用軟件工具提高線代數(shù)教學(xué)水平市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎?wù)n件

用軟件工具提升線性代數(shù)教學(xué)水平

項目實施匯報第1頁改革緣由現(xiàn)在線性代數(shù)教學(xué)綱領(lǐng)存在著重大缺點，主要是沒有把“需求牽引”和“技術(shù)推進”作為動力：1。不能滿足工科后續(xù)課需求，按所教方法后續(xù)課無法用來解高階、復(fù)數(shù)矩陣題目；后續(xù)課普遍不用線性代數(shù)解題。2。線性代數(shù)不用計算機解題，不聯(lián)絡(luò)應(yīng)用，不符合課程當(dāng)代化要求，落后于美國十多年；第2頁工科后續(xù)課能用而不用矩陣調(diào)查

（給數(shù)學(xué)教指委提議書中列出）化學(xué)計算機圖形學(xué)高等數(shù)學(xué)信號與系統(tǒng)電路數(shù)字信號處理理論力學(xué)系統(tǒng)動力學(xué)材料力學(xué)自動控制原理數(shù)值計算方法機械振動傳熱學(xué)機器人學(xué)（物理）試驗第3頁一些經(jīng)典應(yīng)用(1)靜力學(xué)中關(guān)鍵是平衡方程，一個空間物體有6個平衡方程，就是n=6線性方程組,兩個剛體相聯(lián)，方程數(shù)n就加倍；電路課中穩(wěn)態(tài)電路關(guān)鍵是基爾霍夫方程，n個節(jié)點（或回路）就有n個方程，交流電路更是復(fù)數(shù)方程。線性代數(shù)教手工解法處理不了，只好不用，還是用中學(xué)代入法，這就是現(xiàn)實狀況。后續(xù)課中要算n都大于3，當(dāng)代科學(xué)計算問題n到達(dá)幾百、幾千，不教計算機結(jié)果是統(tǒng)統(tǒng)不用矩陣，簡單用中學(xué)方法，復(fù)雜只好不算。第4頁靜力學(xué)模型第5頁交流電路模型第6頁經(jīng)典應(yīng)用(2)計算信號流圖傳遞函數(shù)公式。在傳統(tǒng)教材中，都向?qū)W生介紹梅森公式，這個公式是以圖論為基礎(chǔ)，既沒有證實，計算又極繁瑣，后面根本不用，但幾十年就是這么講下來。其實線性系統(tǒng)任何復(fù)雜信號流圖都能夠嚴(yán)格地用矩陣表示，寫成：其中，有N個信號，方程就有N個，矩陣就有N階很輕易得出傳遞函數(shù)W公式：靠手算，這個N階矩陣求逆運算，誰都不敢碰。但若用MATLAB算，很復(fù)雜系統(tǒng)，這個式子不過幾秒鐘就出結(jié)果了，現(xiàn)有嚴(yán)格理論，又可快速計算，比梅森公式強得多。它前提是，學(xué)生會用計算機解線性代數(shù)問題，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是符合當(dāng)代化標(biāo)準(zhǔn)。第7頁一個信號流圖實例第8頁第9頁應(yīng)用(3)頻譜計算把DFT寫成矩陣形式：設(shè)通常N=1024,記作：W矩陣是1024×1024階，106個元素輸入技巧:列×行第10頁應(yīng)用(4)最優(yōu)FIR濾波器設(shè)計歸結(jié)為解以下超定線性方程組求d第11頁應(yīng)用(5)坐標(biāo)測量儀測園直徑測圓周上7點，歸結(jié)為求超定方程最小二乘解c第12頁矩陣在科學(xué)計算中重大意義矩陣是組織海量數(shù)據(jù)進行運算最好數(shù)學(xué)方法假如矩陣運算依然用單個元素運算來完成，那末人們寧愿用代入法或消去法等中學(xué)方法。最少它能夠省掉一些運算量。要使矩陣運算帶來實際好處，必須要有能進行海量數(shù)據(jù)運算、處理、繪圖工具，筆算無法顯示矩陣優(yōu)勢，只有靠計算機。假如計算機每次只對兩個數(shù)進行運算，那它效率和計算器差不多。計算機優(yōu)勢只有在數(shù)據(jù)批處理中才能顯示。會矩陣不會計算機，是瘸子；會計算機不會矩陣，也是瘸子，要把二者優(yōu)勢結(jié)合起來，才算真正進入了科學(xué)計算殿堂。線性代數(shù)能完成這一點，對大學(xué)生，對當(dāng)代化，將是功德無量！第13頁國內(nèi)外教材簡明對比篇幅圖(張)計算軟件工程應(yīng)用實例修訂思想（序言）同濟[1]196×32開6沒有0沒有Leon[2]545×16開>100MATLAB33幾年改一次，熱情給出修訂理由和網(wǎng)上幫助。Lay[3]548×16開≈300MATLAB24第14頁說明我國教材三個弱點1。不注意從幾何圖形引入線性代數(shù)概念，不用圖說明問題。2。不使用當(dāng)代化計算工具，使得解題范圍無法擴大。3。不聯(lián)絡(luò)應(yīng)用實際，不了解科學(xué)和工業(yè)當(dāng)代化對線性代數(shù)需求。不能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。國內(nèi)線性代數(shù)改革，多側(cè)重于課程內(nèi)部概念講法，但缺乏兩點：一是不注意與應(yīng)用、與后續(xù)課等外部關(guān)系改革，二是不注意引進新技術(shù)，沒有用當(dāng)代化計算和教學(xué)工具。這正是我們常講引領(lǐng)科技發(fā)展兩個動力：“需求牽引”和“技術(shù)推進”。少了這兩點，創(chuàng)新新思想、新課題就沒法誕生。第15頁新舊線性代數(shù)內(nèi)容覆蓋圖第16頁綱領(lǐng)改革后解題指標(biāo)1。解6元以上實數(shù)線性代數(shù)方程組（力學(xué)）；2。解3元以上復(fù)數(shù)線性代數(shù)方程組（電路）；3。會進行3階以上信號流圖傳遞函數(shù)計算，即學(xué)會做文字變量求逆運算；（信號與系統(tǒng)）4。進行6階3元以上超定方程組求解；這是指教材中控制例題和習(xí)題深度，我們以為，線性代數(shù)到達(dá)這個水平，與后續(xù)課就能夠?qū)崿F(xiàn)無縫銜接了。實際上，只要學(xué)會使用計算機編程以后，階數(shù)是沒有上限。第17頁補丁書《線性代數(shù)實踐…》補充內(nèi)容為：1。后續(xù)課和工程中應(yīng)用實例；2。線性代數(shù)中全部概念幾何形象,甚至動畫；3。解各種線性代數(shù)問題MATLAB程序；4。適累計算機算習(xí)題。另外就是MATLAB語言入門。它宗旨是實現(xiàn)下面三句口號：線性代數(shù)抽象嗎？看了本書后，你會知道它概念都基于空間形象。線性代數(shù)冗繁嗎？學(xué)了本書后，你會知道它計算全藉助簡明程序。線性代數(shù)枯燥嗎？讀了本書后，你會發(fā)覺它應(yīng)用極其廣泛又精彩。第18頁美國做法1990年開始，先組成了線性代數(shù)課程研究組(LinearAlgebraCurriculumStudyGroup-LACSG)。8月，他們和工程界代表，共同提出了幾條提議，簡稱為LACSGRecommendations：關(guān)鍵點是：(i)，線性代數(shù)課程要面向應(yīng)用，滿足廣大非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生需要；(ii)，它應(yīng)該是面向矩陣;(iii)，它應(yīng)該是依據(jù)學(xué)生水平和需要來組織；(iv)，它應(yīng)該利用最新計算技術(shù);(v)，對數(shù)學(xué)專業(yè)要另設(shè)課程提升其抽象性。1992年NSF又資助了一個ATLAST計劃，ATLAST是AugmenttheTeachingofLinearAlgebrausingSoftwareTools(用軟件工具增強線性代數(shù)教學(xué))縮寫。該計劃在1992到1997六個暑期組織了許多學(xué)習(xí)班。使大批教師接收了科學(xué)計算語言培訓(xùn)。從而在全國推進了線性代數(shù)與計算機結(jié)合。第19頁本項目工作過程（）205月～8月寫出了《線性代數(shù)實踐與MATLAB入門》，209月在學(xué)校支持下辦了40余人線性代數(shù)教師培訓(xùn)班，以稿為教材，講8節(jié)課。并舉行座談，聽取反饋意見。2011月，在一個學(xué)生班中試點加1學(xué)分“線性代數(shù)實踐”。也搜集反饋。這兩項試點結(jié)果都反應(yīng)在2006年4月給教指委提議書中。第20頁試用方法和效果我校利用這本書初稿在全校線性代數(shù)老師辦了一次培訓(xùn)班，給參加培訓(xùn)老師計工作量，所以參訓(xùn)老師踴躍。在學(xué)生班中也作了加一個學(xué)分“線性代數(shù)實踐”試點，收到了很好反應(yīng)。書使用方法是在線性代數(shù)課中加一個《線性代數(shù)實踐》學(xué)分，在線性代數(shù)上到二分之一時候開設(shè)。1學(xué)分，15課時，其中講課10課時（MATLAB4課時，線性代數(shù)實踐6課時）上機10機時（5課時）?？荚嚦煽儼?0~15%計入線性代數(shù)總分。第21頁教師培訓(xùn)班部分反應(yīng)

（見‘培訓(xùn)班部分組員談學(xué)習(xí)體會）培訓(xùn)班40名教師，有27名寫了心得，普遍盛贊引入軟件和實踐好處。見給教指委提議書。“老師不能只抱著一本要求教材上課，必須看外國最新教材和發(fā)展趨勢，并從歷史觀點分析差距產(chǎn)生原因和克服方法；必須了解后續(xù)課怎樣用線性代數(shù)，要更多地了解線性代數(shù)在工程中應(yīng)用。這次培訓(xùn)班和這本實踐教材最大貢獻是在這個方面?！薄霸诋?dāng)前條件下，能夠改革地方應(yīng)該先做起來。比如用本教材中應(yīng)用實例使學(xué)生提升學(xué)習(xí)目標(biāo)性和主動性，充分利用二維、三維空間形象強化學(xué)生感性認(rèn)識；在計算能力方面，當(dāng)前馬上讓全部學(xué)生大量使用MATLAB有一定困難，但最少要告訴同學(xué)哪些工作應(yīng)該由計算機來完成，”第22頁05屆學(xué)生反應(yīng)舉例一邊學(xué)理論，一邊學(xué)實踐，讓我們在其它同學(xué)面前多了一份自豪！欣慰之情難以言表！自豪只是內(nèi)心之感，學(xué)這們課最大致會是多了一技之長！學(xué)以制用，此為學(xué)目標(biāo)：學(xué)matlab讓我深刻地體會到了學(xué)習(xí)線性代數(shù)用途所在，為此解除了迷惑，有了學(xué)習(xí)動力。這門課對我們很有用，可惜只有我們班開課，應(yīng)推廣至全部同學(xué)。最好能增加上機次數(shù)，以后每學(xué)期最好也能開幾次課。不然就忘了，白學(xué)了！在初，對這個已是三年級班又重做了調(diào)查，對“線性代數(shù)實踐”課程依然反應(yīng)很好。97％學(xué)生認(rèn)為線性代數(shù)應(yīng)該筆算、機算都會，才能處理實際問題。線性代數(shù)實踐教給他們很有用能力。而且反應(yīng)學(xué)習(xí)機算并不難。另外，反應(yīng)后續(xù)課沒有很好用機算使他們無用武之地。第23頁1月對05班學(xué)生重新調(diào)查(7)你以為學(xué)生學(xué)完線性代數(shù)課后應(yīng)該：(a)。只會用筆算就夠了；(b)。只會用計算機算就行了；(c)。筆算、機算都會。請說明理由； 答： 2人答(a),8人答(b),80人答(c),未答4(9)增加計算機算題內(nèi)容對教師費不費時？大約要增加多少課時？對學(xué)生掌握起來難不難？會幫助還是減弱理論了解？ 答：不難，8～10課時，能幫助了解。編程有困難，要有多練條件。(13)你在其它哪些課程中曾用計算機解過題？用什么語言？對學(xué)校做好“提升教育當(dāng)代化水平”其它提議。 答：數(shù)值算法，C語言，MATLAB語言，第24頁工作過程（）一是編寫一本兼講理論與實踐教材二是在學(xué)生班中擴大試點：（1）在小學(xué)期開“線性代數(shù)實踐”選修課（不理想），（2）在本碩班（240人）線性代數(shù)課中加“實踐”內(nèi)容；（用“實踐”教材）（3）在技術(shù)物理學(xué)院選一個班（100人），在線性代數(shù)課中加“實踐”內(nèi)容；（試驗新編教材膠印本）三是努力取得教育部支持。一個學(xué)校改受到很大牽制，如考研，統(tǒng)考標(biāo)準(zhǔn)…等。所以，經(jīng)過理工科處找到了教指委，提出提議，得到支持。第25頁工作過程（）1。在總結(jié)膠印教材基礎(chǔ)上，編寫了正式教材《工程線性代數(shù)（MATLAB版）》，.7由電子工業(yè)出版社正式出版。2。教材出版后，快速作出課件；3。爭取了分教指委基金項目。4。繼續(xù)在本科班進行試點，尤其是為了檢驗教材適用性。除正式安排了三個班試點外，在普通班也介紹這本書作為參考書。5。對試點學(xué)生效果進行調(diào)查。第26頁用MATLAB教材優(yōu)越性何在依據(jù)兩年實踐，我們在新書中又把其特點歸納為四個方面，即四個主要特點：1。全部概念都從幾何圖形引入，做到抽象與形象結(jié)合；2。一切繁瑣計算都有簡明程序，推進筆算與機算結(jié)合；3。大量實例詮釋了課程價值，實現(xiàn)理論與實踐結(jié)合；

4。能與后續(xù)課需要緊密銜接?？紤]到部分教師和學(xué)生工程基礎(chǔ)不足，把與后續(xù)課相關(guān)內(nèi)容移到最終一章，能夠選修。第27頁關(guān)于抽象與形象結(jié)合①三元方程組解幾何意義（適定、超定與欠定）；②兩個向量行列式是它們組成平行四邊形面積；③三個向量行列式是它們組成平行六面體體積；④二維、三維向量線性相關(guān)和線性無關(guān)幾何意義；⑤平面（二維）線性變換幾何特征及其意義；⑥三元齊次方程基礎(chǔ)解系幾何特征；⑦二元超定方程最小二乘解幾何表述；⑧二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型不一樣方法幾何解釋第28頁關(guān)于筆算與機算結(jié)合

①矩陣賦值和其加、減、乘、除（求逆）命令；②矩陣化為最簡行階梯型計算命令；[U0,ip]=rref(A)③多元線性方程組MATLAB求解幾個方法；x=inv(A)*b,U=rref(A)④行列式幾個計算機求解方法；D=det(A),[L,U]=lu(A);D=prod(diag(L))⑤n個m維向量組相關(guān)性及其秩計算方法和命令;r=rank(A),U=rref(A)⑥求欠定線性方程組基礎(chǔ)解系及超定方程解MATLAB命令；xb=null(A)⑦矩陣特征方程、特征根和特征向量計算命令；f=poly(A);[P,D]=eig(A)⑧化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型MATLAB命令；yTDy=xTAx;其中y=P-1x,第29頁關(guān)于實現(xiàn)理論與實踐結(jié)合

①多項式插值系數(shù)計算②平板穩(wěn)態(tài)溫度計算③交通流量分析④成本核實問題⑤圖及其矩陣表述⑥網(wǎng)絡(luò)矩陣分割和連接⑦彈性梁柔度矩陣⑧用行列式計算面積第30頁關(guān)于實現(xiàn)理論與實踐結(jié)合(續(xù))⑨化學(xué)方程配平⑩減肥配方實現(xiàn)⑾剛體平面運動計算和繪圖⑿混凝土配料中應(yīng)用⒀圓錐截面二次型方程插值問題⒁人口遷徙模型⒂物料混合問題（用到微分方程）第31頁關(guān)于與后續(xù)課應(yīng)用銜接

①用線性代數(shù)解直流電路舉例②用線性代數(shù)解交流電路舉例③用線性代數(shù)解線性系統(tǒng)中常微分方程舉例④用線性代數(shù)解線性系統(tǒng)中信號流圖舉例⑤用線性代數(shù)求數(shù)字信號處理中系統(tǒng)函數(shù)舉例⑥用線性代數(shù)解靜力學(xué)問題舉例⑦用線性代數(shù)解運動學(xué)問題舉例⑧用線性代數(shù)解機械測量學(xué)問題舉例⑨用線性代數(shù)解文件管理問題舉例⑩用線性代數(shù)解經(jīng)濟管理問題舉例第32頁以上四個特點綜合這大致可反應(yīng)在“導(dǎo)讀與意見反饋表”中這張表表明了新教材與傳統(tǒng)教材內(nèi)容主要差異，或者說新教材增加內(nèi)容。這里列出了40條左右，其實因表篇幅限制，這還是不完全統(tǒng)計，比如奇異值分解、計算精度和速度討論等新內(nèi)容都未列入。理論上增加了超定方程解，那是工程上極有用內(nèi)容。所以對于大學(xué)新生自學(xué)閱讀參考書而言，本書也是非常有價值。第33頁學(xué)生反應(yīng)對三屆試點班民調(diào)都顯示，學(xué)生都反對只教筆算，對試點中自己學(xué)會機算非常自豪。其主要好處：①。學(xué)以致用，有目標(biāo)，有興趣；②。建立空間概念，加強了了解；③。節(jié)約了算題時間，能夠多看書和思索；④。會解任意高階題目，對后續(xù)課很有用處。在全校理論統(tǒng)考對比中，試點班成績就遠(yuǎn)高于普通班，并沒有發(fā)生學(xué)生因使用計算機而偷懶問題；相反，卻因提升了感性認(rèn)識和學(xué)習(xí)興趣而對理論了解更深了實踐能力差距就更大了。普通班只能筆算三階以下簡單實數(shù)方程組，對試點教材中幾十道應(yīng)用題可望而不可及，而試點班卻能用計算機快速解出這些高階復(fù)數(shù)乃至超定方程組問題。這就實現(xiàn)了線性代數(shù)與后續(xù)課（力學(xué)、電路、信號與系統(tǒng)、信號處理、自動控制等課程）無縫銜接，也給后續(xù)課機算創(chuàng)造了條件。第34頁關(guān)于實施方法試驗在試點中，我們試驗了“小學(xué)期單獨開線性代數(shù)實踐課”和“在理論課中結(jié)合教實踐”兩種方法，確認(rèn)前一個方法費時費勁，效果不好，因為實踐與理論時間相隔太久，起不到相互促進作用，給予否定；我們也試驗了兩種不一樣教材，一是兩本教材，即原理論教材加《線性代數(shù)實踐》，二是用理論實踐結(jié)合一體《工程線性代數(shù)》教材。我們以為兩種方法都行，前者可保持教師原有講課習(xí)慣和教案，減輕備新課工作量；后者可減輕學(xué)生經(jīng)濟和閱讀負(fù)擔(dān)。我們?yōu)閮煞N教材都提供了網(wǎng)上無償下載程序集和電子課件。第35頁學(xué)生非常歡迎此課線性代數(shù)實踐課程不但在當(dāng)初就引發(fā)學(xué)生極大興趣，使他們在中學(xué)走進大課時看到了當(dāng)代化學(xué)習(xí)伎倆怎樣提升效率，同時為他們學(xué)好其它課程提供了很好工具。在兩年之后，他們對這一改革所帶來好處依然記憶猶新，想著它所帶來好處?？梢娡茝V這一做法，必定能給學(xué)生學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量帶來很大好處。深入在后續(xù)課中使用矩陣、使用MATLAB，將能使這一改革擴大影響，使機算更多地用到電路、信號與系統(tǒng)、數(shù)字信號處理等課程中，有利于提升整個教學(xué)計劃實施質(zhì)量。第36頁對本項改革自我評價我們認(rèn)為，上述方案已經(jīng)克服了原線性代數(shù)綱領(lǐng)中兩個主要弱點，它既能提升課程本身教學(xué)水平，又能實現(xiàn)與后續(xù)課程需求無縫銜接，能夠到達(dá)雙贏效果。有很好推廣價值。我們也創(chuàng)造了推廣所需教材、課件、程序集等基本條件，能夠推廣。沒有別風(fēng)險，只是要多化一個學(xué)分，而其中MATLAB原來都要學(xué)，在線性代數(shù)上多化時間不過4～6課時。

第37頁推廣中要處理問題（1）①教師問題，因為辦了教師培訓(xùn)班，我校推廣此結(jié)果師資條件基本具備。但有少部分教師，數(shù)學(xué)軟件和工程知識不足，還需抓緊提升才能勝任。