2025高考幫備考教案數(shù)學(xué)第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第3講　二項(xiàng)式定理含答案

2025高考幫備考教案數(shù)學(xué)第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第3講二項(xiàng)式定理課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.展開式中的特定項(xiàng)問題2023天津T11；2022新高考卷ⅠT13；2020全國卷ⅠT8；2020全國卷ⅢT14；2020北京T3；2019全國卷ⅢT4本講是高考常考內(nèi)容，主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求常數(shù)項(xiàng)，求某項(xiàng)系數(shù)，求某些項(xiàng)的系數(shù)和等，主要以小題的形式出現(xiàn)，難度不大.預(yù)計(jì)2025年高考命題常規(guī)，備考時(shí)要掌握各種問題類型及其求解方法.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問題2022北京T8；2022浙江T12二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用學(xué)生用書P2291.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnn二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝①Cnkan－kbk，即為二項(xiàng)展開式的第k＋1二項(xiàng)式系數(shù)Cnk（k∈{0，1，2，…，n}辨析比較二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別（a＋bx）n的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)是指Cn0，Cn1，…，Cnn，其與a，b的值無關(guān)，如第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Cnk；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，其與a，b的值有關(guān)，如第k＋1項(xiàng)的系數(shù)是2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.[北京高考]在（x－2）5的展開式中，x2的系數(shù)為（C）A.－5 B.5 C.－10 D.10解析由二項(xiàng)式定理得（x－2）5的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C5r（x）5－r（－2）r＝C5r-2rx5－r2，令5－r2＝2，得r＝1，所以T2＝C51（－2.[教材改編]在（x－y）10的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（C）A.第4項(xiàng) B.第5項(xiàng) C.第6項(xiàng) D.第7項(xiàng)解析展開式共有11項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，且第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是第6項(xiàng).3.已知Cn0＋2Cn1＋22Cn3＋23Cn3＋…＋2nCnn＝243，則Cn1＋A.31 B.32 C.15 D.16解析逆用二項(xiàng)式定理得Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋23Cn3＋…＋2nCnn＝（1＋2）n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以Cn1＋Cn4.[多選]下列說法正確的是（CD）A.Cnkan－kbk是（a＋b）n展開式中的第B.在二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的一項(xiàng)或中間的兩項(xiàng)C.在（a＋b）n的展開式中，每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)都與a，b無關(guān)D.在（a＋b）n的展開式中，某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不同5.[易錯題]已知（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn（n∈N*），設(shè)（2x－1）n的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an（n∈N*），則S4＝16，T4＝0.解析因?yàn)椋?x－1）n展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，（易混淆：（2x－1）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n，系數(shù)和為a0＋a1＋所以Sn＝2n，S4＝16.令x＝0，則（－1）n＝a0，令x＝1，則1＝a0＋a1＋a2＋…＋an，所以Tn＝1－（－1）n，所以T4＝0.學(xué)生用書P230命題點(diǎn)1展開式中的特定項(xiàng)問題角度1形如（a＋b）n（n∈N*）的展開式中的特定項(xiàng)例1（1）[2023南京市中華中學(xué)檢測]若2－x6＝a0+a11A.270 B.135C.－135 D.－270解析（2－x）6＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a6（1＋x）6，以x－1代替x，得（3－x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，而（3－x）6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C6r36-r-xr=C6r36－r（－1）rxr，令r＝4，則a4＝C64×36（2）[2023天津高考]在（2x3－1x）6的展開式中，x2的系數(shù)是60解析解法一二項(xiàng)式（2x3－1x）6的展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C6k（2x3）6－k（－1x）k=－1k26－kC6kx18-4k，令18－4k＝2，解得k＝4解法二將二項(xiàng)式（2x3－1x）6看成6個多項(xiàng)式（2x3－1x）相乘，要想出現(xiàn)x2項(xiàng)，則先在6個多項(xiàng)式中選2個多項(xiàng)式取2x3，然后余下的多項(xiàng)式都?。?x，相乘，即C62方法技巧求形如（a＋b）n（n∈N*）的展開式中的特定項(xiàng)問題的步驟角度2形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展開式中的特定項(xiàng)例2（1）[2023沈陽市三檢]（2x－3）2（1－1x）6的展開式中，含x－2項(xiàng)的系數(shù)為（BA.430 B.435 C.245 D.240解析（1－1x）6的展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C6k（－1x）k＝（－1）kC6k1xk.（2x－3）2＝4x2－12x+9，當(dāng)在多項(xiàng)式（4x2－12x＋9）中取4x2時(shí)，令k＝4，得4x2·（－1）4C641x4；當(dāng)在多項(xiàng)式（4x2－12x＋9）中取－12x時(shí)，令k＝3，得－12x·（－1）3C631x3；當(dāng)在多項(xiàng)式（4x2－12x＋9）中取9時(shí)，令k＝2，得9×（－1）2C621x2.所以含x－2項(xiàng)的系數(shù)為4×（－1）4C64＋（－12）（2）[2022新高考卷Ⅰ]（1－yx）（x＋y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為－28.解析（x＋y）8的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C8rx8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝C86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝C85x3y5，所以（1－yx）（x＋y）8的展開式中x2y6方法技巧求形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展開式中特定項(xiàng)問題的步驟角度3形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展開式中的特定項(xiàng)例3（1）（x－y＋2）5的展開式中，x3y的系數(shù)為（D）A.80 B.40C.－80 D.－40解析解法一（x－y＋2）5＝[x－（y－2）]5，其通項(xiàng)Tr＋1＝C5rx5－r（－1）r·（y－2）r，則展開式中含x3的項(xiàng)為C52x3（y－2）2，又（y－2）2的展開式中含y的項(xiàng)為（－2）C21y，所以（x－y＋2）5的展開式中，x3y的系數(shù)為C52·C21解法二要在展開式中得到x3y，可在5個“x－y＋2”中選3個“x”，1個“－y”，1個“2”，故x3y的系數(shù)為C53·C21（－1）1×（2）（1＋2x－3x2）5的展開式中，x5的系數(shù)為92.解析（1＋2x－3x2）5＝（1－x）5（1＋3x）5，所以展開式中x5的系數(shù)為C50C5535＋C51（－1）C5434＋C52（－1）2C5333＋C53（－1）3C5232＋C54（方法技巧求形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展開式中的特定項(xiàng)問題的方法因式分解法通過分解因式將三項(xiàng)式變成兩個二項(xiàng)式的積的形式，然后用二項(xiàng)式定理分別展開.逐層展開法將三項(xiàng)式分成兩組，用二項(xiàng)式定理展開，再把其中含兩項(xiàng)的一組展開，從而解決問題.利用組合知識把三項(xiàng)式（a＋b＋c）n（n∈N*）看成n個a＋b＋c的積，然后利用組合知識求解.訓(xùn)練1（1）已知（2x－a）（x＋2x）6的展開式中x2的系數(shù)為－240，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（AA.－640 B.－320 C.640 D.320解析（x＋2x）6的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C6kx6－k·（2x）k＝C6k2kx6－2k.令6－2k＝2，得k＝2；令6－2k＝1，得k＝故（2x－a）（x＋2x）6的展開式中x2的系數(shù)為－aC62·22＝－240，得令6－2k＝－1，得k＝72，不符合題意，舍去；令6－2k＝0，得k＝3.故2x-4x+2x6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－4（2）（x2＋x＋y）5的展開式中，x5y2的系數(shù)為（C）A.10 B.20 C.30 D.60解析（x2＋x＋y）5表示5個因式（x2＋x＋y）的乘積，要得到含x5y2的項(xiàng)，只需從5個因式中選2個因式取x2，1個因式取x，其余2個因式取y即可，故x5y2的系數(shù)為C52命題點(diǎn)2二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問題角度1二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和問題例4[多選]已知（1－2x）2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，則下列結(jié)論正確的是（ACD）A.展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22023B.展開式中所有奇次項(xiàng)的系數(shù)的和為3C.展開式中所有偶次項(xiàng)的系數(shù)的和為3D.a12＋a222＋a32解析對于A，（1－2x）2023的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22023，故A正確；對于B，令f（x）＝（1－2x）2023，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝f（1）＝－1，a0－a1＋a2－a3＋…－a2023＝f（－1）＝32023，所以展開式中所有奇次項(xiàng)的系數(shù)的和為f（1）－f（－1）2＝－32023+12，展開式中所有偶次項(xiàng)的系數(shù)的和為f（1）＋f（－1）2＝32023－12，故B錯誤，C正確；對于D，a0＝f（0）＝方法技巧應(yīng)用賦值法求項(xiàng)的系數(shù)和問題（1）對形如（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可；求系數(shù)之差時(shí)，只需根據(jù)題目要求令x＝1，y＝－1或x＝－1，y＝1即可.（2）對（a＋bx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令f（x）＝（a＋bx）n，則（a＋bx）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f（1），偶次項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，奇次項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a角度2與二項(xiàng)展開式中的系數(shù)有關(guān)的最值問題例5（1）[全國卷Ⅰ]設(shè)m為正整數(shù)，（x＋y）2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，（x＋y）2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝（B）A.5 B.6 C.7 D.8解析根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，知（x＋y）2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C2mm，而（x＋y）2m＋1展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C2m+1m，則C2mm＝a，C2m+1m＝b.又13a＝7b，所以13C2（2）已知（x＋124x）n（n≥2）的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是7x52解析展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別是1，n2，18n（n－1），由題意知，2×n2＝1＋18n（n－1），解得n＝8或n于是展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C8k·（x）8－k·（124x）k＝C8k·2－k·x4－34k，所以第k＋1項(xiàng)的系數(shù)是C8k·2－k，第k項(xiàng)的系數(shù)是C8k－1·2－k＋1，第k＋2項(xiàng)的系數(shù)是C8k+1·2－k－1.若第k＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，則C8k·2－k≥C8k－1·2－k＋1且C8k·2－k≥C8k+1·2－k－1，解得2≤k≤3.又k∈Z，因此k＝方法技巧1.二項(xiàng)式系數(shù)最值的求法當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，第n2＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為Cnn2；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，第n+12項(xiàng)和第2.項(xiàng)的系數(shù)最值的求法設(shè)展開式各項(xiàng)的系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，解不等式組Ak≥Ak訓(xùn)練2（1）[多選]已知二項(xiàng)式（x－2x）8，則下列結(jié)論正確的是（ABA.第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大B.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1C.有且僅有第6項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大D.展開式中共有4項(xiàng)有理項(xiàng)解析由題意知，展開式中共有9項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，A正確；所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1－2）8＝1，B正確；Tr＋1＝C8rx8－r·（－2x）r＝（－2）rC8rx8－3r2，r＝0，1，2，…，8，顯然r＝0，2，4，6，8時(shí)，Tr＋1是有理項(xiàng)，所以共有5項(xiàng)有理項(xiàng)，D錯誤；由2rC8r≥2r+1C8r+1，2r（2）[2022浙江]已知多項(xiàng)式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a2＝8，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.解析由多項(xiàng)式展開式可知，a2＝2C42（－1）2＋C43（－1）3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a命題點(diǎn)3二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例6（1）利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是（D）A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34解析1.056＝（1＋0.05）6＝C60＋C61×0.05＋C62×0.052＋C63×0.053＋…＝1＋0.3（2）設(shè)a∈N，且0≤a＜26，若512020＋a能被13整除，則a的值為（D）A.0 B.11或0 C.12 D.12或25解析∵512020＋a＝（52－1）2020＋a＝C20200522020（－1）0＋C20201522019（－1）1＋C20202522018（－1）2＋…＋C20202019521·（－1）2019＋C20202020（－1）2020＋a，又52能被13整除，∴需使C20202020（－1）2020＋a能被13整除，即1＋a方法技巧二項(xiàng)式定理應(yīng)用的常見題型及解題策略題型解題策略近似計(jì)算先觀察精確度，然后選取展開式中若干項(xiàng)求解.證明整除問題或求余數(shù)將被除式（數(shù)）合理的變形，拆成二項(xiàng)式，使被除式（數(shù)）展開后的每一項(xiàng)都含有除式的因式.逆用二項(xiàng)式定理根據(jù)所給式子的特點(diǎn)結(jié)合二項(xiàng)展開式的要求，變形使之具備二項(xiàng)式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項(xiàng)式定理求解.訓(xùn)練3（1）設(shè)復(fù)數(shù)x＝2i1－i（i是虛數(shù)單位），則C20241x＋C20242x2＋A.0 B.－2 C.－1＋i D.－1－i解析x＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1＋i，則C20241x＋C20242x2＋C2024（2）若（2x＋1）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余數(shù)為5.解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝3100.令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a100＝1，兩式相減得2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＝3100－1，則2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3＝3100－4.3100－4＝950－4＝（8＋1）50－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8＋C5050－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－3＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5，則C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5除以1.[命題點(diǎn)1角度1/2022天津高考]（x＋3x2）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為15解析（x＋3x2）5展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝C5k（x）5－k（3x2）k＝3kC5kx5－5k22.[命題點(diǎn)1角度2/全國卷Ⅲ]（1＋2x2）（1＋x）4的展開式中x3的系數(shù)為（A）A.12 B.16 C.20 D.24解析（1＋x）4的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C4r14－rxr（r＝0，1，2，3，4（1＋2x2）（1＋x）4的展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為1×（C43×11）＋2×（C41×13）3.[命題點(diǎn)1角度3/2023湖南長沙第一中學(xué)段考]（x－2y＋z）8的展開式中x3y3z2的系數(shù)是－4480（用數(shù)字作答）.解析（x－2y＋z）8可看成8個（x－2y＋z）相乘，在8個（x－2y＋z）中的3個式子中取x，3個式子中?。?y，剩下的2個式子中取z，則（x－2y＋z）8的展開式中x3y3z2的系數(shù)是C83×C53×（－2）3×4.[命題點(diǎn)2角度1/2022北京高考]若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＝（B）A.40 B.41 C.－40 D.－41解析依題意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上兩式相加可得82＝2（a4＋a2＋a0），所以a0＋a2＋a4＝41，故選B.5.[命題點(diǎn)3]今天是星期二，經(jīng)過7天后還是星期二，那么經(jīng)過22021天后是（D）A.星期三 B.星期四C.星期五 D.星期六解析22021＝4×22019＝4×8673＝4×（7＋1）673＝4×（C6730×7673＋C6731×7672＋…＋C673672×7＋C673673），由于括號中，除了最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都能被7整除，故整個式子除以7的余數(shù)為46.[命題點(diǎn)3]已知－C1001（2－x）＋C1002（2－x）2－C1003（2－x）3＋…＋C100100（2－x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則a1＋a2＋a3＋…＋解析記f（x）＝1－C1001（2－x）＋C1002（2－x）2－C1003（2－x）3＋…＋C100100（2－x）100－1＝[1－（2－x）]100－1＝（x－1）100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0，又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a37.[命題點(diǎn)3]0.996的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是（B）A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943解析0.996＝（1－0.01）6＝C60×1－C61×0.01＋C62×0.012－C63×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋學(xué)生用書·練習(xí)幫P3841.[2024河北保定部分示范高中統(tǒng)考]（9x＋8x）5的展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為（DA.C52×92×83 B.C54×C.C51×94×8 D.C52×9解析（9x＋8x）5的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C5r（9x）5－r·（8x－12）r＝C5r·95－r·8r·x5－32r，0≤r≤5，r∈N，令5－32r＝2，得r＝2，所以展開式中含x2的項(xiàng)為T2＋1＝C52×932.[2024湖北武漢第四十九中模擬]（1＋x＋x2）（1－x）10的展開式中x5的系數(shù)為（D）A.120 B.135 C.－140 D.－162解析（1－x）10展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C10r（－x）r＝（－1）r·C10令r＝5，則1×（1－x）10展開式中x5的系數(shù)為（－1）5C令r＝4，則x（1－x）10展開式中x5的系數(shù)為（－1）4C104＝令r＝3，則x2（1－x）10展開式中x5的系數(shù)為（－1）3C103＝∴（1＋x＋x2）（1－x）10的展開式中x5的系數(shù)為－252＋210－120＝－162.故選D.3.[2024陜西寶雞金臺區(qū)統(tǒng)考]若（x－1x）n的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（CA.第4項(xiàng) B.第5項(xiàng) C.第6項(xiàng) D.第7項(xiàng)解析由二項(xiàng)式定理可得展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為Cn2和Cn8，即Cn2＝Cn8，解得n＝10.因此展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C105x4.[2024山東青島一中統(tǒng)考]若（x＋mx）（x－1x）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)是10，則m＝（DA.－2 B.－1 C.1 D.2解析（x＋mx）（x－1x）5＝x（x－1x）5＋mx（x－（x－1x）5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C5rx5－r（－1x）r＝C5r·（－1）rx5－2r.令5－2r＝－1，解得r＝3，則令5－2r＝1，解得r＝2，則mx（x－1x）5的展開式的常數(shù)項(xiàng)為mC52因?yàn)椋▁＋mx）（x－1x）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)是10，所以10m－10＝10，解得m＝25.[多選/2024青島市檢測]已知（2x－1x）n的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則（ABDA.n＝8B.展開式中x－2的系數(shù)為－448C.展開式中常數(shù)項(xiàng)為16D.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1解析因?yàn)椋?x－1x）n的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，所以2n＝256，解得n＝8，選項(xiàng)A（2x－1x）8的展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝C8k（2x）8－k·（－1x）k＝（－1）k28－kC8kx8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以展開式中x－2的系數(shù)為（－1）5×23×C令8－2k＝0，解得k＝4，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為（－1）4×24×C84＝1120，所以選項(xiàng)令x＝1，得（2x－1x）8＝1，所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，所以選項(xiàng)D正確.綜上，選6.[多選/2024江蘇連云港統(tǒng)考]已知（1－2x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，則下列選項(xiàng)正確的是（AC）A.a0＝1 B.a2＝120C.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝729D.a1＋a2＋…＋a5＝0解析選項(xiàng)分析過程正誤A令x＝0，則1＝a0√B（1－2x）6展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C6r（－2x）r＝C6r·（－2）rxr，所以令r＝2可得a2＝C62（?C當(dāng)r＝1，3，5時(shí)，可得a1，a3，a5＜0，同理可得a0，a2，a4，a6＞0，所以令x＝－1，得36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36＝729√D令r＝6，可得a6＝C66（－2）6＝64，由A知a0＝1.令x＝1，則1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，所以a1＋a2＋…＋a5＝1－64－1＝?7.二項(xiàng)式（2x2－14x）6的展開式的中間項(xiàng)是－52x解析二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C6k（2x2）6－k·（－14x）k＝（－14）k26－kC6kx12－3k，二項(xiàng)式展開式一共有7項(xiàng)，所以第4項(xiàng)為中間項(xiàng)，即k＝3，T4＝（－14）3268.[2024吉林一中、東北師大附中等校聯(lián)考]（x2－x＋1）5的展開式中，x5的系數(shù)為-51解析（x2－x＋1）5可以看作5個因式（x2－x＋1）相乘，要想得到含x5的項(xiàng)，可分三種情況：①5個因式中選2個因式取x2，1個因式取－x，2個因式取1；②5個因式中選1個因式取x2，3個因式?。瓁，1個因式取1；③5個因式中都取－x.所以展開式中含x5的項(xiàng)為C52·（x2）2·C31·（－x）·C22·12＋C51·x2·C43·（－x）3·1＋C55所以x5的系數(shù)為－51.9.[2023湖北十堰6月統(tǒng)考]（2x＋11）10的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第10項(xiàng).解析（2x＋11）10展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C10r·（2x）10－r11r＝C10r·210－r·11r·x10－r，由C10r·210－r·11r≥C10r10.S＝C271＋C272＋…＋C2727除以解析依題意S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝（9－1）9－1＝C90×99－C91×98＋…＋C98×9－C99－1＝9×（C90×98－C91×97＋…＋C98）－2.∵C課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測1.結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.2.結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.3.通過實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.4.結(jié)合實(shí)例，會用頻率估計(jì)概率.事件的關(guān)系的判斷2020新高考卷ⅠT5本講知識是概率部分的基礎(chǔ)，高考命題熱點(diǎn)為互斥事件和對立事件的概率計(jì)算，以頻率估計(jì)概率，古典概型的求解，概率基本性質(zhì)的應(yīng)用等，題型既有小題也有大題，大題常與排列組合、分布列、期望與方差、統(tǒng)計(jì)等知識綜合命題，難度中等.在2025年高考備考中，要加強(qiáng)對本講概念的理解與應(yīng)用及與其他知識的綜合訓(xùn)練.求隨機(jī)事件的頻率與概率2023新高考卷ⅡT19；2023北京T18；2022新高考卷ⅡT19；2021全國卷甲T17；2020新高考卷ⅠT19；2020全國卷ⅢT18；2019北京T17古典概型2023全國卷甲T4；2022新高考卷ⅠT5；2022全國卷乙T13；2022全國卷甲T15；2021全國卷甲T10概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用2023全國卷甲T6學(xué)生用書P2321.樣本空間和隨機(jī)事件（1）樣本空間（i）樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個可能的①基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，一般用Ω表示.（ii）樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，一般用Ω表示.（iii）有限樣本空間：如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有n個可能結(jié)果Ω1，Ω2，…，Ωn，則稱樣本空間Ω＝{Ω1，Ω2，…，Ωn}為有限樣本空間.說明樣本空間可以理解為集合，集合的元素就是樣本空間中的樣本點(diǎn).（2）隨機(jī)事件（i）定義：將樣本空間Ω的②子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件.（ii）表示：一般用大寫字母A，B，C，…表示.（iii）極端情形：③必然事件、不可能事件.2.兩個事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生④A?B相等事件B?A且A?B⑤A＝B并事件（和事件）A與B至少有一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥（互不相容）A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生⑥A∩B＝?，A∪B＝Ω注意對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件，即兩事件互斥是對立的必要不充分條件.3.古典概型（1）古典概型的特征（i）有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有⑦有限個；（ii）等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性⑧相等.（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P（A）＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n（A）和n4.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意的事件A，都有P（A）≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（Ω）＝1，P（?）＝0性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P（A∪B）＝⑨P（A）＋P（B）.（互斥事件的概率加法公式）性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝⑩1－P（B）.性質(zhì)5如果A?B，那么P（A）≤P（B）.性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，我們有P（A∪B）＝?PA+性質(zhì)3的推廣：若事件A1，A2，…，Am兩兩互斥，則P（A1∪A2∪…∪Am）＝P（A1）＋PA2＋…＋P（Am5.頻率與概率（1）頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn（A）會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P（A）.我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.（2）頻率穩(wěn)定性的作用：可以用頻率fn（A）估計(jì)概率P（A）.說明隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率.1.一個人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（D）A.至多有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶解析射擊兩次的結(jié)果有：一次中靶，兩次中靶，兩次都不中靶，故至少有一次中靶的互斥事件是兩次都不中靶.故選D.2.[教材改編]下列說法錯誤的是（D）A.任一事件的概率總在[0，1]內(nèi) B.不可能事件的概率為0C.必然事件的概率為1 D.概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定解析任一事件的概率總在[0，1]內(nèi)，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，概率是客觀存在的，是一個確定值.3.[教材改編]若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P（A）＝2－a，PB=4a-5，則實(shí)數(shù)aA.（54，2） B.（54，32） C.[54，32] D.解析由題意可知0<P（A）<1，0<P（B）4.[多選]下列說法正確的是（CD）A.兩個互斥事件的概率和為1B.兩個事件的和事件是指兩個事件都發(fā)生C.對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件D.從－3，－2，－1，0，1，2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相等5.[教材改編]某戰(zhàn)士射擊一次，擊中環(huán)數(shù)大于7的概率是0.6，擊中環(huán)數(shù)是6或7或8的概率相等，且和為0.3，則該戰(zhàn)士射擊一次擊中環(huán)數(shù)大于5的概率為0.8.解析記“擊中6環(huán)”為事件A，“擊中7環(huán)”為事件B，“擊中環(huán)數(shù)大于7”為事件C，事件A，B，C彼此互斥，且易知P（A）＝0.1，P（B）＝0.1，P（C）＝0.6.記“擊中環(huán)數(shù)大于5”為事件D，則P（D）＝P（A∪B∪C）＝0.1＋0.1＋0.6＝0.8.6.拋擲一枚骰子，記A事件為“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B事件為“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則P（A∪B）＝23，P（A∩B）＝16解析拋擲一枚骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的樣本空間為Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A∪B＝{1，3，5，6}，故P（A∪B）＝23；事件A∩B＝{3}，故P（A∩B）＝1學(xué)生用書P233命題點(diǎn)1事件的關(guān)系的判斷例1（1）[多選]擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（CD）A.A?BB.A＝BC.A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是2D.A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3解析設(shè)A＝{1，2}，B＝{2，3}，則A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是2，A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.故選CD.（2）[多選]將顏色分別為紅、綠、白、藍(lán)的4個小球隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個人，每人一個，則（BD）A.事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”是互斥不對立事件B.事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”是互斥不對立事件C.事件“甲分得綠球，乙分得藍(lán)球”的對立事件是“丙分得白球，丁分得紅球”D.當(dāng)事件“甲分得紅球”的對立事件發(fā)生時(shí)，事件“乙分得紅球”發(fā)生的概率是1解析事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A錯誤；事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，除了甲分得紅球或者乙分得紅球以外，丙或者丁也可以分得紅球，B正確；事件“甲分得綠球，乙分得藍(lán)球”與事件“丙分得白球，丁分得紅球”可以同時(shí)發(fā)生，不是對立事件，C錯誤；事件“甲分得紅球”的對立事件是“甲沒有分得紅球”，因此乙、丙、丁三人中有一個人分得紅球，事件“乙分得紅球”發(fā)生的概率是13.D正確方法技巧判斷事件關(guān)系的策略（1）判斷事件的互斥、對立關(guān)系時(shí)一般用定義法：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個事件為互斥事件；有且僅有一個發(fā)生的兩個事件為對立事件.（2）判斷事件的交、并關(guān)系時(shí)，一是緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件.訓(xùn)練1[多選]某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，設(shè)事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，則下列結(jié)論正確的是（BC）A.A?B B.A∩B＝?C.A∪B＝“至少一次中靶” D.A與B互為對立事件解析事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，所以A，B是互斥事件，但不是對立事件，所以A，D錯誤，B正確；A∪B＝“至少一次中靶”，C正確.命題點(diǎn)2求隨機(jī)事件的頻率與概率例2[全國卷Ⅰ]某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？解析（1）由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為40100＝0.4乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為28100＝（2）由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525－5－75頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為65×40+25×20由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤70300－70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為70×28+30×17+0×34比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).方法技巧求隨機(jī)事件的概率的思路（1）計(jì)算所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)；（2）由頻率公式求出頻率，進(jìn)而由頻率估計(jì)概率.訓(xùn)練2[全國卷Ⅲ]某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率.（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率.解析（1）這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，則需最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為2+16+362+16+36+25+7+4＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為（2）當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25），則Y＝6×300＋2×（450－300）－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×（450－200）－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值為900，300，－100.當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20時(shí)，Y大于零，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為36+25+7+490＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為命題點(diǎn)3古典概型例3（1）[2023全國卷甲]某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（D）A.16 B.13 C.12 解析解法一由題意可知，所求概率P＝C21C21解法二記高一年級2名學(xué)生分別為a1，a2，高二年級2名學(xué)生分別為b1，b2，則從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），共6個，其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），共4個，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率P＝46＝23（2）[2022新高考卷Ⅰ]從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（D）A.16 B.13 C.12 解析從7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有C72＝21（種）取法，取得的2個數(shù)互質(zhì)的情況有{2，3}，{2，5}，{2，7}，{3，4}，{3，5}，{3，7}，{3，8}，{4，5}，{4，7}，{5，6}，{5，7}，{5，8}，{6，7}，{7，8}，共14種.根據(jù)古典概型的概率公式，得這2個數(shù)互質(zhì)的概率為1421＝2方法技巧1.求解古典概型問題的步驟（1）求出樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù)n；（2）求出事件A包含的樣本點(diǎn)個數(shù)k；（3）代入公式P（A）＝kn求解，即為事件A的概率2.求樣本點(diǎn)個數(shù)的方法：列舉法、列表法、樹狀圖法、排列組合法.訓(xùn)練3（1）[2021全國卷甲]將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（C）A.13 B.25 C.23 解析解法一將4個1和2個0視為完全不同的元素，則將4個1和2個0隨機(jī)排成一行有A66種排法.將4個1排成一行有A44種排法，再將2個0插空有A52種排法.所以2個0不相鄰的概率解法二將4個1和2個0安排在6個位置，則選擇2個位置安排0，共有C62種排法.將4個1排成一行，再將2個0插空，即在5個位置中選2個位置安排0，共有C52種排法.所以2個0不相鄰的概率P＝（2）[2022全國卷甲]從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)在同一個平面的概率為635解析從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，取法有C84＝70（種）.其中①所取的4個點(diǎn)為正方體同一個面上的4個頂點(diǎn)，如圖1，有6種取法；②所取的4個點(diǎn)為正方體同一個對角面上的4個頂點(diǎn)，如圖2，也有6種取法. 圖1 圖2所以所取的4個點(diǎn)在同一個平面的概率P＝1270＝6命題點(diǎn)4概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用例4（1）如圖所示，靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環(huán)Ⅱ，Ⅲ構(gòu)成，射手命中圓面Ⅰ、圓環(huán)Ⅱ、圓環(huán)Ⅲ的概率分別為0.35，0.30，0.25，則射手命中圓環(huán)Ⅱ或圓環(huán)Ⅲ的概率為0.55，未命中靶的概率為0.10.解析設(shè)射手命中圓面Ⅰ為事件A，命中圓環(huán)Ⅱ?yàn)槭录﨎，命中圓環(huán)Ⅲ為事件C，未中靶為事件D，則P（A）＝0.35，P（B）＝0.30，P（C）＝0.25，事件A，B，C兩兩互斥，故射手命中圓環(huán)Ⅱ或圓環(huán)Ⅲ的概率為P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝0.30＋0.25＝0.55，射手命中靶的概率為P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因?yàn)橹邪泻臀粗邪惺菍α⑹录晕疵邪械母怕蔖（2）一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，某種情況下甲熔絲熔斷的概率為0.85，乙熔絲熔斷的概率為0.74，甲、乙兩根熔絲同時(shí)熔斷的概率為0.63，則該情況下至少有一根熔絲熔斷的概率為0.96.解析設(shè)事件A＝“甲熔絲熔斷”，事件B＝“乙熔絲熔斷”，則有P（A）＝0.85，PB=0.74，“甲、乙兩根熔絲同時(shí)熔斷”為事件A∩B，則有P（A∩B）＝0.63，“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B，則有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝0.85＋0.74－0.63＝方法技巧求復(fù)雜事件概率的方法（1）直接法：將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用互斥事件的概率加法公式求解.（2）間接法：當(dāng)求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語時(shí)，考慮其對立事件，通過求其對立事件的概率，然后轉(zhuǎn)化為所求問題.訓(xùn)練4[多選/2023湖北聯(lián)考]中國籃球職業(yè)聯(lián)賽（CBA）中，某男籃球運(yùn)動員在最近幾次比賽中的得分情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)沒投中1005518m記該運(yùn)動員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀，投中三分球?yàn)槭录﨎，沒投中為事件C，用頻率估計(jì)概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是（ABC）A.P（A）＝0.55 B.P（A＋B）＝0.73C.P（C）＝0.27 D.P（B＋C）＝0.55解析由題意可知，m＝100－55－18＝27，P（A）＝55100＝0.55，P（B）＝18100＝0.18，事件A＋B與事件C為對立事件，且事件A，B，所以P（C）＝1－P（A＋B）＝1－P（A）－P（B）＝0.27，P故選ABC.1.[命題點(diǎn)1/多選]從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，則下列說法正確的有（BCD）A.至少有一個黑球與都是黑球是互斥事件B.至少有一個黑球與至少有一個紅球不是互斥事件C.恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球是互斥事件D.至少有一個黑球與都是紅球是對立事件解析解法一（列舉法）設(shè)兩個紅球分別為a，b，兩個黑球分別為1，2.則從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，所有可能的情況為{a，b}，{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，{1，2}，共6種.對于A，至少有一個黑球與都是黑球都包含事件{1，2}，故二者不是互斥事件，A錯誤；對于B，至少有一個黑球與至少有一個紅球都包含事件{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，故二者不是互斥事件，B正確；對于C，恰好有一個黑球包含事件{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，恰好有兩個黑球包含事件{1，2}，故二者是互斥事件，C正確；對于D，至少有一個黑球包含事件{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，{1，2}，都是紅球包含事件{a，b}，故二者是對立事件，D正確.故選BCD.解法二從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，設(shè)取出的黑球個數(shù)為X，則取出的紅球個數(shù)為2－X，X的所有可能取值為0，1，2.對于A，“至少有一個黑球”對應(yīng)X≥1，即X＝1或X＝2，“都是黑球”對應(yīng)X＝2.顯然當(dāng)X＝2時(shí)，兩個事件同時(shí)發(fā)生，故A錯誤.對于B，“至少有一個黑球”對應(yīng)X≥1，即X＝1或X＝2，“至少有一個紅球”對應(yīng)2－X≥1，即X≤1，即X＝0或X＝1，顯然當(dāng)X＝1時(shí)，兩個事件同時(shí)發(fā)生，故B正確.對于C，“恰好有一個黑球”對應(yīng)X＝1，“恰好有兩個黑球”對應(yīng)X＝2，顯然二者不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故C正確.對于D，“至少有一個黑球”對應(yīng)X≥1，即X＝1或X=2，“都是紅球”對應(yīng)2－X＝2，即X＝0，顯然二者不能同時(shí)發(fā)生，且二者的并事件包含X的所有取值，故兩事件是對立事件，故D正確.2.[命題點(diǎn)2/北京高考]電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率好評率是指一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（2）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評的概率；（3）電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論）解析（1）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25＝50，故所求概率為502（2）由題意知，樣本中獲得好評的電影部數(shù)是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估計(jì)為1－3722（3）增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率.3.[命題點(diǎn)3/2023濟(jì)南3月模擬]從正六邊形的6個頂點(diǎn)中任取3個構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為（C）A.310 B.12 C.35 解析如圖所示，正六邊形ABCDEF的外接圓為圓O，則AD，BE，CF均為圓O的直徑.從正六邊形的6個頂點(diǎn)中任取3個頂點(diǎn)，共有C63＝20（種）等可能結(jié)果.取定A，D兩點(diǎn)時(shí)，在B，C，E，F(xiàn)中任取一個點(diǎn)均可構(gòu)成直角三角形，即此時(shí)可構(gòu)成4個直角三角形；同理，當(dāng)取定B，E兩點(diǎn)或取定C，F(xiàn)兩點(diǎn)時(shí)，均可構(gòu)成4個直角三角形.故共可構(gòu)成4×3＝12（個）直角三角形.所以所得三角形是直角三角形的概率P＝1220＝34.[命題點(diǎn)3/多選]某次數(shù)學(xué)考試對多項(xiàng)選擇題的要求是：在每小題給出的A，B，C，D四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不會做，下列表述正確的是（ABC）A.甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個選項(xiàng)，能得2分的概率是1B.乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個選項(xiàng)，能得5分的概率是1C.丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是1D.丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個選項(xiàng)，能得分的概率是1解析對于A，甲同學(xué)僅隨機(jī)選擇一個選項(xiàng)，有四種方式，即A，B，C，D，能得2分的選項(xiàng)為C，D，概率為12對于B，乙同學(xué)可能選擇的情況有AB，AC，AD，BC，BD，CD，僅在選CD時(shí)才能得5分，概率為16對于C，丙同學(xué)可能選擇的情況有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共15種，能得分的情況有C，D，CD，共3種，故丙同學(xué)能得分的概率為315＝1對于D，丁同學(xué)可能選擇的情況為AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共11種，能得分的情況只有CD1種，故丁同學(xué)能得分的概率為111.故選5.[命題點(diǎn)4/全國卷Ⅲ]若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為（B）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7解析設(shè)“只用現(xiàn)金支付”為事件A，“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”為事件B，“不用現(xiàn)金支付”為事件C，則P（C）＝1－P（A）－P（B）＝1－0.45－0.15＝0.4.學(xué)生用書·練習(xí)幫P3851.[2024吉林長春東北師大附中模擬]下列敘述正確的是（D）A.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一定越來越接近一個確定數(shù)值B.若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為P（A），則0＜P（A）＜1C.若事件A與事件B互斥，則P（A＋B）＝P（B）D.若事件A與事件B對立，則P（A）＋P（B）＝1解析隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率，并不一定越來越接近這個確定數(shù)值，故A不正確；必然事件發(fā)生的概率為1，不可能事件發(fā)生的概率為0，所以0≤P（A）≤1，故B不正確；若事件A與事件B互斥，則它們不可能同時(shí)發(fā)生，即B發(fā)生則A一定不發(fā)生，所以B?A，則A＋B＝A，則有P（A＋B）＝P（A），不一定與P（B）相等，故C不正確；若事件A與事件B對立，則A∪B為必然事件，且事件A與事件B互斥，則P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1，故D正確.故選D.2.[2024廣東佛山模擬]從1～9這9個數(shù)中隨機(jī)選取一個，則這個數(shù)平方的個位數(shù)字大于5的概率為（B）A.13 B.49 C.59 解析從1～9這9個數(shù)中隨機(jī)選取一個數(shù)，共有9種選法，其中這個數(shù)平方的個位數(shù)字大于5的是3，4，6，7，故這個數(shù)平方的個位數(shù)字大于5的概率為49，故選3.[2024四川成都模擬]我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素?cái)?shù)的和”，如40＝3＋37.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（B）A.245 B.115 C.145 解析不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)有C102＝45（種）情況，其中和等于30的有7和23，11和19，13和17這3種情況，所以所求概率是345＝14.[2024四川遂寧模擬]拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，定義如下隨機(jī)事件：Ci＝“點(diǎn)數(shù)為i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“點(diǎn)數(shù)不大于2”；D2＝“點(diǎn)數(shù)大于2”；D3＝“點(diǎn)數(shù)大于4”.則下列結(jié)論錯誤的是（D）A.C1與C2互斥 B.D1∪D2＝Ω，D1D2＝?C.D3?D2 D.C2，C3為對立事件解析由題意知C1與C2不可能同時(shí)發(fā)生，它們互斥，A正確；由題意知，樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，D1＝{1，2}，D2＝{3，4，5，6}，因此B正確；D3＝{5，6}?D2，C正確；C2與C3不可能同時(shí)發(fā)生，但也可能都不發(fā)生，互斥不對立，D錯誤.故選D.5.[2024湖北宜昌宜都市一中模擬]從裝有除顏色外完全相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥但不對立的兩個隨機(jī)事件是（C）A.至少有1個白球，都是白球B.至少有1個白球，至少有1個紅球C.恰有1個白球，恰有2個白球D.至少有1個白球，都是紅球解析對于A，“都是白球”這個事件發(fā)生時(shí)，事件“至少有1個白球”也發(fā)生了，因此不互斥，A不正確；對于B，任取2球一紅一白時(shí)，事件“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”同時(shí)發(fā)生，因此不互斥，B不正確；對于C，“恰有1個白球”，“恰有2個白球”這兩個事件不可能同時(shí)發(fā)生，但當(dāng)任取2個球都是紅球時(shí)，它們都不發(fā)生，因此它們互斥且不對立，C正確；對于D，“至少有1個白球”與“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個會發(fā)生，因此它們是對立事件，D不正確.故選C.6.[新高考卷Ⅰ]某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96％的學(xué)生喜歡足球或游泳，60％的學(xué)生喜歡足球，82％的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（C）A.62％ B.56％ C.46％ D.42％解析記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件B，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件A∪B，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件A∩B，則P（A）＝0.6，P（B）＝0.82，P（A∪B）＝0.96，所以P（A∩B）＝P（A）＋P（B）－P（A∪B）＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46％，故選C.7.[全國卷Ⅰ]設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（A）A.15 B.25 C.12 解析根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，有C53=10（種）等可能的情況，其中取到的3點(diǎn)共線有（OAC）和（OBD）2種等可能的情況，所以在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為2108.[2023廣西聯(lián)考]現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，若將這組數(shù)據(jù)隨機(jī)刪去兩個數(shù)，則剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5的概率為（A）A.17 B.314 C.328 解析由已知可得，1＋2＋3＋…＋8＝36，若使刪去兩個數(shù)后剩余六個數(shù)的平均數(shù)大于5，則剩余六個數(shù)的總和大于30，即刪去兩個數(shù)的總和小于6，則有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3）四種情況，所以隨機(jī)刪去兩個數(shù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5的概率P=49.[多選/2024山東濟(jì)寧模擬]擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”.若B表示B的對立事件，則一次試驗(yàn)中，下列說法正確的是（ABD）A.P（A）＝13 B.P（B）＝C.P（A∪B）＝13 D.P（A∪B）＝解析易知P（A）＝26＝13，P（B）＝46＝23，故A，B正確，P（A）＝1－13＝23，P（B）=1-23＝13，易知A與B互斥，故P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝23，故D正確，易知B?A，則P（A∪B）＝10.[2024湖北黃岡模擬]事件A，B是相互獨(dú)立事件，若P（A）＝m，P（B）＝0.3，PA+B=0.7，則實(shí)數(shù)m解析P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝1－P（A）＋P（B）－P（A）P（B）＝1－P（A）＋P（B）[1－P（A）]＝1－P（A）＋P（B）P（A），即0.7＝1－m＋0.3m，解得m＝3711.[2024廣東佛山模擬]有兩個人從一座28層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每一個人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則這兩個人在不同層離開電梯的概率為2627解析兩人離開電梯的所有可能情況有27×27＝729（種），兩人在同一層離開電梯的可能情況有C271＝27（種），則兩人在同一層離開電梯的概率為27729＝127，所以這兩個人在不同層離開電梯的概率為1－12.[2024河南商丘模擬]某射擊運(yùn)動員在一次射擊訓(xùn)練中共射擊10次，這10次命中的環(huán)數(shù)分別為8，7，9，9，10，6，8，8，7，8.（1）求這名運(yùn)動員10次射擊成績的方差.（2）若以這10次命中環(huán)數(shù)的頻率來估計(jì)這名運(yùn)動員命中環(huán)數(shù)的概率，求該運(yùn)動員射擊一次時(shí)：（i）命中9環(huán)或者10環(huán)的概率；（ii）至少命中7環(huán)的概率.解析（1）平均數(shù)x＝110（8＋7＋9＋9＋10＋6＋8＋8＋7＋8）＝8方差s2＝110[（6－8）2＋2×（7－8）2＋4×（8－8）2＋2×（9－8）2＋（10－8）2]＝（2）設(shè)該運(yùn)動員射擊一次時(shí)，事件A＝“命中7環(huán)”，事件B＝“命中8環(huán)”，事件C＝“命中9環(huán)”，事件D＝“命中10環(huán)”，用頻率估計(jì)概率，則P（A）＝15，P（B）＝25，PC=15，P（i）設(shè)事件E＝“命中9環(huán)或者10環(huán)”，則P（E）＝P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝15＋110＝（ii）解法一設(shè)事件F＝“至少命中7環(huán)”，則P（F）＝P（A∪B∪C∪D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝15＋25＋15＋1解法二設(shè)事件F＝“至少命中7環(huán)”，事件G＝“命中不超過6環(huán)”，則P（G）＝110，所以P（F）＝1－P（G）＝1－110＝13.某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿80元，則可以從“?！弊?、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件，若有5名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們中恰有3人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是（D）A.140243 B.40243 C.2081 解析5名顧客從“福”字、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任取一件，共有35種可能結(jié)果，令事件A為“5人中恰有3人領(lǐng)取的禮品種類相同”，則事件A包含的可能結(jié)果有C53×C31×C21×C21＝120（種），所以P（14.[2024湖北武漢市第一中學(xué)模擬]在集合{2，3，4，5，6}的所有非空真子集中任選一個，其元素之和為偶數(shù)的概率是（B）A.35 B.715 C.12 解析集合{2，3，4，5，6}中有兩個奇數(shù)3，5，三個偶數(shù)2，4，6，共5個元素，則集合{2，3，4，5，6}的非空真子集一共有25－2＝30（個）.分類討論滿足題意的非空真子集的個數(shù)：（1）當(dāng)集合中只有1個元素時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機(jī)選取一個，此時(shí)滿足題意的非空真子集的個數(shù)為C31＝（2）當(dāng)集合中有2個元素時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機(jī)選取兩個，或者同時(shí)選取3，5，此時(shí)滿足題意的非空真子集的個數(shù)為C32＋C22＝3＋（3）當(dāng)集合中有3個元素時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機(jī)選取一個且同時(shí)選取3，5，或者同時(shí)選取2，4，6，此時(shí)滿足題意的非空真子集的個數(shù)為C31×C22＋C33＝3×（4）當(dāng)集合中有4個元素時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機(jī)選取兩個且同時(shí)選取3，5，此時(shí)滿足題意的非空真子集的個數(shù)為C32×C22＝3綜上，滿足題意的非空真子集的個數(shù)共有3＋4＋4＋3＝14（個），因此所求概率為1430＝715.15.[2024陜西西安市鐵一中模擬]甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨(dú)立解出的概率為0.8.解析記“該題被甲獨(dú)立解出”為事件A，“該題被乙獨(dú)立解出”為事件B，由題知PA=0.7，P（A∪B）＝0.94.因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，所以PAB=PAPB=0.7PB.又P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）16.[2024四川成都模擬]已知2，4，6，8，x這5個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為2，若在－2，0，5，2x-1，x－2中隨機(jī)取出3個不同的數(shù)，則5為這3個數(shù)的中位數(shù)的概率是3解析2，4，6，8，x這5個數(shù)的平均數(shù)為2+4+6+8+x5＝20+x5，則15[(2－20+x5）2＋（4－20+x5）2＋（6－20+x5）2＋（8－從－2，0，3，5，9中隨機(jī)取出3個不同的數(shù)，有C53＝10（種）情況，其中5為這3個數(shù)的中位數(shù)有（－2，5，9），（0，5，9），（3，5，9），3種情況，所以所求概率是17.[2024廣東佛山模擬]在一次猜燈謎活動中，共有20個燈謎，甲、乙兩名同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了12個，乙同學(xué)猜對了8個.假設(shè)猜對每個燈謎都是等可能的.（1）任選一個燈謎，求恰有一個人猜對的概率；（2）任選一個燈謎，求兩人同時(shí)猜對或猜錯的概率.解析（1）設(shè)事件A表示“任選一個燈謎，甲猜對”，事件B表示“任選一個燈謎，乙猜對”，由古典概型的概率公式得P（A）＝1220＝35，P（B）＝820則P（A）＝1－35＝25，P（B）＝1－25記事件C＝“任選一個燈謎，恰有一個人猜對”，則P（C）＝（AB）∪（AB），且AB與AB互斥，因?yàn)榧?、乙?dú)立競猜，所以事件A和B相互獨(dú)立，從而A與B，A與B，A與B相互獨(dú)立，于是P（C）＝P（AB＋AB）＝P（A）P（B）＋P（A）P（B）＝35×35＋25×2（2）事件C＝“任選一個燈謎，恰有一個人猜對”，則其對立事件C＝“