2025屆湖南省長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆湖南省長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知圓：及直線：，當(dāng)直線被截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，則等于（）A． B． C． D．2．正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列滿(mǎn)足，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不確定3．已知β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），sin（α+β）＝，則cosβ＝（）A． B． C． D．或4．已知平面上四個(gè)互異的點(diǎn)、、、滿(mǎn)足：，則的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形5．如圖所示，在正四棱錐中，分別是，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論不恒成立的是().A．與異面 B．面 C． D．6．設(shè)是等比數(shù)列，有下列四個(gè)命題：①是等比數(shù)列；②是等比數(shù)列；③是等比數(shù)列；④是等差數(shù)列．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A． B． C． D．7．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則的值為（）A．4 B． C． D．8．已知，且，，則()A． B． C． D．9．已知，，，則的最小值為A． B． C． D．410．在，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則（）A． B． C． D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．，則f（f（2））的值為_(kāi)___________．12．若是三角形的內(nèi)角，且，則等于_____________．13．若在上是減函數(shù)，則的取值范圍為_(kāi)_____.14．已知函數(shù)（，）的部分圖像如圖所示，則函數(shù)解析式為_(kāi)______.15．在中，，，為角，，所對(duì)的邊，點(diǎn)為的重心，若，則的取值范圍為_(kāi)_____.16．已知圓錐的高為，體積為，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺(tái)體積是，則該圓臺(tái)的高為_(kāi)______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知，，與的夾角是（1）計(jì)算：①，②；（2）當(dāng)為何值時(shí)，與垂直？18．四棱柱中，底面為正方形，,為中點(diǎn)，且．（1）證明；（2）求點(diǎn)到平面的距離．19．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列為等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．某商品監(jiān)督部門(mén)對(duì)某廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行抽查檢測(cè)估分，監(jiān)督部門(mén)在所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品檢測(cè)評(píng)分，得到如圖所示的分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該廠家產(chǎn)品檢測(cè)評(píng)分的平均值；（2）該廠決定從評(píng)分值超過(guò)90的產(chǎn)品中取出5件產(chǎn)品，選擇2件參加優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品評(píng)選，若已知5件產(chǎn)品中有3件來(lái)自車(chē)間，有2件產(chǎn)品來(lái)自車(chē)間，試求這2件產(chǎn)品中含車(chē)間產(chǎn)品的概率.21．某公司為了提高職工的健身意識(shí)，鼓勵(lì)大家加入健步運(yùn)動(dòng)，要求200名職工每天晚上9:30上傳手機(jī)計(jì)步截圖，對(duì)于步數(shù)超過(guò)10000的予以獎(jiǎng)勵(lì).圖1為甲乙兩名職工在某一星期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)步數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，圖2為根據(jù)這星期內(nèi)某一天全體職工的運(yùn)動(dòng)步數(shù)做出的頻率分布直方圖.（1）在這一周內(nèi)任選兩天檢查，求甲乙兩人兩天全部獲獎(jiǎng)的概率；（2）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，求出該天運(yùn)動(dòng)步數(shù)不少于15000的人數(shù)，并估計(jì)全體職工在該天的平均步數(shù)；（3）如果當(dāng)天甲的排名為第130名，乙的排名為第40名，試判斷做出的是星期幾的頻率分布直方圖.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

求出圓心到直線的距離，由垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)可解得．【詳解】由題意，圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以，解得．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，解題方法由垂徑定理得垂直，由勾股定理列式計(jì)算．2、B【解析】

利用分析的關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列,故又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立,又即,故,故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差等比數(shù)列的性質(zhì)與基本不等式的“一正二定三相等”.若是等比數(shù)列，且，則若是等差數(shù)列，且，則3、B【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα和cosα，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（α+β）的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【詳解】β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β為鈍角，∴cos（α+β），則cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα??，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

由向量的加法法則和減法法則化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，再由向量的垂直和等腰三角形的三線合一性質(zhì)得解.【詳解】設(shè)邊的中點(diǎn)，則所以在中，垂直于的中線，所以是等腰三角形.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】如圖所示，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，連接EM，EN.(1)由正四棱錐S?ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP.故C正確．(2)由異面直線的定義可知：EP與SD是異面直線，故A正確；(3)由(1)可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此B正確．(4)當(dāng)P與M重合時(shí)，有∥，其他情況都是異面直線即D不正確．故選D點(diǎn)睛：本題抓住正四棱錐的特征，頂點(diǎn)在底面的投影為底面正方形的中心，即SO⊥底面ABCD，EP為動(dòng)直線，所以要證EP∥面，可先證EP所在的平面平行于面SBD，要證⊥可先證AC垂直于EP所在的平面，所以化動(dòng)為靜的處理思想在立體中常用.6、C【解析】

設(shè)，得到，，，再利用舉反例的方式排除③【詳解】設(shè)，則：，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，①正確，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，②正確取，則，不是等比數(shù)列，③錯(cuò)誤.，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，④正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的判斷，找出反例可以快速的排除選項(xiàng)，簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】

由正弦定理可得，，代入即可求解．【詳解】∵，，∴由正弦定理可得，，則.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

根據(jù)同角公式求出，后，根據(jù)兩角和的正弦公式可得.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了同角公式，考查了兩角和的正弦公式，拆解是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.9、C【解析】

化簡(jiǎn)條件得，化簡(jiǎn)，利用基本不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，知，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得等號(hào)，所以，即的最小值為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件：一正、二定、三相等是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

直接利用余弦定理求解.【詳解】由余弦定理得.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

先求f（1），再根據(jù)f（1）值所在區(qū)間求f（f（1））.【詳解】由題意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，考查對(duì)應(yīng)性以及基本求解能力.12、【解析】∵是三角形的內(nèi)角，且，∴故答案為點(diǎn)睛：本題是一道易錯(cuò)題，在上，，分兩種情況：若，則；若，則有兩種情況銳角或鈍角.13、【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，，時(shí)，是余弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的子集，即可求解.【詳解】,時(shí)，,且在上是減函數(shù)，，，因?yàn)榻獾?【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的三角恒等變化，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.14、y＝sin（2x+）．【解析】

由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值答案可求【詳解】根據(jù)函數(shù)y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的部分圖象，可得A＝1，?，∴ω＝2，再結(jié)合五點(diǎn)法作圖可得2?φ＝π，∴φ，則函數(shù)解析式為y＝sin（2x+）故答案為：y＝sin（2x+）．【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值難度中檔．15、【解析】

在中，延長(zhǎng)交于，由重心的性質(zhì)，找到、和的關(guān)系，在和中利用余弦定理分別表示出和，求出，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式和的范圍求解即可.【詳解】畫(huà)出，連接，并延長(zhǎng)交于，因?yàn)槭堑闹匦?，所以為中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，由重心的性質(zhì)，，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，又，所以，在中，由余弦定理和基本不等式，，又，所以，?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形重心的性質(zhì)、余弦定理解三角形和基本不等式求最值，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.16、【解析】設(shè)該圓臺(tái)的高為，由題意，得用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的小圓錐體積是，則，解得，即該圓臺(tái)的高為3.點(diǎn)睛：本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征；在處理圓錐的結(jié)構(gòu)特征時(shí)可記住常見(jiàn)結(jié)論，如本題中用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面的面積之比是兩個(gè)圓錐高的比值的平方，所得兩個(gè)圓錐的體積之比是兩個(gè)圓錐高的比值的立方．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）①；②；（2）.【解析】

利用數(shù)量積的定義求解出的值；（1）將所求模長(zhǎng)平方，從而得到關(guān)于模長(zhǎng)和數(shù)量積的式子，代入求得模長(zhǎng)的平方，再開(kāi)平方得到結(jié)果；（2）向量互相垂直得到數(shù)量積等于零，由此建立方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由已知得：（1）①②（2）若與垂直，則即：，解得：【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)量積求解向量的模長(zhǎng)、利用數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系求解參數(shù)的問(wèn)題.求解向量的模長(zhǎng)關(guān)鍵是能夠通過(guò)平方運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和數(shù)量積運(yùn)算的形式，從而使問(wèn)題得以求解.18、（1）見(jiàn)解析;(2)．【解析】試題分析：（1）證明線線垂直，一般利用線面垂直性質(zhì)定理，即利用線面垂直進(jìn)行證明，而證明線面垂直，則利用線面垂直判定定理，即從已知的線線垂直出發(fā)給予證明，本題利用平幾知識(shí)，如等邊三角形性質(zhì)、正方形性質(zhì)得線線垂直，（2）求點(diǎn)到直線距離，一般方法利用等體積法轉(zhuǎn)化為求高.試題解析：（1）等邊中,為中點(diǎn),又,且在正方形中，(2)中，,由(1)知,等體積法可得點(diǎn)到平面的距離為．19、（1），；（2）【解析】

(1)通過(guò)求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,從而可以求出首項(xiàng)與公比,即可得到的通項(xiàng)公式;(2)化簡(jiǎn),利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可.【詳解】(1)∴,∴,∵,∴,∴,,∵,,∴,從而,∵數(shù)列為等比數(shù)列∴數(shù)列的公比為,從而;(2)∵,,∴∴∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查已知求的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和,考查計(jì)算能力.在通過(guò)求的通項(xiàng)公式時(shí),不要忽略時(shí)的情況.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用平均數(shù)=每個(gè)小矩形面積小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，即可求解.（2）設(shè)這5件產(chǎn)品分別為，其中1，2為車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品，利用列舉法求出基本事件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】解：（1）依題意，該廠產(chǎn)品檢測(cè)的平均值.（2）設(shè)這5件產(chǎn)品分別為，其中1，2為車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品，從5人中選出2人，所有的可能的結(jié)果有：，，，，，，，，，，共10個(gè)，其中含有車(chē)間產(chǎn)品的基本事件有：，，，，，，，共7個(gè)，所以取出的2件產(chǎn)品中含車(chē)間產(chǎn)品的概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想、分類(lèi)與整合思想等.21、（1），（2）80人，13.25千步，（3）星期二【解析】

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖統(tǒng)計(jì)出甲乙兩人合格的天數(shù)