專題 二次函數(shù)中的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱 中考數(shù)學(xué)

專題05二次函數(shù)中的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱（五大題型）通用的解題思路：1.二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2.平移與增加性變化如果平移后對稱軸不發(fā)生變化，則不影響增減性，但會改變函數(shù)最大(小)值.只對二次函數(shù)上下平移，不改變增減性，改變最值.只對二次函數(shù)左右平移，改變增減性，不改變最值.3.二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)值求得二次函數(shù)的表達(dá)式；②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達(dá)式；③在直角坐標(biāo)系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可能性；④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，求得題目中需要求解的值。4.二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號，h、k均不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號題型一：二次函數(shù)中的平移問題1．（2024?牡丹區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）．（2）當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)為3時(shí)，求的值；（3）已知點(diǎn)，，若拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，請結(jié)合函數(shù)圖象求出的取值范圍．2．（2024?平原縣模擬）已知拋物線．（1）寫出拋物線的對稱軸：．（2）將拋物線平移，使其頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，得到拋物線，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），若的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，直線與拋物線交于點(diǎn)，，分別過點(diǎn)，的兩條直線，交于點(diǎn)，且，與軸不平行，當(dāng)直線，與拋物線均只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請說明點(diǎn)在一條定直線上．3．（2024?和平區(qū)一模）已知拋物線，為常數(shù)．經(jīng)過，兩個(gè)點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的解析式；（Ⅱ）拋物線的頂點(diǎn)為；（Ⅲ）將拋物線向右平移1個(gè)單位長度，向下平移2個(gè)單位長度，就得到拋物線．4．（2024?禮縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，且過點(diǎn)，．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求的面積；（3）將拋物線向左平移個(gè)單位，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求的值．5．（2024?珠海校級一模）已知拋物線．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將該拋物線向右平移個(gè)單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．6．（2024?關(guān)嶺縣一模）如圖，二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)為，且圖象過點(diǎn)，過，兩點(diǎn)作直線．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式，并用頂點(diǎn)式來表示；（2）將二次函數(shù)向左平移1個(gè)單位，得函數(shù)；函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）在（2）的條件下，將直線向下平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，求的值．7．（2024?溫州模擬）如圖，直線分別交軸、軸于點(diǎn)，，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）若拋物線向左平移個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)，求的值．8．（2024?巴東縣模擬）已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過，、三點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)解析式；（2）將該二次函數(shù)圖象平移使其經(jīng)過點(diǎn)，且對稱軸為直線，求平移后的二次函數(shù)的解析式．9．（2024?鄭州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．（1）求拋物線的解析式；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否在直線上，并說明理由；（3）平移拋物線使其頂點(diǎn)仍在直線上，若平移后拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的取值范圍．10．（2024?鞍山模擬）已知拋物線．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將該拋物線向右平移個(gè)單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．11．（2023?原平市模擬）（1）計(jì)算：；（2）觀察表格，完成相應(yīng)任務(wù)：0122①772②2任務(wù)一：補(bǔ)全表格；任務(wù)二：觀察表格不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)代數(shù)式的值與當(dāng)時(shí)代數(shù)式的值相等，我們稱這種現(xiàn)象為代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，相應(yīng)的延后值為1：換個(gè)角度來看，將代數(shù)式，變形，得到③，將與看成二次函數(shù)，則將的圖象④（描述平移方式），可得到的圖象．若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，延后值為3，則代數(shù)式⑤．12．（2024?南山區(qū)校級模擬）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法．小明同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)進(jìn)行了探究．在經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：【觀察探究】：方程的解為：；【問題解決】：若方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為、、、．①的取值范圍是；②計(jì)算；【拓展延伸】：①將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？畫出平移后的圖象并寫出平移過程；②觀察平移后的圖象，當(dāng)時(shí)，直接寫出自變量的取值范圍．13．（2023?花山區(qū)一模）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求，的值；（2）將拋物線向下平移個(gè)單位得到拋物線，存在點(diǎn)在上，求的取值范圍；（3）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線相交于、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），求的值．14．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)自變量滿足時(shí)，求函數(shù)值的取值范圍；（3）將此拋物線沿軸平移個(gè)單位長度后，當(dāng)自變量滿足時(shí)，的最小值為5，求的值．15．（2023?南寧一模）如圖1，拋物線的圖象經(jīng)過．（1）求的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值的和；（3）如圖2，將拋物線向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到新的拋物線，點(diǎn)為拋物線與的交點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)隨的增大而減小時(shí)，的取值范圍．16．（2023?奉賢區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)為，與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線向左或向右平移，將平移后拋物線的頂點(diǎn)記為，聯(lián)結(jié)．①如果，求四邊形的面積；②如果點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平移后拋物線的對稱軸上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．17．（2023?下城區(qū)校級模擬）如圖已知二次函數(shù)，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）若將該二次函數(shù)圖象向上平移個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求的取值范圍；（3）若為軸上且位于點(diǎn)下方的一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．18．（2023?即墨區(qū)一模）如圖，題目中的黑色部分是被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字，導(dǎo)致題目缺少一個(gè)條件而無法解答，經(jīng)查詢結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該二次函數(shù)的解析式為．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．求該二次函數(shù)的解析式．（1）請根據(jù)已有信息添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：；（2）當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的取值范圍：；（3）如圖1，將函數(shù)的圖象向右平移4個(gè)單位長度，與的圖象組成一個(gè)新的函數(shù)圖象，記為．若點(diǎn)在上，求的值；（4）如圖2，在（3）的條件下，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在上是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．19．（2023?武侯區(qū)模擬）定義：將二次函數(shù)的圖象沿軸向右平移，再沿軸翻折，得到新函數(shù)的圖象，則稱函數(shù)是函數(shù)的“值衍生拋物線”．已知．（1）當(dāng)時(shí)，①求衍生拋物線的函數(shù)解析式；②如圖1，函數(shù)與的圖象交于，，兩點(diǎn)，連接．點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且位于線段上方，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，求與存在的數(shù)量關(guān)系．（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)在拋物線上，且．請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．20．（2023?天門三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，線段軸，交該拋物線于另一點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式；（2）當(dāng)二次函數(shù)的自變量滿足時(shí)，此函數(shù)的最大值為，最小值為，且．求的值；（3）平移拋物線，使其（備用圖）頂點(diǎn)始終在直線上移動(dòng)，當(dāng)平移后的拋物線與射線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，請直接寫出的取值范圍．21．（2023?米東區(qū)模擬）如圖，已知二次函數(shù)，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求的取值范圍．22．（2023?駐馬店二模）如圖1所示，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求拋物線解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）若將拋物線向右平移個(gè)單位，得新拋物線“”，若“”與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求值．（3）若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線，該平行線與“”交點(diǎn)為，請直接寫出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．23．（2023?寶雞二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．將拋物線向右平移一個(gè)單位得到拋物線．（1）求拋物線與的函數(shù)解析式；（2）連接，探究拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

題型二：二次函數(shù)中的翻折問題24．（2024?江西模擬）已知二次函數(shù)經(jīng)過，兩定點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為．（1）求定點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）把二次函數(shù)的圖象在直線下方的部分向上翻折，將向上翻折得到的部分與原二次函數(shù)位于直線上方的部分的組合圖象記作圖象，求向上翻折部分的函數(shù)解析式；（3）在（2）中，已知的面積為8．①當(dāng)時(shí)，求圖象中的取值范圍；②若直線與圖象從左到右依次交于，，，四點(diǎn)，若，求的值．25．（2023?零陵區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．（1）求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；（2）將該二次函數(shù)圖象在軸下方的部分沿軸翻折，其他部分保持不變，得到一個(gè)新的函數(shù)圖象．若當(dāng)時(shí)，這個(gè)新函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍；（3）已知直線，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象在、之間的部分記為（包括點(diǎn)，，圖象上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，直接寫出的取值范圍．26．（2023?連云港）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為．直線過點(diǎn)，，且平行于軸，與拋物線交于、兩點(diǎn)在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接、、，若為直角三角形，求此時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，若的面積為3，、兩點(diǎn)分別在邊、上運(yùn)動(dòng)，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．27．（2024?鹽城模擬）已知拋物線為常數(shù)且與軸交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；對稱軸為（用含的代數(shù)式表示）；（2）無論取何值，拋物線都過定點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），則點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）若，且自變量滿足時(shí)，圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求拋物線的表達(dá)式；（4）將點(diǎn)與點(diǎn)之間的函數(shù)圖象記作圖象（包含點(diǎn)、，若將在直線下方的部分保持不變，上方的部分沿直線進(jìn)行翻折，可以得到新的函數(shù)圖象，若圖象上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，求的值．28．（2023?扶余市二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．（1）求該拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖，把原拋物線軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線軸上方的部分記作圖形，在圖形中，回答：①點(diǎn)，之間的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為；②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；③當(dāng)，且時(shí)，若最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，直接寫出的值．29．（2023?余江區(qū)一模）已知拋物線（1）當(dāng)時(shí)，①拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．②將拋物線沿軸翻折得到拋物線，則拋物線的解析式為．（2）無論為何值，直線與拋物線相交所得的線段（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）的長度都不變，求的值和的長；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿直線翻折，得到拋物線，拋物線，的頂點(diǎn)分別記為，，是否存在實(shí)數(shù)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請求出的值：若不存在，請說明理由．30．（2023?越秀區(qū)校級三模）已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，將二次函數(shù)圖象中軸左側(cè)部分沿軸翻折，保留其他部分得到新的圖象．（1）求的值；（2）①當(dāng)時(shí)，圖與軸交于點(diǎn)，在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值；②在①的條件下，當(dāng)圖象中時(shí)，結(jié)合圖象求的取值范圍；（3）已知兩點(diǎn)，，當(dāng)線段與圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出的取值范圍．題型三：二次函數(shù)對稱問題31．（2024?雁塔區(qū)校級二模）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）拋物線與拋物線關(guān)于直線對稱，是拋物線的軸上方且在對稱軸左側(cè)的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點(diǎn)分別為、．試探究是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為長寬之比是的矩形？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．32．（2023?鄞州區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)的圖象是．（1）求關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的圖象的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為5，求的值．33．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，，與軸交于，連接，作直線．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知直線上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于，過作軸交軸于，求的最大值和此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將原拋物線沿方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線，已知點(diǎn)是新拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且，求所有符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)并寫出其中一種情況的求解過程．34．（2023?海安市模擬）已知兩個(gè)函數(shù)，如果對于任意的自變量，這兩個(gè)函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值記為，，都有點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)為關(guān)于的對稱函數(shù)，例如，和為關(guān)于的對稱函數(shù)．（1）判斷：①和；②和；③和，其中為關(guān)于的對稱函數(shù)的是（填序號）；（2）若和為關(guān)于的對稱函數(shù)．求、的值．（3）若和為關(guān)于的對稱函數(shù)，令，當(dāng)函數(shù)與函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．35．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線與軸于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、、、．若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．36．（2023?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸上的拋物線與直線相交于點(diǎn)，，連接，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若將拋物線向下平移3個(gè)單位長度，則在平移后的拋物線上，且在直線的下方，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專題05二次函數(shù)中的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱（五大題型）通用的解題思路：1.二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2.平移與增加性變化如果平移后對稱軸不發(fā)生變化，則不影響增減性，但會改變函數(shù)最大(小)值.只對二次函數(shù)上下平移，不改變增減性，改變最值.只對二次函數(shù)左右平移，改變增減性，不改變最值.3.二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)值求得二次函數(shù)的表達(dá)式；②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達(dá)式；③在直角坐標(biāo)系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可能性；④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，求得題目中需要求解的值。4.二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號，h、k均不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號題型一：二次函數(shù)中的平移問題1．（2024?牡丹區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）．（2）當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)為3時(shí)，求的值；（3）已知點(diǎn)，，若拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，請結(jié)合函數(shù)圖象求出的取值范圍．【分析】（1）令，求出點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)平移得出結(jié)論；（2）將的縱坐標(biāo)為3代入求出即可；（3）由對稱軸為直線得出，當(dāng)時(shí)，解得，，結(jié)合圖象得出結(jié)論；【解答】解：（1）在中，令，則，，將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)，則．（2）的縱坐標(biāo)為3，，．（3）由題意得：拋物線的對稱軸為直線，，，當(dāng)時(shí)，，解得，，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象可得，拋物線與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上所述，的取值范圍為．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，數(shù)形結(jié)合討論交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2024?平原縣模擬）已知拋物線．（1）寫出拋物線的對稱軸：．（2）將拋物線平移，使其頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，得到拋物線，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），若的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，直線與拋物線交于點(diǎn)，，分別過點(diǎn)，的兩條直線，交于點(diǎn)，且，與軸不平行，當(dāng)直線，與拋物線均只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請說明點(diǎn)在一條定直線上．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸公式直接可得出答案．（2）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在原點(diǎn)上可設(shè)其解析式為，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得的解析式，于是可設(shè)的坐標(biāo)為且，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，利用可求得的值，于是可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）設(shè)，，，，聯(lián)立拋物線與直線的方程可得出，．再利用直線、直線分別與拋物線相切可求得直線、直線的解析式，再聯(lián)立組成方程組可求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一定值，于是可說明點(diǎn)在一條定直線上．【解答】解：（1）拋物線的對稱軸為：．故答案為：．故答案為：．（2）拋物線平移到頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，得到拋物線，可設(shè)拋物線的解析式為：點(diǎn)有拋物線上，，解得：．拋物線的解析式為：．點(diǎn)在拋物線上，且在點(diǎn)的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為且，如圖，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足為點(diǎn)、．，又，，解得：，不合題意，舍去），則，．（3）設(shè)，，，，聯(lián)立方程組：，整理得：，，．設(shè)過點(diǎn)的直線解析式為，聯(lián)立得方程組，整理得．①過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，△，．由①式可得：，解得：．．過點(diǎn)的直線的解析式為．用以上同樣的方法可以求得：過點(diǎn)的直線的解析式為，聯(lián)立上兩式可得方程組，解得，，．點(diǎn)在定直線上．（如圖）【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的對稱軸、求二次函數(shù)的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情況、求直線交點(diǎn)坐標(biāo)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用所畫圖形幫助探索解法思路．3．（2024?和平區(qū)一模）已知拋物線，為常數(shù)．經(jīng)過，兩個(gè)點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的解析式；（Ⅱ）拋物線的頂點(diǎn)為；（Ⅲ）將拋物線向右平移1個(gè)單位長度，向下平移2個(gè)單位長度，就得到拋物線．【分析】（Ⅰ）利用待定系數(shù)法即可求解；（Ⅱ）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式即可求得；（Ⅲ）利用平移的規(guī)律即可求得．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過，兩個(gè)點(diǎn)，，解得，拋物線的解析式為；（Ⅱ）拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，故答案為：；（Ⅲ）將拋物線向右平移1個(gè)單位長度，向下平移2個(gè)單位長度，就得到拋物線，即．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．4．（2024?禮縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，且過點(diǎn)，．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求的面積；（3）將拋物線向左平移個(gè)單位，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求的值．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后切成直線的解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)求出的面積；（3）由（1）解析式求出對稱軸，再求出點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，求出的長度即可；【解答】解：（1）把，代入，則，解得，拋物線的函數(shù)解析式為；（2）拋物線交軸于點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，直線的解析式為，設(shè)交于點(diǎn)，如圖：則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，（3），對稱軸為直線，令點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為，，，拋物線向左平移個(gè)單位經(jīng)過點(diǎn)，．【點(diǎn)評】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積等知識，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和平移的性質(zhì)．5．（2024?珠海校級一模）已知拋物線．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將該拋物線向右平移個(gè)單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．【分析】（1）化成頂點(diǎn)是即可求解；（2）根據(jù)平移的規(guī)律得到，把原點(diǎn)代入即可求得的值．【解答】解：（1），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）該拋物線向右平移個(gè)單位長度，得到的新拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，，解得或（舍去），，故的值為3．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得平移后的拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2024?關(guān)嶺縣一模）如圖，二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)為，且圖象過點(diǎn)，過，兩點(diǎn)作直線．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式，并用頂點(diǎn)式來表示；（2）將二次函數(shù)向左平移1個(gè)單位，得函數(shù)；函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）在（2）的條件下，將直線向下平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，求的值．【分析】（1）將點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出、值，再轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可；（2）根據(jù)拋物線平移規(guī)則“左加右減”得到解析式，令求出與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）利用待定系數(shù)法求出直線解析式，再根據(jù)直線平移法則“上加下減”得到直線平移后解析式，聯(lián)立消去，根據(jù)判別式為0解出值即可．【解答】解：（1）將點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得：，解得，拋物線解析式為．拋物線解析式為：．（2）將二次函數(shù)向左平移1個(gè)單位，得函數(shù)，令，則，解得，，平移后的拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，．故答案為：，，，．（3）設(shè)直線的解析式為，將，點(diǎn)代入得：，解得，直線解析式為：．將直線向下平移個(gè)單位后的解析式為，與函數(shù)聯(lián)立消去得：，整理得：，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，△，解得．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握函數(shù)的平移法則是解答本題的關(guān)鍵．7．（2024?溫州模擬）如圖，直線分別交軸、軸于點(diǎn)，，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）若拋物線向左平移個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)，求的值．【分析】（1）由題意可得點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的表達(dá)式即可解答；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律“左加右減，上加下減”得到平移后的拋物線的表達(dá)式，再代入的坐標(biāo)求解即可．【解答】解：（1）令，則，，令，則，解得，，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，解得，二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2），拋物線向左平移個(gè)單位后得到，經(jīng)過點(diǎn)，，解得，故的值為或．【點(diǎn)評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解答的關(guān)鍵．8．（2024?巴東縣模擬）已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過，、三點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)解析式；（2）將該二次函數(shù)圖象平移使其經(jīng)過點(diǎn)，且對稱軸為直線，求平移后的二次函數(shù)的解析式．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；（2）利用平移的規(guī)律求得平移后的二次函數(shù)的解析式．【解答】解：（1）把，、代入，得：，解得：，該二次函數(shù)的解析式為；（2）若將該二次函數(shù)圖象平移后經(jīng)過點(diǎn)，且對稱軸為直線，設(shè)平移后的二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得，．將二次函數(shù)的圖象平移后的二次函數(shù)的解析式為．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線的性質(zhì)，熟知待定系數(shù)法和平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．9．（2024?鄭州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．（1）求拋物線的解析式；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否在直線上，并說明理由；（3）平移拋物線使其頂點(diǎn)仍在直線上，若平移后拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，然后代入點(diǎn)判斷即可；（3）設(shè)平移后的拋物線為，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意得出，得出的最大值．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，解得，拋物線的解析式為：；（2）點(diǎn)不在直線上，理由：直線經(jīng)過點(diǎn)，，，，把代入得，，點(diǎn)不在直線上；（3）平移拋物線，使其頂點(diǎn)仍在直線上，設(shè)平移后的拋物線的解析式為，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)仍在直線上，，，拋物線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，有最大值為．．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，題目有一定難度．10．（2024?鞍山模擬）已知拋物線．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將該拋物線向右平移個(gè)單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．【分析】（1）將二次函數(shù)的解析式改寫成頂點(diǎn)式即可．（2）將拋物線與軸的交點(diǎn)平移到原點(diǎn)即可解決問題．【解答】解：（1）由題知，，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）令得，，解得，．又因?yàn)閷⒃搾佄锞€向右平移個(gè)單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得．故的值為3．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟知利用配方法求二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023?原平市模擬）（1）計(jì)算：；（2）觀察表格，完成相應(yīng)任務(wù)：0122①772②2任務(wù)一：補(bǔ)全表格；任務(wù)二：觀察表格不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)代數(shù)式的值與當(dāng)時(shí)代數(shù)式的值相等，我們稱這種現(xiàn)象為代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，相應(yīng)的延后值為1：換個(gè)角度來看，將代數(shù)式，變形，得到③，將與看成二次函數(shù)，則將的圖象④（描述平移方式），可得到的圖象．若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，延后值為3，則代數(shù)式⑤．【分析】（1）先算乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，再算乘法，最后算加減法即可求解；（2）①把分別代入代數(shù)式，即可求得；②根據(jù)代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，相應(yīng)的延后值為1，即可得出二次函數(shù)、平移的規(guī)律是向右平移1個(gè)單位，據(jù)此即可得出代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，延后值為3的的代數(shù)式．【解答】解：（1）原式；（2）任務(wù)一：將代入；代入，故答案為：①2，②；任務(wù)二：將代數(shù)式，變形，得到，將與看成二次函數(shù)，則將的圖象向右平移1個(gè)單位（描述平移方式），可得到的圖象．若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，延后值為3，則代數(shù)式．故答案為：①2；②；③；④向右平移1個(gè)單位；⑤．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解題意，能夠準(zhǔn)確地列出解析式，并進(jìn)行求解即可．12．（2024?南山區(qū)校級模擬）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法．小明同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)進(jìn)行了探究．在經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：【觀察探究】：方程的解為：；【問題解決】：若方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為、、、．①的取值范圍是；②計(jì)算；【拓展延伸】：①將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？畫出平移后的圖象并寫出平移過程；②觀察平移后的圖象，當(dāng)時(shí)，直接寫出自變量的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)圖象即可求得；（2）根據(jù)“上加下減”的平移規(guī)律，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）觀察探究：①由圖象可知，當(dāng)函數(shù)值為時(shí)，直線與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解．故答案為：或或．（2）問題解決：①若方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，由圖象可知的取值范圍是．故答案為：．②由圖象可知：四個(gè)根是兩對互為相反數(shù)．所以．故答案為：0．（3）拓展延伸：①將函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象，②當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．13．（2023?花山區(qū)一模）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求，的值；（2）將拋物線向下平移個(gè)單位得到拋物線，存在點(diǎn)在上，求的取值范圍；（3）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線相交于、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），求的值．【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式以及當(dāng)時(shí)，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）可知拋物線，再由平移性質(zhì)得出拋物線解析式，然后把點(diǎn)代入拋物線，再根據(jù)方程有解得出的取值范圍；（3）先求出拋物線解析式，再求出，，，坐標(biāo)，然后求值即可．【解答】解：（1）由題意得，，解得；（2）由（1）知，拋物線，將其向下平移個(gè)單位得到拋物線，拋物線的解析式為，存在點(diǎn)在上，，即有實(shí)數(shù)根，，解得，的取值范圍為；（3）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，解得，拋物線的解析式為，把代入到中，得，解得或，，，，，把代入到中，得，解得或，，，，，，，．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線和拋物線交點(diǎn)，關(guān)鍵對平移性質(zhì)的應(yīng)用．14．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)自變量滿足時(shí)，求函數(shù)值的取值范圍；（3）將此拋物線沿軸平移個(gè)單位長度后，當(dāng)自變量滿足時(shí)，的最小值為5，求的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）先求出及時(shí)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得到答案；（3）設(shè)此拋物線沿軸向右平移個(gè)單位后拋物線解析式為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)，此時(shí)時(shí)，，即，設(shè)此拋物線沿軸向左平移個(gè)單位后拋物線解析式為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到，此時(shí)時(shí)，，即，然后分別解關(guān)于的方程即可．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，，解得，此拋物線的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；（3）設(shè)此拋物線軸向右平移個(gè)單位后拋物線解析式為，當(dāng)自變量滿足時(shí)，的最小值為5，，即，此時(shí)時(shí)，，即，解得，（舍去）；設(shè)此拋物線沿軸向左平移個(gè)單位后拋物線解析式為，當(dāng)自變量滿足時(shí)，的最小值為5，，即，此時(shí)時(shí)，，即，解得，（舍去），綜上所述，的值為或．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．15．（2023?南寧一模）如圖1，拋物線的圖象經(jīng)過．（1）求的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值的和；（3）如圖2，將拋物線向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到新的拋物線，點(diǎn)為拋物線與的交點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)隨的增大而減小時(shí)，的取值范圍．【分析】（1）把代入拋物線解析式求得的值；根據(jù)拋物線解析式可以直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，有最大值為4，當(dāng)時(shí)，有最小值為．然后求的最大值與最小值的和；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)“左加右減，上加下減”即可得出拋物線的函數(shù)解析式；然后根據(jù)拋物線的性質(zhì)分兩種情況進(jìn)行解答：當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，，．【解答】解：（1）拋物線的圖象經(jīng)過，當(dāng)時(shí)，，解得．．頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2），拋物線開口向下．當(dāng)時(shí)，有最大值為4．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，有最小值為．最大值與最小值的和為；（3）由題意知，新拋物線的頂點(diǎn)為，．當(dāng)時(shí)，，化簡得：．又，．．當(dāng)時(shí)，解得；，，拋物線開口向下．當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，，．綜上所述（或．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。军c(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的求法．難度偏大．16．（2023?奉賢區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)為，與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線向左或向右平移，將平移后拋物線的頂點(diǎn)記為，聯(lián)結(jié)．①如果，求四邊形的面積；②如果點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平移后拋物線的對稱軸上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①依據(jù)題意畫出圖形，利用，，的坐標(biāo)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得點(diǎn)，坐標(biāo)，再利用四邊形的面積解答即可；②依據(jù)題意畫出圖形，利用，，的坐標(biāo)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理求得點(diǎn)坐標(biāo)和線段，再利用等腰三角形的判定與性質(zhì)求得線段，則結(jié)論可求．【解答】解：（1）拋物線的對稱軸為直線，經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，拋物線的表達(dá)式為；（2）①，．設(shè)拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，．令，則，，．令，則，解得：或，．如果，需將拋物線向左平移，設(shè)交軸于點(diǎn)，平移后的拋物線對稱軸交軸于點(diǎn)，如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．由題意：，，．，，由題意：，，．軸，，四邊形為平行四邊形，，．，四邊形的面積；②如果點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平移后拋物線的對稱軸上，，如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸的下方時(shí)，設(shè)平移后的拋物線的對稱軸交軸于，由題意：．，，，，．，，．，，，；當(dāng)點(diǎn)在軸的上方時(shí)，此時(shí)為點(diǎn)，，，，，．綜上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形面積，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題．17．（2023?下城區(qū)校級模擬）如圖已知二次函數(shù)，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）若將該二次函數(shù)圖象向上平移個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求的取值范圍；（3）若為軸上且位于點(diǎn)下方的一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點(diǎn)，點(diǎn)代入，即可求解；（2）求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)，再求出直線的解析式，當(dāng)頂點(diǎn)在直線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，則；（3）設(shè)，，，分三種情況討論：當(dāng)為菱形對角線時(shí)，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為1；②當(dāng)為對角線時(shí)，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為2；③當(dāng)為菱形對角線時(shí)，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為．【解答】解：（1）將點(diǎn)，點(diǎn)代入，，解得，，，頂點(diǎn)；（2）由題可得平移后的函數(shù)解析式為，拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)直線的解析式為，，解得，，當(dāng)頂點(diǎn)在直線上時(shí)，，，軸，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，；（3）存在一點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：設(shè)，，，點(diǎn)在點(diǎn)下方，，點(diǎn)在第四象限，，①當(dāng)為菱形對角線時(shí)，，，解得（舍或，點(diǎn)橫坐標(biāo)為1；②當(dāng)為對角線時(shí)，，，解得，點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，不符合題意；③當(dāng)為菱形對角線時(shí)，，，解得（舍或，點(diǎn)橫坐標(biāo)為；綜上所述：點(diǎn)橫坐標(biāo)為1或．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．18．（2023?即墨區(qū)一模）如圖，題目中的黑色部分是被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字，導(dǎo)致題目缺少一個(gè)條件而無法解答，經(jīng)查詢結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該二次函數(shù)的解析式為．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．求該二次函數(shù)的解析式．（1）請根據(jù)已有信息添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：（答案不唯一）；（2）當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的取值范圍：；（3）如圖1，將函數(shù)的圖象向右平移4個(gè)單位長度，與的圖象組成一個(gè)新的函數(shù)圖象，記為．若點(diǎn)在上，求的值；（4）如圖2，在（3）的條件下，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在上是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）只需填一個(gè)在拋物線圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）求出時(shí)，對應(yīng)的值，再結(jié)合圖象寫出的取值范圍即可；（3）求出拋物線向右平移4個(gè)單位后的解析式為，根據(jù)題意可知時(shí)，點(diǎn)在拋物線的部分上，再求的值即可；（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在拋物線的部分上時(shí)，設(shè)，由，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可；當(dāng)點(diǎn)在拋物線的部分上時(shí)，設(shè)，由，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1），故答案為：（答案不唯一）；（2），當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，，故答案為：；（3），拋物線向右平移4個(gè)單位后的解析式為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在拋物線的部分上，；（4）存在點(diǎn)，使得，理由如下：當(dāng)點(diǎn)在拋物線的部分上時(shí)，設(shè)，，解得或，，，，；當(dāng)點(diǎn)在拋物線的部分上時(shí)，設(shè)，，解得或，，，，；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．19．（2023?武侯區(qū)模擬）定義：將二次函數(shù)的圖象沿軸向右平移，再沿軸翻折，得到新函數(shù)的圖象，則稱函數(shù)是函數(shù)的“值衍生拋物線”．已知．（1）當(dāng)時(shí)，①求衍生拋物線的函數(shù)解析式；②如圖1，函數(shù)與的圖象交于，，兩點(diǎn)，連接．點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且位于線段上方，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，求與存在的數(shù)量關(guān)系．（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)在拋物線上，且．請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【分析】（1）①利用拋物線的性質(zhì)和衍生拋物線的定義解答即可；②利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設(shè)，則得到，，利用的代數(shù)式分別表示出，的長，再利用同高的三角形的面積比等于底的比即可得出結(jié)論；（2）利用函數(shù)解析式求得點(diǎn)，，，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而得出線段，，，，，的長，設(shè)直線的解析式為，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，用的代數(shù)式表示出線段．，的長，利用，得到，列出關(guān)于的方程，解方程求得值，將直線的解析式與衍生拋物線的函數(shù)解析式聯(lián)立即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）①，當(dāng)時(shí)，將二次函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得：．此時(shí)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．再沿軸翻折，得到新函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．沿軸翻折，得到新函數(shù)的形狀大小不變，開口方向相反，沿軸翻折，得到新函數(shù)的解析式為．衍生拋物線的函數(shù)解析式為；②，，兩點(diǎn)在拋物線上，，．，，，．直線的解析式為．如圖，設(shè)，軸，，．，，．．與高相等，．與存在的數(shù)量關(guān)系：；（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或．理由：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的衍生拋物線的函數(shù)解析式為．令，則，．．令，則，解得：或5．，．．．．令，則，．．令，則，解得：或3．．．．設(shè)直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，設(shè)直線的解析式為，令，則，，．，．．，，．，．，．解得：或．直線的解析式為或．或．，或，．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，勾股定理，配方法求拋物線的頂點(diǎn)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．20．（2023?天門三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，線段軸，交該拋物線于另一點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式；（2）當(dāng)二次函數(shù)的自變量滿足時(shí)，此函數(shù)的最大值為，最小值為，且．求的值；（3）平移拋物線，使其（備用圖）頂點(diǎn)始終在直線上移動(dòng)，當(dāng)平移后的拋物線與射線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，請直接寫出的取值范圍．【分析】（1）求出、點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）分四種情況討論：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，求得；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，求得；當(dāng)時(shí)，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，不符合題意（3）由題意可得，當(dāng)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，平移后的拋物線與射線只有一個(gè)公共點(diǎn)．【解答】解：（1），，令，則，，軸，，設(shè)直線的解析式為，，解得，；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，，，解得；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，解得；當(dāng)時(shí)，，，，解得（舍或（舍；當(dāng)時(shí)，，，，解得（舍或（舍；綜上所述：或．（3）設(shè)直線的解析式為，，解得，，拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，當(dāng)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，△，解得，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，平移后的拋物線與射線只有一個(gè)公共點(diǎn)；綜上所述：或時(shí)，平移后的拋物線與射線只有一個(gè)公共點(diǎn)．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．21．（2023?米東區(qū)模擬）如圖，已知二次函數(shù)，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求的取值范圍．【分析】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)關(guān)系式，從而求得，，進(jìn)而求得關(guān)系式及點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出的關(guān)系式，將代入，進(jìn)而求得的范圍．【解答】解：（1）由題意得，，，二次函數(shù)的解析式是：，，點(diǎn)；（2），，直線的解析式是：，當(dāng)時(shí)，，，，．【點(diǎn)評】本題考查了求一次函數(shù)，二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)相似三角形和函數(shù)的基礎(chǔ)知識．22．（2023?駐馬店二模）如圖1所示，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求拋物線解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）若將拋物線向右平移個(gè)單位，得新拋物線“”，若“”與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求值．（3）若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線，該平行線與“”交點(diǎn)為，請直接寫出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案；（2）先求出平移后的拋物線解析式為，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)推出：拋物線“”必過原點(diǎn)，由此代入原點(diǎn)坐標(biāo)求解即可；（3）由（2）得拋物線“”的函數(shù)解析式為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，由軸，得到，則，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出拋物線，當(dāng)時(shí)，，由此即可得到答案．【解答】解：（1）將代入拋物線的解析式得：，解得：，拋物線解析式為，把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式得：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）拋物線向右平移個(gè)單位得新拋物線“”，拋物線“”的函數(shù)解析式為，拋物線“”的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)在軸上方，拋物線“”與軸必有2個(gè)交點(diǎn)，且與軸有1個(gè)交點(diǎn)，拋物線“”與坐標(biāo)軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線“”必過原點(diǎn)，將原點(diǎn)坐標(biāo)，代入中得：，解得或（舍去）；（3）由（2）得拋物線“”的函數(shù)解析式為，在中，令，則，解得或，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，，軸，，，在中：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在中，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在拋物線圖象上，且，．【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，拋物線的平移問題，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．23．（2023?寶雞二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．將拋物線向右平移一個(gè)單位得到拋物線．（1）求拋物線與的函數(shù)解析式；（2）連接，探究拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點(diǎn)、代入解析式求出的解析式，再根據(jù)平移規(guī)律代入求解即可得到答案；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到三角形三邊的平方的代數(shù)式，再分類討論腰相等列式求解即可得到答案．【解答】解：（1）將、代入拋物線中，得：，解得，拋物線的函數(shù)解析式為：；，的函數(shù)解析式為：；（2）拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．理由如下：由（1）可知的對稱軸為，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，①當(dāng)時(shí)，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②當(dāng)時(shí)，，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；③當(dāng)時(shí)，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上，拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)特殊三角形問題，屬于二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是先求出解析式，設(shè)點(diǎn)分類討論等腰三角形的腰．

題型二：二次函數(shù)中的翻折問題24．（2024?江西模擬）已知二次函數(shù)經(jīng)過，兩定點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為．（1）求定點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）把二次函數(shù)的圖象在直線下方的部分向上翻折，將向上翻折得到的部分與原二次函數(shù)位于直線上方的部分的組合圖象記作圖象，求向上翻折部分的函數(shù)解析式；（3）在（2）中，已知的面積為8．①當(dāng)時(shí)，求圖象中的取值范圍；②若直線與圖象從左到右依次交于，，，四點(diǎn)，若，求的值．【分析】（1）將原函數(shù)可化為，令，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)即可得到解析式；（3）①根據(jù)自變量的取值范圍，結(jié)合圖象求出最值即可；②根據(jù)題意確定圖象與直線交于點(diǎn)，，與直線交于點(diǎn)，，然后表示出，，根據(jù)題意列方程解題即可．【解答】解：（1）原函數(shù)可化為，可得該函數(shù)圖象恒過兩點(diǎn)，，故定點(diǎn)為，．（2）直線就是軸，折疊即為沿軸向上折疊，解析式為；（3）①，對稱軸，代入得的面積為8，，．，，圖象向上翻折部分的函數(shù)解析式為．，頂點(diǎn)在之間的圖象上，該段拋物線開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的最小值為0．在圖象中，的取值范圍為．②若直線與圖象從左到右依次交于，，，四點(diǎn)，圖象與直線交于點(diǎn)，，可得，；與直線交于點(diǎn)，，，則．，，即，兩邊平方解得．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2023?零陵區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．（1）求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；（2）將該二次函數(shù)圖象在軸下方的部分沿軸翻折，其他部分保持不變，得到一個(gè)新的函數(shù)圖象．若當(dāng)時(shí)，這個(gè)新函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍；（3）已知直線，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象在、之間的部分記為（包括點(diǎn)，，圖象上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）令，用表示出的值，要注意點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)求出兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出新函數(shù)函數(shù)值隨的變化規(guī)律，根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍；（3）求出的坐標(biāo)，明確圖象的位置，判斷圖象與哪條直線相交，根據(jù)題意列出關(guān)于的不等值，求出的取值范圍．【解答】解：（1）令，，解得或，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，．（2）二次函數(shù)對稱軸為：，經(jīng)翻折后函數(shù)的變化為：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而增大，若當(dāng)時(shí)，這個(gè)新函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，則，解得，或，解得．綜上：或時(shí)，當(dāng)時(shí)，這個(gè)新函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減?。?）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，那么圖象在軸的上方，圖象上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2應(yīng)過直線，令，解得或，恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，，解得；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，那么圖象在軸的下方，圖象上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2應(yīng)過直線，令，解得或，恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，，解得．綜上：當(dāng)或時(shí)，圖象上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2．【點(diǎn)評】本題以二次函數(shù)為背景考查了二次函數(shù)中圖象的性質(zhì)，考查學(xué)生對二次函數(shù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)的靈活運(yùn)用，本題常作為考試題出現(xiàn)，難度中上，解決問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)臨界點(diǎn)，利用特殊點(diǎn)列出正確的不等式即可求出答案．26．（2023?連云港）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為．直線過點(diǎn)，，且平行于軸，與拋物線交于、兩點(diǎn)在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接、、，若為直角三角形，求此時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，若的面積為3，、兩點(diǎn)分別在邊、上運(yùn)動(dòng)，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．【分析】本題考查二次函數(shù)的對稱的相關(guān)知識，直角三角形的三個(gè)角為直角的情況分析，不同情況下的最值問題．【解答】解：（1），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）拋物線的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)關(guān)于直線對稱，，拋物線，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，如圖1，過作軸于，，，，，，，，直線軸，，，，，，，點(diǎn)在的圖象上，，或，當(dāng)時(shí)，得，，此時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)重合，舍去，當(dāng)時(shí)，符合題意；將代入得，②當(dāng)，如圖2，過作交的延長線于，同理，，，，，，，當(dāng)在的圖象上，，解得或，，，此時(shí)，，符合題意；將代入得，，③易知，當(dāng)，此種情況不存在；綜上所述，所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為或；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，的面積為1，不合題意舍去，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，的面積為3，符合題意，由題意得，，取的中點(diǎn)，在中可求得，在中可求得，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的對稱的相關(guān)知識，直角三角形的三個(gè)角為直角的情況分析，不同情況下的最值問題．解題的關(guān)鍵是理解對稱的關(guān)鍵，直角三角形的不同情況分析，綜合應(yīng)用．27．（2024?鹽城模擬）已知拋物線為常數(shù)且與軸交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；對稱軸為（用含的代數(shù)式表示）；（2）無論取何值，拋物線都過定點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），則點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）若，且自變量滿足時(shí)，圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求拋物線的表達(dá)式；（4）將點(diǎn)與點(diǎn)之間的函數(shù)圖象記作圖象（包含點(diǎn)、，若將在直線下方的部分保持不變，上方的部分沿直線進(jìn)行翻折，可以得到新的函數(shù)圖象，若圖象上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，求的值．【分析】（1）令，求得對應(yīng)的值即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得拋物線的對稱軸；（2）利用的系數(shù)為0，求得對應(yīng)的值，將值代入解析式即可求得結(jié)論；（3）利用分類討論的思想方法，用待定系數(shù)法解答即可；（4）利用分類討論的方法分①當(dāng)時(shí)和②當(dāng)時(shí)兩種情況討論解答，結(jié)合圖象，利用軸對稱的性質(zhì)和待定系數(shù)法解答即可．【解答】解：（1）令，則，；拋物線的對稱軸為直線，故答案為：；；（2）拋物線，又無論取何值，拋物線都過定點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，，當(dāng)時(shí)，，，故答案為：；（3），拋物線開口方向向下．由（1）知：拋物線的對稱軸為直線，①若，則，與矛盾，不合題意；②若，則，此時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為圖象最高點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值為2，，解得：或（不合題意，舍去）．；③若，則，此時(shí)，點(diǎn)是滿足時(shí)，圖象的最高點(diǎn)，，此種情況不存在，綜上，滿足條件的拋物線的表達(dá)式為；（4），將點(diǎn)沿直線進(jìn)行翻折后得到的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為1．①當(dāng)時(shí)，圖象上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，此時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，解得：，或（不合題意，舍去），；②當(dāng)時(shí)，圖象上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，此時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，，解得：或．，．不合題意，舍去．綜上，若圖象上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，的值為或．【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，拋物線的翻折，軸對稱的性質(zhì)，函數(shù)的極值，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．28．（2023?扶余市二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．（1）求該拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖，把原拋物線軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線軸上方的部分記作圖形，在圖形中，回答：①點(diǎn)，之間的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為；②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；③當(dāng)，且時(shí)，若最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，直接寫出的值．【分析】（1）將，代入，即可求得其解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)頂點(diǎn)的變換（關(guān)于軸對稱）和變換后開口向下，可以寫出變換后的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解．【解答】解：（1）將，代入，得：，解得：，拋物線的解析式為：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）①變換后的頂點(diǎn)為，，故答案為：；②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的取值范圍為；③當(dāng)時(shí)，得：，解得：（舍去），當(dāng)時(shí)，得：，解得：（舍去），；由，得：，，當(dāng)時(shí)，或，解得：（舍去），，（舍去），；當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去）；的值為或或．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)解析式的求法及其性質(zhì)和圖象的變換等，綜合性較強(qiáng)，數(shù)形結(jié)合分類討論是解決問題的關(guān)鍵．29．（2023?余江區(qū)一模）已知拋物線（1）當(dāng)時(shí)，①拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．②將拋物線沿軸翻折得到拋物線，則拋物線的解析式為．（2）無論為何值，直線與拋物線相交所得的線段（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）的長度都不變，求的值和的長；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿直線翻折，得到拋物線，拋物線，的頂點(diǎn)分別記為，，是否存在實(shí)數(shù)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請求出的值：若不存在，請說明理由．【分析】（1）①由題意可得拋物線解析式為，即可求解；②設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入即可求解；（2）由拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，可得當(dāng)時(shí)，的長度不變；（3）設(shè)拋物線拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，將點(diǎn)代入，可求拋物線的解析式為，分別求出，，再由，，可得，求出的值即可．【解答】解：（1）①，，拋物線的頂點(diǎn)為，故答案為：；②設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，，拋物線的解析式為，故答案為：；（2），拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長度不變，當(dāng)時(shí)，，解得或，，，；（3）存在實(shí)數(shù)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，理由如下：設(shè)拋物線拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，，拋物線的解析式為，，，，，與為正方形的對角線，、關(guān)于對稱，，，，．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖形翻折的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．（2023?越秀區(qū)校級三模）已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，將二次函數(shù)圖象中軸左側(cè)部分沿軸翻折，保留其他部分得到新的圖象．（1）求的值；（2）①當(dāng)時(shí)，圖與軸交于點(diǎn)，在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值；②在①的條件下，當(dāng)圖象中時(shí)，結(jié)合圖象求的取值范圍；（3）已知兩點(diǎn)，，當(dāng)線段與圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）由二次函數(shù)的對稱軸直接可求的值；（2）①求出，，，，再求出，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，列出方程即可求解；②求出拋物線與直線的交點(diǎn)為，，再求出關(guān)于軸對稱的拋物線解析式為當(dāng)時(shí)，解得（舍或，拋物線與直線的交點(diǎn)為，結(jié)合圖象可得或或時(shí)，；（3）通過畫函數(shù)的圖象，分類討論求解即可．【解答】解：（1）已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，；（2）如圖1：①令，解得或，在的左側(cè)，，，，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，為直角三角形，，解得（舍或；②，，令，解得或，拋物線與直線的交點(diǎn)為，，關(guān)于軸對稱的拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，解得（舍或，拋物線與直線的交點(diǎn)為，或或時(shí)，；（3）關(guān)于軸對稱的拋物線解析式為，如圖2，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，解得，，當(dāng)時(shí)，，與線段有一個(gè)交點(diǎn)，時(shí)，當(dāng)線段與圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；如圖3，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)圖象與線段有三個(gè)公共點(diǎn)，時(shí)，線段與圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；如圖4，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)圖象與線段有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)在線段上時(shí)，，解得，此時(shí)圖象與線段有一個(gè)公共點(diǎn)，時(shí)，線段與圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；綜上所述：或時(shí)，線段與圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖形翻折的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型三：二次函數(shù)對稱問題31．（2024?雁塔區(qū)校級二模）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）拋物線與拋物線關(guān)于直線對稱，是拋物線的軸上方且在對稱軸左側(cè)的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點(diǎn)分別為、．試探究是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為長寬之比是的矩形？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式，進(jìn)而化成頂點(diǎn)式，從而求得的坐標(biāo)；（2）求出直線解析式為，再求出拋物線與拋物線關(guān)于直線對稱的解析式，設(shè)，則，，，由題意可知得到關(guān)于的方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過，，，解得，拋物線的表達(dá)式為；（2）存在一點(diǎn)，使得四邊形為長寬之比是的矩形，，，直線為，拋物線與拋物線關(guān)于直線對稱的解析式，設(shè)，則，點(diǎn)、關(guān)于拋物線的對稱軸對稱點(diǎn)分別為、．，，四邊形為長寬之比是的矩形，或，整理得或，解得，或，，是拋物線的軸上方且在對稱軸左側(cè)的一點(diǎn)，，或，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意得到關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．32．（2023?鄞州區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)的圖象是．（1）求關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的圖象的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為5，求的值．【分析】（1）先求出的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由中心對稱得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)，又由于和的開口方向相反，且開口大小相同，故值相同，因此可確定解析式．（2）由于的開口向下，且對稱軸位于內(nèi)，故頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為5，則的值便可求出．【解答】解：（1）依題得，，且，故圖象的頂點(diǎn)為，由對稱性可知，圖象的頂點(diǎn)為，且其開口方向與的相反，，即；（2）當(dāng)時(shí)，拋物線的開口向上，對稱軸為，若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，由得，．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知關(guān)于定點(diǎn)中心對稱時(shí)拋物線的解析式的求法是解題的關(guān)鍵．33．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，，與軸交于，連接，作直線．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知直線上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于，過作軸交軸于，求的最大值和此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將原拋物線沿方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線，已知點(diǎn)是新拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且，求所有符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)并寫出其中一種情況的求解過程．【分析】（1）將點(diǎn)，，代入拋物線，利用待定系數(shù)法解答即可得解；（2）首先利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為；設(shè)，進(jìn)而求得，的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，，從而得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）首先求得新拋物線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，分別求得，；進(jìn)一步證得，推導(dǎo)出，即，解得，從而得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)，，代入拋物線，可得：，解得：，該拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入，可得：，解得，直線的解析式為，設(shè)，軸交于，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，軸交軸于，，，，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；（3），，，，，，將原拋物線沿方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線，原拋物線向右，向上平移了2個(gè)單位長度，新拋物線的解析式為，如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，則，，，又，，，，，即，整理得，解得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱，二次數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二元一次方程式，一元一次方程式，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造相似三角形．34．（2023?海安市模擬）已知兩個(gè)函數(shù)，如果對于任意的自變量，這兩個(gè)函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值記為，，都有點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)為關(guān)于的對稱函數(shù)，例如，和為關(guān)于的對稱函數(shù)．（1）判斷：①和；②和；③和，其中為關(guān)于的對稱函數(shù)的是（填序號）；（2）若和為關(guān)于的對稱函數(shù)．求、的值．（3）若和為關(guān)于的對稱函數(shù)，令，當(dāng)函數(shù)與函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)公式可得，然后逐個(gè)函數(shù)進(jìn)行判斷；（2）①根據(jù)，將函數(shù)解析式代入求解；（3）根據(jù)，求出，，的值，然后由得到，根據(jù)開口方向、對稱軸及與軸的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)與函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)列出不等式組求解即可．【解答】解：（1）①，和關(guān)于對稱，②，和關(guān)于對稱，③，，和不關(guān)于對稱，故答案為：①②．（2）和為關(guān)于的對稱函數(shù)，，，解得．（3）和為關(guān)于的對稱函數(shù)，，，解得，，函數(shù)的開口向上，對稱軸為直線，與軸的交點(diǎn)為，函數(shù)與函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，，解得．令，則，函數(shù)與函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，△，即，解得，故的取值范圍是或，．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，掌握函數(shù)關(guān)于對稱的特征，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．35．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線與軸于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、、、．若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出的解析式即可；（2）根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)軸交拋物線于點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出；再根據(jù)拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，求出拋物線的解析式，以及用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)，，然后分三種情況判斷出，然后解方程求出的值即可．【解答】解：（1）把點(diǎn)，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）點(diǎn)是拋物線與軸的交點(diǎn)，，軸，拋物線的對稱軸為直線，，，．，拋物線的頂點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱頂為，拋物線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，，解得或，或．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求出拋物線、的解析式．36．（2023?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸上的拋物線與直線相交于點(diǎn)，，連接，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若將拋物線向下平移3個(gè)單位長度，則在平移后的拋物線上，且在直線的下方，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解求得；（2）先計(jì)算的面積，根據(jù)，可得的面積，在軸上取一點(diǎn)，使，過點(diǎn)作的平行線交平移后的拋物線于點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得直線的解析式，與平移后的拋物線解析式聯(lián)立，解方程組即可求得點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，解得，該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）令，則，，，，，，，在軸上取一點(diǎn)，使，過點(diǎn)作的平行線交平移后的拋物線于點(diǎn)，，，，，，直線的解析式為，將拋物線向下平移3個(gè)單位長度，得到，令，整理得，解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，三角形的面積，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．題型四：二次函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)問題37．（2023?吉安縣校級一模）已知拋物線分別交軸于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將該二次函數(shù)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)后的二次函數(shù)解析式；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與軸的右側(cè)交點(diǎn)為，順次連接、、、，求四邊形的面積．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）首先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后利用代定系數(shù)法求得解析式；（3）首先得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到的面積以及四邊形的面積．【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入得，二次函數(shù)解析式為，故拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為頂點(diǎn)和的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)前后圖形的形狀不變，開口相反，，故旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為；（3）四