山西省運(yùn)城市永濟(jì)中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

山西省運(yùn)城市永濟(jì)中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在銳角中，角的對邊分別為.若，則角的大小為()A． B．或 C． D．或2．在中，角的對邊分別是，，則的形狀為A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形3．在中，分別是角的對邊,若,且，則的值為()A．2 B． C． D．44．已知1，a，b，c，5五個數(shù)成等比數(shù)列，則b的值為（）A． B． C． D．35．在中，角、、所對的邊長分別為，，，，，，則的面積為（）A． B． C． D．96．平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，將其終邊繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與單位園交于點(diǎn)B，則B的橫坐標(biāo)為（）A． B． C． D．7．將兩個長、寬、高分別為5，4，3的長方體壘在一起，使其中兩個面完全重合，組成一個大長方體，則大長方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．8．已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則的值為()A． B．1 C．3 D．69．已知數(shù)列滿足，且是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，則等于（）A．24 B．32 C．48 D．6410．小敏打開計(jì)算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，A．815 B．18 C．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，若，則____________.12．設(shè)當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則______.13．在銳角△中，角所對應(yīng)的邊分別為，若，則角等于________.14．已知，，則________15．若圓弧長度等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長，則該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為________.16．兩圓，相切，則實(shí)數(shù)＝______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)，若存在，使得，且對任意，均有（即是一個公差為的等差數(shù)列），則稱數(shù)列是一個長度為的“弱等差數(shù)列”.（1）判斷下列數(shù)列是否為“弱等差數(shù)列”，并說明理由.①1，3，5，7，9，11；②2，，，，.（2）證明：若，則數(shù)列為“弱等差數(shù)列”.（3）對任意給定的正整數(shù)，若，是否總存在正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個長度為的“弱等差數(shù)列”？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由18．如圖，三棱柱中，，D為AB上一點(diǎn)，且平面.（1）求證：；（2）若四邊形是矩形，且平面平面ABC，直線與平面ABC所成角的正切值等于2，，，求三樓柱的體積.19．求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.20．某校研究性學(xué)習(xí)小組從汽車市場上隨機(jī)抽取輛純電動汽車調(diào)查其續(xù)駛里程(單次充電后能行駛的最大里程),被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于公里和公里之間,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分成組:,,,,,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值;（2）求輛純電動汽車?yán)m(xù)駛里程的中位數(shù);（3）若從續(xù)駛里程在的車輛中隨機(jī)抽取輛車,求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程為的概率.21．設(shè)角，，其中：（1）若，求角的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

利用正弦定理，邊化角化簡即可得出答案．【詳解】由及正弦定理得，又，所以，所以，又，所以．故選A【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

先根據(jù)二倍角公式化簡，再根據(jù)正弦定理化角，最后根據(jù)角的關(guān)系判斷選擇.【詳解】因?yàn)?，所?,因此,選A.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析轉(zhuǎn)化能力，屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由正弦定理，化簡求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．【詳解】在中，因?yàn)?且，由正弦定理得，因?yàn)?，則，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時，運(yùn)用余弦定理求解.4、A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)也成等比數(shù)列，求解.【詳解】因?yàn)?，a，b，c，5五個數(shù)成等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的符號一致，，.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)，屬于簡單題型，但需注意這個隱含條件.5、A【解析】

，利用正弦定理，和差公式化簡可得，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.【詳解】化為：的面積故選：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與兩角和余弦公式化簡求值，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

，B的橫坐標(biāo)為，計(jì)算得到答案.【詳解】有題意知：B的橫坐標(biāo)為：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、B【解析】

要計(jì)算長方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長方體的對角線是外接球的直徑這一性質(zhì)，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長寬的兩個面重合；（2）長高的兩個面重合；（3）高寬兩個面重合，分別計(jì)算出新長方體的對角線，然后分別計(jì)算出外接球的表面積，最后通過比較即可求出最大值.【詳解】（1）當(dāng)長寬的兩個面重合，新的長方體的長為5，寬為4，高為6，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（2）當(dāng)長高兩個面重合，新的長方體的長5，寬為8，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（3）當(dāng)寬高兩個面重合，新的長方體的長為10，寬為4，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為，顯然大長方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了長方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、C【解析】

設(shè)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求得，然后再求函數(shù)值．【詳解】設(shè)，由題意，，即，∴．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】試題分析：依題意可知，，，，所以.即，故，，，.，所以，又可知.,故.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)、數(shù)列的遞推公式10、C【解析】試題分析：開機(jī)密碼的可能有(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5)，(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是115【考點(diǎn)】古典概型【解題反思】對古典概型必須明確兩點(diǎn)：①對于每個隨機(jī)試驗(yàn)來說，試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．只有在同時滿足①、②的條件下，運(yùn)用的古典概型計(jì)算公式P(A)=m二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

根據(jù)正弦定理角化邊可得答案.【詳解】由正弦定理可得.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理角化邊，屬于基礎(chǔ)題.12、；【解析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時，函數(shù)f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.13、【解析】試題分析：利用正弦定理化簡，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角，所以．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用、以及特殊角的三角函數(shù)值問題，其中解答中涉及到解三角形中的邊角互化，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值的應(yīng)用，解答中熟練掌握正弦定理的變形，完成條件的邊角互化是解答的關(guān)鍵，注重考查了分析問題和解答問題的能力，同時注意條件中銳角三角形，屬于中檔試題．14、【解析】

直接利用反三角函數(shù)求解角的大小，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，根?jù)反三角函數(shù)的性質(zhì)，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角方程的解法，以及反三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的邊長得出弧長，利用弧長公式即可得到圓心角.【詳解】因?yàn)閳A的內(nèi)接正六邊形的邊長等于圓的半徑，所以圓弧長所對圓心角的弧度數(shù)為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】此題考查弧長公式，根據(jù)弧長求圓心角的大小，關(guān)鍵在于熟記圓的內(nèi)接正六邊形的邊長.16、0,±2【解析】

根據(jù)題意，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析兩圓的圓心與半徑，分兩圓外切與內(nèi)切兩種情況討論，求出a的值，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意：圓的圓心為（0，0），半徑為1，圓的圓心為（﹣4，a），半徑為5，若兩圓相切，分2種情況討論：當(dāng)兩圓外切時，有（﹣4）2+a2=（1+5）2，解可得a=±2，當(dāng)兩圓內(nèi)切時，有（﹣4）2+a2=（1﹣5）2，解可得a=0，綜合可得：實(shí)數(shù)a的值為0或±2；故答案為0或±2．【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是掌握圓與圓的位置關(guān)系的判定方法．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①是，②不是,理由見解析（2）證明見解析（3）存在，證明見解析【解析】

（1）①舉出符合條件的具體例子即可；②反證法推出矛盾；

（2）根據(jù)題意找出符合條件的為等差數(shù)列即可；

（3）首先，根據(jù)，將公差表示出來，計(jì)算任意相鄰兩項(xiàng)的差值可以發(fā)現(xiàn)不大于．那么用裂項(xiàng)相消的方法表示出，結(jié)合相鄰兩項(xiàng)差值不大于可以得到，接下來，只需證明存在滿足條件的即可．用和公差表示出，并展開可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)為，而已知，因此在足夠大時顯然成立．結(jié)論得證.【詳解】解：（1）數(shù)列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差數(shù)列”

取分別為1，3，5，7，9，11，13即可；

數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”

否則，若數(shù)列②為“弱等差數(shù)列”，則存在實(shí)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，

，

，又與矛盾，所以數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”；

（2）證明：設(shè)，

令，取，則，

則，

，

，

就有，命題成立．

故數(shù)列為“弱等差數(shù)列”；（3）若存在這樣的正整數(shù)，使得

成立．

因?yàn)?，?/p>

則，其中待定．

從而，

又，∴當(dāng)時，總成立．

如果取適當(dāng)?shù)?，使得，又?/p>

所以，有

，

為使得，需要，

上式左側(cè)展開為關(guān)于的多項(xiàng)式，最高次項(xiàng)為，其次數(shù)為，

故，對于任意給定正整數(shù)，當(dāng)充分大時，上述不等式總成立，即總存在滿足條件的正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個長度為的“弱等差數(shù)列”.【點(diǎn)睛】本題要求學(xué)生能夠從已知分析出“弱等差數(shù)列”要想成立所應(yīng)該具備的要求，進(jìn)而進(jìn)行推理，轉(zhuǎn)化，最后進(jìn)行驗(yàn)證，本題難度相當(dāng)大.18、（1）見詳解；（2）【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的性質(zhì)定理可得，從而可得為的中點(diǎn)，進(jìn)而可證出（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而可得三棱柱為直三棱柱，在中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得棱柱的高為，利用柱體的體積公式即可求解.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，如圖：由平面，且平面平面,所以，由為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又，（2）由四邊形是矩形，且平面平面ABC，所以平面，即三棱柱為直三棱柱，在中，，，，所以，因?yàn)橹本€與平面ABC所成角的正切值等于2，在中，，所以..【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)定理，同時考查了線面角以及柱體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.19、（）【解析】

先化簡函數(shù)得到,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原則結(jié)合整體法求單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】,令,則,因?yàn)槭堑囊淮魏瘮?shù),且在定義域上單調(diào)遞增,所以要求的單調(diào)遞增區(qū)間,即求的單調(diào)遞減區(qū)間,即(),∴(),即(),∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().【點(diǎn)睛】本題考查求復(fù)合型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,答題時注意,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”法則.20、（1）（2）（3）【解析】

（1）利用小矩形的面積和為,求得值,即可求得答案;（2）中位數(shù)的計(jì)算方法為:把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標(biāo),即可求得答案;（3）據(jù)直方圖求出續(xù)駛里程在和續(xù)駛里程在的車輛數(shù),利用排列組合和概率公式求出其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的概率,即可求得答案.【詳解】（1）由直方圖可得:（2）根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算方法為:把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標(biāo).直方圖可得:可得:輛純電動汽車?yán)m(xù)駛里程的中位數(shù).（3）續(xù)駛里程在的車輛數(shù)為:續(xù)駛里程在第五組的車輛數(shù)為.從輛車中隨機(jī)抽取輛車,共有中抽法，其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的抽法有種，其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)條型統(tǒng)計(jì)圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)和根據(jù)組合數(shù)求概率問題,解題關(guān)鍵是掌握條型統(tǒng)計(jì)圖基礎(chǔ)知識和概率的求法,