2024年新高考新題型數(shù)學(xué)選填壓軸好題匯編9（解析版）

的年新龍?zhí)?ML型檄號遙嫉成“略題匯務(wù)方

一、單34H

題目①（2024?廣東梅州?二已知點F為雙曲線。：《一才=1的右焦點，點N在2軸上（非雙曲線頂

點），若對于在雙曲線。上（除頂點外）任一點P,/FPN恒是銳角，則點N的橫坐標的取值范圍為（）

A.（2,號）B.（2,爭C.（々%D.0*）

【答案】。

【解析】由題意可得c=，?$=2,所以F（2,0）,

設(shè)N（g,0）,F（x,y）,

則無=（2—2,—沙），麗=（g-;c,-y）,

由/FPN恒是銳角，得京?麗=（2—c）（3一⑼+y2>0,

又石一y=1,"=飛--1,

OO

?,?不等式可化為：（2—x）（x（）—X）~\—--1>0,

O

整理得：（g+2）力+（2力o—1）>0,

只需△=（g+2）2—~~（2^0—1）V0,

o

解得2VgV.

o

故選：C.

【題目區(qū)（2024?廣東?二粕已知球O與圓臺002的上、下底面和側(cè)面均相切，且球o與圓臺。1。2的體積

之比為則球O與圓臺。1。2的表面積之比為（）

?M

由題意，作出圓臺的軸截面ABCD,

設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為球的半徑OQ=r,

則AE=n,BE=T2,過人作AD-LB。于點打，

由AH2+BH2—AB2，得（2r）?+（全一八）2=（71+/2）2,化簡得產(chǎn)=T獷2，

由球的體積公式/=-^-Kr3,

o

圓臺的體積公式/）臺=：（2丁）?（7rri+7url+V7un-7rr|）=■兀，（『；+港+，i，2），

oo

2

已知球O與圓臺的體積之比為4，則,f——=］，

24+4+322

化簡得4/2=4+武+丁1/2，

則4為『2=4+港+『1/2，得3Tl/=4+諄,

2

又球的表面積5球=4兀/,圓臺的表面積S圓臺=7r［（r1+r2）+ri+r2］,

所以.=——Irf——=2^=2*工='，

S圓臺2（音+苣+為r2）4+苣+，1,242

故選：D.

題目⑶（2024?廣東?二W在平面直角坐標系①。?/中，已知圓。蘇+才=i,若等腰直角△ABC的直角邊

AC為圓。的一條弦,且圓心。在△ABC外，點B在圓。外，則四邊形OABC的面積的最大值為（）

A.亨+1B.V2+1C.乎+1D.V3+1

【答案】A

【解析】如圖所示，設(shè)AOAC=AOCA=a，則ZAOC=兀-2a,

故SAOC=-^-OA?OCsin/AOC=［sin（?！?a）=方sin2a,

由余弦定理得ACP=O^+OC2-2OA-OCcos^AOC=1+1-2cos（兀-2a）

=2+2cos2a,

故等腰直角三角形△ABC的面積為yAC-BC=yAC2=1+cos2a,

故四邊形O4B。的面積為［■sin2a+cos2a+l=^^sin（2a+0）+1,

其中tan?=2,0VpV,

其中（0號），故2a+9EQ兀+9）3［多兀］,

則當2a+0=￡■?時，^^sin（2a+0）+1取得最大值，最大值為+1.

懶曰@（2024?湖南拉閑?模擬演測）已知一⑺的定義域為（0,+8），產(chǎn)⑺是/⑺的導(dǎo)函數(shù)，且猶fQ）+

2時(,)=lmc,2e/(e)=1,則/傳，，/麗乎/的吟)的大小關(guān)系是()

A./(y)</(sin^-)</(tany)B.f(sin-^)</(y)</(tany)

C./(tany)</(y)<^(sin-4)D-/(sin^)</(tany)</(y)

【答案】。

【解析】因為x2f\x)+2xf[x}—Inx,即[宏解㈤]'=Inx,

構(gòu)造函數(shù)g(i)=力IQ),則g[x)—Inx,J(x)=。甲.

x

將/㈤=吟代入?，3)+2時3)=In,,得/'㈤=Tn-2強).

X213

再構(gòu)造函數(shù)h{x}—x\nx—2g(力),則K{x)—Inx+1—2g'Q)=1—Inx,

易知，當力G(0,e)時，”3)>0,函數(shù)h[x)單調(diào)遞增;當cC(e,+co)時，〃(0)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，所

以九(c)max=4e)=e-2g(e)=e-2e2/(e),

由于2ef(e)=1,所以h(e)=0,所以h[x}40,

所以當力G(0,e)時，/'(力)V0,函數(shù)/(力)單調(diào)遞減；

當力6(e,+co)時，/'(/)<0,函數(shù)/(力)單調(diào)遞減，所以/(二)在(0,+8)單調(diào)遞減.

又根據(jù)單位圓可得三角不等式sin,Vtang,又sin}Vsin~1~,tan?Vtar*,所以/(tan小)<

/佶)</麗4)，&/(tany)</(!)</(sin7)-

故選：c.

題目回（2024?湖南JL陽?模擬預(yù)測）如圖所示，4個球兩兩外切形成的幾何體，稱為一個“最密堆壘”.顯

然,即使是“最密堆壘”，4個球之間依然存在著空隙.材料學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，某種金屬晶體中4個原子的“最密

堆壘”的空隙中如果再嵌入一個另一種金屬原子并和原來的4個原子均外切，則材料的性能會有顯著性變

化.記原金屬晶體的原子半徑為小，另一種金屬晶體的原子半徑為電,則以和TB的關(guān)系是（）

A.2r=V3r

sAB.2rs=V6rAC.2rB=(V3—l)rAD.2rB=(A/6—2)rA

【答案】。

【解析】由題意知，四個金屬原子的球心的連線所圍成的圖形為如圖所示的正四面體P—ABC,

設(shè)正四面體的棱長為磯Q>0）,高為以九>0）,外接球球心為0,0為正三角形ABC的中心,

則必有PD_L平面ABC且P,0,0三點共線，

在正三角形ABC中，易求得DB-ax9

/oo

在APDB中，由PB2=PD2+DB2，可得h=PD=/2-(卓。,『=乎a,

在△OBD中，由OB2=OD2+DB2，得虎=仇-五>+(空a/,?M

解得滅=乎即

（a=2rA/F

由題意得《血，所以弓一X2TA=「A+TB,

6a=rA+rB4

所以2TB=（V6—2）rA.

故選：D.

I題目回（2024?湖北丈漢?模擬預(yù)測）若函數(shù)/⑸=3COS（OC+Q（3V0,—冷<”字的最小正周期為

兀,在區(qū)間（一點管）上單調(diào)遞減，且在區(qū)間（0,1）上存在零點，則w的取值范圍是（）

【答案】8

【解析】由函數(shù)/（①）的最小正周期為兀，得YV=兀，而。V0,解得3=—2,

1?1

貝f［x）—3cos（—26+夕）=3cos（2/一p）,由2k兀42力一pW2k兀+7U,fcEZ,

得2k兀+0&2力42卜兀+兀+0,%EZ,又/（力）在（一，，聿）上單調(diào)遞減，

因此2fc7u+（p4——,且~~W2fc7u+兀+0,kGZ,解得—-2/C7T<cp<——2fc?u,kEZ①,

oooo

由余弦函數(shù)的零點、，得2*—0=nn+與neZ,即2力=h兀+^+（p,nEZ,

而f{x}在（0,看）上存在零點，則0V727U+日+0V-^-,n€Z9

于是一?1兀-<—mt—9nez②，又一g<（PvJ,聯(lián)立①②解得一個V04-

2o2223

故選：B

題目⑺（2024?湖北丈漢?模擬預(yù)測）如果aV力V仇記㈤為區(qū)間（Q,b）內(nèi)的所有整數(shù).例如，如果2Vl

V3.5,貝!）［句=3；如果1.2VaV3.5,貝（J［句=2或3；如果2.3V%V2.7,貝！J不存在.已知T=l++

A.36B.35C.34D.33

【答案】B

A3_±1

【解析】令函數(shù)/㈤=>0）,求導(dǎo)得/⑸=/4=

1AJ.

則丁N"eN*）可視為函數(shù)/（力）=--x^（x>o）在力=九處的切線斜率，

vn3

設(shè)A（n,/（n））,B（n+l,f（n+1））,則直線AB的斜率kAB—'⑺~及?=f（n+1）—f（n）,

f

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有/（n+1）<kAB<f（n）,因此下』V等］（n+1尸一

^/n+1J7n

而+岸一2。+依一3卷）+…+（82總一81。］<人+人+義+…=丁，

3LV）'）'）'）'姆.冷聰招I

即有T>4（82"-1）>4（81T-1）=.X26=34+.,

OOOO

又7=1+/+表+…+焉<1+4（813）=35+1■，因此34+年<7<35+東

所以［T］=35.

故選：B

【題目回（2024?山東?二《）已知函數(shù)/（0=sin（5+/）（3>0）,若將加）的圖象向左平移等個單位后

所得的函數(shù)圖象與曲線2/=/（。）關(guān)于/=看對稱，則。的最小值為（）

O

A-t2B-l1C.lD.f1

【答案】A

【解析】函數(shù)/（力）=sinfcoa:+亭）,f{x}的圖象向左平移三個單位后所得函數(shù)g（6）=sin|~0（6+3）+母］

v673Lv37oJ

兀0兀、

=sm.lc（oa:+--+—

\367

函數(shù)y=g（x）的圖象與g=f?的圖象關(guān)于直線i=■對稱，則f（x）=—/），

于是sin（0/+~^）=sin［"］^—力）+對任意實數(shù)力恒成立，

即sin（0%+專）=sin（—+兀8+看）=sin［兀一（⑦］一兀s+=sin（①力一兀⑦+得二）對任意實數(shù)x恒

成立，

因此一neo+=￡+2k兀,k￡Z,解得3——2k+超~,kGZ,而0>0,則kEZ,k<0,

663

所以當％=0時，⑦取得最小值半

故選：A

:題目⑥（2024?山東?二O已知/（⑼為定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)/'（0為/（土）的導(dǎo)函數(shù)，若/（2）=

/（2-2）+42一4,貝酎'（2023）=（）

A.1B.-2023C.2D.2023

【答案】。

【解析】因為f（x）=f（2—x）+4/一4,所以兩邊求導(dǎo)，得/'（力）=—/（2—x）+4,

即/Q）+f（2—彷=4①

因為f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，則y（—T）=—J（T）,

所以兩邊求導(dǎo)，得「（/）=/（一力），所以/‘（/）是定義在R上的偶函數(shù)，

所以/'（2—力）=/（力—2）,結(jié)合①式可得，/（力）+f（x-2）=4,

所以f'3—2）+f［x-4）=4,兩式相減得，/'（/）=f（x—4）,

所以『（土）是周期為4的偶函數(shù)，

所以1（2023）=/（-1）=/（1）.

由①式，令①=1,得/'（1）=2,所以/'（2023）=/'⑴=2.

故選：C.

【題目|10）（2024?河南信相?模擬預(yù)測）棱長為1的正方體ABCD-4BQQ1中，點P為口。上的動點，O

為底面ABCD的中心，則OP的最小值為（）

【答案】。

[解析】由題意可得OP的最小值為點O到線段BD1的距離，

在平面DQB內(nèi)過點。作OP_LBDi于點P,

由題意可得=1,DB=四，BA=四，DOi_L平面ABCD,

因為DBU平面ABCD,則DDi_LDB,因為△OPB?血DB,

故皿=空_即OP=OB.DA=/XI=?

DD,BD/'BDiV36'

故選:C.

[題目|11）（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）若直線夕=加+6與曲線g=e，相切，則a+6的取值范圍為

（）

A.（―co,e]B.[2,e]C.[e,+oo）D.[2,+oo）

【答案】4

【解析】對于g=e',有g(shù)'=ei，令切點為（小,曖），則切線方程為g=曖（力—?。?物，

即g=emx+（1—m）em,即有a-\-b—em+（l—m）em=（2—m）em,

令/（力）—（2—6）已，,則/（力）=（1一%）e”,

當力V1時，/'（n）＞0,當力＞1時，/'（力）＜0,

故/（劣）在（-00,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減，

故/Q）＜/（1）=（2-l）e1=e,

又當力趨向于正無窮大時，/（力）趨向于負無窮，

故/（劣）E（―oo,e]，即a+b6（―oo,e].

故選：4

[題目〔12]（2024?福電稿州?模擬預(yù)測）函數(shù)/⑺=2sins;（每inaxr+cos?（3＞0）在（0號）上單調(diào)遞

增，且對任意的實數(shù)a,/（c）在（a,a+兀）上不單調(diào)，則。的取值范圍為（）

A.(I，f]B(吟]C.(1,|]D.(14]

【答案】。

【解析】因為f(x)=2sin(7)x(V3sincoT+COSCOT)

=2V3sin2torc+2sin切力costo/

=sin2(7)T—V3COS2COT+V3

=2sin(20i—+V3,

兀28兀兀

又因為力e（04，且°>0,則2a>x—6

O

若/⑸在（0晝）上單調(diào)遞增,

2幻兀

所以一（■《多所以O(shè)V0&],

3

因為對任意的實數(shù)Q,于⑸在（Q,Q+兀）上不單調(diào),

所以/（力）的周期T=1％V2兀，所以/>3,

2a）2

所以!V8

24

故選：D

題目HE]（2024?浙江基興?二W6位學(xué)生在游樂場游玩AB,C三個項目，每個人都只游玩一個項目，每個

項目都有人游玩，若A項目必須有偶數(shù)人游玩,則不同的游玩方式有（)

A.180種B.210種C.240種D.360種

【答案】。

【解析】若A有2人游玩，則有ClClcl15X(8+6)=210種;

IT

若A有4人游玩，則有CM1=15X2=30種；

所以共有240種，

故選：C.

題目正（2024?浙江基興?二O已知定義在（0,+s）上的函數(shù)/（⑼滿足時'（2）=（1—c）/（c）,且/（I）>

0,則()

A-4)</(1)</(2)

D./(2)</(1)</(1)

【答案】。

/(a;)-xf(x)

【解析】由xf\x）=（1—x）y（x）變形得------------=力，

/(，)

/3）一時'（力）_XT_x

從而有x

產(chǎn)(乃'Lf(x)

所以X=k-ex,

/(力)

因為了⑴>0,所以k=瓦不>0,則/（乃=X

k-ex，

kex-kx-ex_kex(l-x)

則f'Q)

故當0〈6V1時，（x）>0,當力>1時，/'（。）<0,

所以/Q)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+00)單調(diào)遞減，

所以/(；)</⑴，/⑵</⑴，

3.

又/(4)一/⑵=一內(nèi)=,而e3>2下弋19.7>16,所以苕>4,

'2"2Weke2ke

所以/⑵

故選：D.

頷目也(2024?浙江寧波?二W在正四棱臺ABCD—AiBQQi中，AB=4,AB產(chǎn)2,44尸，若球。

與上底面486。以及棱AB,BC,CD,DA均相切，則球。的表面積為()

A.9兀B.16nC.25兀D.36兀

【答案】。

【解析】設(shè)棱臺上下底面的中心為N,M,連接D、B1,DB,

則產(chǎn)2V2,DB=4V2,

所以棱臺的高MN=YBBTMB—NBy=V(V3)2-(2V2-V2)2=1,

設(shè)球半徑為A,根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知：球。與上底面ABiGR相切于N,與棱AB,BC,CD,DA均

相切于各邊中點處，

設(shè)中點為E,連接OEQM,ME,

所以。七2=OM2+ME2^&=(&-1)2+22,解得五=T,

所以球。的表面積為4TI五2=25元，

故選：C

題目E(2024?浙江寧波?二費已知集合。={(2,夕)|一+&，-2024=0且g/=2024},若P中的點均在

直線V=2024c的同一側(cè),則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(-00,-2023)U(2023,+oo)B.(2023,+oo)

C.(-oo,-2024)U(2024,+oo)D.(2024,+oo)

【答案】A

x4-\-ax—2024=0-日*,八

【解析】依題意集合P即為關(guān)于c、y的方程組踐=2024的解集,顯然"°，

y=T+等

所以<”，即2024，令/Q)=—亦+理

￥XX

7X

y—2024%

由“=幺詈’解得二㈤

8

即函數(shù)y=2024a;與y=24的交點坐標為(1,1)和(一1,—1),

?。x

又/(—力)=_d+2曰4=_(_/3+2,4)=_/(為，所以八力)為奇函數(shù)，

因為g=—d與y=2?4在(o,+co)上單調(diào)遞減，

所以/(⑼=—/+干魚在(o,+8)上單調(diào)遞減，則/(力)=—/+#￡在(-00,0)上單調(diào)遞減,

依題意y=a與y=—d+2024y—2。24的交點在直線y—2024力的同側(cè)，

xx

只需a>/(l)或a</(-l)，即a>2023或a<-2023,

所以實數(shù)Q的取值范圍為(-a),-2023)U(2023,+oo).

故選：A

題目1F](2024?浙江杭州?二粕在△4BC中，已知粵吟=nsinC,8^*=ncosC.若tan(A+?)=

sinBcosB147

—3,則九=()

A.無解B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】由tan(_A+與)=,+tan,=_§,即tanA=2,則cosA0,

\4f1—tan/L

由=nsinC,=ncosC,次口cosC#0,

smBcosB

則tan3_tan。,則tanA=tanB?tanC=2,

tanr>

又tanA=tan(7T—B—C)=—tan(B+C)=--[=tanB+tanC,

故tanB+tanC=2,設(shè)tanB=力，則tanC=2—t,

有t(2—t)=2,即力~—2t+2—0,A—4—8——4V0,

即該方程無解，故不存在這樣三角形，即n無解.

故選：A.

題目18](2024?浙江杭州?二設(shè)集合河=(-1,1},N={c|rc>0且rc#1},函數(shù)/(C)=俄+加一”(a>0

且afl),貝I()

A.V/leA/HaeNJO)為增函數(shù)B.m』eM,VaCN,/0)為減函數(shù)

C.V4eM,maeNJ(，)為奇函數(shù)D.maeA￡VaeN,/(，)為偶函數(shù)

【答案】。

【解析】當4=1時，/(切=ax+a~x,a>1時，/(c)在(一8,0)上不是增函數(shù)，故人不正確；

當』=—1時，/(約=口3；-&-0,&>：1時，/3)在(0,+00)上為增函數(shù)，3不正確；

xxs4

當4=1時，/(，)=a+a~,f(-x)=a+a-=/(x),f(x)為偶函數(shù)，故。不正確；

當』=1時，/(2)=ax+a~x,f(—x)=1+&-"=/Q),f(x)為偶函數(shù)，故。正確；

故選：D.

題目,(2024?浙江臺州?二O設(shè)區(qū)，耳是雙曲線C：弓—%=l(a>0,b>0)的左、右焦點，點M,N分

ab

別在雙曲線。的左、右兩支上,且滿足，麗=2標，則雙曲線。的離心率為()

O

A.2C.V3D.日

O/

【答案】B

【解析】如圖，設(shè)人的與上網(wǎng)的交點為P,|人園=,，

因為麗=2麗，所以|而|=2]就|=2c,

所以，由雙曲線的定義可知：=\MFi\+2a=2a+x,|7VF]|=2a+\NF^\=2x+2a,

因為麗=2刷，所以NE〃1用，

所以4NF2P?△EMF,HM%ZMFN=看，

20

所以|所理=■IMI=-1(2a+x),|PN|=^\NF,\=a2a+2c),

oooo

所以，在中，4PF?N=AMFN=^,

2o

|刊伊+/N『一|PN『=,〈光￡=工

所以，由余弦定理有：cos/P^N=21P即四N|一（"os至-萬

代入\PFi\—暮(2a+x),\PN\—"|~(2a+2a?),\NF^\—2c,整理得3x2—10ax—0,

O0

解得x—,x—0(舍),

o

所以，|7V困|=c=羋a,iMFJl=2。+力=羋。，㈤月=2c,

oo

lwl2+lwl2-l^l21

所以，在中，由余弦定理有：cos/鼻ME=

2|Wl-IWl2

代入數(shù)據(jù)整理得：7a=3c,

所以，雙曲線的離心率為：e=￡*=1.

a3

故選：B

題目,（2024?江蘇揚州?模擬預(yù)測）已知菱形ABCD的邊長為2,/ABC=60°,動點P在BC邊上（包括

端點），則赤?毋的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[-1,2]C.[-2,2]D.[-1,1]

【答案】。

如圖，作Oy_LCB,以C為原點，建立平面直角坐標系，

易知C（0,0）,A（1,V3）,n（-l,V3）,

設(shè)P（rc,0）,且口G[0,2],故AD=（—2,0）,AP=（x—1,—V3）,

10

故赤?/=-2(1-2)=2—22,而一226[-4,0],2-2xE[-2,2].

故選：C

If丸(2024?江蘇揚州?模擬預(yù)測)設(shè)方程2。+2+3=0和方程log2x+2+3=0的根分別為p,q,設(shè)函

數(shù)/(c)=(2+2)(2+[),則()

A./(2)=/(0)</(3)B./(0)=/(3)>/(2)C./(3)</(2)=/(0)D./(0)</(3)</(2)

【答案】B

xx

【解析】由2+x+3=0得2=—x—3,由log2a;+a;+3=0得log2a;=—x—3,

x

所以令y=2,y=log2a：,y=—x—3,這3個函數(shù)圖象情況如下圖所示：

x

設(shè)g=2,y——x—3交于點B,y—log2x,y——x—3交于點C,

由于V=2:夕=log2s的圖象關(guān)于直線v=2對稱，

而?/=-/—3,9=c的交點為4-,,一~|~)，所以p；」=一~t"'

注意到函數(shù)/(re)=(a?+p)(c+q)=a?+(p+q)x+pq的對稱軸為直線a:=—'；",即，=2",

且二次函數(shù)/(①)的圖象是開口向上的拋物線方程，

從而/(0)=/(3)>/(2).

故選：B.

［題目藥(2024?河北邢臺?一模)如圖，正四棱臺容器ABCD—ABGA的高為12cm,AB=10cm,AxBr

=2cm,容器中水的高度為6cm.現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中(57個小鐵球均被淹

沒)，水位上升了3cm,若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為()

【答案】A

【解析】正四棱臺容器ABCD—ABiGA的高為12cm,AB=10cm,A1B1=2cm,

11

正四棱臺容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為y(2+10)=6,

223

其體積為y；=X(62+102+A/6xl0)x6=392cm;

放入鐵球后，水位高為9cm，沿AB作個縱截面，從4,8分別向底面引垂線，如圖，

其中EF是底面邊長10cm,是容器的高為12cm,GH是水的高為9cm,

由截面圖中比例線段的性質(zhì)察=與￡=；，可得GN=1,此時水面邊長為4cm,

Hr4

此時水的體積為％=-1-(42+102+V42X102)X9=468cm3,

放入的57個球的體積為468-392=76cm3,

設(shè)小鐵球的半徑為丁，則57X-^7rr3=76,解得丁=

3V兀

故選：A

：＞t叵(2024?河北邢臺?一模)傾斜角為。的直線Z經(jīng)過拋物線C：/=16c的焦點且與。相交于A,

B兩點.若。C則的取值范圍為()

L64」

A.[128,256]B.[64,256]C/64,竽]D.[竽,1281

【答案】A

首先，我們來證明拋物線中的焦半徑公式，

如圖，對于一個拋物線y2=2卯;,傾斜角為6的直線/經(jīng)過拋物線C:y2=2Px的焦點F,且與。相交于A,B

兩點.作準線的垂線44,BE,過F作EM_LAA,

則\AF\=|AA[=\MA\+\AM\^p+\AF\cos0,

解得|AF|=?「°，同理可得\BF\=1°,

1—COSC71+COSC7

??

如圖，不妨設(shè)4在第一象限，由焦半徑公式得\AF\=,8八,\AF\=,8n,

1—cos"1+cost/

則\AF\\BF\=8x8=,

1—cost/1+cos”sin9

而個?I"由個]，可得sin汨CrH],故一號一e[128,256],故A正確，

L64」L42」sin0

故選：A

二、多選題

I題亙叵（2024?廣東梅州?二W已知數(shù)列｛冊｝的通項公式為廝=3n,neN*,在｛廝｝中依次選取若干項

（至少3項）%,外,%,…，出“，…，使｛%｝成為一個等比數(shù)歹U,則下列說法正確的是（）

A.若取自=1,k2=3,則k3=9

B.滿足題意的｛鼠｝也必是一個等比數(shù)列

C.在｛冊｝的前100項中，的可能項數(shù)最多是6

D.如果把｛廝｝中滿足等比的項一直取下去，｛&J總是無窮數(shù)列

【答案】

【解析】因為數(shù)列｛冊｝的通項公式為an-3n,

對于A,取fci—1,k?=3,則a&=o；i=3,a斑=G-3=9,

由于｛公｝為等比數(shù)列，則ak=27,則有3A：3=27,即k3=9,故A正確；

對于B,數(shù)列｛a“｝的通項公式為an—3n,則a%=3kn,

若｛aJ為等比數(shù)列，即3kl,3e，3花，…，3鼠，…是等比數(shù)列，

則fci,k2,k3,,kn,…，是等比數(shù)列，

故滿足題意的｛k?｝也必是一個等比數(shù)列，故B正確；

對于。，在｛④｝的前100項中，可以取%產(chǎn)1,無=2,履=4,—=8,k5—16,k6—32,k7—64,

可以使｛a』成為一個等比數(shù)列，此時｛aj為7項，故。錯誤；

對于。，取ki~4,%=6,則a&=12,a&=18,則%=27,%=,

%=號不是數(shù)列｛冊｝的項，

所以把｛aj中滿足等比的項一直取下去，｛&J不總是無窮數(shù)列，故D錯誤.

故選：AB.

直目區(qū)（2024?廣東梅州?二W如圖，平面ABNLa,|AB|=|AW|=2,M■為線段AB的中點，直線AW

與平面a的所成角大小為30°,點P為平面a內(nèi)的動點，則（）

N

A.以N為球心，半徑為2的球面在平面a上的截痕長為2兀

B.若P到點用■和點N的距離相等，則點P的軌跡是一條直線

C.若P到直線MN的距離為1,則/ARB的最大值為俳

D.滿足/MNP=45°的點P的軌跡是橢圓

【答案】BC

【解析】對于A,由于AiN與平面a的所成角大小為30°,所以點N到平面a的距離d=|兒W|sin30°=1,

故半徑為_R=2的球面在平面a上截面圓的半徑為r故截痕長為2兀7=A錯誤，

對于B,由于平面ABN_La,所以以AB為y,在平面a內(nèi)過河作/_L43,平面ABN內(nèi)作z_LAB,建立如

圖所示的空間直角坐標系，

則河(0,0,0),8(0,1,0),4(0,—1,0),N(0,3,1),

設(shè)P(x,y,0),則EM=PMnx2+y2=?2+(y-V3)2+l,

化簡得“=疊，故P到點加■和點N的距離相等，則點P的軌跡是一條直線，B正確，

2

磁=(0,6,1),赤=(2,%0),所以P到直線AW的距離為^MP-^MP-)2=Jd+y2_(

2

=1,化簡可得"+(=1,

所以點P的軌跡是平面a內(nèi)的橢圓rc2+^-=1上一■點，如圖，

當P在短軸的端點時，此時AAPB最大，由于\BM\=\MP\=1,故2BPM=g,因此/APB=2ZBPM=

5，。正確，

對于。，NM=(0,—V3,-1),7VP=(rc,y—V3,-1),MP=(x,y,0),

若AMNP=45",則cos^MNP=cosNM,NP=吧?二=-―島+4==容，

\NM\-\NP\2y/x2+(y-^y+l2

化簡得("一；⑸之—3=1且夕＜*1，故滿足乙MNP=45°的點P的軌跡是雙曲線的一部分，D錯誤,

故選：BC

題目,(2024?廣東?二?)設(shè)O為坐標原點，拋物線。4=4x的焦點為F,準線I與c軸的交點為E，過

點F的直線與拋物線。交于AB兩點，過點45分別作，的垂線，垂足分別為A［，氏，則下列說法正確的

14

有（）

A.I4EHB闿=|年『B.以同42|F同

C.\OA\■|OB|=Q4|?|OB1|D.\OA\+\OB\>QAJ+QBj

【答案】ACD

［解析］由已知F（l,0）,后（一1,0）,設(shè)過點F的直線方程為：c=小沙+1,

設(shè)點A（g,%）,B（，2,例），則Ai（—1,%）,

由4",1,得y2—4：my-4=0,

［x=my+1

~,、》（viv?）2

1

所以的+夕2=4m,陰％=—4,Xr+x2=m（yr+y^+2=An^+2,x1x2=—左一=1,

出現(xiàn)?\B^\=-yiy2=4,網(wǎng)2=22=4,所以出區(qū)HB出|=|FZ鏟，故A正確，

I4BI=|明一例|=d（陰+%）2—4用92=V16m2+16>4=2|F局,故B錯誤，

22

\OA\-\OB\=（。+狀）（屆+=）=淄鼾入口+意褶+必*=17+彘憂+力滋=17+4X2XI+4XIX2=17+4電電

2

（xt+x2）=25+16m,

\OiA\2-|O1B|2=（1+K）（1+褶）=1+K+詔+詔褶=17+yi+y2=17+（%+例）2-2夕曲=25+16m2,故\OA\

?QB|=|。41HoBJ,。正確，

222222

（\OA\+|OB|）-（|OA|+\OBS）=|OA|+|OB|-|OA1|-|OB1|+2|OA|?\OB\-2|O4|?|OBj,

2

由選項?？芍猏OA\-\OB\~\OA1\-QB」，所以（|OA|+|OB|）-（|OA|+\OB^=\OA^+\OB^-\OA^

—|OBI|2=（冠+詔）+（冠+若）一（1+褶）一（1+向=（屑+忌）—2=（g+。2）2—2必巡2-2=（4m2+2）2—4>0,

故\OA\+\OB\>\OA,\+|OBJ，。正確；

故選：ACD

遒互區(qū)］儂24?湖南地相?模擬預(yù)測）如圖1所示，為曲桿道閘車庫出入口對出人車輛作“放行”或“阻攔”

管制的工具.它由轉(zhuǎn)動桿OP與橫桿PQ組成，PQ為橫桿的兩個端點.在道閘抬起的過程中，橫桿PQ

始終保持水平.如圖2所示，以點。為原點，水平方向為a:軸正方向建立平面直角坐標系.若點。距水平

地面的高度為1米，轉(zhuǎn)動桿OP的長度為1.6米，橫桿PQ的長度為2米，OP繞點。在與水平面垂直的平

面內(nèi)轉(zhuǎn)動,與水平方向所成的角。6［30°,90°］（）

A.則點P運動的軌跡方程為二+（沙+1>=瑞（其中2e［。,胃］,沙e［A1］）

B.則點Q運動的軌跡方程為Q-2）2+y2=磊（其中①ef2,10+4V^Ue［441）

25L5」L55J

C.若OP繞點O從與水平方向成30°角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成90°角，則橫桿PQ距水平地面的高度為

13來

與米

D.若OP繞點、O從與水平方向成30°角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成90°角，則點Q運動軌跡的長度為烏米

5

【答案】BC

【解析】對于A:點P的軌跡顯然是以。為原點，OP為半徑的圓，

故點P運動軌跡方程為/+/=黑（其中/C［。，義旦］e心,管）,故A錯誤；

25L5」L55J

對于設(shè)Q（0,g）,P（力o,go）,因為PQ平行于力軸，

所以［/=3+2,所以（刈=，—2,又因為「在加圓才=黑上，

ly=y?Uo=y25

所以點Q