江西省九江市2024年高考數(shù)學一模試卷(理科) 含答案

2024年江西省九江市高考數(shù)學一模試卷(理科)

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知復數(shù)為純虛數(shù)zW"(i虛數(shù)單位)，則實數(shù)a=()

1+1

A.1B.-1C.2D.-2

2.已知集合M={x|x2Wl},N={x|log2x<l},則MAN=()

A.[-1,2)B.[-1,1]C.(0,1]D.(-8,2)

3.設(shè)等比數(shù)列{a。}的前n項和為I，且滿意a6=8a3,則■=()

b3

A.4B.5C.8D.9

4.擲一枚勻稱的硬幣4次，出現(xiàn)正面對上的次數(shù)不少于反面對上的次數(shù)的概率

為()

A.—B.—C.—D.—

162816

5.若雙曲線mx2+2y2=2的虛軸長為4,則該雙曲線的焦距為()

A.2娓B.娓C.2初D.M

’2、x<0

6.已知函數(shù)f(x)=?,給出下列兩個命題：命題p：3me(-8,

in-x2,x)0

0),方程f(x)=0有實數(shù)解；命題q：當m=5時，f(f(-1))=0,則下列命

4

題為真命題的是()

A.pAqB.(-1p)AqC.pA(-1q)D.(-1p)A(-'q)

7.函數(shù)f(x)=(1-cosx)?sinx,x￡[-2n,2兀]的圖象大致是()

8.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某一無上蓋幾何體

的三視圖，則該幾何體的表面積等于（）

A.39nB.48nC.57nD.63n

9.公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)覺當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,

多邊形面積可無限靠近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)".利用“割圓術(shù)”劉徽得到了

圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是聞名的"徽率如圖是利用劉

徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖，則輸出n的值為（）

（參考數(shù)據(jù):灰21.732,sinl5-^0.2588,sin7.5°^0.1305）

A.12B.24C.36D.48

'2x+y-640

10.設(shè)x,y滿意約束條件,x=-l40，若2=2*+2y僅在點（j,4）處取得最大

x-l>0

值，則a的值可以為（）

A.-8B.-4C.4D.8

22

11.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓與+4-l（a〉b>0）的上下頂點分別為

a2b2

A,B,右頂點為C,右焦點為F,延長BF與AC交于點P,若0,F,P,A四點

共圓，則該橢圓的離心率為（）

A.B,c,D.2ZLV2

2222

12.已知函數(shù)f（x）=出型，若關(guān)于x的不等式f2（x）+af（x）>0恰有兩個整

X

數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A/l+ln2l+ln3、「l+ln3l+ln2、

A-D

C.（-A±^2,D.（-1,

二、填空題已知Z,E為單位向量，若r+引=%-引，貝呢在W+E方向上的投影

為—.

14.二項式（X3-Z）6的綻開式中含Xi項的系數(shù)是.

X

15.已知A,B,C是球。的球面上三點，若三棱錐0-ABC體積的最大值為1,

則球0的體積為.

16.已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列,31=1,an>0,其前n項和為Sn，且數(shù)列的｝也

為等差數(shù)列，設(shè)bn=F---------,則數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn=.

2n一e包一

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.）

17.（12分）在^ABC中，內(nèi)角A,B,（:所對的邊分別為a,b,c,已知3b=4c,

B=2C.

（工）求sinB的值；

（II）若b=4,求^ABC的面積.

18.（12分）在高三一次數(shù)學測驗后，某班對選做題的選題狀況進行了統(tǒng)計，

如表.

坐標系與參數(shù)方程不等式選講

人數(shù)及均分人數(shù)均分人數(shù)均分

男同學14867

女同學86.5125.5

(I)求全班選做題的均分；

(H)據(jù)此推斷是否有90%的把握認為選做《坐標系與參數(shù)方程》或《不等式選

講》與性別有關(guān)?

(田)已知學習委員甲(女)和數(shù)學科代表乙(男)都選做《不等式選講》.若

在《不等式選講》中按性別分層抽樣抽取3人，記甲乙兩人被選中的人數(shù)為，求

的數(shù)學期望.

n(ad-bc)2

參考公式：K2_,,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

下面臨界值表僅供參考:

2

P(K^k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD中，點E,F分別是AB,BC

的中點，將^AED,4DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點重合于點A,。為

AD的中點,連接EF,EO,FO.

(I)求證：A'DLEF；

(H)求直線BD與平面OEF所成角的正弦值.

20.(12分)如圖所示，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F且斜率

存在的直線I交拋物線C于A,B兩點，已知當直線I的斜率為1時，|AB|=8.

(I)求拋物線C的方程；

(H)過點A作拋物線C的切線交直線x=^■于點D,試問：是否存在定點M在

以AD為直徑的圓上？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由.

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x,g(x)=kx+l(kGR).

(I)若直線y=g(x)和函數(shù)y=f(x)的圖象相切，求k的值；

(H)當k>0時，若存在正實數(shù)m,使對隨意x?(0,m),都有|f(x)-g

(x)|>2x恒成立，求k的取值范圍.

請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分.［選

修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.(10分)在直角坐標系xOy中，已知直線I：［x=e+tcos(!4為參數(shù))與

|y=tsinCl

橢圓C：尸2普0(6為參數(shù))相交于不同的兩點A,B.

I尸sin9

IT

(I)若a號，求線段AB中點M的坐標；

(H)若其中為橢圓的右焦點P,求直線I的斜率.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)f(x)=2|x-1|-a,g(x)=-x+m|(a,mGR),若關(guān)于x的

不等式g(x)>-1的整數(shù)解有且僅有一個值為-3.

(I)求實數(shù)m的值；

(H)若函數(shù)y=f(x)的圖象恒在函數(shù)y=g(x)的圖象上方，求實數(shù)a的取值范

圍.

2024年江西省九江市高考數(shù)學一模試卷(理科)

參考答案與試題解+析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知復數(shù)為純虛數(shù)(i虛數(shù)單位)，則實數(shù)a=()

1+1

A.1B.-1C.2D.-2

【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.

【分析】利用復數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義即可得出.

[解答]解：...Z蕓黑叫號?*以為純虛數(shù)，

1+1(1+1)(1-1)2

.?.吟=0,￥*。，

22

a=-1,

故選：B.

【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義，考查了推理實力與計算實

力，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知集合M={x|x2Wl},N={x|log2x<l},則MAN=()

A.[-1,2)B.[-1,1]C.(0,1]D.(…，2)

【考點】交集及其運算.

【分析】解不等式求出集合M,求函數(shù)定義域得出集合N,再依據(jù)交集的定義寫

出MAN.

【解答】解：集合M={x|x2Wl}={x|-lWxWl},

N={xIIOg2X<l}={xI0<x<2},

則MnN={x|0<x<l}.

故選：C.

【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題目.

3.設(shè)等比數(shù)列{a。}的前n項和為1,且滿意a6=8a3,則益=()

b3

A.4B.5C.8D.9

【考點】等比數(shù)列的前n項和.

【分析】由a6=8a3,利用等比數(shù)列項公式q=2,由此能求出警.

【解答】解：?.?等比數(shù)列｛aj的前n項和為Sn，且滿意a6=8a3,

----=q3=8,解得q=2,

a3

S616

上”=l+q3=9.

1-q

故選：D.

【點評】本題考查等差數(shù)列的前6項和與前3項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要

仔細審題，留意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.

4.擲一枚勻稱的硬幣4次，出現(xiàn)正面對上的次數(shù)不少于反面對上的次數(shù)的概率

為（）

A.-B.—C.—D.—

162816

【考點】古典概型及其概率計算公式.

【分析】先求出基本領(lǐng)件總數(shù)n=24=16,再求出出現(xiàn)正面對上的次數(shù)不少于反面

對上的次數(shù)包含的基本領(lǐng)件個數(shù)，由此能求出出現(xiàn)正面對上的次數(shù)不少于反面對

上的概率.

【解答】解：擲一枚勻稱的硬幣4次，基本領(lǐng)件總數(shù)n=24=16,

出現(xiàn)正面對上的次數(shù)不少于反面對上的次數(shù)包含的基本領(lǐng)件個數(shù)為：

234

C+C

m-444

??.出現(xiàn)正面對上的次數(shù)不少于反面對上的概率p=^-.

16

故選：D.

【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要仔細審題，留意等可能事務(wù)

概率計算公式的合理運用.

5.若雙曲線mx2+2y2=2的虛軸長為4,則該雙曲線的焦距為（)

A.2加B.、石C.2V3D.M

【考點】雙曲線的簡潔性質(zhì).

2X2

【分析】依據(jù)題意，將雙曲線的方程變形可得y二2=1，由雙曲線的幾何性質(zhì),

ID

分析可得"卷，代入雙曲線的方程可得雙曲線的標準方程，計算可得C的值，

由焦距的定義即可得答案.

2

2x

【解答】解：依據(jù)題意，雙曲線的方程為：mx2+2y2=2,變形可得了~^T=1，

in

又由其虛軸長為4,則有2=4，即中一，

mz

2

則雙曲線的標準方程為：y2-三-=1,

4

其中c=y/^+4=y/5^則雙曲線的焦距2c=2遂，

故選A.

【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是利用雙曲線的標準方程，求出m

的值.

X

9x<o

6.已知函數(shù)f(x)=",給出下列兩個命題：命題p：3me(-8,

m-x，x)0

0),方程f(x)=0有實數(shù)解；命題q：當m=《時，f(f(-1))=0,則下列命

4

題為真命題的是()

A.pAqB.(-1p)AqC.pA(-1q)D.(-1p)A(-1q)

【考點】命題的真假推斷與應(yīng)用.

【分析】依據(jù)已知中的分段函數(shù)，分別推斷命題p,q的真假，進而依據(jù)復合命

題真假推斷的真值表，可得答案.

<n

【解答】解：???函數(shù)f(x)=乙'x，

m-x‘，x》0

當x<0時，f(x)=2xe(0,1),不存在滿意f(x)=0的x值；

當x》0時，f(x)=0時，m=x2e[0,+°°),

故命題P為假命題.

當m=t時，f（f（-1））=f（《）=0

42

，命題q為真命題，

故命題pAq,pA（「q）,（「p）A（「q）均為假命題，

（「p）Aq為真命題，

故選B.

【點評】本題以命題的真假推斷與應(yīng)用為載體，考查了復合命題，分段函數(shù)的圖

象和性質(zhì)，難度中檔.

7.函數(shù)f(x)=(1-cosx)?sinx,xG[-2n,2汨的圖象大致是()

【考點】函數(shù)的圖象.

【分析】利用解除法，即可求解.

【解答】解：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故解除B.

又xG（0,n）時，f（x）>0,故解除D.

又f（等）=攣>1,故解除A.

故選C.

【點評】本題考查函數(shù)的圖象，考查解除法的運用，屬于中檔題.

8.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某一無上蓋幾何體

的三視圖，則該幾何體的表面積等于（）

A.39nB.48nC.57nD.63n

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體為圓柱中挖去一個圓錐，畫出直觀圖,

數(shù)形結(jié)合可得答案.

【解答】解：該幾何體直觀圖為圓柱中挖去一個圓錐，如圖所示，

該幾何體的表面積為s=K-32+2H-3-4+H?3?V32+42=48n>

故選B.

【點評】本題考查的學問點是圓柱的體積和表面積，圓錐的體積和表面積，簡潔

幾何體的三視圖，難度中檔.

9.公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)覺當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,

多邊形面積可無限靠近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)".利用“割圓術(shù)”劉徽得到了

圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是聞名的"徽率如圖是利用劉

徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖，則輸出n的值為（）

（參考數(shù)據(jù)：逐?1.732,sinl5-=0.2588,sin7.5°=0.1305）

A.12B.24C.36D.48

【考點】程序框圖.

【分析】列出循環(huán)過程中S與n的數(shù)值，滿意推斷框的條件即可結(jié)束循環(huán).

【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得：

n=6,S=3sin60°=^^,

2

不滿意條件SN3.10,n=12,S=6Xsin30°=3,

不滿意條件S23.10,n=24,S=12Xsinl5°=12X0.2588=3.1056,

滿意條件S23.10,退出循環(huán)，輸出n的值為24.

故選：B.

【點評】本題考查循環(huán)框圖的應(yīng)用，考查了計算實力，留意推斷框的條件的應(yīng)用,

屬于基礎(chǔ)題.

‘2x+y-6<0

10.設(shè)X,y滿意約束條件,x-/-l<0，若2=2*+2y僅在點（5，-1）處取得最大

x-l>0

值，則a的值可以為（）

A.-8B.-4C.4D.8

【考點】簡潔線性規(guī)劃.

【分析】畫出約束條件的可行域，求出頂點坐標，利用z=ax+2y僅在點（（，

處取得最大值，利用斜率關(guān)系求解即可.

‘2x+y-640

【解答】解：如圖所示，約束條件一=-1<0所表示的區(qū)域為圖中陰影部分:

其中A(1,0),B((，￡),C(1,4),

OO

依題意z=ax+2y僅在點((處取得最大值，可得即，a>4.

故選：D.

【點評】本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本

題的關(guān)鍵.

22

11.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓與+01(a>b>0)的上下頂點分別為

a2b2

A,B,右頂點為C,右焦點為F,延長BF與AC交于點P,若。，F(xiàn),P,A四點

共圓，則該橢圓的離心率為()

A.B.C.2ZL1D,

2222

【考點】橢圓的簡潔性質(zhì).

--__

【分析】由0,F,P,A四點共圓得NAPFU^,即ACXBP,kAC*kgp=-^"^=-l>

b2=ac,e2+e-1=0

JTTT

【解答】解：如圖所示，:。，F(xiàn),P,A四點共圓，/AOF=勺，???NAPF二〒，

wp

即AC±BP,;?kACkBp=-^-^-=-b

Ab2=ac,a2-c2=ac,/.e2+e-1=0,已二匠L

故選C.

【點評】本題考查了橢圓的離心率，運用平面幾何學問及橢圓定義是解題關(guān)鍵,

屬于基礎(chǔ)題.

12.已知函數(shù)f(x)=L山生，若關(guān)于x的不等式f2(x)+af(x)>0恰有兩個整

X

數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是()

A(l+ln2l+ln3、「l+ln3l+ln2、

A-D

C.D.(-1,

【考點】利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，再由f2(x)+af(X)

>0求得f(x)的范圍，結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得使不等式f2(x)+af(x)

>0恰有兩個整數(shù)解的實數(shù)a的取值范圍.

l-(l+lnx)Inx

【解答】解：(x)='

x2x2.

Af(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

當a>0時，f2(x)+af(x)>00f(x)<-ag5cf(x)>0,此時不等式f2(x)

+af(x)>0有多數(shù)個整數(shù)解，不符合題意;

當a=0時，f2(x)+af(x)>00f(x)WO,此時不等式f2(x)+af(x)>0有

多數(shù)個整數(shù)解，不符合題意;

當aVO時，f2(x)+af(x)〉0=f(x)VO或f(x)>-a,要使不等式f?(x)

+af(x)>0恰有兩個整數(shù)解，必需滿意

f(3)W-a<f(2),得」+了〈W-叱橫

乙o

故選：C.

【點評】本題考查利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查一元二次不等式的解法，體

現(xiàn)了分類探討的數(shù)學思想方法，屬中檔題.

二、填空題（2024?九江一模）己知；,E為單位向量，若［+引=嘔-討，則W在

；+工方向上的投影為孚.

【考點】平面對量數(shù)量積的運算.

【分析】由IW+EHW-引得出再由W、E是單位向量得出W與TE的夾角

為45。，由投影的定義寫出運算結(jié)果即可.

【解答】解：???；,E為單位向量，且三+宙=三-制,

?t-?2_f—2

…（a+b）=（a-b）'

化簡得7噸=0,

a-Lb；

???W與W+E的夾角為45°,

??，在W+E方向上的投影為

|^|cos45°=lX^-=^.

a22

故答案為：辱

2

【點評】本題考查了平面對量的數(shù)量積與投影的定義和應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

14.二項式（x3-Z）6的綻開式中含X-項的系數(shù)是-192.

X

【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì).

【分析】利用二項式綻開式的通項公式，令X的指數(shù)等于-2,求出r的值，即

可求出綻開式中含X.2項的系數(shù).

【解答】解：二項式（x3-Z）6綻開式的通項公式為：

X

36rr

Tr+i=Cg?（X）?（_^-）=Cg?（-2）r?x18-4r,

令18-4r=-2,得r=5,

...綻開式中含X.2項的系數(shù)是：

Cg?（-2）5=-192.

故答案為：-192.

【點評】本題考查了二項式綻開式通項公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

15.已知A,B,C是球。的球面上三點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為1,

則球0的體積為8H.

【考點】球的體積和表面積.

【分析】當點C位于垂直于面A0B的直徑端點且NAOB=90。時，三棱錐0-ABC

的體積最大，利用三棱錐0-ABC體積的最大值為1,求出半徑，即可求出球0

的體積.

【解答】解：如圖所示，當點C位于垂直于面A0B的直徑端點且NAOB=90。時，

三棱錐0-ABC的體積最大，設(shè)球0的半徑為R,此時V°-ABC=VC-

AOB=^-X-1-XRXRXR=1,

FP=6,則球0的體積為卷KR3=8n.

故答案為8n.

【點評】本題考查球的半徑，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面A0B的

直徑端點時，三棱錐0-ABC的體積最大是關(guān)鍵.

16.已知數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，ai=l,an>0,其前n項和為I，且數(shù)列?。唬?/p>

3^01

為等差數(shù)列，設(shè)b=----------，則數(shù)列回｝的前n項和Tn=1一…八…、.

nnn

2-an-an+12-(2n+l)-

【考點】數(shù)列的求和.

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d(d>0),數(shù)列宣｝為等差數(shù)列，取前3

項成等差數(shù)列，解方程可得d=2,運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，可得a”

-zg,.什2__________2n+3____________1______]、-中物

求侍bn==,、/、=_i..~nz、，運用數(shù)

nnn1n

2'an?an+12*(2n-l)'(2n+l)2'(2n-l)2-(2n+l)

列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和.

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d(d>0),

?.?何=1,圾恒=^/§辰成等差數(shù)列，

??242+d=l+43+3d，解得d=2,

/.an=l+(n-1)X2=2n-1,

Sn=n(l+2n-l)=n2>后故數(shù)列啊;｝為等差數(shù)列，

b，什2_________2n+3__________

n-

"-2"an-an+12n?(2n-l)?(2n+l)

1]

-2n-1-(2n-l)2%(2n+l)'

=-

貝U前n項和Tn-f-+-f-+…+nT;-nJ?

2U'l2、321-32^52n1'(2n-l)2n?(2n+l)

_]

-12n-(2n+l),

【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法:

裂項相消求和，以及化簡整理的運算實力，屬于中檔題，

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.）

17.（12分）（2024?九江一模）在AABC中，內(nèi)角A,B,（:所對的邊分別為a,

b,c,已知3b=4c,B=2C.

（工）求sinB的值；

（II）若b=4,求^ABC的面積.

【考點】余弦定理；正弦定理.

【分析】（工）由已知及二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦定理得6sinCcosC=4sinC,

由于sinCWO,可求cosC,進而可求sinC,sinB的值.

（口）解法一：由已知可求c,利用二倍角的余弦函數(shù)公式可求cosB,利用三角

形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA,進而利用三角形面積公式即可

得解；

解法二：由已知可求c,由余弦定理解得a,分類探討，利用三角形面積公式即

可計算得解.

【解答】解：(])由3b=4c及正弦定理得3sinB=4sinC,

B=2C,

.*.3sin2C=4sinC,即6sinCcosC=4sinC,

VCE(0,n),

二?sinCWO,

/.cosC=—,sinC=返，

33

??D_4._4、后

??sinB二--sinrC=-----.

39

(II)解法一：由3b=4c,b=4,得c=3且cosB=cos2C=2cos2C-1=-

.*.sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-^-^-x—+(--)X亞■=?正■,

939327

攀氏

I.SAABc=^-bcsinA=-i-X4X3X

解法二：由3b=4c,b=4,得c=3,

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得32=a2+42-2aX4Xg

o

解得a=3或

當a=3時，則4ABC為等腰三角形A=C,又A+B+C=180°,得C=45°,與cosC=|■沖

突，舍去，

?二

一3’

尊

.*.SAABc=-^absinC=^-x；X&X

【點評】本題主要考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦定理，二倍角的余弦函數(shù)

公式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形

中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類探討思想，屬于基礎(chǔ)題.

18.(12分)(2024?九江一模)在高三一次數(shù)學測驗后，某班對選做題的選題

狀況進行了統(tǒng)計，如表.

坐標系與參數(shù)方程不等式選講

人數(shù)及均分人數(shù)均分人數(shù)均分

男同學14867

女同學一

86.5125.5

(I)求全班選做題的均分；

(H)據(jù)此推斷是否有90%的把握認為選做《坐標系與參數(shù)方程》或《不等式選

講》與性別有關(guān)？

(HI)已知學習委員甲(女)和數(shù)學科代表乙(男)都選做《不等式選講》.若

在《不等式選講》中按性別分層抽樣抽取3人，記甲乙兩人被選中的人數(shù)為，求

的數(shù)學期望.

參考公式：g2=----、/---n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

下面臨界值表僅供參考：

P(K2<ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【考點】獨立性檢驗的應(yīng)用；離散型隨機變量的期望與方差.

【分析】(工)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算全班選做題的平均分即可;

(口)由表中數(shù)據(jù)計算觀測值，比照臨界值表得出結(jié)論；

(HI)計算學習委員甲被抽取的概率和數(shù)學科代表乙被抽取的概率,

從而得出甲乙兩人均被選中的概率.

【解答】解：(I)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算全班選做題的平均分為

—1

X=—X(14X8+8X6.5+6X7+12X5.5)=6.8.

40

(H)由表中數(shù)據(jù)計算觀測值：

2_n(ad-bc)2_40X(14X12-8X6)2_?。3636>27

如一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)22X18X20X2011-

所以，據(jù)此統(tǒng)計有90%的把握認為

選做《坐標系與參數(shù)方程》或《不等式選講》與性別有關(guān).

(Hi)學習委員甲被抽取的概率為告，

設(shè)《不等式選講》中6名男同學編號為乙，1,2,3,4,5；

從中隨機抽取2人，共有15種抽法：

乙與1,乙與2,乙與3,乙與4,乙與5,

1與2,1與3,1與4,1與5,2與3,

2與4,2與5,3與4,3與5,4與5,

數(shù)學科代表乙被抽取的有5種：

乙與1,乙與2,乙與3,乙與4,乙與5,

數(shù)學科代表乙被抽取的概率為2$

153

甲乙兩人均被選中的概率為

1Z336

【點評】本題考查了對立性檢驗和列舉法計算古典概型的概率問題,是基礎(chǔ)題目.

19.（12分）（2024?九江一模）如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD中，點

E,F分別是AB,BC的中點，將AAED,4DCF分別沿DE,DF折起，使A,（:兩

點重合于點A,。為AD的中點，連接EF,EO,FO.

（I）求證：A'DLEF；

（H）求直線BD與平面OEF所成角的正弦值.

【考點】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【分析】（工）通過證明A'DLA'E,A'D±A'F,推出A'D,平面A'EF,然后證明

A'DXEF.

（II）說明A'ELA'F,A'D,平面A'EF,以A'E,A'F,A'D為x,y,z軸建立如圖

所示的空間直角坐標系A(chǔ)1-xyz,求出相關(guān)點的坐標，求出平面OEF的一個法向

量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解直線BD與平面OEF所成角的正弦值即可.

【解答】解：（工）在正方形ABCD中，有ADLAE,CDLCF

則A，D，AE,ADLAE..（4分）

又A'EnA'F=A'

.^.AD，平面A，EF…（6分）

而EFu平面A'EF,AA'DXEF.

(H)?正方形ABCD的邊長為2,點E是AB的中點，點F是BC的中點,

.?.BE=BF=A'E=A'F=1

?*-EF=V2??,?A'E2+A'F2=EF2,/.A'EXAT

由(工)得AD,平面AEF,

.,?分別以AE,AT,AD為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,...

(9分)

則A'(0,0,0),F(1,0,0),E(0,1,0),D(0,0,2),

設(shè)EF與BD相交于G,則G為EF的中點，

.*.0(0,0,1),G0),0E=(0,1,-1),0F=(1，0，-1)，DG=

(三，L-2)，

22

設(shè)平面OEF的一個法向量為：=(x,y,z),則由可?。?(1,1,1),

x-z=0

令直線DG與平面OEF所成角為a,??.sina=廣地=三,

^29

直線BD與平面OEF所成角的正弦值巨.

9

【點評】本題考查空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，直線與平

面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象實力以及邏輯推理實力.

20.(12分)(2024?九江一模)如圖所示，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點

為F,過點F且斜率存在的直線I交拋物線C于A,B兩點，已知當直線I的斜率

為1時，AB=8.

(I)求拋物線C的方程；

(H)過點A作拋物線C的切線交直線x=1■于點D,試問：是否存在定點M在

以AD為直徑的圓上？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系.

【分析】（［）由題意設(shè)出直線I的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再由拋物線的焦

點弦長公式列式求得P,則拋物線方程可求；

（H）設(shè)出A的坐標，得到過A點的切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別

式等于0把切線的斜率用A的縱坐標表示，進一步求得D點坐標，得到以AD為

直徑的圓的方程，從而得到存在定點M（1,0）在以AD為直徑的圓上.

【解答】解：（］）由題意可得，直線I的方程為y=x-

Z

V^x—~2

聯(lián)立方程2,消去y整理得*2_3「乂+一=0，

2c4

［y=2px

設(shè)A(X1,yi),B(X2,y2),則x1+x2=3p,

故|AB|=xi+x2+p=4p=8,p=2,

??.拋物線C方程為y2=4x；

2

（n）由（工）知，直線x=-々■即x=-1,A（m_yj(yiWO),

24

2

設(shè)切線方程為了_巧4&-+），

（2

2

聯(lián)立方程y-yi=k（x-7一）,消去x得：匕2

4y。y14

,y'=4x

,2,2?22

7A=,

l-k(y1^-)=0'?>,-p—ky1+l=O即卜=互，

2

???切線方程為y-y,=2(xX_)，則4x-2yly+打2二(),

14

YiQYi9

令x=-1,得尸---，即D(-1,-T-------),

2yl2yl

??以AD為直徑的圓為(x+1)(x—■—.)+(y-y)(y一丁+二-)=0，

412yl

由拋物線的對稱性，若以AD為直徑的圓經(jīng)過定點，則此定點肯定在x軸上，

2

...令y=O,得(x-l)(x+22?)=0，得x=L

故存在定點M(1,0)在以AD為直徑的圓上.

【點評】本題考查拋物線的簡潔性質(zhì)，考查直線與圓、直線與拋物線位置關(guān)系的

應(yīng)用，考查計算實力，屬中檔題.

21.(12分)(2024?九江一模)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x,g(x)=kx+l(k?R).

(I)若直線y=g(x)和函數(shù)y=f(x)的圖象相切，求k的值；

(H)當k>0時，若存在正實數(shù)m,使對隨意x?(0,m),都有|f(x)-g

(x)|>2x恒成立，求k的取值范圍.

【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)探討曲線上某點切線方程.

【分析】(工)設(shè)切線的坐標為(t,e2t),得到(l-2t)e2t=1,令h(x)=(1

-x)ex,依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的值即可；

(II)通過探討k的范圍，結(jié)合對隨意x@(0,m),都有|f(x)-g(x)|>

2x恒成立以及函數(shù)的單調(diào)性求出對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出k的詳細范圍即

可.

【解答】解：(工)設(shè)切線的坐標為(t,e2t),由f(x)=e2x得f，(x)=2e2x,

切線方程為y-e2t=2e2t(x-t),即y=2e?tx+(1-2t)e2t,

由已知y=2e?tx+(1-2t)e2t和y=kx+l為同一條直線,

.\2e2t=k,(1-2t)e2t=l,

令h(x)=(1-x)ex,則h'(x)=-xex,

當x?(-8,o)時，h，(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

當xG(0,+8)時，hz(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

h(x)Wh(0)=1,

當且僅當x=0時等號成立，

?*.t=0,k=2,

(口)①當k>2時，由(工)知：

存在x>0,使得對于隨意xG(0,X。)，都有f(x)<g(x),

則不等式|f(x)-g(x)|>2x等價于g(x)-f(x)>2x,

即(k-2)x+1-e2x>0,

設(shè)t(x)=(k-2)x+1-e2x,t'(x)=k-2-2e2x,

由(x)>0,得：x<[ln與:由(x)<0,得：x>3n與J

若2<kW4,弓In等WO,(0,xo)d(胸片,+cx3)，

At(x)在(0,xo)上單調(diào)遞減，留意到t(0)=0,

對隨意x@(0,xo),t(x)<0,與題設(shè)不符，

若k>4,Eln^->0,(0,4In”幻G(-8,3n塔)，

222222

.??t(x)在(0,1In?)上單調(diào)遞增，

'."t(0)=0,對隨意x?(0,去ln^^),t(x)>0,符合題意，

此時取0cmWmin{xo，-1-In^r^-},可得對隨意x?(0,m),都有|f(x)-g

(x)|>2x,

②當0VkW2時，由(I)知e2x-(2x+l)20,(x>0),

f(x)-g(x)=e2x-(2x+l)+(2-k)x2(2-k)x20對隨意x>0者B成立，

A|f(x)-g(x)|>2x等價于e?x-(k+2)x-l>0,

設(shè)6(x)=e2x-(k+2)x-1,貝1J巾，(x)=2e2x-(k+2),

由/(x)>0,得x>^ln野>0,4/(x)<0得x<[ln警，

.??6(x)在(0,yIn號)上單調(diào)遞減，留意到6(0)=0,

對隨意x?(0,jM牛)，巾(x)<0,不符合題設(shè)，

綜上所述，k的取值范圍為(4,+8).

【點評】本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的

應(yīng)用以及分類探討思想、轉(zhuǎn)化思想、是一道綜合題.

請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分.［選

修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.（10分）（2024?九江一模）在直角坐標系xOy中，已知直線|：［*-遙+“0$0

y=tsinCt

（t為參數(shù)）與橢圓C：（X=2?°?9（6為參數(shù)）相交于不同的兩點A,B.

ly=sin

（I）若a4TT，求線段AB中點M的坐標；

o

（H）若|AB|二a|0P|,其中為橢圓的右焦點P,求直線I的斜率.

【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系.