宜春市重點中學2025屆數學高一下期末達標檢測試題含解析

宜春市重點中學2025屆數學高一下期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．底面是正方形，從頂點向底面作垂線，垂足是底面中心的四棱錐稱為正四棱錐．如圖，在正四棱錐中，底面邊長為1．側棱長為2，E為PC的中點，則異面直線PA與BE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．設,則()A． B．C． D．3．如圖是一三棱錐的三視圖，則此三棱錐內切球的體積為（）A． B． C． D．4．已知角的終邊經過點，則（）A． B． C．-2 D．5．函數圖像的一個對稱中心是（）A． B． C． D．6．如圖，在矩形中，，，點滿足，記，，，則的大小關系為()A． B．C． D．7．已知，滿足，則（）A． B． C． D．8．已知，則的值等于()A． B． C． D．9．函數的最小正周期為π，若其圖象向左平移個單位后得到的函數為奇函數，則函數f（x）的圖象（）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱10．已知兩條直線與兩個平面，給出下列命題:①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；其中正確的命題個數為A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一湖中有不在同一直線的三個小島A、B、C，前期為開發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經建有索道供游客觀賞，經測量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現調查后發(fā)現，游客對在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)?。┮黄娘L景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風光，現決定在上選擇一個點D建立索道供游客游覽，經研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當△ADC面積最大時建立索道AD的長為______公里.（注：索道兩端之間的長度視為線段）12．把二進制數化為十進制數是：______．13．在銳角中，則的值等于．14．在數列an中，a1=2,a15．等比數列的首項為，公比為，記，則數列的最大項是第___________項.16．下圖中的幾何體是由兩個有共同底面的圓錐組成．已知兩個圓錐的頂點分別為P、Q，高分別為2、1，底面半徑為1．A為底面圓周上的定點，B為底面圓周上的動點（不與A重合）．下列四個結論：①三棱錐體積的最大值為；②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為；③當直線BQ與AP所成角最小時，其正弦值為；④直線BQ與AP所成角的最大值為；其中正確的結論有___________.（寫出所有正確結論的編號）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數列的公比，前項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.18．已知首項為的等比數列不是遞減數列，其前n項和為，且成等差數列．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的最大項的值與最小項的值．19．已知為數列的前n項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前n項和.20．已知的三個頂點為.（1）求過點且平行于的直線方程；（2）求過點且與、距離相等的直線方程.21．已知數列中，，點在直線上，其中.（1）令，求證數列是等比數列；（2）求數列的通項；（3）設、分別為數列、的前項和是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出，若不存在，則說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

可采用建立空間直角坐標系的方法來求兩條異面直線所成的夾角，【詳解】如圖所示，以正方形ABCD的中心為坐標原點，DA方向為x軸，AB方向為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，，，由幾何關系可求得，，，，為中點，,，，答案選B.【點睛】解決異面直線問題常用兩種基本方法：異面直線轉化成共面直線、空間向量建系法2、C【解析】

函數，函數且，求出【詳解】因為且且所以故選：C【點睛】本題考查的是與反三角函數有關的定義域問題，較簡單.3、D【解析】把此三棱錐嵌入長寬高分別為：的長方體中三棱錐即為所求的三棱錐其中，，，則，故可求得三棱錐各面面積分別為：，，，故表面積為三棱錐體積設內切球半徑為，則故三棱錐內切球體積故選4、B【解析】按三角函數的定義，有.5、B【解析】

由題得,解出x的值即得函數圖像的一個對稱中心.【詳解】由題得,所以，所以圖像的對稱中心是．當k=1時，函數的對稱中心為.故選B【點睛】本題主要考查三角函數圖像的對稱中心的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、C【解析】

可建立合適坐標系，表示出a,b,c的大小，運用作差法比較大小.【詳解】以為圓心，以所在直線為軸、軸建立坐標系，則，，，設，則，，，，，，，，故選C.【點睛】本題主要考查學生的建模能力，意在考查學生的理解能力及分析能力，難度中等.7、A【解析】

根據對數的化簡公式得到,由指數的運算公式得到=，由對數的性質得到>0,，進而得到結果.【詳解】已知,=,>0,進而得到.故答案為A.【點睛】本題考查了指對函數的運算公式和對數函數的性質；比較大小常用的方法有：兩式做差和0比較，分式注意同分，進行因式分解為兩式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判斷最值和0的關系.8、D【解析】，所以，則，故選擇D.9、C【解析】

利用最小正周期為π，求出的值，根據平移得出，然后利用對稱性求解.【詳解】因為函數的最小正周期為π，所以，圖象向左平移個單位后得到，由得到的函數是奇函數可得，即.令得，，故A,B均不正確；令得，，時可得C正確.故選C.【點睛】本題主要考查三角函數的圖像變換和性質.平移變換時注意平移方向和對解析式的影響，性質求解一般利用整體換元意識來處理.10、A【解析】

結合線面平行定理和舉例判斷.【詳解】若，則可能平行或異面，故①錯誤；若，則可能與的交線平行，故②錯誤；若，則，所以，故③正確；若，則可能平行，相交或異面，故④錯誤；故選A.【點睛】本題線面關系的判斷，主要依據線面定理和舉例排除.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據題意畫出草圖，根據余弦定理求出的值，設點到的距離為，可得，分析可知取最大時，取最大值，然后再對為中點和不是中點兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據圓的有關性質和正弦定理，即可求出結果．【詳解】根據題意可作出及其外接圓，連接，交于點，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內角，可知，所以.設的半徑為，點到的距離為，點到的距離為，則,故取最大時，取最大值.①當為中點時，由垂徑定理知，即，此時，故；②當不是中點時，不與垂直，設此時與所成角為，則，故；由垂線段最短知，此時;綜上，當為中點時，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時點為優(yōu)弧的中點，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當△ADC面積最大時建立索道AD的長為公里.故答案為：．【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實際問題中的應用，屬于中檔題．12、51【解析】110011（2）13、2【解析】設由正弦定理得14、2+【解析】

因為a1∴a∴=(=2+ln15、【解析】

求得，則可將問題轉化為求使得最大且使得為偶數的正整數的值，利用二次函數的基本性質求解即可.【詳解】由等比數列的通項公式可得，，則問題轉化為求使得最大且使得為偶數的正整數的值，，當時，取得最大值，此時為偶數.因此，的最大項是第項.故答案為：.【點睛】本題考查等比數列前項積最值的計算，將問題進行轉化是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16、①③【解析】

由①可知只需求點A到面的最大值對于②，求直線PB與平面PAQ所成角的最大值，可轉化為到軸截面距離的最大值問題進行求解對于③④，可采用建系法進行分析【詳解】選項①如圖所示，當時，四棱錐體積最大，選項②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為，所以選項③和④，如圖所示：以垂直于方向為x軸，方向為y軸，方向為z軸，其中設,.,設直線BQ與AP所成角為，，當時，取到最大值，，此時，由于，，，所以取不到答案選①、③【點睛】幾何體的旋轉問題需要結合動態(tài)圖形和立體幾何基本知識進行求解，需找臨界點是正確解題的關鍵，遇到難以把握的最值問題，可采用建系法進行求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)．(2)【解析】

（1）根據條件列出等式，求解公比后即可求解出通項公式；（2）錯位相減法求和，注意對于“錯位”的理解.【詳解】解：（1）由，得，則∴，∴數列的通項公式為．（2）由，∴，①，②①②，得，∴．【點睛】本題考查等比數列通項和求和，難度較易.對于等差乘以等比的形式的數列，求和注意選用錯位相減法.18、（1）；（2）最大項的值為,最小項的值為【解析】試題分析：(1)根據成等差數列,利用等比數列通項公式和前項和公式,展開.利用等比數列不是遞減數列,可得值,進而求通項.(2)首先根據(1)得到,進而得到,但是等比數列的公比是負數,所以分兩種情況:當的當n為奇數時，隨n的增大而減小，所以;當n為偶數時，隨n的增大而增大，所以，然后可判斷最值.試題解析：（1）設的公比為q．由成等差數列，得.即，則.又不是遞減數列且，所以.故.（2）由（1）利用等比數列的前項和公式，可得得當n為奇數時，隨n的增大而減小，所以，故.當n為偶數時，隨n的增大而增大，所以，故.綜上，對于，總有，所以數列最大項的值為，最小值的值為.考點：等差中項,等比通項公式;數列增減性的討論求最值.19、(1)(2)【解析】

(1)先根據和項與通項關系得項之間遞推關系，再根據等比數列定義以及通項公式求結果，(2)根據錯位相減法求結果.【詳解】(1)因為，所以當時，,相減得，，當時，，因此數列為首項為，2為公比的等比數列，(2),所以，則2，兩式相減得.【點睛】本題考查錯位相減法求和以及由和項求通項，考查基本求解能力，屬中檔題.20、(1)；(2).【解析】

（1）先由兩點寫出直線BC的方程，再根據點斜式寫出目標直線的方程；（2）過點B且與直線AC平行的直線即為所求，注意垂直平分線不過點B，故舍去.【詳解】（1）由、兩點的坐標可得，因為待求直線與直線BC平行，故其斜率為由點斜式方程可得目標直線方程為整理得.（2）由、點的坐標可知，其中點坐標為又直線AC沒有斜率，故其垂直平分線為，此直線不經過點B，故垂直平分線舍去；則滿足題意的直線為與直線AC平行的直線，即.綜上所述，滿足題意的直線方程為.【點睛】本題考查直線方程的求解，屬基礎題.21、（1）證明過程見詳解；（2）；（3）存在實數，使得數列為等差數列.【解析】

（1）先由題意得到，再由，得到，即可證明結論成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出數列的通項；（3）把數列an}、{bn}通項公式代入an+