浙江省瑞安市2024屆中考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

浙江省瑞安市重點(diǎn)名校2024年中考數(shù)學(xué)四模試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖，。。的半徑為6,直徑CD過弦EF的中點(diǎn)G,若NEOD=60。，則弦CF的長(zhǎng)等于（）

D

A.6B.673C.373D.9

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A從（3,4）出發(fā)，繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，則點(diǎn)A不經(jīng)過（）

A.點(diǎn)MB.點(diǎn)NC.點(diǎn)PD.點(diǎn)Q

3.-23的相反數(shù)是（）

A.-8B.8C.-6D.6

4.如圖，在AABC中，點(diǎn)D在AB邊上，DE〃BC,與邊AC交于點(diǎn)E,連結(jié)BE,記△ADE,△BCE的面積分別為

A.若2AD>AB,貝113sl>2S2B.若2AD>AB,則3SiV2s2

C.若2ADVAB,貝!13sl>2S2D.若2ADVAB,貝!|3SiV2s2

5.已知正多邊形的一個(gè)外角為36。，則該正多邊形的邊數(shù)為（）.

A.12B.10C.8D.6

6.下列關(guān)于x的方程一定有實(shí)數(shù)解的是（）

A.X2—mx—1=0B.ax=3

C.Jx-6A/4-X=0D.-=X

x-1x-1

7.方程（k-1"?-FEx+；=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）.

A.k>lB.k<lC.k>lD.k<l

8.等腰RtZVRC中，44c=90°,D是AC的中點(diǎn)，EC，班）于E,交BA的延長(zhǎng)線于F,若防=12,貝！LEBC

A.40B.46C.48D.50

9.若正六邊形的邊長(zhǎng)為6,則其外接圓半徑為（）

A.3B.372C.36D.6

x-2y=a+l

10.方程組.°，的解x、y滿足不等式2x-y>L則a的取值范圍為（）

x+y=2a-l

1123

A.a>一B.a>—C.a<—D.a>一

2332

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.廊橋是我國(guó)古老的文化遺產(chǎn).如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-?2+〃，為

保護(hù)廊橋的安全,在該拋物線上距水面AB高為8米的點(diǎn)E,F處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是

米/精確到1米）

12.已知拋物線y=ax2+〃x+c的部分圖象如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是

13.已知。Oi、。。2的半徑分別為2和5,圓心距為d,若。Oi與。02相交，那么d的取值范圍是.

14.如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為4力77,圓柱高為2而，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)。嵌有一圈金屬絲，則這圈

金屬絲的周長(zhǎng)最小為dm.

15.一個(gè)布袋中裝有1個(gè)藍(lán)色球和2個(gè)紅色球，這些球除顏色外其余都相同，隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回?fù)u勻，再隨機(jī)摸

出一個(gè)球，則兩次摸出的球都是紅球的概率是.

16.被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國(guó)古代算法的扛鼎之作.《九章算術(shù)》中記載：“今有五雀、六燕,

集稱之衡，雀俱重，燕俱輕?一雀一燕交而處，衡適平?并燕、雀重一斤?問燕、雀一枚各重幾何？”

譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕?將一只雀、一只燕交換位置而放，

重量相等.5只雀、6只燕重量為1斤?問雀、燕每只各重多少斤？”設(shè)每只雀重x斤，每只燕重y斤,可列方程組為

三、解答題(共8題，共72分)

17.(8分)已知：如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,AD=CD,E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且EA=EC.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)如果NBDC=30。，DE=2,EC=3,求CD的長(zhǎng).

18.(8分)如圖，拋物線y=ax?+2x+c與x軸交于A、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，試求出點(diǎn)Q的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.（8分）（定義）如圖1,A,B為直線1同側(cè)的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線1的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接A，B交直線1于點(diǎn)P,連

接AP,則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A,B關(guān)于直線1的“等角點(diǎn)”.

（運(yùn)用）如圖2,在平面直坐標(biāo)系xOy中，已知A（2,V3）,B（-2,-石）兩點(diǎn).

（1）C（4,4），D（4,學(xué)），E（4,勺三點(diǎn)中，點(diǎn)是點(diǎn)A,B關(guān)于直線x=4的等角點(diǎn)；

（2）若直線1垂直于x軸，點(diǎn)P（m,n）是點(diǎn)A,B關(guān)于直線1的等角點(diǎn)，其中m>2,ZAPB=a,求證：tan，；；

（3）若點(diǎn)P是點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=ax+b（a邦）的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)NAPB=60。時(shí)，求b的

取值范圍（直接寫出結(jié)果）.

20.（8分）矩形AOBC中，OB=4,OA=1.分別以O(shè)B,OA所在直線為x軸，y軸，建立如圖1所示的平面直角坐

標(biāo)系.F是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y="（k>0）的圖象與邊AC交于點(diǎn)E。當(dāng)點(diǎn)

x

F運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；連接EF,求NEFC的正切值；如圖2,將ACEF沿EF折疊，點(diǎn)C恰好

落在邊OB上的點(diǎn)G處，求此時(shí)反比例函數(shù)的解析式.

2

21.(8分)先化簡(jiǎn)，再求值：(x-3)+(--------1),其中x=-L

x-1

22.(10分)如圖，己知AB是0c的直徑，C為圓上一點(diǎn)，D是回的中點(diǎn)，CH-B于&垂足為H,連交弦呂。

BC

于E,交CH于F，聯(lián)結(jié)后才

⑴求證：△BHE々BCO。

23.(12分)如圖1,已知拋物線y=-x?+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是

拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為1,1與x軸的交點(diǎn)為D.在直線1上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形？若

存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)如圖2,連接BC,PB,PC,設(shè)ZkPBC的面積為S.

①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

24.有兩把不同的鎖和四把不同的鑰匙，其中兩把鑰匙恰好分別能打開這兩把鎖，其余的鑰匙不能打開這兩把鎖.現(xiàn)

在任意取出一把鑰匙去開任意一把鎖.

(1)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述試驗(yàn)所有可能結(jié)果；

(2)求一次打開鎖的概率.

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、B

【解題分析】

連接DF,根據(jù)垂徑定理得到。后=￡）/，得到NDCF=；NEOD=30。，根據(jù)圓周角定理、余弦的定義計(jì)算即可.

【題目詳解】

解：連接DF,

???直徑CD過弦EF的中點(diǎn)G,

??DE-DF9

：.ZDCF=-ZEOD=30°,

2

〈CD是。O的直徑，

.\ZCFD=90o,

.,.CF=CD?COSZDCF=12X2/1=673，

2

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的是垂徑定理的推論、解直角三角形，掌握平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

是解題的關(guān)鍵.

2、C

【解題分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，逐一判斷即可.

【題目詳解】

解：連接OA、OM、ON、OP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離與OA的長(zhǎng)度應(yīng)相等

根據(jù)網(wǎng)格線和勾股定理可得：OA=53?+42=5,OM=J32+42=5,ON=J32+42=5,OP=722+42=2s/5

OQ=5

?/OA=OM=ON=OQ/OP

.,.則點(diǎn)A不經(jīng)過點(diǎn)P

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等和用勾股定理求線段的長(zhǎng)是解

決此題的關(guān)鍵.

3、B

【解題分析】

V-23=-8,-8的相反數(shù)是8,—23的相反數(shù)是8,

故選B.

4、D

【解題分析】

根據(jù)題意判定△ADE-AABC,由相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答.

【題目詳解】

?如圖，在△ABC中，DE〃BC,

/.△ADE-^AABC,

_____________(ADy

Sy+S2+SBDEAB

&r)iSi"

.,.若1AD>AB,即——>一時(shí),

AB2S[+$2+SBDE4

此時(shí)3SI>SI+SABDE,而SI+SABDE<1SI.但是不能確定3Si與ISi的大小,

故選項(xiàng)A不符合題意，選項(xiàng)B不符合題意.

AF)1工<1

若1ADVAB,即——〈一時(shí),

AB2Sl+S^+SBDE4

此時(shí)3SIVSI+SABDE〈1SI,

故選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意.

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意

利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平

行線構(gòu)造相似三角形.

5、B

【解題分析】

利用多邊形的外角和是360。，正多邊形的每個(gè)外角都是36。，即可求出答案.

【題目詳解】

解：360。+36。=10,所以這個(gè)正多邊形是正十邊形.

故選:B.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了多邊形的外角和定理.是需要識(shí)記的內(nèi)容.

6、A

【解題分析】

根據(jù)一元二次方程根的判別式、二次根式有意義的條件、分式方程的增根逐一判斷即可得.

【題目詳解】

A.x2-mx-l=0中A=m2+4>0,一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；

B.ax=3中當(dāng)a=0時(shí)，方程無(wú)解，不符合題意；

x-6>0

C.由匕八可解得不等式組無(wú)解，不符合題意；

4-%>0

1Y

D.—；=「有增根x=L此方程無(wú)解，不符合題意；

X~1X~1

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式、二次根式有意義的條件、分式方程的增根.

7、D

【解題分析】

當(dāng)k=l時(shí)，原方程不成立，故k丹，

當(dāng)k再時(shí)，方程(k-1"?-=Fx+；=O為一元二次方程.

???此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

Ab2-4ac=(-VT:k)2-4x(k-l)x-=l-k-(k-l)=2-2k>0,解得：k<l.

4

綜上k的取值范圍是k<L故選D.

8^C

【解題分析】

VCE1BD,，/BEF=90。，VZBAC=90°,二NCAF=90。，

/.ZFAC=ZBAD=90°,ZABD+ZF=90°,ZACF+ZF=90°,

:.NABD=NACF,

又；AB=AC,.,.AABD^AACF,/.AD=AF,

VAB=AC,D為AC中點(diǎn)，/.AB=AC=2AD=2AF,

VBF=AB+AF=12,/.3AF=12,；.AF=4,

；.AB=AC=2AF=8,

?,.SAFBC=-XBFXAC=-X12X8=48,故選C.

22

9、D

【解題分析】

連接正六邊形的中心和各頂點(diǎn)，得到六個(gè)全等的正三角形，于是可知正六邊形的邊長(zhǎng)等于正三角形的邊長(zhǎng)，為正六邊

形的外接圓半徑.

【題目詳解】

如圖為正六邊形的外接圓，ABCDEF是正六邊形，

ZAOF=10°,VOA=OF,AAAOF是等邊三角形，.\OA=AF=1.

所以正六邊形的外接圓半徑等于邊長(zhǎng)，即其外接圓半徑為1.

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了正六邊形的外接圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，找出線段之間的關(guān)系.

10、B

【解題分析】

方程組兩方程相加表示出2x-y,代入已知不等式即可求出a的范圍.

【題目詳解】

x-2y=。+1①

x+y=2a-1(2)

①+②得：2x-y=3a>1,

解得：tz>—.

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知

數(shù)的值.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)

11,8由

【解題分析】

由于兩盞E、F距離水面都是8m,因而兩盞景觀燈之間的水平距離就

是直線y=8與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值.

故有-務(wù)+1。=8,

即X?=8。，xi=4亞X2=-445.

所以兩盞警示燈之間的水平距離為：\xi-x2\=\4小-(-4?\=8$xl8(in)

12、-l<x<3

【解題分析】

根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸以及拋物線與X軸的一個(gè)交點(diǎn)，確定拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)，再結(jié)合圖象即可得出答案.

【題目詳解】

解：根據(jù)二次函數(shù)圖象可知：

拋物線的對(duì)稱軸為直線X=l,與X軸的一個(gè)交點(diǎn)為(-1,0),

二拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3,0),

結(jié)合圖象可知，當(dāng)y>0時(shí)，即x軸上方的圖象，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍是-l<x<3,

故答案為：-l<x<3.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了二次函數(shù)與不等式的問題，解題的關(guān)鍵是通過圖象確定拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，并熟悉二次函數(shù)與不

等式的關(guān)系.

13、3<d<7

【解題分析】

若兩圓的半徑分別為R和r,且RNr,圓心距為d：相交，貝!JR-r<d<R+r,從而得到圓心距O1O2的取值范圍.

【題目詳解】

???OO1WOO2的半徑分別為2和5,且兩圓的位置關(guān)系為相交，

二圓心距OiO2的取值范圍為5-2<d<2+5,即3<d<7.

故答案為：3<d<7.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系.

14、4A/2

【解題分析】

要求絲線的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即

可.

【題目詳解】

解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC的長(zhǎng)度.

?圓柱底面的周長(zhǎng)為4dm,圓柱高為2dm,

；.AB=2dm,BC=BC,=2dm,

?\AC2=22+22=8,

?*.AC=2y/2dm.

這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC=4V2dm.

故答案為：40dm

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了平面展開-最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高,

本題把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”是解題的關(guān)鍵.

4

15、-

9

【解題分析】

首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的球都是紅球的情況，再利用概率公式即

可求出答案.

【題目詳解】

畫樹狀圖得:

第一加藍(lán)紅紅

：AAA

第二次藍(lán)紅紅藍(lán)紅紅藍(lán)紅紅

???共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出的球都是紅球的由4種情況,

4

,兩次摸出的球都是紅球的概率是一，

9

4

故答案為§.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了求隨機(jī)事件概率的方法，解本題的要點(diǎn)在于根據(jù)題意畫出樹狀圖，從而求出答案.

［公(5%+6y=1

工0、(3x-4y=0

【解題分析】

設(shè)雀、燕每1只各重X斤、y斤，根據(jù)等量關(guān)系：今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重,

燕輕.將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量為1斤，列出方程組求解即可.

【題目詳解】

設(shè)雀、燕每1只各重x斤、y斤，根據(jù)題意，得

^x+y=5y+x

<

5%+6y=1

3x-4y=0

整理，得

5%+6y=1

3x-4y=0

故答案為

5x+6y=l

【題目點(diǎn)撥】

考查二元一次方程組得應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析題意，找出題中的等量關(guān)系.

三、解答題(共8題，共72分)

17、(1)證明見解析；(2)CD的長(zhǎng)為20+百.

【解題分析】

(1)首先證得△AOEgaCOE,由全等三角形的性質(zhì)可得NAOE=NC￡)E,由AO〃5c可得NAOE=NCBD,易得

ZCDB=ZCBD,可得5C=CZ>,易得AO=BC,利用平行線的判定定理可得四邊形ABC。為平行四邊形，由AZ>=CZ>

可得四邊形ABC。是菱形；

(2)作Ef\LCZ)于F,在R3OE尸中，根據(jù)30。的性質(zhì)和勾股定理可求出EF和。尸的長(zhǎng)，在R3CE歹中，根據(jù)勾

股定理可求出C歹的長(zhǎng)，從而可求C。的長(zhǎng).

【題目詳解】

證明：(1)在AADE與ACDE中，

'EA=EC

"AD=CD，

DE=DE

/.△ADE^ACDE(SSS),

/.ZADE=ZCDE,

；AD〃BC,

.\ZADE=ZCBD,

.\ZCDE=ZCBD,

；.BC=CD,

?/AD=CD,

.\BC=AD,

...四邊形ABCD為平行四邊形，

VAD=CD,

**?四邊形ABCD是菱形；

(2)作EF_LCD于F.

VZBDC=30°,DE=2,

EF=1,DF=-\/3,

VCE=3,

.?.CF=2*Q,

.?.CD=2&+?.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.證明

是解(1)的關(guān)鍵，作EbLC。于尸，構(gòu)造直角三角形是解(2)的關(guān)鍵.

18、(1)y=-x2+2x+3；⑵見解析.

【解題分析】

⑴將5(3,0),C(0,3)代入拋物線產(chǎn)奴2+2*+(；,可以求得拋物線的解析式；

(2)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,t),利用勾股定理求出AC?、AQ\CQ2,然后分AC為斜邊，

AQ為斜邊，CQ時(shí)斜邊三種情況求解即可.

【題目詳解】

解：(1)?.?拋物線丫=2*2+2*+?與X軸交于A、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),

...(9a+6+c=0,得卜=-1,

Ic=3Ic=3

2

,該拋物線的解析式為y=-x+2x+3;

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，

理由：?..拋物線y=-x?+2x+3=-(x-1)2+4,點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)C(0,3),

...拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(Lt),貝?。?/p>

AC2=OC2+OA2=32+12=10,

AQ2=22+t2=4+t2,

CQ2=12+（3-t）2=t2-6t+10,

當(dāng)AC為斜邊時(shí)，

10=4+t2+t2-6t+10,

解得，tl=l或t2=2,

.?.點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1,1）或（1,2）,

當(dāng)AQ為斜邊時(shí)，

4+t2=10+t2-6t+10,

解得，t=1,

...點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-|),

當(dāng)CQ時(shí)斜邊時(shí)，

t2-6t+10=4+t2+10,

解得，t=4，

J

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,

由上可得，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,1)、(1,2)、(1,-|)或(1,-1-)時(shí)，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，勾股定理及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握待定系數(shù)

法是解(1)的關(guān)鍵，分三種情況討論是解(2)的關(guān)鍵.

19、(1)C(2)之(3)b<--且屏-2君或1>>7由

【解題分析】

(1)先求出B關(guān)于直線x=4的對(duì)稱點(diǎn)B，的坐標(biāo)，根據(jù)A、B，的坐標(biāo)可得直線AB，的解析式，把x=4代入求出P點(diǎn)的

縱坐標(biāo)即可得答案；(2)如圖：過點(diǎn)A作直線1的對(duì)稱點(diǎn)A，，連A，B，，交直線1于點(diǎn)P,作BHL1于點(diǎn)H,根據(jù)對(duì)稱

性可知NAPG=ATG,由NAGP=NBHP=90?？勺C明AAGPsaBHP,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得m=￥

根據(jù)外角性質(zhì)可知NA=NA，4,在RtAAGP中，根據(jù)正切定義即可得結(jié)論；(3)當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB的右下方，

NAPB=60。時(shí)，點(diǎn)P在以AB為弦，所對(duì)圓周為60。，且圓心在AB下方，若直線y=ax+b(a#0)與圓相交，設(shè)圓與直

線y=ax+b(a#0)的另一個(gè)交點(diǎn)為Q

根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可證明AABQ是等邊三角形，即點(diǎn)Q為定點(diǎn)，若直線y=ax+b(a^O)與圓相切，易得P、Q重合，所以

直線y=ax+b(a/0)過定點(diǎn)Q,連OQ,過點(diǎn)A、Q分別作AM_Ly軸，QN_Ly軸，垂足分別為M、N,可證明

△AMO^AONQ,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得ON、NQ的長(zhǎng)，即可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A、B、Q的坐標(biāo)可求

出直線AQ、BQ的解析式，根據(jù)P與A、B重合時(shí)b的值求出b的取值范圍即可.

【題目詳解】

(1)點(diǎn)B關(guān)于直線x=4的對(duì)稱點(diǎn)為B'(10,-布)，

直線AB，解析式為：y=-/x+￥，

當(dāng)x=4時(shí)，y=g,

故答案為：C

(2)如圖，過點(diǎn)A作直線1的對(duì)稱點(diǎn)A，，連A，B。交直線1于點(diǎn)P

作BHL于點(diǎn)H

?.?點(diǎn)A和A，關(guān)于直線1對(duì)稱

:.ZAPG=ZATG

,.,ZBPH=ZATG

，ZAPG=ZBPH

?：ZAGP=ZBHP=90°

.*.AAGP^ABHP

.竺_馬而〃2_2

??而=而，即〃2+2=〃+P

mn=2g,EPm=—,

n

VZAPB=a,AP=AP',

:.NA=NA，與

在RtZkAGP中，tan[

2AGm-22

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB的右下方，NAPB=60。時(shí)，

點(diǎn)P在以AB為弦，所對(duì)圓周為60。，且圓心在AB下方

若直線y=ax+b(a/0)與圓相交，設(shè)圓與直線y=ax+b(a/))的另一個(gè)交點(diǎn)為Q

由對(duì)稱性可知：NAPQ=NA，PQ,

又NAPB=60°

NAPQ=NA，PQ=60。

/.ZABQ=ZAPQ=60o,ZAQB=ZAPB=60°

/BAQ=6（T=NAQB=NABQ

.,.△ABQ是等邊三角形

?.?線段AB為定線段

，點(diǎn)Q為定點(diǎn)

若直線y=ax+b（a/0）與圓相切，易得P、Q重合

二直線y=ax+b（a/0）過定點(diǎn)Q

連OQ,過點(diǎn)A、Q分別作AM_Ly軸，QN，y軸，垂足分別為M、N

VA（2,?。?B（-2,-由）

.\OA=OB=V7

VAABQ是等邊三角形

.,.NAOQ=NBOQ=90。，OQ域。8=回，

.\ZAOM+ZNOD=90°

又,.?/AOM+NMAO=90。，ZNOQ=ZMAO

VZAMO=ZONQ=90°

/.△AMO^AONQ

.AMMOAO

??麗=麗=麗，

?2_=地=立

9*ON~NQ~屈'

，ON=2出，NQ=3,，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-273）

設(shè)直線BQ解析式為y=kx+b

將B、Q坐標(biāo)代入得

解得

???直線BQ的解析式為：y=-gx一3

設(shè)直線AQ的解析式為：y=mx+n,

I=2m+n

將A、Q兩點(diǎn)代入?-2后=3m+n9

解得仁患,

:.直線AQ的解析式為：y=-3岳+7書,

若點(diǎn)P與B點(diǎn)重合，則直線PQ與直線BQ重合，此時(shí)，b=-哼,

若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，則直線PQ與直線AQ重合，此時(shí)，b=7書,

又?.?y=ax+b(aRO),且點(diǎn)P位于AB右下方，

?,.b<-?且bW-2后或b>7出.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查對(duì)稱性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及銳角三角函數(shù)正切的定義，熟練

掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

421

20、(1)E(2,1)；(2)—；(1)y=—.

3-8%

【解題分析】

(1)先確定出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)F坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

(2)先確定出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，得出CF,同理表示出CE,即可得出結(jié)論；

(1)先判斷出△EHGS/\GBF,即可求出BG,最后用勾股定理求出k,即可得出結(jié)論.

【題目詳解】

(1)VOA=1,OB=4,

AB(4,0),C(4,1),

；F是BC的中點(diǎn)，

???F在反比例y=&函數(shù)圖象上,

X

.3

..k=4x—=6,

2

反比例函數(shù)的解析式為y=9,

X

???E點(diǎn)的坐標(biāo)為1,

AE（2,1）；

（2）：F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,

F（4,一）?

4

k12-k

；.CF=BC-BF=1--=--------

44

：E的縱坐標(biāo)為1,

，E（-,i）,

3

k12—k

.\CE=AC-AE=4--=--------，

33

CE4

在RtACEF中，tan/EFC=-----=—,

CF3

,、4.m?/、A12—kn-kCE4

（1）如圖，由（2）知，CF=--------,CE=---------,—=-

43CF3

過點(diǎn)E作EHLOB于H,

.'.EH=OA=1,ZEHG=ZGBF=90°,

.,.ZEGH+ZHEG=90°,

由折疊知，EG=CE,FG=CF,ZEGF=ZC=90°,

.?.ZEGH+ZBGF=90°,

:.ZHEG=ZBGF,

VZEHG=ZGBF=90°,

.,.△EHG^AGBF,

.EHEGCE

**BG-FG-CFf

?3_4

??=一,

BG3

9

；.BG=一，

4

在RtAFBG中，F(xiàn)G2-BF2=BG2,

???（『TV

21

k=—

8

.??反比例函數(shù)解析式為y=『21.

8x

點(diǎn)睛：此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù),

求出CE：CF是解本題的關(guān)鍵.

21、-x+1,2.

【解題分析】

先將括號(hào)內(nèi)的分式通分，再將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，約分，最后代入數(shù)值求解即可.

【題目詳解】

原式=(x-2)-r

X-1X-1

X-1

=-x+1,

當(dāng)x=-l時(shí)，原式=1+1=2.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握整式的混合運(yùn)算法則.

22、(1)證明見解析；(2)EH=^

【解題分析】

(1)由題意推出NEHB=Z0CB,再結(jié)合NB=NB，可得△BHE?△BCO.

(2)結(jié)合ABHE?ABCO,推出些=些帶入數(shù)值即可.

BC-OB

【題目詳解】

(1)證明：?.'OD為圓的半徑，。是K的中點(diǎn)，

''OD1BC’BE=CE=5C，

■:CH1AB^

工化HB=90°'

,*HE=*C=BE，

??4=4HB，

?：OB=OC，

4=々CB，

4HB=々CB，

又；q=今

'/LB/ffiS48co?

⑵?：4BHESdBCO,

，BHBE

^C=OB

?：OC=4,BH=1，

?*?OB=/得J—=_?

2BE~4

解得期=6

:，EH=BE=g

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓與相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握?qǐng)A與相似三角形.

23、(1)y=-x2+2x+l.(2)當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,6)；當(dāng)母2時(shí)，不存在，理由見解析；(1)y=-x+1；P

點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為述，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(之，—

824

【解題分析】

【分析】(1)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

(2)連接PC,交拋物線對(duì)稱軸1于點(diǎn)E,由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出對(duì)稱軸1為直線x=l,分t=2和#2兩種情況考慮:

當(dāng)t=2時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可得出此時(shí)存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形，再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)利用平行

四邊形的性質(zhì)可求出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)；當(dāng)#2時(shí)，不存在，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分結(jié)合CErPE可得出此時(shí)

不存在符合題意的點(diǎn)M；

(1)①過點(diǎn)P作PF〃y軸，交BC于點(diǎn)F,由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，根據(jù)點(diǎn)P的

坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出PF的長(zhǎng)度，再由三角形的面積公式即可求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出S的最大值，利用勾股定理可求出線段BC的長(zhǎng)度，利用面積法可求出P點(diǎn)到直線BC的

距離的最大值，再找出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.

【題目詳解】(1)將A(-1,0)、B(1,0)KAy=-x2+bx+c,

-l+b+c=Qb=2

得9解得：＜

-9+3b+c=0、c=3'

，拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+l；

(2)在圖1中，連接PC,交拋物線對(duì)稱軸1于點(diǎn)E,

?拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(1,0)兩點(diǎn)，

...拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)C、P關(guān)于直線1對(duì)稱，此時(shí)存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形,

???拋物線的表達(dá)式為y=