四川省金堂中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

四川省金堂中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，且三棱錐的體積為，則球的體積為()A． B． C． D．2．已知向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．如圖，函數(shù)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P，Q，R滿足，，M為QR的中點(diǎn)，，則A的值為（）A． B． C． D．4．若等差數(shù)列和的公差均為，則下列數(shù)列中不為等差數(shù)列的是（）A．（為常數(shù)） B．C． D．5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，則的最大值為（）A． B．1 C． D．6．若正數(shù)滿足，則的最小值為A． B．C． D．37．若向量＝，||＝2，若·(－)＝2，則向量與的夾角()A． B． C． D．8．問題：①有1000個(gè)乒乓球分別裝在3個(gè)箱子內(nèi)，其中紅色箱子內(nèi)有500個(gè)，藍(lán)色箱子內(nèi)有200個(gè)，黃色箱子內(nèi)有300個(gè)，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為100的樣本；②從20名學(xué)生中選出3名參加座談會(huì).方法：Ⅰ.隨機(jī)抽樣法Ⅱ.系統(tǒng)抽樣法Ⅲ.分層抽樣法.其中問題與方法能配對的是()A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ9．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)為①若，，則②若，則③若，則④若，則A．1 B．2 C．3 D．410．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）A．10 B．7 C．12 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則________12．已知一個(gè)鐵球的體積為，則該鐵球的表面積為________.13．已知3a＝2，則32a＝____，log318﹣a＝_____14．已知中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則的面積為______；15．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象正好關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為________.16．已知原點(diǎn)O（0，0），則點(diǎn)O到直線x+y+2=0的距離等于．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線.（1）過直線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值.（2）過點(diǎn)的直線分別與圓交于點(diǎn)（不與重合），若，試問直線是否過定點(diǎn)？并說明理由.18．在等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和19．已知數(shù)列滿足關(guān)系式，.（1）用表示，，；（2）根據(jù)上面的結(jié)果猜想用和表示的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證之.20．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，求：（1）邊上的高所在直線的方程；（2）的外接圓的方程．21．（1）計(jì)算：;（2）化簡：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

由的體積計(jì)算得高，已知將三棱錐的外接球，轉(zhuǎn)化為長2，寬2，高的長方體的外接球，求出半徑，可得答案．【詳解】∵，，故三棱錐的底面面積為，由平面，得，又三棱錐的體積為，得，所以三棱錐的外接球，相當(dāng)于長2，寬2，高的長方體的外接球，故球半徑，得，故外接球的體積.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，三棱錐體積公式的應(yīng)用，根據(jù)已知計(jì)算出球的半徑是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．2、D【解析】

根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得cosθ的值，據(jù)此分析可得答案．【詳解】設(shè)與的夾角為θ，由、的坐標(biāo)可得||＝5，||＝3，?5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故選D【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

用周期表示出點(diǎn)坐標(biāo)，從而又可得點(diǎn)坐標(biāo)，再求出點(diǎn)坐標(biāo)后利用求得，得．【詳解】記函數(shù)的周期，則，因?yàn)?，∴，是中點(diǎn)，則，∴，解得，∴，由得，∵，∴，，，∴，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)的解析式，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4、D【解析】

利用等差數(shù)列的定義對選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷，可得出正確的選項(xiàng).【詳解】數(shù)列和是公差均為的等差數(shù)列，則，，.對于A選項(xiàng)，，數(shù)列（為常數(shù)）是等差數(shù)列；對于B選項(xiàng)，，數(shù)列是等差數(shù)列；對于C選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列；對于D選項(xiàng)，，不是常數(shù)，所以，數(shù)列不是等差數(shù)列.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，注意等差數(shù)列定義的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.5、D【解析】

根據(jù)正弦定理將已知等式化簡得，再根據(jù)差角正切公式以及基本不等式可得結(jié)論.【詳解】由正弦定理以及，可得，在中，代入上式中整理得，，即，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由，利用基本不等式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理構(gòu)造，利用基本不是準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角公式可以求得.【詳解】由已知可得：，得，設(shè)向量與的夾角為，則所以向量與的夾角為故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】解：（1）中由于小區(qū)中各個(gè)家庭收入水平之間存在明顯差別故（1）要采用分層抽樣的方法（2）中由于總體數(shù)目不多，而樣本容量不大故（2）要采用簡單隨機(jī)抽樣故問題和方法配對正確的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故選B．9、A【解析】

根據(jù)面面垂直的定義判斷①③錯(cuò)誤，由面面平行的性質(zhì)判斷②錯(cuò)誤，由線面垂直性質(zhì)、面面垂直的判定定理判定④正確．【詳解】如圖正方體，平面是平面，平面是平面，但兩直線與不垂直，①錯(cuò)；平面是平面，平面是平面，但兩直線與不平行，②錯(cuò)；直線是直線，直線是直線，滿足，但平面與平面不垂直，③錯(cuò)；由得，∵，過作平面與平面交于直線，則，于是，∴，④正確．∴只有一個(gè)命題正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．對一個(gè)命題不正確，可只舉一例說明即可．對正確的命題一般需要證明．10、C【解析】

由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式解得，由，得，由此能求出的值。【詳解】解：差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，解得，解得，故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由題意首先求得數(shù)列的公差，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定m的值即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，又由，，則，，則，解可得；故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中等題．12、.【解析】

通過球的體積求出球的半徑，然后求出球的表面積.【詳解】球的體積為球的半徑球的表面積為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積與體積的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、42.【解析】

由已知結(jié)合指數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)求解，把化為對數(shù)式得到，代入，再由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】∵，∴，由，得，∴.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先根據(jù)以及余弦定理計(jì)算出的值，再由面積公式即可求解出的面積.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中利用余弦定理求角以及面積公式的運(yùn)用，難度較易.三角形中，已知兩邊的乘積和第三邊所對的角即可利用面積公式求解出三角形面積.15、【解析】

根據(jù)條件先求出平移后的函數(shù)表達(dá)式為，令即可得解.【詳解】由題意可得平移后的函數(shù)表達(dá)式為，圖象正好關(guān)于原點(diǎn)對稱，即，又，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的平移以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由點(diǎn)到直線的距離公式得：點(diǎn)O到直線x+y+2=0的距離等于，故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）12；（2）過定點(diǎn)，理由見解析【解析】

（1）由，得過點(diǎn)的切線長，所以四邊形的面積為，即可得到本題答案；（2）設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.聯(lián)立方程，消去，整理得，得，，所以，令，即可得到本題答案.【詳解】（1）由題意可得圓心到直線的距離為，從而，則過點(diǎn)的切線長.故四邊形的面積為，即四邊形面積的最小值為12.（2）因?yàn)?，所以直線與直線的斜率都存在，且不為0.設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.聯(lián)立方程，消去，整理得解得或，則.同理可得.所以.令，得，解得.取，可以證得，所以直線過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，軸，易知與均為正三角形，直線的方程為，也過定點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查與橢圓相關(guān)的四邊形面積的范圍問題以及與橢圓有關(guān)的直線過定點(diǎn)問題，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理是解決此類問題的常用方法.18、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)可知：前3項(xiàng)和，所以，又因?yàn)椋怨睿俑鶕?jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，可以求得．本問考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于對基礎(chǔ)知識的考查，為容易題，要求學(xué)生必須掌握．（2）由于為等差數(shù)列，所以可以根據(jù)重要結(jié)論得知：數(shù)列為等比數(shù)列，可以根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明，即，符合等比數(shù)列定義，因此數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以問題轉(zhuǎn)化為求以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)公式有．本問考查等比數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式．屬于對基礎(chǔ)知識的考查．試題解析：（1）又（2）由（1）知得：是以4為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列考點(diǎn)：1.等差數(shù)列；2.等比數(shù)列．19、（1），，（2）猜想：，證明見解析【解析】

（1）根據(jù)遞推關(guān)系依次代入求解，（2）根據(jù)規(guī)律猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明【詳解】解：（1），∴，，；（2）猜想：.證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則時(shí)，，即時(shí)結(jié)論成立.綜上，對時(shí)結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】本題考查歸納猜想與數(shù)學(xué)歸納法證明，考查基本分析論證能力，屬基礎(chǔ)題20、（1）2x+y-2=0；（2）x2+y2+2x+2y-8=0【解析】

（1）根據(jù)高與底邊所在直線垂直確定斜率，再由其經(jīng)過點(diǎn)，從而由點(diǎn)斜式得到高所在直線方程，再寫成一般式.（2）設(shè)出的外接圓的一般方程，將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于的方程組，從而求出外接圓的方程.【詳解】（1）直線AB的斜率為，AB邊上的高所在直線的斜率