高考理科數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)教案

第五章三角函數(shù)高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.3.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.4.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在(－,)上的單調(diào)性.5.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.6.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義，能畫出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.7.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.8.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶).9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題，能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.本章重點(diǎn)：1.角的推廣，三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用；2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，y＝Asin(ωx＋)(ω＞0)的性質(zhì)、圖象及變換；3.用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題；4.以和、差、倍角公式為依據(jù)，提高推理、運(yùn)算能力；5.正、余弦定理及應(yīng)用.本章難點(diǎn)：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系；2.靈活運(yùn)用三角公式化簡、求值、證明；3.三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，最值的求法；4.探索兩角差的余弦公式；5.把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)必考的基礎(chǔ)知識(shí)之一.在高考中主要考查對(duì)三角函數(shù)概念的理解；運(yùn)用函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形、化簡、求值、證明三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象變換、作圖、識(shí)圖等.解三角形的問題往往與其他知識(shí)(如立體幾何、解析幾何、向量等)相聯(lián)系，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體現(xiàn)以能力立意的高考命題原則.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)5.1任意角的三角函數(shù)的概念典例精析題型一象限角與終邊相同的角【例1】若α是第二象限角，試分別確定2α、的終邊所在的象限.【解析】因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以k360°＋90°＜α＜k360°＋180°(k∈Z).因?yàn)?k360°＋180°＜2α＜2k360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的終邊在y軸的負(fù)半軸上.因?yàn)閗180°＋45°＜eq\f(α,2)＜k180°＋90°(k∈Z)，當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n360°＋45°＜eq\f(α,2)＜n360°＋90°，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，n360°＋225°＜eq\f(α,2)＜n360°＋270°.所以eq\f(α,2)是第一或第三象限角.【點(diǎn)撥】已知角α所在象限，應(yīng)熟練地確定eq\f(α,2)所在象限.如果用α1、α2、α3、α4分別表示第一、二、三、四象限角，則eq\f(α1,2)、eq\f(α2,2)、eq\f(α3,2)、eq\f(α4,2)分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟記右圖，解有關(guān)問題就方便多了.【變式訓(xùn)練1】若角2α的終邊在x軸上方，那么角α是()A.第一象限角 B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角【解析】由題意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，得kπ＜α＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，α是第三象限角.當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，α是第一象限角.故選C.題型二弧長公式，面積公式的應(yīng)用【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值C(C＞0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形的面積有最大值？并求出這個(gè)最大值.【解析】(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，因?yàn)棣粒?0°＝eq\f(π,3)，R＝10cm，所以l＝eq\f(10π,3)cm，S弓＝S扇－SΔ＝eq\f(1,2)×10×eq\f(10π,3)－eq\f(1,2)×102×sin60°＝50(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))cm2.(2)因?yàn)镃＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝eq\f(C,2＋α)，S扇＝eq\f(1,2)αR2＝eq\f(1,2)α(eq\f(C,2＋α))2＝eq\f(C2,2)eq\f(α,α2＋4α＋4)＝eq\f(C2,2)eq\f(1,α＋\f(4,α)＋4)≤eq\f(C2,16)，當(dāng)且僅當(dāng)α＝eq\f(4,α)時(shí)，即α＝2(α＝－2舍去)時(shí)，扇形的面積有最大值為eq\f(C2,16).【點(diǎn)撥】用弧長公式l＝|α|R與扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)R2|α|時(shí)，α的單位必須是弧度.【變式訓(xùn)練2】已知一扇形的面積為定值S，當(dāng)圓心角α為多少弧度時(shí)，該扇形的周長C有最小值？并求出最小值.【解析】因?yàn)镾＝eq\f(1,2)Rl，所以Rl＝2S，所以周長C＝l＋2R≥2eq\r(2Rl)＝2eq\r(4S)＝4eq\r(S)，當(dāng)且僅當(dāng)l＝2R時(shí)，C＝4eq\r(S)，所以當(dāng)α＝eq\f(l,R)＝2時(shí)，周長C有最小值4eq\r(S).

題型三三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)線的應(yīng)用【例3】(1)已知角α的終邊與函數(shù)y＝2x的圖象重合，求sinα；(2)求滿足sinx≤eq\f(\r(3),2)的角x的集合.【解析】(1)由?交點(diǎn)為(－eq\f(\r(5),5)，－eq\f(2\r(5),5))或(eq\f(\r(5),5)，eq\f(2\r(5),5))，所以sinα＝±eq\f(2\r(5),5).(2)①找終邊：在y軸正半軸上找出點(diǎn)(0，eq\f(\r(3),2))，過該點(diǎn)作平行于x軸的平行線與單位圓分別交于P1、P2兩點(diǎn)，連接OP1、OP2，則為角x的終邊，并寫出對(duì)應(yīng)的角.②畫區(qū)域：畫出角x的終邊所在位置的陰影部分.③寫集合：所求角x的集合是{x|2kπ－eq\f(4π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}.【點(diǎn)撥】三角函數(shù)是用角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來定義的，因此，用定義求值，轉(zhuǎn)化為求交點(diǎn)的問題.利用三角函數(shù)線證某些不等式或解某些三角不等式更簡潔、直觀.【變式訓(xùn)練3】函數(shù)y＝lgsinx＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定義域?yàn)?【解析】?2kπ＜x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kπ＜x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}.總結(jié)提高1.確定一個(gè)角的象限位置，不僅要看角的三角函數(shù)值的符號(hào)，還要考慮它的函數(shù)值的大小.2.在同一個(gè)式子中所采用的量角制度必須相一致，防止出現(xiàn)諸如k·360°＋eq\f(π,3)的錯(cuò)誤書寫.3.三角函數(shù)線具有較好的幾何直觀性，是研究和理解三角函數(shù)的一把鑰匙.5.2同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式典例精析題型一三角函數(shù)式的化簡問題【點(diǎn)撥】運(yùn)用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是符號(hào)，前提是將α視為銳角后，再判斷所求角的象限.【變式訓(xùn)練1】已知f(x)＝eq\r(1－x)，θ∈(eq\f(3π,4)，π)，則f(sin2θ)＋f(－sin2θ)＝.【解析】f(sin2θ)＋f(－sin2θ)＝eq\r(1－sin2θ)＋eq\r(1＋sin2θ)＝eq\r((sinθ－cosθ)2)＋eq\r((sinθ＋cosθ)2)＝|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|.因?yàn)棣取?eq\f(3π,4)，π)，所以sinθ－cosθ＞0，sinθ＋cosθ＜0.所以|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|＝sinθ－cosθ－sinθ－cosθ＝－2cosθ.題型二三角函數(shù)式的求值問題【例2】已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2).(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.【解析】(1)因?yàn)閍∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝eq\f(1,4).(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.從而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2).又由0＜θ＜π知，eq\f(π,4)＜2θ＋eq\f(π,4)＜eq\f(9π,4)，所以2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)或2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(7π,4).因此θ＝eq\f(π,2)或θ＝eq\f(3π,4).【變式訓(xùn)練2】已知tanα＝eq\f(1,2)，則2sinαcosα＋cos2α等于()A.eq\f(4,5) B.eq\f(8,5) C.eq\f(6,5) D.2【解析】原式＝eq\f(2sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα＋1,1＋tan2α)＝eq\f(8,5).故選B.題型三三角函數(shù)式的簡單應(yīng)用問題【例3】已知－eq\f(π,2)＜x＜0且sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，求：(1)sinx－cosx的值；(2)sin3(eq\f(π,2)－x)＋cos3(eq\f(π,2)＋x)的值.【解析】(1)由已知得2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，且sinx＜0＜cosx，所以sinx－cosx＝－eq\r((sinx－cosx)2)＝－eq\r(1－2sinxcosx)＝－eq\r(1＋\f(24,25))＝－eq\f(7,5).(2)sin3(eq\f(π,2)－x)＋cos3(eq\f(π,2)＋x)＝cos3x－sin3x＝(cosx－sinx)(cos2x＋cosxsinx＋sin2x)＝eq\f(7,5)×(1－eq\f(12,25))＝eq\f(91,125).【點(diǎn)撥】求形如sinx±cosx的值，一般先平方后利用基本關(guān)系式，再求sinx±cosx取值符號(hào).【變式訓(xùn)練3】化簡eq\f(1－cos4α－sin4α,1－cos6α－sin6α).【解析】原式＝eq\f(1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α],1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)])＝eq\f(2sin2αcos2α,1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α])＝eq\f(2,3).總結(jié)提高1.對(duì)于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中“同角”的含義，只要是“同一個(gè)角”，那么基本關(guān)系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.2.誘導(dǎo)公式的重要作用在于：它揭示了終邊在不同象限且具有一定對(duì)稱關(guān)系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可化負(fù)為正，化復(fù)雜為簡單.5.3兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)典例精析題型一三角函數(shù)式的化簡【例1】化簡(0＜θ＜π).【解析】因?yàn)?＜θ＜π，所以0＜eq\f(θ,2)＜eq\f(π,2)，所以原式＝＝＝－cosθ.【點(diǎn)撥】先從角度統(tǒng)一入手，將θ化成eq\f(θ,2)，然后再觀察結(jié)構(gòu)特征，如此題中sin2eq\f(θ,2)－cos2eq\f(θ,2)＝－cosθ.【變式訓(xùn)練1】化簡eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan(\f(π,4)－x)sin2(\f(π,4)＋x)).【解析】原式＝eq\f(\f(1,2)(2cos2x－1)2,2tan(\f(π,4)－x)cos2(\f(π,4)－x))＝eq\f(cos22x,4cos(\f(π,4)－x)sin(\f(π,4)－x))＝eq\f(cos22x,2sin(\f(π,2)－2x))＝eq\f(1,2)cos2x.題型二三角函數(shù)式的求值【例2】已知sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0.(1)求tanx的值；(2)求eq\f(cos2x,\r(2)cos(\f(π,4)＋x)sinx)的值.【解析】(1)由sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0?taneq\f(x,2)＝2，所以tanx＝＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).(2)原式＝eq\f(cos2x－sin2x,\r(2)(\f(\r(2),2)cosx－\f(\r(2),2)sinx)sinx)＝eq\f((cosx－sinx)(cosx＋sinx),(cosx－sinx)sinx)＝eq\f(cosx＋sinx,sinx)＝eq\f(1,tanx)＋1＝(－eq\f(3,4))＋1＝eq\f(1,4).【變式訓(xùn)練2】eq\f(2cos5°－sin25°,sin65°)＝.【解析】原式＝eq\f(2cos(30°－25°)－sin25°,cos25°)＝eq\f(\r(3)cos25°,cos25°)＝eq\r(3).題型三已知三角函數(shù)值求解【例3】已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.【解析】因?yàn)閠an2(α－β)＝eq\f(2tan(α－β),1－tan2(α－β))＝eq\f(4,3)，所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝eq\f(tan2(α－β)＋tanβ,1－tan2(α－β)tanβ)＝1，又tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tan(α－β)＋tanβ,1－tan(α－β)tanβ)＝eq\f(1,3)，因?yàn)棣痢?0，π)，所以0＜α＜eq\f(π,4)，又eq\f(π,2)＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－eq\f(3π,4).【點(diǎn)撥】由三角函數(shù)值求角時(shí)，要注意角度范圍，有時(shí)要根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)和大小將角的范圍適當(dāng)縮小.【變式訓(xùn)練3】若α與β是兩銳角，且sin(α＋β)＝2sinα，則α與β的大小關(guān)系是()A.α＝β B.α＜βC.α＞β D.以上都有可能【解析】方法一：因?yàn)?sinα＝sin(α＋β)≤1，所以sinα≤eq\f(1,2)，又α是銳角，所以α≤30°.又當(dāng)α＝30°，β＝60°時(shí)符合題意，故選B.方法二：因?yàn)?sinα＝sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＜sinα＋sinβ，所以sinα＜sinβ.又因?yàn)棣痢ⅵ率卿J角，所以α＜β，故選B.總結(jié)提高1.兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具.(1)它能夠解答三類基本題型：求值題，化簡題，證明題；(2)對(duì)公式會(huì)“正用”、“逆用”、“變形使用”；(3)掌握角的演變規(guī)律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通過運(yùn)用公式，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化，以達(dá)到求解的目的，在運(yùn)用公式時(shí)，注意公式成立的條件.5.4三角恒等變換典例精析題型一三角函數(shù)的求值【例1】已知0＜α＜eq\f(π,4)，0＜β＜eq\f(π,4)，3sinβ＝sin(2α＋β)，4taneq\f(α,2)＝1－tan2eq\f(α,2)，求α＋β的值.【解析】由4taneq\f(α,2)＝1－tan2eq\f(α,2)，得tanα＝＝eq\f(1,2).由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，所以3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，即2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，所以tan(α＋β)＝2tanα＝1.又因?yàn)棣?、β?0，eq\f(π,4))，所以α＋β＝eq\f(π,4).【點(diǎn)撥】三角函數(shù)式的化簡與求值的主要過程是三角變換，要善于抓住已知條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，找到解題的突破口與方向.【變式訓(xùn)練1】如果tan(α＋β)＝eq\f(3,5)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,4)，那么tan(α＋eq\f(π,4))等于()A.eq\f(13,18) B.eq\f(13,22) C.eq\f(7,23) D.eq\f(3,18)【解析】因?yàn)棣粒玡q\f(π,4)＝(α＋β)－(β－eq\f(π,4))，所以tan(α＋eq\f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝eq\f(tan(α＋β)－tan(β－\f(π,4)),1＋tan(α＋β)tan(β－\f(π,4)))＝eq\f(7,23).故選C.題型二等式的證明【例2】求證：eq\f(sinβ,sinα)＝eq\f(sin(2α＋β),sinα)－2cos(α＋β).【證明】證法一：右邊＝eq\f(sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα,sinα)＝eq\f(sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα,sinα)＝eq\f(sin[(α＋β)－α],sinα)＝eq\f(sinβ,sinα)＝左邊.證法二：eq\f(sin(2α＋β),sinα)－eq\f(sinβ,sinα)＝eq\f(sin(2α＋β)－sinβ,sinα)＝eq\f(2cos(α＋β)sinα,sinα)＝2cos(α＋β)，所以eq\f(sin(2α＋β),sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).【點(diǎn)撥】證法一將2α＋β寫成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同運(yùn)算；證法二把握結(jié)構(gòu)特征，用“變更問題法”證明，簡捷而新穎.【變式訓(xùn)練2】已知5sinα＝3sin(α－2β)，求證：tan(α－β)＋4tanβ＝0.【證明】因?yàn)?sinα＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，所以5sin(α－β)cosβ＋5cos(α－β)sinβ＝3sin(α－β)cosβ－3cos(α－β)sinβ，所以2sin(α－β)cosβ＋8cos(α－β)sinβ＝0.即tan(α－β)＋4tanβ＝0.題型三三角恒等變換的應(yīng)用【例3】已知△ABC是非直角三角形.(1)求證：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；(2)若A＞B且tanA＝－2tanB，求證：tanC＝eq\f(sin2B,3－cos2B)；(3)在(2)的條件下，求tanC的最大值.【解析】(1)因?yàn)镃＝π－(A＋B)，所以tanC＝－tan(A＋B)＝eq\f(－(tanA＋tanB),1－tanAtanB)，所以tanC－tanAtanBtanC＝－tanA－tanB，即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.(2)由(1)知tanC＝eq\f(－(tanA＋tanB),1－tanAtanB)＝eq\f(tanB,1＋2tan2B)＝eq\f(sinBcosB,cos2B＋2sin2B)＝＝eq\f(sin2B,2(2－\f(1＋cos2B,2)))＝eq\f(sin2B,3－cos2B).(3)由(2)知tanC＝eq\f(tanB,1＋2tan2B)＝eq\f(1,2tanB＋\f(1,tanB))≤eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)2tanB＝eq\f(1,tanB)，即tanB＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，等號(hào)成立.所以tanC的最大值為eq\f(\r(2),4).【點(diǎn)撥】熟練掌握三角變換公式并靈活地運(yùn)用來解決與三角形有關(guān)的問題，要有較明確的目標(biāo)意識(shí).【變式訓(xùn)練3】在△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB，試判斷△ABC的形狀.【解析】由已知得tanB＋tanC＝eq\r(3)(1－tanBtanC)，eq\r(3)(tanA＋tanB)＝－(1－tanAtanB)，即eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝eq\r(3)，eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(\r(3),3).所以tan(B＋C)＝eq\r(3)，tan(A＋B)＝－eq\f(\r(3),3).因?yàn)?＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝eq\f(π,3)，A＋B＝eq\f(5π,6).又A＋B＋C＝π，故A＝eq\f(2π,3)，B＝C＝eq\f(π,6).所以△ABC是頂角為eq\f(2π,3)的等腰三角形.總結(jié)提高三角恒等式的證明，一般考慮三個(gè)“統(tǒng)一”：①統(tǒng)一角度，即化為同一個(gè)角的三角函數(shù)；②統(tǒng)一名稱，即化為同一種三角函數(shù)；③統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式.5.5三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)典例精析題型一三角函數(shù)的周期性與奇偶性【例1】已知函數(shù)f(x)＝2sineq\f(x,4)coseq\f(x,4)＋eq\r(3)coseq\f(x,2).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)令g(x)＝f(x＋eq\f(π,3))，判斷g(x)的奇偶性.【解析】(1)f(x)＝2sineq\f(x,4)coseq\f(x,4)＋eq\r(3)coseq\f(x,2)＝sineq\f(x,2)＋eq\r(3)coseq\f(x,2)＝2sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,3))，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π.(2)g(x)＝f(x＋eq\f(π,3))＝2sin[eq\f(1,2)(x＋eq\f(π,3))＋eq\f(π,3)]＝2sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,2))＝2coseq\f(x,2).所以g(x)為偶函數(shù).【點(diǎn)撥】解決三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題，常常要化簡三角函數(shù).【變式訓(xùn)練1】函數(shù)y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T等于()A.2π B.π C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,3)【解析】y＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(\r(2),2)(eq\f(\r(2),2)sin2x－eq\f(\r(2),2)cos2x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x－eq\f(π,4))＋eq\f(1,2)，所以T＝eq\f(2π,2)＝π.故選B.題型二求函數(shù)的值域【例2】求下列函數(shù)的值域：(1)f(x)＝eq\f(sin2xsinx,1－cosx)；(2)f(x)＝2cos(eq\f(π,3)＋x)＋2cosx.【解析】(1)f(x)＝eq\f(2sinxcosxsinx,1－cosx)＝eq\f(2cosx(1－cos2x),1－cosx)＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋eq\f(1,2))2－eq\f(1,2)，當(dāng)cosx＝1時(shí)，f(x)max＝4，但cosx≠1，所以f(x)＜4，當(dāng)cosx＝－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)min＝－eq\f(1,2)，所以函數(shù)的值域?yàn)閇－eq\f(1,2)，4).(2)f(x)＝2(coseq\f(π,3)cosx－sineq\f(π,3)sinx)＋2cosx＝3cosx－eq\r(3)sinx＝2eq\r(3)cos(x＋eq\f(π,6))，所以函數(shù)的值域?yàn)閇－2eq\r(3)，2eq\r(3)].【點(diǎn)撥】求函數(shù)的值域是一個(gè)難點(diǎn)，分析函數(shù)式的特點(diǎn)，具體問題具體分析，是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】求y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域.【解析】令t＝sinx＋cosx，則有t2＝1＋2sinxcosx，即sinxcosx＝eq\f(t2－1,2).所以y＝f(t)＝t＋eq\f(t2－1,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1.又t＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))，所以－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).故y＝f(t)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1(－eq\r(2)≤t≤eq\r(2))，從而f(－1)≤y≤f(eq\r(2))，即－1≤y≤eq\r(2)＋eq\f(1,2).所以函數(shù)的值域?yàn)閇－1，eq\r(2)＋eq\f(1,2)].題型三三角函數(shù)的單調(diào)性【例3】已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分圖象如圖所示.(1)求ω，φ的值；(2)設(shè)g(x)＝f(x)f(x－eq\f(π,4))，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】(1)由圖可知，T＝4(eq\f(π,2)－eq\f(π,4))＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2.又由f(eq\f(π,2))＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sinφ＝－1.因?yàn)閨φ|＜π，所以φ＝－eq\f(π,2).(2)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,2))＝－cos2x.所以g(x)＝(－cos2x)[－cos(2x－eq\f(π,2))]＝cos2xsin2x＝eq\f(1,2)sin4x.所以當(dāng)2kπ－eq\f(π,2)≤4x≤2kπ＋eq\f(π,2)，即eq\f(kπ,2)－eq\f(π,8)≤x≤eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)(k∈Z)時(shí)g(x)單調(diào)遞增.故函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[eq\f(kπ,2)－eq\f(π,8)，eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)](k∈Z).【點(diǎn)撥】觀察圖象，獲得T的值，然后再確定φ的值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想與方法.【變式訓(xùn)練3】使函數(shù)y＝sin(eq\f(π,6)－2x)(x∈[0，π])為增函數(shù)的區(qū)間是()A.[0，eq\f(π,3)] B.[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]C.[eq\f(π,3)，eq\f(5π,6)] D.[eq\f(5π,6)，π]【解析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則判定，選C.總結(jié)提高1.求三角函數(shù)的定義域和值域應(yīng)注意利用三角函數(shù)圖象.2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上得到的，因而特別要注意題設(shè)中所給的區(qū)間.3.求三角函數(shù)的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為三角函數(shù)的一般形式，要注意絕對(duì)值、定義域?qū)χ芷诘挠绊?4.判斷三角函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對(duì)稱性.5.6函數(shù)y＝Asin(ωx＋)的圖象和性質(zhì)典例精析題型一“五點(diǎn)法”作函數(shù)圖象【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx(ω＞0)的周期為π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五點(diǎn)法作出它在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象；(3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.【解析】(1)f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx＝2(eq\f(1,2)sinωx＋eq\f(\r(3),2)cosωx)＝2sin(ωx＋eq\f(π,3))，又因?yàn)門＝π，所以eq\f(2π,ω)＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,3))，所以函數(shù)f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx(ω＞0)的振幅為2，初相為eq\f(π,3).(2)列出下表，并描點(diǎn)畫出圖象如圖所示.(3)把y＝sinx圖象上的所有點(diǎn)向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖象，再把y＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象，然后把y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象.【點(diǎn)撥】用“五點(diǎn)法”作圖，先將原函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π求出相應(yīng)的x值及相應(yīng)的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)點(diǎn)，用平滑的曲線連接五個(gè)點(diǎn)，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象.

【變式訓(xùn)練1】函數(shù)的圖象如圖所示，則()A.k＝eq\f(1,2)，ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,6)B.k＝eq\f(1,2)，ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,3)C.k＝eq\f(1,2)，ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D.k＝－2，ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,3)【解析】本題的函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其中一個(gè)是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k＝eq\f(1,2).另一個(gè)函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)ω由三角函數(shù)的周期決定，由圖象可知函數(shù)的周期為T＝4×(eq\f(8π,3)－eq\f(5π,3))＝4π，故ω＝eq\f(1,2).將點(diǎn)(eq\f(5π,3)，0)代入解析式y(tǒng)＝2sin(eq\f(1,2)x＋φ)，得eq\f(1,2)×eq\f(5π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－eq\f(5π,6)，k∈Z.結(jié)合各選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A正確.題型二三角函數(shù)的單調(diào)性與值域【例2】已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋eq\r(3)sinωxsin(ωx＋eq\f(π,2))＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(π,6).(1)求ω的值；(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(3,2)＝sin(2ωx＋eq\f(π,6))＋eq\f(3,2).令2ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，將x＝eq\f(π,6)代入可得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(3,2)，經(jīng)過題設(shè)的變化得到函數(shù)g(x)＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6))＋eq\f(3,2)，當(dāng)x＝4kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值eq\f(5,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3,2)π，即[4kπ＋eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(10,3)π](k∈Z)為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用、三角函數(shù)圖象性質(zhì)及變換.【變式訓(xùn)練2】若將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(π,3)，0)對(duì)稱，則|φ|的最小值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,2) D.eq\f(3π,4)【解析】將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位后得到y(tǒng)＝2sin[3(x－eq\f(π,4))＋φ]＝2sin(3x－eq\f(3π,4)＋φ)的圖象.因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(π,3)，0)對(duì)稱，所以2sin(3×eq\f(π,3)－eq\f(3π,4)＋φ)＝2sin(eq\f(π,4)＋φ)＝0，故有eq\f(π,4)＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－eq\f(π,4)(k∈Z).當(dāng)k＝0時(shí)，|φ|取得最小值eq\f(π,4)，故選A.題型三三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例3】已知函數(shù)y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜eq\f(π,2))的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過點(diǎn)(1,2).(1)求φ的值；(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2008).【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝eq\f(A,2)－eq\f(A,2)cos(2ωx＋2φ)，因?yàn)閥＝f(x)的最大值為2，又A＞0，所以eq\f(A,2)＋eq\f(A,2)＝2，所以A＝2，又因?yàn)槠鋱D象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，ω＞0，所以eq\f(1,2)×eq\f(2π,2ω)＝2，所以ω＝eq\f(π,4).所以f(x)＝eq\f(2,2)－eq\f(2,2)cos(eq\f(π,2)x＋2φ)＝1－cos(eq\f(π,2)x＋2φ)，因?yàn)閥＝f(x)過點(diǎn)(1,2)，所以cos(eq\f(π,2)＋2φ)＝－1.所以eq\f(π,2)＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，解得φ＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，又因?yàn)?＜φ＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4).(2)方法一：因?yàn)棣眨絜q\f(π,4)，所以y＝1－cos(eq\f(π,2)x＋eq\f(π,2))＝1＋sineq\f(π,2)x，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，又因?yàn)閥＝f(x)的周期為4,2008＝4×502.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝4×502＝2008.方法二：因?yàn)閒(x)＝2sin2(eq\f(π,4)x＋φ)，所以f(1)＋f(3)＝2sin2(eq\f(π,4)＋φ)＋2sin2(eq\f(3π,4)＋φ)＝2，f(2)＋f(4)＝2sin2(eq\f(π,2)＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，又因?yàn)閥＝f(x)的周期為4,2008＝4×502.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝4×502＝2008.【點(diǎn)撥】函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對(duì)稱軸由ωx＋φ＝kπ，可得x＝eq\f(kπ－φ,ω)，兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問題可畫出相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的思想解決.【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝Acos2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值為6，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為4，則f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝.【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×eq\f(1＋cos2ωx,2)＋2＝eq\f(Acos2ωx,2)＋eq\f(A,2)＋2，則由題意知A＋2＝6，eq\f(2π,2ω)＝8，所以A＝4，ω＝eq\f(π,8)，所以f(x)＝2coseq\f(π,4)x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…觀察周期性規(guī)律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.總結(jié)提高1.用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，關(guān)鍵是五個(gè)點(diǎn)的選取，一般令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，即可得到作圖所需的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)，若要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整ωx＋φ的取值，以便列表時(shí)能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值.2.在圖象變換時(shí)，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長度單位是不同的，這是因?yàn)樽儞Q總是對(duì)字母x本身而言的，無論沿x軸平移還是伸縮，變化的總是x.3.在解決y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)將ωx＋φ視為一個(gè)整體x后再與基本函數(shù)y＝sinx的性質(zhì)對(duì)應(yīng)求解.5.7正弦定理和余弦定理典例精析題型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，AB＝eq\r(2)，BC＝1，cosC＝eq\f(3,4).(1)求sinA的值；(2)求的值.【解析】(1)由cosC＝eq\f(3,4)得sinC＝eq\f(\r(7),4).所以sinA＝eq\f(BCsinC,AB)＝eq\f(1×\f(\r(7),4),\r(2))＝eq\f(\r(14),8).(2)由(1)知，cosA＝eq\f(5\r(2),8).所以cosB＝－cos(A＋C)＝－cosAcosC＋sinAsinC＝－eq\f(15\r(2),32)＋eq\f(7\r(2),32)＝－eq\f(\r(2),4).所以·＝·(＋)＝＋＝－1＋1×eq\r(2)×cosB＝－1－eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2).【點(diǎn)撥】在解三角形時(shí)，要注意靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí).【變式訓(xùn)練1】在△ABC中，已知a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則∠C＝.【解析】S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(1,2)absinC.所以sinC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝cosC.所以tanC＝1，又∠C∈(0，π)，所以∠C＝eq\f(π,4).題型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問題【例2】設(shè)△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長，并且sin2A＝sin(eq\f(π,3)＋B)sin(eq\f(π,3)－B)＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若＝12，a＝2eq\r(7)，求b，c(其中b＜c).【解析】(1)因?yàn)閟in2A＝(eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB)(eq\f(\r(3),2)cosB－eq\f(1,2)sinB)＋sin2B＝eq\f(3,4)cos2B－eq\f(1,4)sin2B＋sin2B＝eq\f(3,4)，所以sinA＝±eq\f(\r(3),2).又A為銳角，所以A＝eq\f(π,3).(2)由＝12可得cbcosA＝12.①由(1)知A＝eq\f(π,3)，所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，將a＝2eq\r(7)及①代入得c2＋b2＝52.③③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的兩個(gè)根.又b＜c，所以b＝4，c＝6.【點(diǎn)撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識(shí)，考查綜合運(yùn)算求解能力.【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，且滿足(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求角B的大??；(2)若b＝eq\r(7)，a＋c＝4，求△ABC的面積.【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入(2a－c)cosB＝bcosC，整理得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA，在△ABC中，sinA＞0,2cosB＝1，因?yàn)椤螧是三角形的內(nèi)角，所以B＝60°.(2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB，將b＝eq\r(7)，a＋c＝4代入整理，得ac＝3.故S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(3,2)sin60°＝eq\f(3\r(3),4).題型三正、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例3】(2010陜西)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個(gè)觀測點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？【解析】由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，所以DB＝＝＝＝eq\f(5\r(3)(\r(3)＋1),\f(\r(3)＋1,2))＝10eq\r(3)(海里).又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，所以CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝eq\f(30,30)＝1(小時(shí)).所以，救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).【點(diǎn)撥】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題的基本步驟是：(1)根據(jù)題意，抽象地構(gòu)造出三角形；(2)確定實(shí)際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解；(4)給出結(jié)論.【變式訓(xùn)練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)mkm后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍nkm范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn).【解析】由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得eq\f(BM,sin(90°－α))＝eq\f(m,sin(α－β))，解得BM＝eq\f(mcosα,sin(α－β))，要使船沒有觸礁危險(xiǎn)需要BMsin(90°－β)＝eq\f(mcosαcosβ,sin(α－β))＞n.所以α與β的關(guān)系滿足mcosαcosβ＞nsin(α－β)時(shí)，船沒有觸礁危險(xiǎn).總結(jié)提高1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，如證明兩內(nèi)角A＞B與sinA＞sinB是一種等價(jià)關(guān)系.2.在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再用恒等變形(如因式分解、配方)求解，注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉，否則會(huì)漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條件判斷角的范圍，以免增解或漏解.5.8三角函數(shù)的綜合應(yīng)用典例精析題型一利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題【例1】如圖，ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車場，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值.【解析】如圖，連接AP，過P作PM⊥AB于M.設(shè)∠PAM＝α，0≤α≤eq\f(π,2)，則PM＝90sinα，AM＝90cosα，所以PQ＝100－90cosα，PR＝100－90sinα，于是S四邊形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cosα)(100－90sinα)＝8100sinαcosα－9000(sinα＋cosα)＋10000.設(shè)t＝sinα＋cosα，則1≤t≤eq\r(2)，sinαcosα＝eq\f(t2－1,2).S四邊形PQCR＝8100·eq\f(t2－1,2)－9000t＋10000＝4050(t－eq\f(10,9))2＋950(1≤t≤eq\r(2)).當(dāng)t＝eq\r(2)時(shí)，(S四邊形PQCR)max＝14050－9000eq\r(2)m2；當(dāng)t＝eq\f(10,9)時(shí)，(S四邊形PQCR)min＝950m2.【點(diǎn)撥】同時(shí)含有sinθcosθ，sinθ±cosθ的函數(shù)求最值時(shí)，可設(shè)sinθ±cosθ＝t，把sinθcosθ用t表示，從而把問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問題.注意t的取值范圍.【變式訓(xùn)練1】若0＜x＜eq\f(π,2)，則4x與sin3x的大小關(guān)系是()A.4x＞sin3x B.4x＜sin3xC.4x≥sin3x D.與x的值有關(guān)【解析】令f(x)＝4x－sin3x，則f′(x)＝4－3cos3x.因?yàn)閒′(x)＝4－3cos3x＞0，所以f(x)為增函數(shù).又0＜x＜eq\f(π