廣東省茂名市高2024屆高三年級下冊高考模擬數學試題及其詳細解析

茂名市高2024屆高三下學期高考模擬試卷

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號框涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.若集合4=｛目2加一3>0,機€尺｝,其中2eA且則實數機的取值范圍是（）

1?

_

、_

33_-33）33

-||_||

>_

-_B.C.D.

-_

42工司42

(1_(14)?

2.若z-(2+i)=3-i?°27,則z的虛部為（）

71.1

A.-1B.一C.——1D.

555

3.已知直角A8C斜邊的中點為。,且04=A3,則向量C4在向量CB上的投影向量為（）

1313

A.-CBB.-CBC.——CBD.——CB

4444

4.直線右的傾斜角分別為々，0，則"a=夕'是"tana=tan尸”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.如圖，在三棱柱ABC—A31cl中，」E,F,G,H分別為BBI,CQ,，AG的中點，則下列說法

錯誤的是（）

B

小H

A.E,F,G,H四點共面B.EF//GH

C.EG,FH,AA]三線共點D.NEGB]=NFHCi

16.已知拋物線C：y2^2px（p>0）的焦點為RC的準線與無軸的交點為M,點P是C上一點，且

點尸在第一象限，設NPMF=a,NPFM=0,貝|（）

A.tancif=sin/?B.tancr=-cos/?C.tan^=-sincrD.tan/?=-cos6Z

7.已知各項均為正數的等比數列｛4｝的前見項和為S“，且滿足&，3%，-%成等差數列，則9=（）

$2

A.3B.9C.10D.13

8.已知m,neR,m2+n20,記直線+-〃=0與直線一-〃=0的交點為尸，點Q是圓C：

（%+2）2+（丁—2）2=4上的一點，若PQ與C相切，則|PQ|的取值范圍是（）

A.[272,714]B.[2也26]C.[2,退]D.〔2,26]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知i為虛數單位，下列說法正確的是（）

A.若復數z=±匕，則/°=一1

1-i

B.若㈤>閡，則z；>Z；

C.若Z2/0,則五=共

Z2

D.復數z在復平面內對應的點為Z,若|z+i|+|z—i|=2,則點Z的軌跡是一個橢圓

10.質地均勻的正四面體模型四個表面分別標有2,5,7,70四個數字，拋擲一次并記錄與地面接觸面上的

數字，記事件”數字為2的倍數”為事件A,“數字是5的倍數”為事件B,“數字是7的倍數”為事件

C,則下列選項不正確的是（）

A.事件A、B、C兩兩互斥B.事件A.5與事件5,C對立

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）D.事件A、B、C兩兩獨立

11.已知函數y（x）的定義域為R,且y）=/（力-尸3,/⑴=2,/（尤+1）為偶函

數，則（）

2024

A./（3）=2B./（x）為奇函數C./（2）=0D.2/（%）=°

k二l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(必+1,2X—的展開式中常數項為.

3

13.在公差為正數的等差數列｛4｝中，若q=3,a.,a6,5小成等比數列，則數列｛%｝的前1。項和

為.

14.已知拋物線C：x2=4y,定點T(1,O),M為直線y=gx—1上一點，過M作拋物線C的兩條切線

MA,MB,A,2是切點，則△TAB面積的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知函數/(x)=ln2x+(e+a)x—1,g(x)=(2a+e)x+l.

(1)當a=e時，求函數/(x)的最小值；

(2)若/z(x)=/(x)_g(x)在(0,+oo)上單調遞減,求a的取值范圍.

16.(15分)

如圖，已知四邊形A8CO為等腰梯形，E為以8C為直徑的半圓弧上一點，平面平面8CE,。為

BC的中點，M為CE的中點，BE=AB=AD=DC=2,BC=4.

(1)求證：DM〃平面ABE；

(2)求平面ABE與平面?！钡膴A角的余弦值.

17.(15分)

設等差數列｛q｝的公差為d,記S“是數列｛4｝的前力項和，若工=%+20，

(1)求數列｛4｝的通項公式；

4s1

(2)若d>0,bn=一」(neN*),數列也｝的前〃項和為7；,求證：Tn<n+-.

2

18.(17分)

2024年初，多地文旅部門用各種形式展現祖國大美河山，掀起了一波旅游熱潮.某地游樂園一迷宮票價為

8元，游客從4處進入，沿圖中實線游玩且只能向北或向東走，當路口走向不確定時，用拋硬幣的方法選

擇，硬幣正面朝上向北走，否則向東走(每次拋擲硬幣等可能出現正反兩個結果)直到從X(X=1,2,

（1）隨機調查了進游樂園的50名游客，統(tǒng)計出喜歡走迷宮的人數如表:

男性女性總計

喜歡走迷宮121830

不喜歡走迷宮13720

總計252550

判斷能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為喜歡走迷宮與性別有關?

n^ad-bc^

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P（K2三人0）0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

（2）走迷宮“路過路口8”記為事件B,從“X號走出”記為事件A*，求尸（4忸）和P（同4）值；

（3）設每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項目每天收入約為多少？

19.（17分）

曲線的曲率是描述幾何彎曲程度的量，曲率越大，曲線的彎曲程度越大.曲線在點M處的曲率

|y"|

K=UI3（其中/表示函數y=/（X）在點〃處的導數,V'表示導函數/'（%）在點M處的導數）.在

曲線y=/（x）上點M處的法線（過該點且垂直于該點處的切線的直線為曲線在此處的法線）指向曲線凹的

一側上取一點D使得|加。|=工=0,則稱以。為圓心，以p為半徑的圓為曲線在M處的曲率圓，因為

K

此曲率圓與曲線弧度密切程度非常好，且再沒有圓能介于此圓與曲線之間而與曲線相切，所以又稱此圓為曲

線在此處的密切圓.

y

----x

(1)求出曲線G：%2=2在點M(0,J可處的曲率，并在曲線。2：肛=1的圖象上找一個點E,使

曲線c2在點E處的曲率與曲線。在點M(O,J5)處的曲率相同；

(2)若要在曲線G：丁―妙=2上支凹側放置圓03使其能在M僅,0)處與曲線。相切且半徑最大，求

圓。3的方程；

(3)在(2)的條件下，在圓C3上任取一點P，曲線G上任取關于原點對稱的兩點4B,求PA-P6的最

大值.

數學參考答案

1.A2.D3.B4.B5.D6.A7.C8.C

9.AC10.ABC11.BCD

12.1613.16514.A/3

15.(1)因為o=e,

所以=1R2x+2ex—l^

可得/-(X)=+2e=21rlx+2ex,

XX

令q(x)=21nx+2ex,顯然q(x)在(0,+8)上單調逆增且=0

因此當0<x<:時，則有q(無)<0,當時，則q(尤)>0,

于是有當0<x<：時，函數/(x)單調遞減，當時，函數/(x)單調遞增,

所以"x)mm=djTn2「+2eT-1=2.

21nx

(2)化簡得/z(x)=1R2%—依一2,即/z1x)=------a,

x

因為M無)在(o,+8)上單調遞減，

21nx

所以"(x)=—oWO在(0,+8)上恒成立，

X

,21nx7門、21nx

由-------ClW0CL三-----,

XX

、門/、21nx.,z、2(l-lnx)

設O(X)=----,則nI有夕(?￥)=△~

XX

當%>6時，0(x)單調逆減，

當Ovxve時，o(x)單調逆增，

./x2Ine2

所以0(x)=-----=一,

T\/max八八

要想(%)=------QWO在(0,+oo)上恒成立,

X

22

只需。N一,經檢驗，當。二一符合題意，

ee

因此。的取值范圍為

16.(1)證明：取BE的中點N,連接AN,MN,

則上W〃5C且A/N=,

2

又AD〃5c且所以兒W〃AD且兒W=AD,

2

所以四邊形AMWD為平行四邊形，所以。欣〃AN.

又DM仁平面ABE,AMu平面ABE,

所以DM〃平面ABE.

(2)解：取A。的中點R連接OR

因為四邊形48。為等腰梯形，所以O尸，5C,

又平面ABCDL平面8CE,平面ABCD平面3(五=5。，C*u平面A8CD,

所以OF_L平面BCE.

過點0作直線BC的垂線交BC于點G,

以。為坐標原點，分別以OG,0C,。尸所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

因為BC為直徑，所以=

2

所以/5?！?30。，ZBOE=60°,ZEOG=30°.

在等腰梯形A8C￡>中，AB=AD=DC=2,BC=4,

所以0歹=/22—=6，

所以石（6,—1,0）,C（0,2,0）,D（0,l,73）,5（0,—2,0）,A（0,-1,^/3）,

所以CE=（百3,0）,CD=（0,-1,A/3）,BE=（6,1,0）,BA=（0,1,^/3）

mCE=0

設平面DCE的法向量為m=(x,y,z)則《

m-CD-0

y/3x-3y=0

所以＜

—y+y/3z=0

令y=A/3,則x=3,z=1,

所以a=(3,百,1).

n,BE—+/?=0

設平面ABE的法向量為〃=(a,b,c),則<

n-BA=yj3c+/?=0

J65

設平面ABE與平面DCE的夾角為a,則cosa=1J=——,

m-n65

所以平面ABE與平面DCE的夾角的余弦值為^—.

65

17.⑴gj+2。，S5=%^=5%，得見=%+2。，解得%=5,

=aaaS--（4+&）

由九----L4-OVl-Q,e=15/，

所以15%=5a2a8,

所以/=0或。2=3，

當。8=。時d=―—―=一1,止匕時為=%+（〃-3）d=8—〃；

8—3

當。2=3時d=%—4=2，此時c1n=4+（〃-3）d=2n—1；

綜上可得數列｛an｝的通項公式為4=8—〃或4=2〃-1；

（l+2n-l）n

（2）因為d>0,所以q=2〃—1,貝!——廣一二〃29,

i4S“4n241—1+1

則b=-----=-------------=--------------

n%y〃+i（2ZZ-1）（2M+1）（2H-1）（2ZZ+1）

1+7------77------7=1-\-------------------

（2n-l）（2n+l）2（2〃-12n+l

11

+1+-

2y2n—l2n+l

111

=n+—\1-----n--\-------------------<〃+—.

2n+l22（2n+l）2

18.

2

（1）根據列聯表中的數據可得K=5°。2X7-13）<：18）=3<3.841,

30x20x25x25

所以不能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為喜歡走迷宮與性別有關.

（2）依題意當路口走向不確定時，用拋硬幣的方法選擇，所以向北與向東走的概率均為由A到路口B

2

需向北走2個，向東走3個路口，則不同路線有條,

所以P（B）=C；x?4

事件&B表示從A出發(fā)經過路口B最后從5號路口走出,

則P（&B）=C；

15

所以p（A忸）=尸（&⑻=胃=3,

'''P（B）5_8

16

P（冏表示從A出發(fā)最后從4號路口走出的條件下經過路口8的概率,

又尸⑷=戢

15

所以P（叫=噌=5

128

（3）依題意從X（X=l,2,3,4,5,6,7）號出口走出，返現金X元,

所以每名游客游玩一次游樂園收入可能取值為y=8-X,

所以p(y=7)=c；

p(y=6)=c；

p(y=5)=。，P[Y=

p(y=3)=c；，")=或

p(y=l)=&

所以每名游客游玩一次游樂園收入的期望為:

r9,28U56,70°56c28I9,

7x----i-6x----F5X----b4x----F3X---F2X----Fix---=4，

256256256256256256256

每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項目每天收入約為500x4=2000元.

19.

(1)曲線G：產―必=2在點v

X2+2-X-

X

進一步有y'=I---------=,y

f+2

2