數(shù)列講義-2024屆高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺

2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺之?dāng)?shù)列

一.數(shù)列的概念

【知識(shí)梳理】

1、一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這

個(gè)數(shù)列的項(xiàng).其中第1項(xiàng)叫做首項(xiàng).項(xiàng)數(shù)有限的的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列

叫做無(wú)窮數(shù)列.

2、數(shù)列的一般形式是4,出，…，?！ǎ?，簡(jiǎn)記為｛4｝.由于數(shù)列｛%｝中的每一項(xiàng)

凡與它的序號(hào)〃是一一對(duì)應(yīng)的，所以數(shù)列｛%｝是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,

2,〃｝)到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)“，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第九項(xiàng)

an,記為a“=/S).也就是說(shuō)，當(dāng)自變量從1開(kāi)始，按照從小到大的順序依次取值

時(shí)，對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值/⑴，/(2),/("),…就是數(shù)列｛4｝.

3、一般函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù).與函數(shù)

類似，我們可以定義數(shù)列的單調(diào)性.從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做

遞增數(shù)列；從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列.特別地，各項(xiàng)

都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列.

4、如果數(shù)列｛4｝的第〃項(xiàng)為與它的序號(hào)〃之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那

么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，根據(jù)通項(xiàng)公式

可以寫(xiě)出數(shù)列的各項(xiàng).

5、(-1)"或(-l)a常常用來(lái)表示正負(fù)相間的變化規(guī)律.

6、如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子

叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.知道了首項(xiàng)和遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項(xiàng).

7、我們把數(shù)列｛4｝從第1項(xiàng)起到第77項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列｛%｝的前，項(xiàng)和，記

作S“，即

S“=q+%++an.

顯然5=%,而S3T=%+%「+??_1(?>2),于是我們有

S],n=1,

【針對(duì)性訓(xùn)練】

1.數(shù)列L,工，工，工，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）

2123056

C.a=-(------------------

〃22n-l2n+l2〃(2〃—1)

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)列1,2,3,4,5與數(shù)列5,4,3,2,1是相同的數(shù)列

B.數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)函數(shù)關(guān)系式

C.任何一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)都可以用通項(xiàng)公式來(lái)表示

D.數(shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無(wú)限的

3.若數(shù)列｛?！ǎ凉M足％=2,且當(dāng)拉..2時(shí)，an=3an_x-2,則4=（）

A.10B.12C.28D.82

4.下列四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列，又是遞增數(shù)列的是（）

.1110.1.2.3

AA.1,—B.sin—?,sm—?,sm—"...

234777

C.-1,--,--D.-1,夜，-石，…，-同，衣

248

5.下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）

=

A?61tl1—nB.ci——

〃+3,%2,

C.a=2n2-5n+l

n2n~\n>2

3〃+27

6.已知無(wú)窮數(shù)列15,

2n

（1）求這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng).

（2）上是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？

7

（3）這個(gè)數(shù)列中是否存在等于序號(hào)的2倍的項(xiàng)？如果存在，求出這些項(xiàng)；如果不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

7.已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,冊(cè)二=1+—?（九.2且〃€N），則這個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng)是（)

an-l

3

A.2B.C.-D.§

235

8.數(shù)列｛%｝中，an+l=a,l+2-%，4=2,-2=5,則〃5為()

A.-3B.-11C.-5D.19

占，則的等于（

9.若S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且=)

6

A.-B.C.30D.—

6530

10.在數(shù)列｛?｝中，4=1,%%=3",nwN*,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.4=9B.&業(yè)的值為常數(shù)

a?

c.a2?-=2-3"D.=4,3

二.等差數(shù)列

【知識(shí)梳理】

1、一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常熟,

那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表

示.

2、由三個(gè)數(shù)a,A,匕組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a

與。的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=a+b.

3、首項(xiàng)為為,公差為d的等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=%+(〃-l)d.

4、由于=4+("-1)2=力2+(a1一1),所以當(dāng)dwO時(shí)，等差數(shù)列｛%｝的第"項(xiàng)％

是一次函數(shù)/(x)=6c+(4—d)(xeR)當(dāng)x=w時(shí)的函數(shù)值，即％=/(〃).與此相通，

任給一次函數(shù)/(無(wú))=丘+人(左，匕為常數(shù))，貝|/\1)=左+6,f(2)=2k+b,

/(〃)=成+b,...構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列｛成+切，其首項(xiàng)為(左+切,公差為人.

5、已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，p,q,s,feN*,Rp+q=s+t,貝ij

ap+aq=as+at.

6、等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和公式S“=幽智.把等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

a“=%+(〃一l)d代入公式，可得Sn=叫+”(7)d.

7、等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可以寫(xiě)成+所以當(dāng)dwO時(shí)，S.可以

看成二次函數(shù)丁=：必+(囚一(xeR)當(dāng)％=〃時(shí)的函數(shù)值.

當(dāng)d<0時(shí)，S”關(guān)于〃的圖像是一條開(kāi)口向下的拋物線上的一些點(diǎn)；

當(dāng)d〉0時(shí)，S”關(guān)于”的圖像是一條開(kāi)口向上的拋物線上的一些點(diǎn).

q

8、已知S〃是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，貝是等差數(shù)列.

n

9、已知等差數(shù)列｛a“｝的公差為d,則止%=d,這個(gè)公式可以從直線的斜率這個(gè)角

m-n

度來(lái)理解.

【針對(duì)性訓(xùn)練】

11.已知數(shù)列｛%｝是公差為-2的等差數(shù)列，4=5,則4=()

A.1B.3C.6D.9

12.已知等差數(shù)列｛4｝中，/+為=16,c%4=1，則〃12的值是（)

A.15B.30C.31D.64

13.已知等差數(shù)列僅〃｝的前三項(xiàng)分別為a-1,a+1,2a+l,則數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式為（

）

A.an=2n—5B.an=2n—3C.an=2n—lD.an=2n+l

14.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為（

）

A.5B.4C.3D.2

15.已知｛%｝為遞增的等差數(shù)列，生?%=15,a2+a5=8,若％=21,則〃=（）

A.9B.10C.11D.12

1

16.等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃,=2c1Tt+6,.=7，貝!Jq=（）

A.9B.11C.15D.17

z；,—4,

17.在等差數(shù)列｛4｝中，凡看。，4+%=1若［an］的前〃項(xiàng)和為Sn,,則

親-'=（）

106

A.1B.2C.-D.4

2

18.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,其前幾項(xiàng)和為S"，已知名=12,且無(wú)>。，S13<0.

（1）求d的取值范圍.

(2)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和最大？說(shuō)明理由.

19.已知數(shù)列｛氏｝滿足0=4,%=2%+2"+i(〃eN*).

(1)求證：數(shù)列｛墨｝是等差數(shù)列.

(2)求數(shù)列｛a,｝的通項(xiàng)公式.

20.已知等差數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為S,,q=7,升=36，記數(shù)列｛|%|｝的前九項(xiàng)和為

T,,-

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求

三.等比數(shù)列

【知識(shí)梳理】

1、一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，

那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示

(顯然4w0).

2、與等差中項(xiàng)類似，如果在。與匕中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,8成等比數(shù)列，那

么G叫做a與的等比中項(xiàng)，此時(shí)，&=ab.

3、首項(xiàng)為%,公比為q的等比數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為

n—\

%=%q

4、類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，由可知，當(dāng)“>0且“/I時(shí)，等比

q

數(shù)列｛%｝的第力項(xiàng)%是指數(shù)函數(shù)/(X)=色?(%eR)當(dāng)X=〃時(shí)的函數(shù)值.與此相通，

q

任給指數(shù)函數(shù)/(%)=匿f(左，。為常數(shù)，心0,a>Q,且awl),則/⑴=切，

。(2)=總2,…,/(〃)=3"，…構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列｛版,｝,其首項(xiàng)為切,公比為a.

5、等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和公式S“=巴魯2(q#l),因?yàn)樗赃€

i-q

可以寫(xiě)成

0一小).

1-4

6、已知等比數(shù)列｛4｝的公比4W—1,前，項(xiàng)和為S,,則S“，S2n-Sn,83“-§2”成等

比數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的公比為q".

7、已知aw/?,且而。0,對(duì)于〃eN*,

an+1-bin+\

a"+a^lb+a"-2b2++ab'1-1+bn=

a-b

【針對(duì)性訓(xùn)練】

21.在等比數(shù)列｛%｝中，若q=g，4=4,則公比q的值等于()

A.-B.V2C.2D.4

2

22.若數(shù)列-9,相，x,n,-16是等比數(shù)列，則x的值是()

A.12B.±12C.-12D.-12.5

23.在等比數(shù)列｛〃〃｝中，/%=9,則/=()

A.±3B.3C.土百D.y/3

24.已知等比數(shù)列｛%｝中，q=2,且有為%=44；,則q=

25.已知等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S,,若°“>0,公比q>l,03+05=2。，a2a6=64,

則$6=()

A.31B.36C.48D.63

26.已知等比數(shù)歹U｛%｝的前幾項(xiàng)和S,=2"+4r,貝什=()

A.--B.--C.--D.-1

423

27.一個(gè)等比數(shù)列的前”項(xiàng)和為S“=(l-2R+/L2",則2=()

A.-1B.1C.2D.3

28.等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為2,項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和為非，記等

比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)積為7；,則7；的最大值為()

A.-B.-C.1D.2

42

29.已知等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為J公比為-L前幾項(xiàng)和為S"，則當(dāng)“cN*時(shí)，Sn~—

33Sn

的最小值與最大值的比值為一.

30.已知｛凡｝是公比大于1的等比數(shù)列，%=6，4+。5=20.

(1)求數(shù)列｛怎｝的通項(xiàng)公式；

(2)q++CL-j+...+%”_2?

四.數(shù)學(xué)歸納法

【知識(shí)梳理】

1、一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)”有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)〃=%(n0eN*)時(shí)命題成立；

(2)(歸納遞推)以“當(dāng)〃=左(左eN*,左2%)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)〃=左+1

時(shí)命題也成立”.

只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從〃。開(kāi)始的所有正整數(shù)〃都成立，這種

證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.

2、記P(")是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)”的命題.我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫(xiě)如

下：

條件：⑴P(%)為真；(2)若P(k)(左eN*,左2%)為真，則P(左+1)也為

真.

結(jié)論：P(〃)為真.

3、數(shù)學(xué)歸納法常見(jiàn)的應(yīng)用公式：

@l2+22++n~=-H(H+1)(2H+1)；

6

②F+23++n3=[1n(n+l)]2；

…I222n2n(n+l)

1x33x5(2n-l)(2n+l)2(2n+l)

【針對(duì)性訓(xùn)練】

31.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式l+g+g+……+叁匕＜/伽)(4.2,”wN*)的過(guò)程，由

〃=發(fā)到〃=化+1時(shí)左邊增加了()

A.1項(xiàng)B.左項(xiàng)C.2-項(xiàng)D.2*項(xiàng)

32.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸〃邊形的對(duì)角線為!”("-3)條時(shí)，第一步驗(yàn)證”等于(

2

)

A.1B.2C.3D.0

33.如果命題p(")對(duì)"=Z/eN*)成立，那么它對(duì)〃=左+2也成立，則下列結(jié)論正確的是

()

A.如果p(“)對(duì)”=1成立，那么p(m對(duì)所有的正整數(shù)都成立

B.如果2(〃)對(duì)〃=2成立，那么p(m對(duì)所有的正偶數(shù)都成立

C.如果p5)對(duì)〃=1成立，那么p(")對(duì)所有的正奇數(shù)都成立

D.如果對(duì)〃=2成立，那么對(duì)所有的自然數(shù)都成立

34.已知『(")=1+!+工+…+'(〃eN*),用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式/'(才)〉？時(shí)，/(2*M)

23n2

比八2,多的項(xiàng)數(shù)是—.

35.用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意正偶數(shù)〃均有

1--+---+...+—---=2(—+—+...+—),在驗(yàn)證〃=2正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)

234n—1nn+2n+42n

成()

A.假設(shè)當(dāng)〃=M%eN*)時(shí)等式成立

B.假設(shè)當(dāng)"."々eN*)時(shí)等式成立

C.假設(shè)當(dāng)"=2%(%eN*)時(shí)等式成立

D.假設(shè)當(dāng)〃=2(%+1)優(yōu)€乂*)時(shí)等式成立

36.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+〃2="（，+l）5eN*）,下列說(shuō)法不正確的是（）

A.當(dāng)”=1時(shí)，等式左邊為1+1

B.當(dāng)〃=左+1時(shí)，等式左邊為1+2+3+...+^+（左+1）2

C.當(dāng)〃=左+1時(shí)，等式左邊在〃=左的基礎(chǔ)上增加的項(xiàng)是（k+l）2-（F+l）

D.當(dāng)〃=左+1時(shí)，等式左邊在"=左的基礎(chǔ)上增加的項(xiàng)是（公+1）+（左2+2）+...+（Z+1）2

37.記尸（〃）是一個(gè)與自然數(shù)〃有關(guān)的命題，當(dāng)“=左（左eN）時(shí)命題為真可以推出當(dāng)"=左+1

時(shí)命題也為真.現(xiàn)已知當(dāng)”=10時(shí)，該命題為假，那么下列結(jié)論正確的是—.（填上所

有正確結(jié)論的序號(hào)）

①當(dāng)〃=11時(shí)，該命題一定為假；

②當(dāng)〃=11時(shí)，該命題一定為真；

③當(dāng)”=1時(shí)，該命題一定為假；

④至少存在一個(gè)自然數(shù)%,當(dāng)〃=%時(shí)，該命題為真.

38.在數(shù)列｛?！埃?，a；=—,a?+1="".

2an+3

（1）求出七，%并猜想%的通項(xiàng)公式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

39.用數(shù)學(xué)歸納法證明F+22+…+(〃-1)2+〃2+(九-1)2+...+22+12=也產(chǎn)時(shí)，由

72=左的假設(shè)到證明〃=左+1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是()

A.(k+1)2+2k2B.(k+1)2+k2

C.(%+1)2D.1(^+1)[2(^+1)2+1J

40.用數(shù)學(xué)歸納法證明：■7^+^^+...+」—＜冊(cè)(“€3*).

71x272x3Qn(n+1)

2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺之?dāng)?shù)列

參考答案與試題解析

數(shù)列的概念

…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

C.a=-(------------------

"22〃-12n+l2n(2n—1)

【答案】D

【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】把數(shù)列中的每一項(xiàng)的分母分解為兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的積，即可判斷該數(shù)列的一個(gè)通

項(xiàng)公式是什么.

【解答】解:

21x2123x4305x6567x8

所以數(shù)列士,

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)列1,2,3,4,5與數(shù)列5,4,3,2,1是相同的數(shù)列

B.數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)函數(shù)關(guān)系式

C.任何一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)都可以用通項(xiàng)公式來(lái)表示

D.數(shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無(wú)限的

【答案】B

【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；數(shù)列的函數(shù)特性

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；綜合題

【分析】根據(jù)數(shù)列的概念可判斷A；根據(jù)通項(xiàng)公式的概念可判斷8；不難找到一些規(guī)律性不

強(qiáng)的數(shù)列，找不到通項(xiàng)公式，故C錯(cuò)誤，數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可能是有限的可判斷。.

【解答】解：數(shù)列1,2,3,4,5與數(shù)列5,4,3,2,1不是同一個(gè)數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列通項(xiàng)公式是一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，故B正確；

并不是所有數(shù)列中的項(xiàng)都可以用通項(xiàng)公式來(lái)表示，

比如所有質(zhì)數(shù)從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

數(shù)列1,2,3,4,5只有5項(xiàng)，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的概念，考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義，屬基礎(chǔ)題.

3.若數(shù)列｛a“｝滿足q=2,且當(dāng)”..2時(shí)，an=3an_x—2,則%=()

A.10B.12C.28D.82

【答案】C

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式

【專題】點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法

【分析】由已知直接利用數(shù)列遞推式求解.

【解答】解：由q=2,且當(dāng)”..2時(shí)，aa=3<?”_1—2,得。2=3%—2=3x2—2=4,

4=3a2—2=3x4—2=10,牝=36—2=3x10—2=28.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.下列四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列，又是遞增數(shù)列的是()

B.sin—下，sin—?r.sin—萬(wàn)...

777

D.—1,y/2,—^[21,^22,...

【答案】C

【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

【專題】閱讀型

【分析】要找既是無(wú)窮數(shù)列必須是項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列，又是遞增數(shù)列必須是后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)

大的數(shù)列.依據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)從四個(gè)答案中判斷正確選項(xiàng)即可.

【解答】解：首先A,B,C,。四個(gè)選項(xiàng)中的項(xiàng)數(shù)都是無(wú)限的，所以都是無(wú)窮數(shù)列.

而A選項(xiàng)中的數(shù)列中的項(xiàng)是越來(lái)越小的，不屬于遞增數(shù)列；

B中數(shù)列的項(xiàng)成周期變化，也不是遞增數(shù)列；

。中數(shù)列的項(xiàng)有正有負(fù)，故不是遞增數(shù)列；

而C中的數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足所有條件.

故選：c

【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生對(duì)無(wú)窮數(shù)列和遞增數(shù)列概念的理解能力.

5.下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（

A.an=1-77

n+3,%,2,

2

C.an=2n-5n+1

2"T,W>2

【答案】C

【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；轉(zhuǎn)化思想

【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A,B選項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列；

對(duì)于C選項(xiàng)，an+l-an=4n-3>0,數(shù)列｛〃"｝是遞增數(shù)列；

對(duì)于。選項(xiàng)，,數(shù)列｛《J不是遞增數(shù)列.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的單調(diào)性，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

6.已知無(wú)窮數(shù)列15,至，…，即±2,….

42n

（1）求這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng).

（2）”是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？

7

（3）這個(gè)數(shù)列中是否存在等于序號(hào)的2倍的項(xiàng)？如果存在，求出這些項(xiàng)；如果不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【答案】⑴—.

（2）第21項(xiàng).

（3）存在的=6,其值等于序號(hào)的2倍.

【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；整體思想

【分析】（1）由題意可知，數(shù)列的通項(xiàng)4=也衛(wèi)，令〃=8即可求出結(jié)果.

（2）令也士衛(wèi)=竺求出〃的值即可.

2n7

(3))若存在，則q=2"，即四3=2”,求出〃的值即可.

In

【解答】解：(1)由題意可知，數(shù)列的通項(xiàng)凡='±2,

2n

：.這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)為3x8+27=51.

2x816

_xA3〃+2715ATJzpi_.

(z2)令------=一，解得幾=21,

2n7

絲是這個(gè)數(shù)列的第21項(xiàng).

7

(3)若存在，則a〃=2〃，

即3"+27=2〃，整理得4”2-3〃-27=0,

In

9

解得〃=3或—(舍去).

4

故存在%=6,其值等于序號(hào)的2倍.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

=1+'(〃..2且”eN*),則這個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng)是(

7.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足％=1,）

an-l

38

A.2B.cD.

2-15

【答案】D

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式逐步求解即可.

【解答】解：數(shù)列｛4｝的第1項(xiàng)％=1,以后的各項(xiàng)由公式%=1+—匚(”..2且“eN*)給出,

%

-T/日,13,25,38

□J%—1+1—29CL-1—1H-—，=1-1-―9---=_，

-32243355

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查，是基礎(chǔ)題.

8.數(shù)列｛。"｝中，an+1=an+2-an,6=2,%=5，則%為（）

A.-3B.-11C.-5D.19

【答案】D

【考點(diǎn)】8"：數(shù)列遞推式

【專題】11：計(jì)算題

【分析】由題中的遞推公式可以求出數(shù)列的各項(xiàng)，得出正確結(jié)果.

【解答】解：數(shù)列｛%｝中，4+1=4+2-%,所以"2=—，

由丁，a1=2,a?=5,

所以〃3=4+。2=7，

%=%+/=12，

々5=。4+^3=19

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推公式的簡(jiǎn)單直接應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.若S,為數(shù)列他“｝的前〃項(xiàng)和，且邑=/一，則牝等于（）

n+1

A.-B.-C.30D.—

6530

【答案】D

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)項(xiàng)和和之間的關(guān)系，利用“5=$5-S,進(jìn)行求解即可.

【解答】解：.5“=」-,

n+1

._ec_54_25-24_1

??de一，―34—―—，

653030

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，根據(jù)當(dāng)凡.2時(shí)，%=S“-Jr進(jìn)行求解是解決

本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

10.在數(shù)列伍“｝中，q=l,an-an+]=y,nwN*,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a&=9B.4生的值為常數(shù)

a=a

C.a2n~in-i2,3D.a2n+2n-t=4,3

【答案】ABD

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式

【專題】轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】先求出的的值，再根據(jù)遞推公式可得數(shù)列｛4｝的奇數(shù)列和偶數(shù)列，分別是以3為

公比的等比數(shù)列，問(wèn)題得以解決.

【解答】解：4=1,a?-a?+l=3",

a2-aA=3>即。2=3,

an-an+l=，

an+l,an+2=3"M>

9=3,

a”

：.數(shù)列｛凡｝的奇數(shù)列和偶數(shù)列，分別是以3為公比的等比數(shù)列,

a、“=3x3"1=3",=1x3,!1=3,,-1,

a4=9,故AB正確；

1

%-=3"-3"-=2.3鵬,故C不正確；

a2n+*=3"+3"一=4x3"T,故。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析能力與計(jì)算能力.屬

于中檔題.

二.等差數(shù)列

11.已知數(shù)列｛%｝是公差為-2的等差數(shù)列，4=5,則％=()

A.1B.3C.6D.9

【答案】D

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

【專題】函數(shù)思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】由已知直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.

【解答】解：在等差數(shù)列｛。"｝中，公差d=-2,a3=5,

貝(Jq=4—2d=5-2x(—2)=9.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題.

12.已知等差數(shù)列｛.”｝中，%+佝=16,a4=1＞則的值是()

A.15B.30C.31D.64

【答案】A

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】解法一：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為巧，公差為d,再由%+佝=16,g=1，建立

%,d的方程，再分別求解q,d,最后代入通項(xiàng)公式即可求解；

解法二：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為q,公差為d,再由%+為=16,4=1，建立q，d

的方程，將兩方程對(duì)減即可得解.

【解答】解：解法一：設(shè)等差數(shù)列｛2｝的首項(xiàng)為q,公差為d,

2%+14d=16

由%+%=16，=1得

a{+3d=1

17,7

解得q=-—，d——

44

177

/.%=%+1Id=——+Hx—=15

44

解法二：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為4,公差為d,

2q+141=16

由%+%=16,%=1得

4+3d=1

兩式相減得4+lld=15,

q,=q+1Id=15,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

13.已知等差數(shù)列｛凡｝的前三項(xiàng)分別為a-l,a+1,2a+l,則數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式為(

)

A.an=2n—5B.an=In—3C.an=2n—1D.an=2/7+1

【答案】C

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；轉(zhuǎn)化法

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：等差數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)分別為。-1,a+1,2a+l,

公差d=a+l—(a-1)=2,

貝|2(a+l)=a-l+2a+l,解得a=2,

故首項(xiàng)為a-1=1,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為:l+2(n-l)=2n-l.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為(

)

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列

【分析】寫(xiě)出數(shù)列的第一、三、五、七、九項(xiàng)的和即5q+(2d+4d+6d+8d),寫(xiě)出數(shù)列的

第二、四、六、八、十項(xiàng)的和即54+(d+3d+5d+7d+94),都用首項(xiàng)和公差表示，兩式

相減，得到結(jié)果.

5a,+20d=15

【解答】解:1nd=3

5q+25d=30

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和和偶數(shù)項(xiàng)和的問(wèn)題也可以這樣解，讓每一個(gè)偶數(shù)項(xiàng)減去前一奇

數(shù)項(xiàng)，有幾對(duì)得到幾個(gè)公差，讓偶數(shù)項(xiàng)和減去奇數(shù)項(xiàng)和的差除以公差的系數(shù).

15.已知｛凡｝為遞增的等差數(shù)列，a3-a4=15,a2+a5=8,若”,=21,則”=()

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知外+生=%+%=8,結(jié)合

dj-a4=15可求得生、％，然后求得d,，最后結(jié)合cin=21求得n值.

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝公差為列

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知名+=。3+。4=8，

又?生?%=15且｛〃“｝為遞增的等差數(shù)列，

解得：“3=3，%=5；."=5—3=2,

又1a“=21,;.%+(〃一3)1=21,即3+2("—3)=21,

解得〃=12.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S,,若S&=2q+6,a&=7,則4=()

A.9B.11C.15D.17

【答案】B

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出.

【解答】解:設(shè)等差數(shù)列｛?！埃墓顬閐,,$4=2%+6,a4=7,

4x3

4qH———d—2(q+2d)+6,/+3d=7,

解得%=1,d=2,

則％=1+5x2=11,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

17.在等差數(shù)列｛%｝中，%片0,%+為=靖，%=4，若｛%｝的前"項(xiàng)和為，則

&一電=()

106

A.1B.2C.-D.4

2

【答案】B

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和

【專題】方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出。2=2,進(jìn)而求出等差數(shù)列｛%｝的公差d=l,首項(xiàng)

4=1,由此能求出--2.

106

【解答】解：在等差數(shù)列｛%｝中，%片0,%+為="；,a4=4,

：,2a2=a；,解得a2=2,

等差數(shù)列｛%｝的公差d=與曹=1,-d=1,

..5]0=10+^^1=55,￡=6+浮xl=21,

.&_邑=2一回=2

,106106

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,其前力項(xiàng)和為S“，已知名=12,且無(wú)>0，S13<0.

（1）求d的取值范圍.

（2）數(shù)列｛凡｝的前幾項(xiàng)和最大？說(shuō)明理由.

【答案】⑴,-3）；

7

（2）數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)和最大.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和

【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；方程思想

【分析】（1）根據(jù)題意，由生=12,S12>0,513<0.可得q+2"=12,4+%>0，

%<0.即可解出公差d的取值范圍.

（2）根據(jù)題意，由2'=（卬+；）.12=6（%+%）>0,%=（、+））x13/%<0,分析

可得：<26>0,?7<0.即可得出.

【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛%｝中，

有。3=12,S12>0，S13<0.

則％+2d=12,%=（q+?xl2>0,兀=（q+：3?13<0,

變形可得％+2d=12,+%>。，%<0.

即4+2d=12,+1W>0,Oy=+6d<0.

24

解可得：<^<-3.

7

故公差d的取值范圍是（-上24，-3）；

7

（2）根據(jù)題意，數(shù)列｛4｝的前6項(xiàng)和最大，

理由：由s,=（q+yi2=6（g+%）>0,$=（0+））x13<0.

可:4>。，%<0.

故數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)和最大.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，涉及不等式的性質(zhì)，屬于中

檔題.

+

19.已知數(shù)列｛qj滿足q=4,an+l=2an+2"\neN*）.

（1）求證：數(shù)列｛今｝是等差數(shù)列.

（2）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；

（2）%=（n+1）2.

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的性質(zhì)

【專題】定義法；邏輯推理；方程思想；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題

【分析】（1）由.=2%+2M可得得=3+1,進(jìn)一步結(jié)合卜2即可證明受是以2

為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；

（2）先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出去，進(jìn)一步兩邊同時(shí)乘以2"即可得到｛q,｝的通項(xiàng)公

式.

【解答】（1）證明：由。用=2為+2向，得3_=殳+1,即弱一殳=1,

又梟=2,所以受是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

（2）解:由（1）可知冬=2+〃一1=〃+1,則a“=（”+l）-2".

2〃

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推公式，考查學(xué)生歸納推理與運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

20.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”,/=7，升=36,記數(shù)列｛|4|｝的前〃項(xiàng)和為

T,,-

（1）求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

（2）求

【答案】（1）%=13-2”，

（/2C）、TF=\2+12"

n1/-12〃+72

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；綜合法

【分析】⑴根據(jù)題意，等差數(shù)列｛叫中，設(shè)其公差為d,由此可得二；5136,解可

得q與d的值，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案；

（2）根據(jù)題意，分4,6與"..7兩種情況討論，結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列｛%｝中，設(shè)其公差為d,

一,...[a.+21=7[a,=11

又由%=7，§6=36,則有,斛可得,

3616q+l5d=36[d=-2

故=<\+（n—l）d=13—2〃，

（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，an=13-2M,

2

當(dāng)啜16時(shí),an>0>|an|=an,此時(shí)北=Sn=na｛+"d=—n+12n,

2

當(dāng)加.7時(shí)，an<0,\an\=-an,Tn^S6-（Sn-S6）^2S6-Sn^n-12n+72；

—n2+12〃

故（=

M2-12/1+72

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和計(jì)算，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)

題.

三.等比數(shù)列

21.在等比數(shù)列｛q｝中，若q=；,4=4,則公比q的值等于（）

A.-B.V2C.2D.4

2

【答案】C

【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列

【分析】直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算.

【解答】解：在等比數(shù)列｛%｝中，由q=g，%=4，

所以。4=4/，即4=g/*,解得4=2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的會(huì)考題型.

22.若數(shù)列-9,m,x,n,-16是等比數(shù)列，則x的值是（）

A.12B.±12C.-12D.-12.5

【答案】C

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的性質(zhì)

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)等比數(shù)列得到/=-9x(-16),結(jié)合x(chóng)=-9x/<o得到答案.

【解答】解：數(shù)列-9,機(jī)，x,n,-16是等比數(shù)列，

貝lx?=-9x(-16),故了=±12,

設(shè)等比數(shù)列的公比為q,

貝l]x=-9xd<0,故x=T2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

23.在等比數(shù)列｛%｝中，a3a7=9)則4=()

A.±3B.3C.±A/3D.6

【答案】A

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，可得