（基本全部來自銀行貸款），其中自籌基礎設施建設經(jīng)費高達218.5億元，約占總經(jīng)費支出的12.4%[4]。從這些數(shù)據(jù)可以看出,銀行貸款占學校每年經(jīng)費支出的比例已經(jīng)相當大，而且數(shù)目驚人。而且地方院校的情況要明顯比中央高校的情況更為嚴重，這些銀行貸款雖然有很多是低息貸款，但是如此大規(guī)模的貸款擴建支出最終還是要由學生和政府來買單。因而合理的進行學校擴建，遏制學校的惡性擴建是目前高等教育改革的有一個重大問題。5.1.5模型一得出的結論根據(jù)前面十四類學校教育經(jīng)費構成情況的的分析，我們可以得出以下的明確結論：①我國目前的學費水平，特別是某些地方高校和民辦高校的學費偏高②目前高校收費缺乏靈活性，對貧困地區(qū)和弱勢群體的傾斜力度和扶持力度不夠。③地方高校和中央高校普遍存在過快擴張的問題，但地方高校更為明顯，最終導致地高校學生負擔過大。5.2模型二：拉姆齊（Ramsey）模型拉姆齊定價模型，又稱逆彈性定價法，是由Baumol和Bradford借鑒Ramsey征收比例稅的次優(yōu)法解法提出的[9]，是處理公共事業(yè)領域定價以使得社會總福利最大化的一種有效手段。在諸如通訊，鐵路，供水的公共事業(yè)的定價問題上發(fā)揮了巨大的作用。我們認為，高等教育產(chǎn)業(yè)也是一種準公共產(chǎn)品，既有著巨大的社會效益，也有著不小的個人效益，因而拉姆齊定價法對其同樣適用。當然，教育事業(yè)與一般的公共事業(yè)還是有著很大的不同的，因而我們針對教育事業(yè)對原有的拉姆齊模型進行了進一步的改進。5.2.1模型的建立拉姆齊模型，是以使社會總福利最大化為目標。首先我們重新定義了社會總福利，即教育總福利，如下式所示：教育總福利=學生福利+學校福利（1）我們設學生入學需求函數(shù)為Q(P),此時相應的學費定價為P，學校的成本函數(shù)為，其中為高校學生培養(yǎng)成本函數(shù)，為高校獲得資金函數(shù)，包括：國家撥款，社會捐贈，其他科研收入等設最優(yōu)定價滿足，則我們的目標就是使教育總福利最大化，即求:（2）圖四需求函數(shù)式(2)中積分項如圖四中陰影部分面積,假設是最優(yōu)定價,則水平線以上的陰影面積為學生剩余,因為學生以低于其支付意愿的學費價格獲得服務,水平線以下的陰影面積為學校收入。式(2)對求導,立即可得最優(yōu)定價公式(3)即最優(yōu)價格等于邊際成本。假設在教育產(chǎn)業(yè)中,邊際成本是單調遞減的,設為(3)式的平衡點,則有學校的收入(4)式(4)意味著采用邊際成本定學費價格,但學校將永遠無法回收固定成本,甚至連變動成本也無法回收,學校的福利是負的。這在國有福利事業(yè)公共定價中有指導意義,但不可能應用于市場經(jīng)濟,特別如今日益的教育產(chǎn)業(yè)化的趨勢。即使大多數(shù)經(jīng)濟學家或理論家都從純數(shù)學的角度把之稱為“最優(yōu)解”,但下文的拉姆齊定價公式——“次最優(yōu)解”,該模型附加了學校的收支平衡約束條件，同時體現(xiàn)了學生的自身利益。首先，限定保證了學校的最基本生存條件。通過拉格朗日乘數(shù)法,我們有目標函數(shù),(5)式(5)中,為拉格朗日乘數(shù),其最優(yōu)解為資金的機會成本(影子價)。拉格朗日方程求優(yōu)化問題，在上述約束條件的下，通過MATLAB求解(具體解法見附錄二)令=k，=由式(5)導出的次優(yōu)定價公式為:(6)式(6)中,稱為拉姆齊系數(shù);為學生的價格需求彈性的絕對值。由于,式(6)的定價是高于邊際成本的,而且對敏感。即，若學生對價格需求彈性大，則學費價格低；反之，學生對價格需求彈性小，則學費價格可制定偏高。盡管拉姆齊定價公式得到廣泛的承認,但對它的批評主要來自兩個方面:一是很難測定,從而很難實用；二是彈性低的要學費定價高,彈性高的要定價低,這與一般有形學費定價實踐相反[附錄二]。這里,經(jīng)濟學上拉姆齊定價模型是以學生利益為主導，但結合現(xiàn)階段中國的國情，分析當今學費現(xiàn)狀，僅僅考慮到學生利益原則對我國高校是不適用的。本文又提出了改進的拉姆齊模型,以學生、學校的同一和利益的統(tǒng)一為前提,希望能達到社會教育資源利用率最大。也正是因為我國現(xiàn)階段的教育狀況,學生、學校的特殊關系，需要將學校的景氣對需求函數(shù)的影響放入到模型中。5.2.2修正的拉姆齊模型定價公式公式(2)和(5)都是將需求逆函數(shù)作為學生獨立的行為描述,推導中也沒有供方的供給函數(shù)參與,與經(jīng)濟景氣度無關,這正是我們所提到的沒有擺脫“消費者至上”的原因。因此,拉姆齊定價模型只是在產(chǎn)業(yè)正常(平均)狀態(tài)下討論問題。由于我們對學校、學生利益統(tǒng)一的假設,學校景氣會帶來學校福利和學生福利增加,因此導致有效需求增加,需求函數(shù)發(fā)生變動。所以,我們用學校盈利作為行業(yè)景氣的代理,令表示學校景氣引發(fā)的學費景氣系數(shù),用表示價格需求的一次調整項,需求函數(shù)會發(fā)生如圖2的變動,過了拉姆齊定價的需求平衡點,相同的價格下會有更多的需求。為了簡化問題,企業(yè)收支平衡約束不作調整。這樣,我們有新的目標函數(shù):(7)圖五修改后的需求函數(shù)經(jīng)過推導,我們得到如下的最優(yōu)定價公式:(8)顯然,令=0,(8)式就為拉姆齊定價公式。現(xiàn)在，令=a,=b,=c,=d,則a/b就是拉姆齊定價公式，c/d=為產(chǎn)出時的平均成本。由分式不等式可得，若,、同號，則(9)若，、同號，則（10）(9)式表明,若價格需求彈性大,導致,則學費定價要小于平均成本,但大于拉姆齊定價。(10)式表明,若某價格需求彈性小,導致，則學費定價要高于平均成本,但小于拉姆齊定價。5.2.3模型的嘗試性求解拉姆齊公式作為分析宏觀經(jīng)濟主要工具之一，該模型在確定性的條件下，分析最優(yōu)經(jīng)濟增長，推導滿足最優(yōu)路徑的跨時條件，闡述了\o"動態(tài)非貨幣均衡模型"動態(tài)非貨幣均衡模型中的消費和資本積累原理。而對教育業(yè)這一特殊行業(yè)，具有壟斷勢力，不應該完全按照市場定價為其基本形成機制。應體現(xiàn)效率公平相結合的原則。即使有改進的最優(yōu)公式，也不可能求出精確的學費值，所以常識性求解也是在模糊估算的情況下，根據(jù)實際情況設定具體數(shù)據(jù)，測算學費定價。與現(xiàn)行學費定價相對比較得出適當結果。具體求解過程根據(jù)附錄給出的2000-2006年的招生人數(shù)和生均學費，通過計算得到彈性系數(shù)表十四學費及招生變動情況年份招生人數(shù)招生增長率生均學費學費年增幅彈性系數(shù)2000220.635502001268.321.62%38959.70%2.232002320.519.46%42248.40%2.312003382.219.25%44194.60%4.182004447.317.03%47858.30%2.052005504.512.79%50004.49%2.842006546.18.25%52955.90%2.35注：數(shù)據(jù)來源見附錄一由求得彈性系數(shù)可見，目前中國的高校無論學費增加多少，其需求量還是不斷增加，所以我國高等教育作為一個產(chǎn)業(yè)是缺乏彈性需求的，彈性系數(shù)相對穩(wěn)定（03年非典例外）。對彈性樣本求平均數(shù)2.4對于修改的最優(yōu)定價公式由圖1可知，學費在不斷增長，同時為了學校要想走產(chǎn)業(yè)化道路，邊際成本的增加是必不可少的趨勢。則k，生均培養(yǎng)成本與生均贊助的差也在增大模糊估算：以2007年為例，生均培養(yǎng)成本為19777元，生均補助=財政撥款9000元+9000*50%的其他補助=13500,k=19777-13500=6277，=1/6277，代入次優(yōu)公式可得近似計算得（11）代入最優(yōu)公式得近似計算可得：（12）分子分母同時除以學生入學數(shù)后得：其中由于數(shù)量遠大于1，則接近于0。最終的定價為：（13）對比式（11）（13），不難發(fā)現(xiàn)修改的拉姆齊定價原則上更符合高等教育的產(chǎn)業(yè)化發(fā)展趨勢和學生個人有學可上的條件。（11）式過于單薄地從學生單方面考慮問題，學費制定仍為邊際成本，沒有考慮到其他經(jīng)費來源對成本的分擔，我國大部分高校仍然處在規(guī)模和范圍經(jīng)濟狀態(tài)，因此我國高校教育的邊際成本小于平均成本。如果所有高校都按邊際成本定價，高校產(chǎn)生的全部虧損都要政府收入來彌補，在高校規(guī)模不斷擴大的情況下，財政壓力難以承受。最終使高校缺乏經(jīng)營效率。而式（12）用matlab模糊繪制函數(shù)曲線來分析學校景氣引發(fā)的學費景氣系數(shù)（設定學校培養(yǎng)生均成本為6277元，生均固定資產(chǎn)為2500元.）由圖所示：當在[1,2.5]范圍內，收取相對學費，在教育產(chǎn)業(yè)化前提下，可求得最大的教育總福利，高校教育資源配置得到相對優(yōu)化。六模型的評價6.1.1成本分擔模型的優(yōu)點1成本分擔模型很好的反映了我國高等教育成本的構成情況，同時為各個成分分擔比例提供了理論依據(jù)。2對于這個模型中的數(shù)據(jù)分析，很好的反映了各個地區(qū)，不同類別的高校的經(jīng)費構成情況，對于分地區(qū)制定學費有著重大的指導意義。6.1.2成本分擔模型的缺點1這個模型不能直接計算出合適的高等教育經(jīng)費的值。2模型內無法直接包含各地區(qū)的家庭收入等外部影響因素，只能在分析時人工另外添加6.2.1拉姆齊模型優(yōu)點1.拉姆齊定價公式假設前提的修正，將學校、學生的利益統(tǒng)一而非割裂，做出修正的拉姆齊定價。2.學費按照邊際成本定價優(yōu)點突出，按此方法教育福利可以達到最大化，在解決了高校政策性虧損問題之后，高等教育資源得到優(yōu)化配置，學費價格最低，教育服務供給量和消費量最大。3.給出約定條件下，考慮經(jīng)濟和教育利益下學費合理價格的估算。6.2.2拉姆齊模型缺點1.教育產(chǎn)業(yè)化為目標，可能需要很長的一個時間才能達到。期間不確定因素可能會影響到學費價格的制定。2.較為籠統(tǒng)的成本估算，沒有將專業(yè)地域等因素具體體現(xiàn)在公式中，可在后期改進。3.高校獲得資金函數(shù)中各因素與數(shù)量的關系理想化。七給有關部門的建議通過“成本分擔模型”和“拉姆賽模型”聯(lián)系我國國情，綜合生均撥款、培養(yǎng)費用、家庭收入、學校與專業(yè)差異、地區(qū)差異等多方面因素，以及對不同因素作用下對學費標準的定量分析，我們綜合得出的結論對高等教育學費標準的制定提出以下建議：:1.進一步加大財政的教育投入。我國目前的公共教育投入占GDP的比重未能完成至21世紀初達到4%的目標,加大財政對教育的投入已經(jīng)成為舉國的共識,這幾年國家一直在努力進行這方面的工作,2002年原財政部項懷誠部長就表示,中央財政對教育的投入每年要增加一個百分點。隨著經(jīng)濟的發(fā)展,財政對教育的投入應進一步加大,這是完善我國學費制度,加快我國高等教育發(fā)展的必要舉措。2.高等學校制定學費標準時，如果能綜合考慮人均國內生產(chǎn)總值、高等教育成本、居民承受能力、高等教育需求和高等教育供給等相關因素，將有助于中國高等教育學費水平的合理化與科學化。因為隨著高等教育市場化趨勢的發(fā)展，單純地依靠計劃控制模式來調整學費水平己不現(xiàn)實，而引進市場調節(jié)機制不僅是國際高等教育發(fā)展的大勢所趨，而且也是中國高等教育發(fā)展的需要。這就要我們在制定學費水平時，一方面要從國情出發(fā)，綜合考慮中國的人均國內生產(chǎn)總值和居民的承受能力，有效地運用計劃模式對高等學校學費水平加以調控;另一方面又要遵循高等教育發(fā)展的規(guī)律，通過合理地利用市場模式來達到高等教育需求和供給對學費水平自動調節(jié)的目的。3.鼓勵發(fā)展私立高等教育，形成公私立高等教育競爭發(fā)展的局面，完善高等教育市場。發(fā)展私立高等教育，不僅可以加快高等教育大眾化的進程、減輕高等教育需求壓力，而且也能夠在一定程度上緩解高等教育的財政危機，更重要的是它可以豐富高等教育發(fā)展模式，展開與公立高等教育的競爭，促進高等教育的發(fā)展。為了形成這一局面，我們要鼓勵私立高等教育的發(fā)展，賦予私立高校應有的法律地位和法律權力，給予其廣闊的發(fā)展空間;在財力上，政府要給予其一定的支持，按合理的比例劃撥教育經(jīng)費;在政策上，要授予部分私立高校(特別是辦學有力的一些私立高校)學位頒發(fā)權力，保證私立高校培養(yǎng)的合格的畢業(yè)生能與公立高校的畢業(yè)生有同樣的就業(yè)競爭優(yōu)勢;此外，在允許私立高等教育合法營利的同時，要加強對私立高校的管理，防止不法分子通過亂收費、亂攤派來謀取暴利。只有這樣，才能完善高等教育市場競爭機制，充分利用市場來調節(jié)高等教育的供給和需求，合理的制定學費標準。4.國家應當在得出適宜的學費標準后,結合各地區(qū)各省市和不同類型高校的具體情況后制定出不同學費標準的最高上限,任何學校不得借故各種理由隨意提高學費標準。并將之以法律法規(guī)的形式頒布出臺,使這一標準的實行更具強制性,從而保證標準的實施。對不同專業(yè)的學費也應當制定具體標準,使出臺的政策更加完善,不給學校留有漏洞可鉆。當然如果有學校有必須提高學費并且超越最高標準的要求,也應當經(jīng)過相應的法律程序向上申請獲得批準方可。類似這些事情都需要我們制定出一系列全面的法規(guī)來實行。總之,我們要用完備的法律法規(guī)來維護學生的權益,來保障教育的公平性。5.適度控制高校規(guī)模，合理配置高等教育資源。由于高校擴招、合并的等因素的影響，目前中國普通高校規(guī)模己超出臨界水平。面對這種情況，為了使高等學校辦學成本最小化，降低學費水平，我們認為在當前高校擴招的形勢下，應從高校內部入手，合理配置有限的高等教育資源，提高高等教育資源的利用效率。在人力資源方面，增加優(yōu)秀的中青年教師的比例，防止師資青黃不接的局面的發(fā)生;與此同時，提高專任教師的比例，提高師資質量。在物力資源方面，針對目前物質資源配置不均衡的狀態(tài)，通過后勤社會化，加快某些制約高校發(fā)展的“瓶頸”資源的建設(如食堂面積)，同時充分利用另外一些物質資源(如儀器等)。在財力資源方面，調整教育經(jīng)費支出結構，在精簡冗員的基礎上降低管理支出的比重，增加教學、科研支出的份額，以保證高校教學、科研的順利進行。6.鑒于中國目前居民收入差距較大，我們在制定學費標準時要綜合考慮不同收入水平的群體，特別要兼顧城鄉(xiāng)間的差別，以便使更多的適齡青年能