河南省盧氏縣實驗高中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

河南省盧氏縣實驗高中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱的中點,則異面直線AC和MN所成的角為()A． B． C． D．2．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思是“有一個人走378里，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”請問第三天走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里3．素數(shù)指整數(shù)在一個大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果。哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如。在不超過15的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和小于18的概率是（）A． B． C． D．4．在中，內(nèi)角所對的邊分別為.若,則角的值為（）A． B． C． D．5．已知變量與正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測的數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A． B．C． D．6．正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比（）A．4 B．3 C．2 D．17．已知向量，且，則().A． B．C． D．8．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．10．如圖，已知矩形中，，，該矩形所在的平面內(nèi)一點滿足，記，，，則（）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．對任意的點，有 D．對任意的點，有二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知,,，則______．12．設(shè)數(shù)列（）是等差數(shù)列，若和是方程的兩根，則數(shù)列的前2019項的和________13．設(shè)數(shù)列的通項公式為，則_____．14．已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓,且面積為S,則圓錐的底面積是_______15．若，則的值為_______.16．已知為直線上一點，過作圓的切線，則切線長最短時的切線方程為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，若，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點，，，.（1）①證明：；②證明：存在點P使得.并求出P的坐標(biāo)；（2）過C點的直線將四邊形ABCD分成周長相等的兩部分，產(chǎn)生的另一個交點為E，求點E的坐標(biāo).19．在已知數(shù)列中，，.（1）若數(shù)列中，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列、的前項和分別為、，是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.20．已知數(shù)列滿足（，且），且，設(shè)，，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列并求出數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）對于任意，，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.21．在平面直角坐標(biāo)系中，點，點P在x軸上（1）若，求點P的坐標(biāo)：（2）若的面積為10，求點P的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

將平移到一起，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷出兩條異面直線所成角的大小.【詳解】連接如下圖所示，由于分別是棱和棱的中點，故，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以是異面直線所成的角，而三角形為等邊三角形，故.故選C.【點睛】本小題主要考查空間異面直線所成角的大小的求法，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)題意得出等比數(shù)列的項數(shù)、公比和前項和，由此列方程，解方程求得首項，進(jìn)而求得的值.【詳解】依題意步行路程是等比數(shù)列，且，，，故，解得，故里.故選B.【點睛】本小題主要考查中國古典數(shù)學(xué)文化，考查等比數(shù)列前項和的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

找出不超過15的素數(shù)，從其中任取2個共有多少種取法，找到取出的兩個和小于18的個數(shù)，根據(jù)古典概型求解即可.【詳解】不超過15的素數(shù)為，共6個，任取2個分別為，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件，其中兩個和小于18的共有11個基本事件，根據(jù)古典概型概率公式知.【點睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)正弦定理將邊化角，可得，由可求得，根據(jù)的范圍求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用，涉及到兩角和差正弦公式、三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】試題分析：因為與正相關(guān)，排除選項C、D，又因為線性回歸方程恒過樣本點的中心，故排除選項B；故選A．考點：線性回歸直線.6、C【解析】

由及等比數(shù)列的通項公式列出關(guān)于q的方程即可得求解.【詳解】，即有，解得或，又為正項等比數(shù)列，故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

運用平面向量的加法的幾何意義，結(jié)合等式，把其中的向量都轉(zhuǎn)化為以為起點的向量的形式，即可求出的表示.【詳解】,,故本題選D.【點睛】本題考查了平面向量加法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】分析：先求出A，B兩點坐標(biāo)得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．9、B【解析】

分別解和時條件對應(yīng)的不等式即可.【詳解】①當(dāng)時，，此時，不合題意；②當(dāng)時，，可化為即，解得.綜上，的x的取值范圍是.故選：B.【點睛】本題考查了分段函數(shù)不等式的解法，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】以為原點，以所在直線為軸、軸建立坐標(biāo)系，則，，且在矩形內(nèi)，可設(shè)，，，，，，錯誤，正確，，，錯誤，錯誤，故選C.【方法點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積公式的坐標(biāo)表示，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是幾何形式，，二是坐標(biāo)形式，（求最值問題與求范圍問題往往運用坐標(biāo)形式），主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、30°【解析】

直接利用正弦定理得到或，再利用大角對大邊排除一個答案.【詳解】即或，故，故故答案為【點睛】本題考查了正弦定理，沒有利用大角對大邊排除一個答案是容易發(fā)生的錯誤.12、2019【解析】

根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，再利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)得到，然后利用等差數(shù)列求和公式可得出答案.【詳解】由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，由等差數(shù)列的性質(zhì)得出，因此，等差數(shù)列的前項的和為，故答案為.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，涉及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中等題.13、【解析】

根據(jù)數(shù)列的通項式求出前項和，再極限的思想即可解決此題?！驹斀狻繑?shù)列的通項公式為，則，則答案．故為：．【點睛】本題主要考查了給出數(shù)列的通項式求前項和以及極限。求數(shù)列的前常用的方法有錯位相減、分組求和、列項相消等。本題主要利用了分組求和的方法。14、【解析】

由已知中圓錐的側(cè)面展開圖為半圓且面積為S，我們易確定圓錐的母線長l與底面半徑R之間的關(guān)系，進(jìn)而求出底面面積即可得到結(jié)論．【詳解】如圖：設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為R若圓錐的側(cè)面展開圖為半圓則2πR＝πl(wèi)，即l＝2R，又∵圓錐的側(cè)面展開圖為半圓且面積為S，則圓錐的底面面積是．故答案為．【點睛】本題考查的知識點是圓錐的表面積，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，確定圓錐的母線長與底面的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．15、【解析】

把已知等式展開利用二倍角余弦公式及兩角和的余弦公式，整理后兩邊平方求解．【詳解】解：由，得，，則，兩邊平方得：，即．故答案為．【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．16、或【解析】

利用切線長最短時，取最小值找點：即過圓心作直線的垂線，求出垂足點．就切線的斜率是否存在分類討論，結(jié)合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【詳解】設(shè)切線長為，則，所以當(dāng)切線長取最小值時，取最小值，過圓心作直線的垂線，則點為垂足點，此時，直線的方程為，聯(lián)立，得，點的坐標(biāo)為.①若切線的斜率不存在，此時切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即.由題意可得，化簡得，解得，此時，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．【點睛】本題考查過點的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長相關(guān)問題，在過點引圓的切線問題時，要對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，另外就是將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑長，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）22【解析】

（1）易得，，再由即可得解；（2）由可得出，再由，可得：，即，即可得到的值.【詳解】（1）由向量的加法法則得：，，，因為，所以；（2），∴，∴，即，∴.【點睛】本題平面向量的應(yīng)用，考查向量的加法法則，考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.18、（1）①見解析；②見解析，；（2）.【解析】

（1）①利用夾角公式可得；②由條件知點為四邊形外接圓的圓心，根據(jù)，可得，四邊形外接圓的圓心為的中點，然后求出點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)條件可得，然后設(shè)的坐標(biāo)為，根據(jù)，可得的坐標(biāo)．【詳解】（1）①，，，，，，，，，，；②由知，點為四邊形外接圓的圓心，，，，，四邊形外接圓的圓心為的中點，點的坐標(biāo)為；（2）由兩點間的距離公式可得，，，，過點的直線將四邊形分成周長相等的兩部分，，設(shè)的坐標(biāo)為，則，，，，點的坐標(biāo)為．【點睛】本題考查向量的夾角公式、向量相等、向量的運算性質(zhì)、兩點間的距離公式等，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.19、（1）見解析；（2）存在，.【解析】

（1）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合數(shù)列的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列為等比數(shù)列，并可求出數(shù)列的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法與等比數(shù)列的求和公式分別求出數(shù)列、，設(shè)，列出關(guān)于、、的方程組，解出即可.【詳解】（1）在數(shù)列中，，，則，，且，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；（2），整理得，，，，所以，，若數(shù)列為等差數(shù)列，可設(shè)，則，即，則，解得，因此，存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明、數(shù)列求和以及等差數(shù)列的存在性問題，熟悉等差數(shù)列的定義和通項公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.20、(1)見解析（2）(3).【解析】

（1）將式子寫為：得證，再通過等比數(shù)列公式得到的通項公式.（2）根據(jù)（1）得到進(jìn)而得到數(shù)列通項公式，再利用錯位相減法得到前n項和.（3）首先判斷數(shù)列的單調(diào)性計算其最大值，轉(zhuǎn)換為二次不等式恒成立，將代入不等式，計算得到答案.【詳解】（1）因為，所以，，所以是等比數(shù)列，其中首項是，公比為，所以，.（2），所以，由（1）知，，又，所以.所以，所以兩式相減得.所以.（3），所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，所以當(dāng)或時，取最大值是.只需，即對于任意恒成立，即所以.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的證明，錯位相減法求前N項和，數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的最大