【贏在高考·黃金8卷】2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷2（新高考七省專用）

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考七省專用）

黃金卷02

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的值為（）

A.B.C.D.1

2.甲、乙兩所學(xué)校各有3名志愿者參加一次公益活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后，站成前后兩排合影留念，每排3人，

若每排同一個(gè)學(xué)校的兩名志愿者不相鄰，則不同的站法種數(shù)有（）

A.36B.72C.144D.288

3.設(shè)，貝。（）

A.84B.56C.36D.28

4.某醫(yī)院對(duì)10名入院人員進(jìn)行新冠病毒感染篩查，若采用單管檢驗(yàn)需檢驗(yàn)10次；若采用10合一混管檢

驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為陰性則只要檢驗(yàn)1次，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，就要再全部進(jìn)行單管檢驗(yàn).記10合一混管檢

驗(yàn)次數(shù)為，當(dāng)時(shí)，10名人員均為陰性的概率為（）

A.0.01B.0.02C.0.1D.0.2

5.某興趣小組研究光照時(shí)長x（h）和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所

示的散點(diǎn)圖.若去掉后，下列說法正確的是（）

?￡(8,11)

8(2,6)

/-C(3,5)

7(1,4).7)(10,2)

----------------------?

Ox

A.相關(guān)系數(shù)r變小B.決定系數(shù)變小

C.殘差平方和變大D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)

6.已知事件滿足,，則（）

A.若，則

B.若與互斥，則

C.若與相互獨(dú)立，則

D.若，則與不相互獨(dú)立

7.某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，，其中，擊中奇數(shù)次為事件，則（)

A.若，則取最大值時(shí)

B.當(dāng)時(shí)，取得最小值

C.當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大

D.當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小

8.已知函數(shù),，若存在，使得成立，則的最小值為（）

A.B.C.D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.“天宮課堂”是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個(gè)太空科普教育品牌.為了解學(xué)生對(duì)“天宮課堂”的

喜愛程度，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)，則（）

喜歡天宮課堂不喜歡天宮課堂

男生8020

女生7030

參考公式及數(shù)據(jù)：①，.②當(dāng)時(shí)，.

A.從這200名學(xué)生中任選1人，已知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率為

B.用樣本的頻率估計(jì)概率，從全校學(xué)生中任選3人，恰有2人不喜歡天宮課堂的概率為

C.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡天宮課堂與性別沒有關(guān)聯(lián)

D.對(duì)抽取的喜歡天宮課堂的學(xué)生進(jìn)行天文知識(shí)測試，男生的平均成績?yōu)?0,女生的平均成績?yōu)?0,則

參加測試的學(xué)生成績的均值為85

10.隨機(jī)變量的分布列如表：其中，下列說法正確的是（）

C.有最大值D.隨y的增大而減小

11.設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再

從乙袋中任取2球，記事件A="從甲袋中任取1球是紅球”，記事件8="從乙袋中任取2球全是白球“，則

（）

A.事件A與事件B相互獨(dú)立B.

C.D.

12.已知，貝U（）

A.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在，使得與有互相平行的切線

B.對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，存在，使得成立

C.在上的最小值為0,則的最大值為

D.存在，使得對(duì)于任意恒成立

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某學(xué)校門口現(xiàn)有2輛共享電動(dòng)單車，8輛共享自行車.現(xiàn)從中一次性隨機(jī)租用3輛，則恰好有2輛共享

自行車被租用的概率為.

14.若，則—.

15.某校高二學(xué)生的一次數(shù)學(xué)診斷考試成績（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，

記該同學(xué)的成績?yōu)槭录?，記該同學(xué)的成績?yōu)槭录瑒t在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率.（結(jié)果

用分?jǐn)?shù)表示）

附參考數(shù)據(jù)：，.

16.若，則實(shí)數(shù)最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)生物遺傳學(xué)的過程中，為驗(yàn)證高爾頓提出的關(guān)于兒子成年后身高y(單位：)

與父親身高x(單位：)之間的關(guān)系及存在的遺傳規(guī)律，隨機(jī)抽取了5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)，如下表：

父親身高160170175185190

兒子身高170174175180186

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程，并利用回歸直線方程分別確定兒子比父親高和兒子比父親矮

的條件，由此可得到怎樣的遺傳規(guī)律？

(2)記，其中為觀測值，為預(yù)測值，為對(duì)應(yīng)的殘差.求(1)中兒子身高的殘差的和、并探究這個(gè)結(jié)果是否對(duì)任

意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量都成立？若成立加以證明；若不成立說明理由.

參考數(shù)據(jù)及公式：

18.已知函數(shù)，其中.

(1)討論方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.

19.已知甲箱、乙箱均有6件產(chǎn)品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品.

(1)現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，求從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰

好是次品的概率；

(2)現(xiàn)需要通過檢測將甲箱中的次品找出來，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到能將次品全部找

出時(shí)檢測結(jié)束，已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用15元，設(shè)表示能找出甲箱中的所有次品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用

(單位：元)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

20.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

(1)求的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明:

21.5G網(wǎng)絡(luò)是新一輪科技革命最具代表性的技術(shù)之一.已知某精密設(shè)備制造企業(yè)加工5G零件，根據(jù)長期檢

測結(jié)果，得知該5G零件設(shè)備生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取100

件、測得產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖.根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，質(zhì)量指標(biāo)值樣本數(shù)據(jù)的方差的近似

值為100,用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值.已知質(zhì)量指標(biāo)值不低于70的樣品數(shù)

為25件.

附….

(1)求(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(2)若質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；

(3)已知該企業(yè)的5G生產(chǎn)線的質(zhì)量控制系統(tǒng)由個(gè)控制單元組成，每個(gè)控制單元正常工作的概率為，各個(gè)控制

單元之間相互獨(dú)立，當(dāng)至少一半以上控制單元正常工作時(shí)，該生產(chǎn)線正常運(yùn)行生產(chǎn).若再增加1個(gè)控制單元，

試分析該生產(chǎn)線正常運(yùn)行概率是否增加？并說明理由.

22.已知函數(shù)，其中.

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(3)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)的取值范圍為，求的取值范圍.

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考七省專用）

黃金卷02■參考答案

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

9101112

BCABCCDABC

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.14.15.16.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.（10分）

【答案】（1）,時(shí)，兒子比父親高；時(shí)，兒子比父親矮，兒子身高有一個(gè)回歸，回歸到全種群平均高度的趨

勢.（2）0；任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，證明見解析

【解析】（1）由題意得，，，所以回歸直線方程為，

令得，即時(shí)，兒子比父親高；

令得，即時(shí)，兒子比父親矮，

可得當(dāng)父親身高較高時(shí)，兒子平均身高要矮于父親，即兒子身高有一個(gè)回歸，回歸到全種群平均高度的趨

勢.

（2）由可得，

所以，

又，所以，

結(jié)論：對(duì)任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，

證明:

18.（12分）

【答案】（1）答案見解析（2）

【解析】（1）由可得，.

令，令，可得，

當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在時(shí)取得最小值，

所以當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，

當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

當(dāng)時(shí)，，故，

而，，

設(shè)，則,

故在上為增函數(shù)，故，

故有兩個(gè)零點(diǎn)即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.

（2）由題意可知，

不等式可化為，.

即當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以，即,

令，

則在上單調(diào)遞增，而，

當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

故，

由題設(shè)可得，

設(shè)，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，

而，故.

當(dāng)即時(shí)，因?yàn)椋?/p>

故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，

故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

故,

而，故，故

因?yàn)?，故，故符合?/p>

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

19.（12分）

【答案】（1）（2）分布列見解析，

【解析】（1）設(shè)"從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為正品"，"從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品為一件正品，一件次品”,

“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為次品"，"從乙箱中抽取的一件產(chǎn)品為次品"，由全概率公式，

得

（2）的所有可能取值為30,45,60,75.

則；

的數(shù)學(xué)期望（元）.

20.（12分）

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，又?/p>

（i）當(dāng)單調(diào)遞減；

（ii）當(dāng)，記，則,

當(dāng)；當(dāng)，

所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，

又，所以，

①當(dāng)，則單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾;

②當(dāng)，由（五）知，有兩個(gè)零點(diǎn)，

記兩零點(diǎn)為，且，

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因?yàn)椋?，貝?。?

所以，

所以，且趨近0,趨近于正無窮大，趨近正無窮大，趨近負(fù)無窮大，

所以函數(shù)有三零點(diǎn)，

綜上所述，；

（2）等價(jià)于，即，

令，貝I，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

由（1）可得，則,

所以，所以，

則滿足,，

要證，等價(jià)于證，

易知，令，貝h

令得，令得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

下面證明，由，即證，

即證，

即證，

即證，

令,，

令,則,所以,

所以，則，所以，

所以，所以，

所以，所以原命題得證.

21.（12分）

【答案】（1）（2）（3）質(zhì)量控制系統(tǒng)有奇數(shù)個(gè)控制單元，增加1個(gè)控制單元設(shè)備正常工作的概率變小；質(zhì)

量控制系統(tǒng)有偶數(shù)個(gè)控制單元，增加1個(gè)控制單元設(shè)備正常工作的概率變大.答案見解析

【解析】（1）因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值不低于70的樣品數(shù)為25件，所以

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以，.

由題意，估計(jì)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為:

(2)由題意知，

樣本方差，故，

所以產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值，

優(yōu)等品的概率

(3)假設(shè)質(zhì)量控制系統(tǒng)有奇數(shù)個(gè)控制單元，

設(shè)，

記該生產(chǎn)線正常運(yùn)行的概率為，若再增加1個(gè)控制單元，

則第一類：原系統(tǒng)中至少有個(gè)控制單元正常工作，

其正常運(yùn)行概率為；

第二類：原系統(tǒng)中恰好有個(gè)控制單元正常工作，新增1個(gè)控制單元正常工作，其正常運(yùn)行概率為

所以增加一個(gè)控制單元正常運(yùn)行的概率為

即，

因?yàn)?，所以?/p>

即增加1個(gè)控制單元設(shè)備正常工作的概率變??；?

假設(shè)質(zhì)量控制系統(tǒng)有偶數(shù)個(gè)控制單元，設(shè)，記該生產(chǎn)線正常運(yùn)行的概率為，若增加1個(gè)元件，

則第一類：原系統(tǒng)中至少有個(gè)元件正常工作，其正常運(yùn)行概率為；

第二類：原系統(tǒng)中恰好有個(gè)控制單元正常工作，新增1個(gè)控制單元正常工作，

其正常運(yùn)行概率為；

所以增加一個(gè)控制單元正常運(yùn)行的概率為，

即

因?yàn)?，所以?/p>

即增加1個(gè)控制單元設(shè)備正常工作的概率變大.

22.（12分）

【答案】⑴（2）答案見解析（3）

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?/p>

所以，

所以，又，

所以函數(shù)在處的切線方程為，即.

（2）的定義域是，

，，

令，貝心

①當(dāng)或，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)，即時(shí)，由，得或；

由，得，

所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（3）由（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無極值;

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩個(gè)正根，

所以，則在上是減函數(shù).所以，

因?yàn)椋?/p>

所以

令，貝I,

所以在上單調(diào)遞減，

又，且，

所以，

由，

又在上單調(diào)遞減，

所以且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考七省專用）

黃金卷02

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的值為（）

A.B.C.D.1

【答案】A

【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義及導(dǎo)數(shù)公式求得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直進(jìn)而求得a的值.

【詳解】由題設(shè)，知處的切線的斜率為，

又因?yàn)椋?/p>

所以，解得.

故選：A.

2.甲、乙兩所學(xué)校各有3名志愿者參加一次公益活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后，站成前后兩排合影留念，每排3人，

若每排同一個(gè)學(xué)校的兩名志愿者不相鄰，則不同的站法種數(shù)有（）

A.36B.72C.144D.288

【答案】B

【分析】先求出第一排有2人來自甲校，1人來自乙校，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出不同的站法種數(shù).同理

可得，第一排有2人來自乙校，1人來自甲校，不同的站法種數(shù).然后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，相加即可得

出答案.

【詳解】第一排有2人來自甲校，1人來自乙校：

第一步，從甲校選出2人，有種選擇方式；

第二步，2人站在兩邊的站法種數(shù)有；

第三步，從乙校選出1人，有種選擇方式；

第四步，第二排甲校剩余的1人站中間，乙校剩余的2人站在兩邊的站法種數(shù)有.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)有.

同理可得，第一排有2人來自乙校，1人來自甲校，不同的站法種數(shù)有.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)有.

故選：B.

3.設(shè)，貝I］（）

A.84B.56C.36D.28

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的展開式特征，列出的表達(dá)式，再利用組合數(shù)性質(zhì)計(jì)算作答.

【詳解】依題意，.

故選：A

4.某醫(yī)院對(duì)10名入院人員進(jìn)行新冠病毒感染篩查，若采用單管檢驗(yàn)需檢驗(yàn)10次；若采用10合一混管檢

驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為陰性則只要檢驗(yàn)1次，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，就要再全部進(jìn)行單管檢驗(yàn).記10合一混管檢

驗(yàn)次數(shù)為，當(dāng)時(shí)，10名人員均為陰性的概率為（）

A.0.01B.0.02C.0.1D.0.2

【答案】C

【分析】依據(jù)題意寫出隨機(jī)變量的的分布列，利用期望的公式即可求解.

【詳解】設(shè)10人全部為陰性的概率為，混有陽性的概率為，

若全部為陰性，需要檢測1次，若混有陽性，需要檢測11次，

則隨機(jī)變量的分布列

，解得，

故選：C.

5.某興趣小組研究光照時(shí)長x（h）和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所

示的散點(diǎn)圖.若去掉后，下列說法正確的是（）

%

.￡"(8,11)

8(2,6)

/-C(3,5)

[(1，4).0(10,2)

萬x

A.相關(guān)系數(shù)r變小B.決定系數(shù)變小

C.殘差平方和變大D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)

【答案】D

【分析】從圖中分析得到去掉后，回歸效果更好，再由相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，殘差平方和和相關(guān)性的概念

和性質(zhì)作出判斷即可.

【詳解】從圖中可以看出較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉后，回歸效果更好，

對(duì)于A,相關(guān)系數(shù)越接近于1,模型的擬合效果越好，若去掉后，相關(guān)系數(shù)r變大，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,決定系數(shù)越接近于1,模型的擬合效果越好，若去掉后，決定系數(shù)變大，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，若去掉后，殘差平方和變小，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若去掉后，解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，且是正相關(guān)，故D正確.

故選：D.

6.已知事件滿足,，則()

A.若，則

B.若與互斥，則

C.若與相互獨(dú)立，則

D.若，則與不相互獨(dú)立

【答案】B

【分析】根據(jù)事件的包含關(guān)系，互斥事件的概率加法，以及獨(dú)立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，

逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A,若，貝U，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若與互斥，則，所以B正確；

對(duì)于C,若與相互獨(dú)立，可得與相互獨(dú)立，

所以，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由，可得，

所以，所以，所以與相互獨(dú)立，所以D錯(cuò)誤.

故選：B.

7.某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，，其中，擊中奇數(shù)次為事件，則（）

A.若，則取最大值時(shí)

B.當(dāng)時(shí)，取得最小值

C.當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大

D.當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小

【答案】C

【分析】對(duì)于A,根據(jù)直接寫出，然后根據(jù)取最大值列式計(jì)算即可判斷；對(duì)于B,根據(jù)，直接寫出即可判斷;

對(duì)于CD,由題意把表示出來，然后利用單調(diào)性分析即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，

當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，

因?yàn)槿∽畲笾?，所以?/p>

即，

即，解得，

因?yàn)榍?，所以，即時(shí)概率最大.故A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,,當(dāng)時(shí)，取得最大值，故B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C、D,

當(dāng)時(shí)，為正項(xiàng)且單調(diào)遞增的數(shù)列，所以隨著的增大而增大，故C正確；

當(dāng)時(shí)，，為正負(fù)交替的擺動(dòng)數(shù)列，所以不會(huì)隨著的增大而減小，故D不正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)分布及其應(yīng)用，其中求是難點(diǎn)，關(guān)鍵是能找到其與二項(xiàng)展開式之間的聯(lián)

系.

8.已知函數(shù),，若存在，使得成立，則的最小值為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】由題設(shè)知，研究的單調(diào)性及最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合確定、的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得，進(jìn)而將目標(biāo)式

化為且，構(gòu)造函數(shù)研究最小值即可.

【詳解】由題設(shè)，即，

由，則上，遞減；上，遞增;

,且，圖象如下：

由圖知：時(shí)，，即且，所以，

令且，貝U,

時(shí)，，遞減；時(shí)，，遞增；

所以，即的最小值為.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用同構(gòu)得到，導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，結(jié)合得到為關(guān)鍵.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.“天宮課堂”是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個(gè)太空科普教育品牌.為了解學(xué)生對(duì)“天宮課堂”的

喜愛程度，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)，則（）

喜歡天宮課堂不喜歡天宮課堂

男生8020

女生7030

參考公式及數(shù)據(jù)：①，.②當(dāng)時(shí)，.

A.從這200名學(xué)生中任選1人，己知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率為

B.用樣本的頻率估計(jì)概率，從全校學(xué)生中任選3人，恰有2人不喜歡天宮課堂的概率為

C.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡天宮課堂與性別沒有關(guān)聯(lián)

D.對(duì)抽取的喜歡天宮課堂的學(xué)生進(jìn)行天文知識(shí)測試，男生的平均成績?yōu)?0,女生的平均成績?yōu)?0,則

參加測試的學(xué)生成績的均值為85

【答案】BC

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式判斷A,首先求出樣本中喜歡天宮課堂的頻率，再根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的

概率公式判斷B,計(jì)算出卡方，即可判斷C,根據(jù)平均公式判斷D.

【詳解】對(duì)于A：從這200名學(xué)生中任選1人，已知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：樣本中喜歡天宮課堂的頻率，從全校學(xué)生中任選3人，

恰有2人不喜歡天宮課堂的概率，故B正確；

對(duì)于C：因?yàn)椋?/p>

所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡天宮課堂與性別沒有關(guān)聯(lián)，故C正確；

對(duì)于D：抽取的喜歡天宮課堂的學(xué)生男、女生人數(shù)分別為、，

又男生的平均成績?yōu)?，女生的平均成績?yōu)?，所以參加測試的學(xué)生成績的均值為，故D錯(cuò)誤；

故選：BC

10.隨機(jī)變量的分布列如表：其中，下列說法正確的是（）

C.有最大值D.隨y的增大而減小

【答案】ABC

【分析】利用分布列的性質(zhì)以及期望與方差公式，列出表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】由題意可知，即，故A正確；

,故B正確；

因?yàn)?，，易得?/p>

而開口向下，對(duì)稱軸為，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故在處取得最大值，

所以隨著y的增大先增大后減小，當(dāng)時(shí)取得最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再

從乙袋中任取2球，記事件4="從甲袋中任取1球是紅球”，記事件2="從乙袋中任取2球全是白球“，則

()

A.事件A與事件B相互獨(dú)立B.

C.D.

【答案】CD

【分析】由古典概型概率計(jì)算公式，以及條件概率公式分項(xiàng)求解判斷即可.

【詳解】現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球可知：

從甲袋中任取1球?qū)σ掖腥稳?球有影響，事件A與事件8不是相互獨(dú)立關(guān)系，故A錯(cuò)誤；

從甲袋中任取1球是紅球的概率為:，從甲袋中任取1球是白球的概率為:，

所以乙袋中任取2球全是白球的概率為：

,故B錯(cuò)誤；

,所以，故C正確；

,故D正確.

故選：CD

12.已知，貝!J()

A.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在，使得與有互相平行的切線

B.對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，存在，使得成立

C.在上的最小值為0,則的最大值為

D.存在，使得對(duì)于任意恒成立

【答案】ABC

【分析】對(duì)于A,對(duì)兩函數(shù)求導(dǎo)，再求出導(dǎo)函數(shù)的值域，由兩值域的關(guān)系分析判斷，對(duì)于B,由可得，從而

可判斷，對(duì)于C,令，再由可得，由題意設(shè)為的極小值點(diǎn)，然后列方程表示出，從而可用表示，再構(gòu)造函

數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證得結(jié)論，對(duì)于D,根據(jù)函數(shù)值的變化情況分析判斷.

【詳解】對(duì)于A,,

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

綜上,，

所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在，使與有交集，

所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在，使得與有互相平行的切線，所以A正確，

對(duì)于B,由于給定的實(shí)數(shù)，當(dāng)給定時(shí)，則為定值，由，得

,,所以存在使上式成立，所以B正確，

對(duì)于C,令，而，

由題意可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以,

所以，即，

若在上遞增，

因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?,

所以，得，

所以，則在上恒成立，

即在上恒成立，

令，貝U,

所以在上單調(diào)遞增，

所以，所以，

所以，

若在上不單調(diào)，

因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?,

所以設(shè)為的極小值點(diǎn)，則

,解得，

所以

令，則

由，得，

或，

解得，或（舍去），或（舍去），或,

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上遞增，在上遞減，

所以，

綜上，所以C正確，

對(duì)于D,,當(dāng)時(shí)，，所以D錯(cuò)誤，

故選：ABC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，對(duì)于

選項(xiàng)C解題的關(guān)鍵是由題意設(shè)為的極小值點(diǎn)，貝IJ,求出，則可表示出再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得結(jié)果，考

查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某學(xué)校門口現(xiàn)有2輛共享電動(dòng)單車，8輛共享自行車.現(xiàn)從中一次性隨機(jī)租用3輛，則恰好有2輛共享

自行車被租用的概率為.

【答案】

【分析】根據(jù)古典概型列式結(jié)合組合數(shù)計(jì)算求解概率即可.

【詳解】恰好有2輛共享自行車被租用的概率為

故答案為:.

14.若，則—.

【答案】

【分析】觀察已知條件，通過求導(dǎo)賦值構(gòu)造出式子計(jì)算即可.

【詳解】已知，對(duì)式子兩邊同時(shí)求導(dǎo)，

得，

令，得.

故答案為：240

15.某校高二學(xué)生的一次數(shù)學(xué)診斷考試成績（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，

記該同學(xué)的成績?yōu)槭录?，記該同學(xué)的成績?yōu)槭录瑒t在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率.（結(jié)果

用分?jǐn)?shù)表示）

附參考數(shù)據(jù)：，.

【答案】

【分析】利用正態(tài)分布性質(zhì)和條件概率公式求解即可.

【詳解】由題知，

事件為“記該同學(xué)的成績”，

因?yàn)?，

所以，

又，

所以.

故答案為：

16.若，則實(shí)數(shù)最大值為.

【答案】

【分析】二次求導(dǎo)，結(jié)合隱零點(diǎn)得到方程與不等式，變形后得到，從而,，代入，得到的最大值.

【詳解】，定義域?yàn)椋?/p>

則，

令，

則，在上單調(diào)遞增，

且時(shí)，當(dāng)時(shí)，

使得即

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以②，

由得①，

即，代入②得，，

整理得

故的最大值為3.

故答案為：3

【點(diǎn)睛】隱零點(diǎn)的處理思路：

第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)

間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替

換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)生物遺傳學(xué)的過程中，為驗(yàn)證高爾頓提出的關(guān)于兒子成年后身高y（單位：）

與父親身高無（單位：）之間的關(guān)系及存在的遺傳規(guī)律，隨機(jī)抽取了5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)，如下表：

父親身高160170175185190

兒子身高170174175180186

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程，并利用回歸直線方程分別確定兒子比父親高和兒子比父親矮

的條件，由此可得到怎樣的遺傳規(guī)律？

（2）記，其中為觀測值，為預(yù)測值，為對(duì)應(yīng)的殘差.求（1）中兒子身高的殘差的和、并探究這個(gè)結(jié)果是否對(duì)任

意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量都成立？若成立加以證明；若不成立說明理由.

參考數(shù)據(jù)及公式：

【答案】（1）,時(shí)，兒子比父親高；時(shí)，兒子比父親矮，

兒子身高有一個(gè)回歸，回歸到全種群平均高度的趨勢.

（2）0；任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)已知求得回歸方程的系數(shù)，即可得回歸方程，解不等式可得到結(jié)論；

（2）結(jié)合題中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，可求得兒子身高的殘差的和，從而可得結(jié)論，結(jié)合回歸方程系數(shù)的計(jì)算公式

即可證明.

【詳解】（1）由題意得,，，所以回歸直線方程為，

令得，即時(shí)，兒子比父親高；

令得，即時(shí),兒子比父親矮,

可得當(dāng)父親身高較高時(shí)，兒子平均身高要矮于父親，即兒子身高有一個(gè)回歸，回歸到全種群平均高度的趨

勢.

（2）由可得，

所以，

又，所以，

結(jié)論：對(duì)任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，

證明：.

18.已知函數(shù)，其中.

(1)討論方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)

【分析】(1)由即方程有沒有解的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與軸有沒有交點(diǎn)問題，分類討論即可得出結(jié)果.

(2)不等式可化為：，就、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)由可得,,

令，令，可得，

當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在時(shí)取得最小值，

所以當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，

當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

當(dāng)時(shí)，，故，

而，,

設(shè)，則,

故在上為增函數(shù)，故，

故有兩個(gè)零點(diǎn)即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.

(2)由題意可知，

不等式可化為，.

即當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以，即，

令，

則在上單調(diào)遞增，而，

當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

故，

由題設(shè)可得，

設(shè)，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，

而，故.

當(dāng)即時(shí)，因?yàn)椋?/p>

故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，

故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

故，

而，故，故

因?yàn)椋?，故符合?/p>

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考

查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題.

19.已知甲箱、乙箱均有6件產(chǎn)品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品.

(1)現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，求從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰

好是次品的概率；

(2)現(xiàn)需要通過檢測將甲箱中的次品找出來，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到能將次品全部找

出時(shí)檢測結(jié)束，已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用15元，設(shè)表示能找出甲箱中的所有次品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用

(單位：元)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴

(2)分布列見解析，

【分析】(1)由全概率公式計(jì)算從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰好是次品的概率；

(2)計(jì)算的所有可能取值的概率，進(jìn)而列出分布列，計(jì)算期望.

【詳解】(1)設(shè)"從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為正品"，"從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品為一件正品，一件次品”,

“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為次品"，"從乙箱中抽取的一件產(chǎn)品為次品"，由全概率公式，

得

(2)的所有可能取值為30,45,60,75.

則；

所以的分布列為

30456075

的數(shù)學(xué)期望(元).

20.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

⑴求的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明:

【答案】⑴

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)值的符號(hào)即可

得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)把原函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有三個(gè)根，構(gòu)造，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合根的分布得，要證，等價(jià)于

證，

等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)從而證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性即可證明.

【詳解】(1)因?yàn)槎x域?yàn)椋郑?/p>

(i)當(dāng)單調(diào)遞減；

(ii)當(dāng),記，則,

當(dāng)；當(dāng)，

所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.

又，所以，

①當(dāng)，則單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

②當(dāng)，由(ii)知，有兩個(gè)零點(diǎn)，

記兩零點(diǎn)為，且，

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因?yàn)椋?，?1，

所以，

所以，且趨近0,趨近于正無窮大，趨近正無窮大，趨近負(fù)無窮大，

所以函數(shù)有三零點(diǎn)，

綜上所述,;

(2)等價(jià)于，即，

令，貝

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

由(1)可得，則,

所以，所以，

則滿足，，

要證，等價(jià)于證，

易知，令，貝1),

令得，令得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

下面證明，由，即證，

即證，

即證，

即證，

令，,

令，則,所以，

所以，則，所以，

所以，所以，

所以，所以原命題得證.

【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：

(1)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定

極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；

(2)方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過

構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研

究；③構(gòu)造