北京市2024屆數(shù)學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

北京市北師大二附中2024屆數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;

非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

7171,且"吟卜后,sin(p+J4

1.已知。<a<_y,則

2

sin(a+P)=(

)

Rg?3710D3M

r>.-....C.----L>.—-----

10

2.已知函數(shù)丁=5詁（31+中）（3〉0,|叫＜￡）的部分圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式

B.y=sin(2x+—)

.,A兀、

C.y=sin(4x+—)D.y=SIII(4A:+—)

x+yV5,

2x-y<4,

3.（2018年天津卷文）設(shè)變量滿足約束條件J則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y

y>0,

的最大值為

A.6B.19C.21D.45

4.已知a>b,則下列不等式中成立的是（

11

A.—>—B.Q2>b2C.ac2>bc2D.a-b>b-a

ab

5.若一個(gè)人下半身長（肚臍至足底）與全身長的比近似為,稱為黃

金分割比），堪稱“身材完美”，且比值越接近黃金分割比，身材看起來越好，若某人著

裝前測(cè)得頭頂至肚臍長度為72c“肚臍至足底長度為103,根據(jù)以上數(shù)據(jù)，作為形

象設(shè)計(jì)師的你，對(duì)TA的著裝建議是（）

A.身材完美，無需改善B.可以戴一頂合適高度的帽子

C.可以穿一雙合適高度的增高鞋D.同時(shí)穿戴同樣高度的增高鞋與帽子

6.將函數(shù)/（x）=sin2x的圖象向右平移三個(gè)單位長度得到g（x）圖象，則函數(shù)的解析

6

式是（）

A.g（x）=sin[2x+g]B.g（x）=sin12x+看]

C.g（x）=sin[2x-：）D.g（x）=sin1

7.在正方體ABC?！狝fF，]中，E,F,G,H分別是々q,AD,DD〃的

中點(diǎn)，K是底面A3CD上的動(dòng)點(diǎn)，且“K〃平面EFG,則HA與平面A5CD所成角的

正弦值的最小值是（）

A?平BfC當(dāng)

8.已知點(diǎn)4（2,—3）,5（—3,—2）,直線/過點(diǎn)且與線段AB相交，則直線/的

斜率左滿足（）

333

A.左或左W-4B,左2下或左<一1C,-4<k<-D.-<^<4

4444

9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是單調(diào)遞減的是（）

A.B.C.D.

10.若線性方程組的增廣矩陣是,解為，則的值為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位:m），則該幾何體的體積為m3.

12,若當(dāng)0<x<ln2時(shí)，不等式。。工—e-x)+(22x+e-2x

,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是_____.

13.某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)三棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上

小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積是—

14.在等比數(shù)列3｝中,已知〃+a+a=l,a+a+a=2則

n123234

a+a+a

8910

..(x+l)(y+2)

15.已知正數(shù)x、y滿足2x+y=l,則_------：——的最小值是

16.方程sin2x=sinx在區(qū)間［°，2兀)內(nèi)解的個(gè)數(shù)是______

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.AABC中，角A,B,C所對(duì)邊分別是a、b、c,且cosA=g.

,JB+c_.

(1)求sm2-2-+cos2A的值；

(2)若。=赤，求ZWC面積的最大值.

18.設(shè)等差數(shù)列的前“項(xiàng)和為S,已知a=12,S>0,S<0；

n31213

(i)求公差a的取值范圍;

(2)判斷與0的大小關(guān)系，并說明理由；

67

(3)指出S5、-一、S中哪個(gè)最大，并說明理由；

1212

19.已知函數(shù)/(%)=辦2+法+1(?！?).

(1)若/(2+x)=/(4-x),且對(duì)任意的xe葭4+3],/(x)<ax2恒成立，求實(shí)數(shù)

a的取值范圍；

(2)求/(D=0,解關(guān)于％的不等式fU)<0.

20.如圖，四棱錐尸—ABCD中，ABLAD,CDLAD,平面K4D_L平面ABCD,

PA=AD=PD=AB=2,CD=4,M為PC的中點(diǎn)、.

(1)求證：8M〃平面PAD；

(2)求點(diǎn)A到面PCD的距離

(3)求二面角尸―BD—C平面角的正弦值

21.已知/G)=2sin4%+2cos4x+cos22x-3.

(1)求函數(shù)/(X)的最小正周期；

(2)求函數(shù)/(X)在閉區(qū)間上的最小值并求當(dāng)了G)取最小值時(shí)

X的取值.

lo1O

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1、C

【解題分析】

根據(jù)同角公式求出cos[a-3]=聞9,cos[p+g]=f■后，根據(jù)兩角和的正弦公式

可得.

【題目詳解】

兀兀八兀兀

因?yàn)閃<a,，所以。<7aj，

兀717171

因?yàn)閛<B<“所以丁0Q+H丁

43

因?yàn)閟in所以cos

55

所以sin(a+P)=sin(a—+[P+

33M4_3M

To-X5+10X5-10

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

7171

本題考查了同角公式，考查了兩角和的正弦公式，拆解a+Po=a—彳+0n+彳是解題

關(guān)鍵，屬于中檔題.

2、B

【解題分析】

77X3^^27T

由圖象可知T=2(-———-)=兀，所以co==2,

ooT

c3兀n

又因?yàn)?x+(p=7i,，(p=

84

n

所以所求函數(shù)的解析式為y=sin(2x+).

4

3、C

【解題分析】

分析：首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定函數(shù)取得最大值的點(diǎn)，

最后求解最大值即可.

詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)

“十，—：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：A(2,3),

在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：<

-x+y=1

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：z=3x+5y=3x2+5x3=21.本題選擇c選項(xiàng).

max

點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)N=or+勿(必#0)的最值，當(dāng)〃>0時(shí)，直線過可行域且在y軸上

截距最大時(shí)，Z值最大，在丁軸截距最小時(shí)，Z值最??；當(dāng)bV0時(shí)，直線過可行域且在

y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.

4、D

【解題分析】

由4=2,b=l,計(jì)算可判斷A；由4=2,b=-3,計(jì)算可判斷B；由。二。，可判

斷。；作差可判斷。.

【題目詳解】

解：a>b,當(dāng)〃=2,b=l時(shí)，可得故A錯(cuò)誤；

ab

當(dāng)a=2,匕=一3時(shí)，a2<b2,故3錯(cuò)誤；

當(dāng)c=0,ac2=bc2,故C錯(cuò)誤；

a—b—(b—a)=2(〃—/?)>0,即a—b>b—a,故。正確.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查不等式的性質(zhì)，考查特殊值的運(yùn)用，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解題分析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析研究得解.

【題目詳解】

A.放103（所以她的身材不完美,需要改善，所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

B.假設(shè)她需要戴上高度為x厘米的帽子，則，顯然不符合實(shí)際,

所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

C.假設(shè)她可以穿一雙合適高度為y的增高鞋，則，所以該選項(xiàng)

是正確的；

D.假設(shè)同時(shí)穿戴同樣高度z的增高鞋與帽子，則，顯然不符合實(shí)

際，所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查學(xué)生對(duì)新定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解題分析】

由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論.

【題目詳解】

由題意，將函數(shù)/（%）=sin2x的圖象向右平移J個(gè)單位長度，

6

可得g（尤）=sin2（x--）=sin（2x-—）.

63

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.

7、A

【解題分析】

根據(jù)題意取的中點(diǎn)加，N,可得平面跖陽//平面EPG,從而可得K在4W

上移動(dòng)，HA_L平面ABCD,即可與平面ABCD所成角中最小的為ZAMH

【題目詳解】

如圖，取的中點(diǎn)",N,連接HN,MN,HM,AM,

Ci

由E,F,G,H分別是qq,4?,DD〃的中點(diǎn)，

所以HN//FG,MN//EF,且HNcMN=N,FGcEF=F,

則平面MNHII平面EFG,

若K是底面A3CD上的動(dòng)點(diǎn)，且“K//平面EFG,

則K在MN上移動(dòng)，

由正方體的性質(zhì)可知HAL平面A8CO,

所以與平面ABCD所成角中最小的為ZAMH,

不妨設(shè)正方體的邊長為?,

a_

在AW"sinW=^=扁=4.

2

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了求線面角，同時(shí)考查了面面平行的判定定理，解題的關(guān)鍵是找出線面角，屬

于基礎(chǔ)題.

8、A

【解題分析】

畫出三點(diǎn)的圖像，根據(jù)24,尸8的斜率，求得直線/斜率左的取值范圍.

【題目詳解】

如圖所示，過點(diǎn)P作直線PC軸交線段48于點(diǎn)C,作由直線PA,尸3①直線/與

線段的交點(diǎn)在線段AC（除去點(diǎn)C）上時(shí)，直線/的傾斜角為鈍角，斜率左的范圍是

左（左..②直線/與線段A3的交點(diǎn)在線段5c（除去點(diǎn)C）上時(shí)，直線/的傾斜角為銳

-3-1-2-13

角，斜率上的范圍是因?yàn)樽?左=_^=所以直線/的

PBPA2—1pB—3—14

3

斜率左滿足左2下或左WT.

故選:A.

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查兩點(diǎn)求斜率的公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)

學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解題分析】

先判斷各函數(shù)奇偶性，再找單調(diào)性符合題意的即可。

【題目詳解】

首先可以判斷選項(xiàng)D,不是偶函數(shù)，排除；

然后，由圖像可知，在上不單調(diào)，在上單調(diào)遞增，

只有選項(xiàng)C：符合，故選C。

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性和單調(diào)性。

10、C

【解題分析】

由題意得，，解方程即可得到所求值.

【題目詳解】

由題意得，，

解得，

則，故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了線性方程組的解法，以及增廣矩陣的概念，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

8兀

11、

3

【解題分析】

該幾何體是由兩個(gè)高為1的圓錐與一個(gè)高為2的圓柱組合而成，所以該幾何體的體積為

.1,.8?r

2x_X7cxl+7tx2=—-(zm3).

33

考點(diǎn)：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算.

25、

12、［r--,+oo)

O

【解題分析】

用換元法把不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式.然后用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.

【題目詳解】

13

設(shè)/=久一6-工，t=ex-e-x=ex-一是增函數(shù)，當(dāng)0<x<ln2時(shí)，0<14彳，

/2

不等式。

3

不等式上+at+420在上恒成立，

f=0時(shí)，顯然成立，

343

^e(0,_］,-。</+彳對(duì)上恒成立，

4031325

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知y=f+—在(。=］是減函數(shù)，?=彳時(shí)，y=/,

t22min6

,25、25

一?！炊。?。2—-^.

66

綜上，a———.

6

25、

故答案為：［--2--00).

o

【題目點(diǎn)撥】

本題考查不等式恒成立問題，解題方法是轉(zhuǎn)化與化歸，首先用換元法化指數(shù)型不等式為

一元二次不等式，再用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.

13、6

【解題分析】

先作出幾何體圖形，再根據(jù)幾何體的體積等于正方體的體積減去三棱柱的體積計(jì)算.

【題目詳解】

幾何體如圖所示：

去掉的三棱柱的高為2,底面面積是正方體底面積的q,

所以三棱柱的體積：2x2x7rx2=2

所以幾何體的體積：2x2x2—2=6

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三視圖與幾何體的體積.關(guān)鍵是作出幾何體的圖形，方法：先作出正方體的圖

形，再根據(jù)三視圖“切”去多余部分.

14、128

【解題分析】

a+a+a=1

123

a+a=Q+Q+o)q

234123

q=2

a+a+a=G+a+a=2i=128

8910123

15、25.

【解題分析】

01G+l)G+2)?3636c

利用等式2x+y=1得-------------=1+-+-,將代數(shù)式一+一與代數(shù)式2x+y相

xyxyxy

36(x+1)(y+2)

乘，利用基本不等式求出一+一的最小值，由此可得出--------——的最小值.

xyxy

【題目詳解】

-/2x+y=l,所以

(%+1)(y+2)xy+2x+y+2,2x+y+2(2x+y)36

==1+=1+—+—,

xy----------xy------------------------xy----------------xy

由基本不等式可得

(x+l)(y+2)+2x+y+236

^=l++=l+f3+6](2/力

孫孫xy(xyj

a3y12xI3y12x

=13++--->13+2I——?----=，3,

xyyxy

1(x+l)(y+2)

當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=R時(shí)，等號(hào)成立，因此，--------——的最小值是25,故答案為：

2xy

25.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查利用基本不等式求最值，解題時(shí)要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，考查分析問題和解

決問題的能力，屬于中等題.

16、4.

【解題分析】

分析：通過二倍角公式化簡得到sin2x=2sinxcosx=sinx,進(jìn)而推斷sinx=O或

1

cosX=-,進(jìn)而求得結(jié)果.

詳解：sin2x=2sinxcos%=sin%,所以sinx=0或cosx=；,

?.?兀5兀

因?yàn)閤e[r0,2.71),所以光=0或》=?；?\：=百或x=-^―,

故解的個(gè)數(shù)是4.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問題，在解題的過程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦

的倍角公式，方程的求解問題，注意一定不要兩邊除以sinx,最后求得結(jié)果.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17、(1)-^；(2)

94

【解題分析】

.B+C.

⑴將SH12——+COS2A化簡代入數(shù)據(jù)得到答案.

9

⑵利用余弦定理和均值不等式計(jì)算歷<z,代入面積公式得到答案.

【題目詳解】

B+C.—A

V17sin2+cos2A=sni2+2COS2A-1

22

A1l+cosA八，1

=COS2—+2cos2A—I=----------------+2cos2A-1

22

1I

l+—11

—±+2x--l=--'

由余弦定理可得。2=Z72+。2-2bccosA=b?+C2--be>2bc--bc=—be,

393

即有beWS=當(dāng)且僅當(dāng)匕=C=k，取得等號(hào).

442

則/\ABC面積為-besinA<-\-x入@.

22434

即有b=c=I時(shí)，AA8C的面積取得最大值班.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了三角恒等變換，余弦定理，面積公式，均值不等式，屬于常考題型.

24

18、((--,-3)；理由見解析；(理由見解析；

1)/67(2)a-a<Q963)S

【解題分析】

(1)由4=12,",〉0,S3<0,得到不等式2xl2+7d〉0且2xl2+8d〉0,

即可求解公差Q的取值范圍；

(2)由S>0,S<0,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和前“項(xiàng)和公式，得到。+a〉。且

121367

%>°，即可求解；

(3)有(2)知。>0,(?<0,可得d=a-a<0,數(shù)列｛a｝為遞減數(shù)列，即可求

6776n

解.

【題目詳解】

(1)由題意，等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和為S,且a=12,S>0,s<Q,

n31213

r/ma12(a+a)<13(a+a)13(2a+8d)

可得S=-----3----w-=6(2a+7a)>0,S=-----s----u-=------s------->0,

」12237,1322

24

即2xl2+7d〉0且2xl2+8d〉0,解得一<-3,

24

即公差d的取值范圍是(一7,—3).

(2)由S>0,S可得S=12(。+“7)〉0且S=13(q+%)—13。>0,

12131221327

即〃+Q>0且〃>0所以。>0,a<0,所以〃?〃<0.

6776767

(3)有(2)知?！?,。<。，可得一。<0,數(shù)列｛。｝為遞減數(shù)列，

6776n

當(dāng)1V〃《6,"￡N+時(shí)，CL>0,當(dāng)"27/EN+時(shí)，ci<0,

nn

所以sS、…、S中S最大.

12126

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的單調(diào)性的

應(yīng)用，其中解答熟記等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，合理利用數(shù)列的單調(diào)

性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19、(1)亞(2)見解析

6

【解題分析】

(1)由題意，若/(2+x)=/(4—x),則函數(shù)關(guān)于x=3對(duì)稱，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性,

可求b=-6a,代入化簡得6ax?l在xe[a,a+31上恒成立，由a>0,知當(dāng)x=a為

最小值，根據(jù)恒成立思想，令最小值21,即可求解；

(2)根據(jù)題意，由a>0,化簡一元二次不等式為—；)x-D<0,討論參數(shù)范

圍，寫出解集即可.

【題目詳解】

b

解：(1)若/(2+x)=/(4—x),所以函數(shù)對(duì)稱軸％=—?―=3,b=-6a.

2a

/(x)<0X2,即axi-6ax+1<0x2在xe[a,a+3〕恒成立，

即6ax21在工604+3]上恒成立

所以6a2之1,又a>0,故aN嶼

6

(2)/⑴=0,所以匕=一。一1；

原不等式變?yōu)?ax-l)(x-l)<0,

因?yàn)閍>0,所以

所以當(dāng)1<1,即。>1時(shí)，解為-<x<l；

aa

當(dāng)a=l時(shí)，解集為0；

當(dāng)1＞1,即0＜。＜1時(shí)，解為1＜%＜1

aa

綜上，當(dāng)0＜。＜1時(shí)，不等式的解集為］xll＜x＜；］；

當(dāng)a=l時(shí)，不等式的解集為必0；

當(dāng)°＞1時(shí)，不等式的解隼為

【題目點(diǎn)撥】

本題考查（1）函數(shù)恒成立問題；（2）含參一元二次不等式的解法；考查計(jì)算能力，考

查分類討論思想，屬于中等題型.

20、（1）見詳解；（2）J3；（3）母

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【解題分析】

（1）通過取尸。中點(diǎn)N,利用中位線定理可得四變形8MMi為平行四邊形，然后利

用線面平行的判定定理，可得結(jié)果.

（2）根據(jù)ANLPD,AN,CD,可得AN，平面PCD,可得結(jié)果.

（3）作作EF工BD,可得二面角P—瓦＞—E平面角為/PEE,然后計(jì)

算sin/PFE,可得結(jié)果.

【題目詳解】

（1）取尸。中點(diǎn)N,連接AN,MN,如圖

由M為PC的中點(diǎn)，所以MN//CD且MN=；CD

又AB_LAZ),CD_LAD,且AB=2,C