高考數(shù)學第一輪復習學案 平面向量的概念及運算

2013年普通高考數(shù)學科一輪復習精品學案第25講平面向量的概念及運算一．課標要求（1）平面向量的實際背景及基本概念通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；（2）向量的線性運算①通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；②通過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；③了解向量的線性運算性質及其幾何意義。（3）平面向量的基本定理及坐標表示①了解平面向量的基本定理及其意義；②掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；③會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；④理解用坐標表示的平面向量共線的條件。二．命題走向本講內容屬于平面向量的基礎性內容，與平面向量的數(shù)量積比較出題量較小。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質，重點考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算等。此類題難度不大，分值5~9分。預測2013年高考：（1）題型可能為1道選擇題或1道填空題；（2）出題的知識點可能為以平面圖形為載體表達平面向量、借助基向量表達交點位置或借助向量的坐標形式表達共線等問題。三．要點精講1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。向量一般用SKIPIF1<0……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：SKIPIF1<0幾何表示法SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；坐標表示法SKIPIF1<0。向量的大小即向量的模（長度），記作|SKIPIF1<0|即向量的大小，記作｜SKIPIF1<0|。向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。②零向量長度為0的向量，記為SKIPIF1<0，其方向是任意的，SKIPIF1<0與任意向量平行零向量SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0｜＝0。由于SKIPIF1<0的方向是任意的，且規(guī)定SKIPIF1<0平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件。（注意與0的區(qū)別）③單位向量模為1個單位長度的向量，向量SKIPIF1<0為單位向量SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0｜＝1。④平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0。由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。⑤相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為SKIPIF1<0。大小相等，方向相同SKIPIF1<0SKIPIF1<0。2．向量的運算（1）向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法。設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。規(guī)定：（1）SKIPIF1<0；（2）向量加法滿足交換律與結合律；向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：SKIPIF1<0，但這時必須“首尾相連”。（2）向量的減法①相反向量：與SKIPIF1<0長度相等、方向相反的向量，叫做SKIPIF1<0的相反向量。記作SKIPIF1<0,零向量的相反向量仍是零向量。關于相反向量有：（i）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；(ii)SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0)=(SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；(iii)若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是互為相反向量，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。②向量減法向量SKIPIF1<0加上SKIPIF1<0的相反向量叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的差，記作：SKIPIF1<0求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。③作圖法：SKIPIF1<0可以表示為從SKIPIF1<0的終點指向SKIPIF1<0的終點的向量（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0有共同起點）。（3）實數(shù)與向量的積①實數(shù)λ與向量SKIPIF1<0的積是一個向量，記作λSKIPIF1<0，它的長度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）當SKIPIF1<0時，λSKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相同；當SKIPIF1<0時，λSKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相反；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，方向是任意的。②數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律。3．兩個向量共線定理：向量SKIPIF1<0與非零向量SKIPIF1<0共線SKIPIF1<0有且只有一個實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。4．平面向量的基本定理如果SKIPIF1<0是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量SKIPIF1<0，有且只有一對實數(shù)SKIPIF1<0使：SKIPIF1<0其中不共線的向量SKIPIF1<0叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。5．平面向量的坐標表示（1）平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量SKIPIF1<0作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內的任一向量SKIPIF1<0可表示成SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量SKIPIF1<0的坐標，記作SKIPIF1<0=(x,y)，其中x叫作SKIPIF1<0在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。規(guī)定：（1）相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關系。（2）平面向量的坐標運算：①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0=(x,y)，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0x,SKIPIF1<0y)；④若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。四．典例解析題型1：平面向量的概念例1．（1）給出下列命題：①若|SKIPIF1<0|＝|SKIPIF1<0|，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；②若A，B，C，D是不共線的四點，則SKIPIF1<0是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要條件是|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；⑤若SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；其中正確的序號是。（2）設SKIPIF1<0為單位向量，（1）若SKIPIF1<0為平面內的某個向量，則SKIPIF1<0=|SKIPIF1<0|·SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0與a0平行，則SKIPIF1<0=|SKIPIF1<0|·SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行且|SKIPIF1<0|=1，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。上述命題中，假命題個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3解析：（1）①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；②正確；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0。③正確；∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度相等且方向相同；又SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度相等且方向相同，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度相等且方向相同，故SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0。④不正確；當SKIPIF1<0//SKIPIF1<0且方向相反時，即使|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|，也不能得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要條件，而是必要不充分條件；⑤不正確；考慮SKIPIF1<0=SKIPIF1<0這種特殊情況；綜上所述，正確命題的序號是②③。點評：本例主要復習向量的基本概念。向量的基本概念較多，因而容易遺忘。為此，復習時一方面要構建良好的知識結構，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想。（2）向量是既有大小又有方向的量，SKIPIF1<0與|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時SKIPIF1<0=－|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。點評：向量的概念較多，且容易混淆，故在學習中要分清，理解各概念的實質，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。題型2：平面向量的運算法則例2．（1）如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，試用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示出來。（2）（06上海理，13）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（）A．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0（3）（06廣東，4）如圖1所示，D是△ABC的邊AB上的中點，則向量SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0（1）解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可。因為六邊形ABCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點A，B，C四點構成平行四邊形ABCO，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，由于A，B，O，F(xiàn)四點也構成平行四邊形ABOF，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，同樣在平行四邊形BCDO中，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)＝SKIPIF1<0＋2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0。點評：其實在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點中，任兩點為起點和終點，均可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示，且可用規(guī)定其中任兩個向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，另外任取兩點為起點和終點，也可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示。（2）C．（3）SKIPIF1<0，故選A。例3．設A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0。解析：①原式=SKIPIF1<0；②原式=SKIPIF1<0；③原式=SKIPIF1<0。例4．設SKIPIF1<0為未知向量，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為已知向量，解方程2SKIPIF1<0(5SKIPIF1<0+3SKIPIF1<04SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0SKIPIF1<03SKIPIF1<0=0解析：原方程可化為：(2SKIPIF1<03SKIPIF1<0)+(5SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0)+(4SKIPIF1<03SKIPIF1<0)=0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0。點評：平面向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)中實數(shù)與未知數(shù)的運算法則，求解時兼顧到向量的性質。題型3：平面向量的坐標及運算例5．已知SKIPIF1<0中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC邊上的高為AD，求SKIPIF1<0。解析：設D(x,y)，則SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。例6．已知點SKIPIF1<0,試用向量方法求直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標原點）交點SKIPIF1<0的坐標。解析：設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，所以SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，也在直線SKIPIF1<0上。即得SKIPIF1<0，由點SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0。得方程組SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0。故直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0。題型4：平面向量的性質例7．平面內給定三個向量SKIPIF1<0，回答下列問題：（1）求滿足SKIPIF1<0的實數(shù)m,n；（2）若SKIPIF1<0，求實數(shù)k；（3）若SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。解析：（1）由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0由題意得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。例8．已知SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0；（2）當SKIPIF1<0為何實數(shù)時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，平行時它們是同向還是反向？解析：（1）因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0即得SKIPIF1<0。此時SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即此時向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相反。點評：上面兩個例子重點解析了平面向量的性質在坐標運算中的體現(xiàn)，重點掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計算方法。題型5：共線向量定理及平面向量基本定理例9．平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1），B（－1，3），若點C滿足SKIPIF1<0，其中α、β∈R，且α+β=1，則點C的軌跡方程為（）A．3x+2y－11=0 B．（x－1）2+（y－2）2=5C．2x－y=0 D．x+2y－5=0解法一：設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，先消去SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0。再消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以選取D。解法二：由平面向量共線定理，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，A、B、C共線。因此，點C的軌跡為直線AB，由兩點式直線方程得SKIPIF1<0即選D。點評：熟練運用向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標運算法則進行運算；兩個向量平行的坐標表示；運用向量的坐標表示，使向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機的結合。例10．（1）已知︱SKIPIF1<0︱=1，︱SKIPIF1<0︱=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=0,點C在∠AOB內，且∠AOC=30°，設SKIPIF1<0=mSKIPIF1<0+nSKIPIF1<0(m、n∈R)，則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．3C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0ABOM圖（2）如圖：OM∥AB，點P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內（不含邊界）.且SKIPIF1<0，則實數(shù)對（x,y）可以是（）ABOM圖A．SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0解析：（1）B；（2）C。題型6：平面向量綜合問題例11．已知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的對應關系用SKIPIF1<0表示。（1）證明：對于任意向量SKIPIF1<0及常數(shù)m，n恒有SKIPIF1<0成立；（2）設SKIPIF1<0，求向量SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的坐標；（3）求使SKIPIF1<0，（p，q為常數(shù)）的向量SKIPIF1<0的坐標解析：（1）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0