2025優(yōu)化設(shè)計(jì)一輪課時(shí)規(guī)范練62　空間幾何體的外接球

課時(shí)規(guī)范練62空間幾何體的外接球一、基礎(chǔ)鞏固練1.(2020·天津,5)若棱長(zhǎng)為23的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12π B.24π C.36π D.144π2.已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,則其外接球的表面積為()A.3a2π B.3a2πC.12a2π D.43a2π3.(2024·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)月考)圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上,其上、下底面的半徑分別為4和5,則該圓臺(tái)的體積為()A.61π B.62π C.63π D.64π4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=1,∠ABC=90°,AA1=2,則此三棱柱外接球的表面積為()A.5π B.6π C.7π D.8π5.(2024·浙江余姚模擬)在正四棱錐S-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面是腰長(zhǎng)為6的等腰三角形,則正四棱錐S-ABCD的外接球的體積為()A.27π2 B.9C.9π2 D.6.(2024·江西南昌模擬)在三棱錐P-ABC中,已知PA=BC=213,AC=BP=41,CP=AB=61,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為()A.77π B.64π C.108π D.72π7.(2021·天津,6)兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面,頂點(diǎn)均在球面上,若球的體積為32π3,兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為(A.3π B.4π C.9π D.12π8.已知三棱錐M-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在表面積為32π的球面上,AB=BC=22,AC=4,則三棱錐M-ABC的體積的最大值為()A.82 B.4+42C.8+823 D9.正方體的表面積為96,則正方體外接球的表面積為.

10.(2024·陜西漢中模擬)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)之為“塹堵”.在如圖所示的塹堵ABC-A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,則塹堵ABC-A1B1C1的外接球的體積是.

11.已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為1,3,沿對(duì)角線AC折起,使四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為.

二、綜合提升練12.已知一個(gè)正六棱錐的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球的表面上,六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則球的表面積為()A.4π3 B.8π3 C.16π13.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的頂點(diǎn)都在球O的球面上,若正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面積為6,底面積為3,則球O的表面積為()A.19π3 B.7π3 C.2π 14.已知正三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上,其側(cè)棱與底面所成角為π3,且PA=23,則球O的表面積為.

課時(shí)規(guī)范練62空間幾何體的外接球1.C解析∵2R=(23×2)2+(23)2=6,∴2.A解析因?yàn)檎忮FP-ABC的側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=PB=PC=a,如圖,將正三棱錐放到棱長(zhǎng)為a的正方體中,則正三棱錐的外接球即為正方體的外接球,故正方體的外接球的半徑R=a2+a2+a22=3a2,所以外接球的表面積S=4πR2=43.A解析由題可得,該球的半徑為5.因?yàn)閳A臺(tái)的下底面半徑為5,所以圓臺(tái)的高為52-42=3,所以圓臺(tái)的體積為13π×(42+4×5+524.B解析因?yàn)锳B=BC=1,∠ABC=90°,AA1=2,所以將直三棱柱補(bǔ)為長(zhǎng)、寬、高分別為1,1,2的長(zhǎng)方體,故其體對(duì)角線為直三棱柱外接球的直徑,直徑長(zhǎng)度為1+1+4=6,所以直三棱柱外接球的半徑為62,則此三棱柱外接球的表面積為4π×(62)25.C解析如圖所示,設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,底面中心為E,連接SE,BO,BE.因?yàn)樵谡睦忮FS-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面是腰長(zhǎng)為6的等腰三角形,所以BE=2,SE=SB2-在Rt△OBE中,R2=OE2+BE2,即R2=(2-R)2+(2)2,解得R=32,所以外接球的體積V=43πR6.A解析因?yàn)槿忮F的對(duì)棱相等,所以可以把它看成長(zhǎng)方體的面對(duì)角線構(gòu)成的幾何體,設(shè)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,且長(zhǎng)方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為213,則a因?yàn)殚L(zhǎng)方體體對(duì)角線為長(zhǎng)方體外接球直徑,即為三棱錐外接球的直徑,則2R=a2+b2所以球的表面積為4πR2=77π.7.B解析如圖所示,設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)D,因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐的高之比為3∶1,則AD=3BD.設(shè)球的半徑為R,則4πR33=32π3,所以BD=1,AD=3.因?yàn)镃D⊥AB,則∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°,所以∠CAD=∠BCD.又因?yàn)椤螦DC=∠BDC,所以△ACD∽△CBD,所以ADCD=CDBD,故這兩個(gè)圓錐的體積之和為13π×CD2·(AD+BD)=13π×38.C解析根據(jù)題意知,△ABC是一個(gè)直角三角形,其面積為4,其外接圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上,設(shè)外接圓的圓心為Q,當(dāng)MQ與平面ABC垂直時(shí),三棱錐M-ABC的體積最大.設(shè)球心為O,半徑為R,4πR2=32π,得R=22,點(diǎn)O到平面ABC的距離為(22所以三棱錐M-ABC體積的最大值為13×12×22×22×(2+29.48π解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,因?yàn)檎襟w的表面積為96,可得6a2=96,解得a=4,則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為42+42+42=43.設(shè)正方體的外接球的半徑為R,可得2R=所以外接球的表面積為S=4πR2=4π×(23)2=48π.10.1252π3解析將該塹堵補(bǔ)充為一個(gè)長(zhǎng)方體,如圖設(shè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為d,則d2=32+42+52=50,所以d=52,即外接球的直徑為52,所以外接球的體積為43πR311.4π解析將長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折起,使頂點(diǎn)A,B,C,D落在同一個(gè)球面上,取AC中點(diǎn)O,則OA=OB=OC=OD,故該球的半徑為R=OA=12AC=12所以該球的表面積為S=4πR2=4π.12.C解析如圖,正六棱錐P-ABCDEF,G為正六邊形ABCDEF的中心,連接PG,則PG⊥平面ABCDEF,外接球的球心O在PG上.因?yàn)锳G?平面ABCDEF,所以PG⊥AG.由題意可知,AG=1,PA=2,所以PG=P設(shè)外接球的半徑為R,則OA=OP=R,所以O(shè)G=3-R,在Rt△GOA中,OA2=AG2+OG2,所以R2=12+(3-R)2,解得R=23所以球的表面積為4πR2=4π×(23)2=13.A解析由正三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,設(shè)其高為h,AC=BC=AB=a.因?yàn)檎庵鵄BC-A1B1C1的側(cè)面積為6,底面積為3,可得3a×h=6,且34a2=3,解得a=2,h=1.設(shè)△ABC的外接圓半徑為r,則2r=2sinπ3,解得r=233.設(shè)球O的半徑為R,則R2=r2所以球O的表面積為4π×14.16π解析如圖,正