重慶市2023-2024學年高一年級下冊第一次月考數(shù)學試卷(含答案)

重慶市禮嘉中學2023-2024學年高一下學期第一次月考數(shù)學試卷

學校：___________姓名：___________班級：考號：

一、選擇題

1.設集合A={M(x+l)(x—4)20},B={x|lgx>0},則AB=()

A.[-1,4]B.[4,+co)C.(-oo,-l]U(L+°°)D.(l,+oo)

2.已知復數(shù)z滿足z(l-i)=5+i,其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是()

A.3B，3iC.2D.2i

3.已知tanez=2，則sin2a+cos2a=()

A.-B.--C.-3或1D.l

555

4.若在三角形ABC中，40=2。。，。8=2郎，則。E=()

13131313

A.--CA+-CBB.-CA+-CBC.--CA--CBD.-CA--CB

22222222

5.設若sina=],則2cos(2二-；卜()

A一正C?迪D.一立

25252525

6.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x-l)+/(x+l)=0,且當xe[0,2)

時,/(x)=log2(x+l),則3/(2023)—2/(2022)的值為()

A.3B.lC.-lD.-3

7.如圖，在△ABC中，。為的中點，瓦b為3c的兩個三等分點,AE交于點M設

A8=a，AC=/?，則FM=()

1515151515151515

8.已知平面向量a,0滿足同=1,卜,4+8）=^?，則卜-耳的最大值為（）

A.2BV2+1C.6+1D.3

二、多項選擇題

9.已知向量a=(3,—4)，。=(2,1)，則()

A.q_2/?=(-1,-6)

B.\a+b\=y/34

C.與向量平行的單位向量為。=(|,-孑

D.向量〃在向量力上的投影向量為2匕

10.已知函數(shù)/(X)=sin2<yx+：j+sin(2s-5)+2石cos?百(《y>0),則下列結論

正確的是()

A.若/(x)相鄰兩條對稱軸的距離為則0=2

B.當/=i，xe0,^時,/(x)的值域為卜6,2]

C.當刃=1時,/(力的圖象向左平移看個單位長度得到函數(shù)解析式為y=2cos(2x+"

D.若/(x)在區(qū)間01上有且僅有兩個零點，則5W0<8

11.如圖，在AA5C中，3C=，NB4C=60。，點、D與點B分別在直線AC兩側，且

AD=2,QC=26，當長度為何值時,△ACD恰有一解()

A.6B.4y/C.—D.6-y3

三、填空題

12.已知向量〃=（3,1）=（3,-2）,3=（1,4）,則〈。,力一。）=，

13.已知sin（a-Z]=，4!jsin2a-^-\=

14.已知函數(shù)/(x)=log“(ox：2-2x+4)(a>0,且“1)在區(qū)間3)上單調(diào)遞增，則a

的取值范圍____________.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=2sin(3x+m)+l(o>0)的最小正周期為

(1)求/(2)的值；

(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

16.如圖，在△ABC中，已知=2，AC=4，NBAC=60°，M,N分別為AC，BC上的兩點

AN=-AC,BM=23C，AM，BN相交于點P-

23

(1)求［AM］的值；

(2)求證：AM1PN-

17.如圖在△ABC中,N8AC=W,滿足A￡)=3D8.

(1)若/6=巴，求乙48的余弦值；

3

(2)點M是線段CZ)上一點，且滿足AM=/〃AC+gAB,若△ABC的面積為百，求,必

的最小值.

18.如圖,有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形ABCO的形狀，它的下底

A8是半圓的直徑，上底CD的端點在圓周上.記梯形A3CO的周長為=?

(1)將y表示成。的函數(shù)；

(2)求梯形ABCD周長的最大值.

19.在銳角△ABC中，設角48,C的對邊分別為a,"c,且q=4,cosA

(1)若c=4,求△4BC的面積；

(2)求生電的值；

cosC

(3)求,8+4。|一48乂0的取值范圍.

參考答案

1.答案：c

解析：由題意A={x|x?-1或xN4},8={x|x>l},

/.AB={x[x<-1或x>l},

故選：C.

2.答案：A

解析：由題意知z=皿=(5+i)(l+i)=i±^=2+3：

1-i(l-i)(l+i)2

虛部為3,

故選：A.

3.答案：D

2sinofcosof4-cos2a2tana+1

解析:sin2?+cos2a=2sincifcos6z+cos2a=

sin2or+cos2atan2(7+1

故選：D.

4.答案：A

解析：如圖,

因為AC=2DC，CB=2BE，

3_i一

所以CE=—CB,CO=—C4,

22

_O1

所以DE=CE-CD=-CB——CA,

22

故選：A.

5.答案：B

解析：因為e(],兀),且sina=、，所以cosa=-Jl-sin2a

所以sin2a=2sinacosa=2x=x[-二]=2cos2a-l=2x(-3]-1=—,

5I5；25<5j25

J7024夜1175/2

所以2cos2a一巴=2cos2acos—+sin2asin—=2—x-------------x-----=--------------

I4JI44(252252J25

故選：B.

6.答案：D

解析：+/(x+l)=0,

.?./(-l)+/(l)=0,K/(l)=log2(l+l)=l,.-.=

/(O)+/(2)=()，且八0)=log?。+1)=0,二/(2)=0,

又可得〃x)+〃x+2)=0,

.?J(x+4)=/(x),"(x)是周期T=4的周期函數(shù)，

.?"(2023)=/(-l)=-L/(2022)=/(2)=0,

.-.3/(2023)-2/(2022)=3x(-l)-2x0=-3,

故選：D.

7.答案：A

解析：連接E4，H>.由EMA三點共線，可設

由題意知FE=』CB=；（AB—AC）

1?

_A6=——AB——AC,

33

所以⑶=汩48+上4。.

33

同理由D,M,C三點共線，

nr^FM=//F￡)+(l-//)FC=—A8+3心

63

22-1_3〃-2

所以36

2-21-3//

33

5“H1-7

解得從而FM=—a——b.

41515

故選：A.

8.答案：C

解析：設4=。4。=。&4+8=0。，如圖，

BC

OAD

由題意，即在平行四邊形Q4cB中,。4=1，/。。4=4，

6

求A3的最大值.

延長0A至0D，使OA=4)，則CD=AB，

由正弦定理,04,C三點所在外接圓的直徑2R=———=2,

sinZOCA

所以R=l，設圓心為G,如圖，

所以可知NGOO=H，又OG=1，QD=2，

3

所以由余弦定理可得DG=Jl2+22-2xlx2xcosy=6，

則由圖象可知C￡)WOG+R=1+G，

故選：C.

9.答案：ABD

解析：由題意a一2b=(-1,-6)，A正確；

a+6=(5,-3)，,+4=荷+(-3>=用,B正確;

與a平行的單位向量有兩個，它們是相反向量,C錯；

。為=6-4=2〉0,向量a在向量〃上的投影向量與0同向，

節(jié)=5=半珅"，所以向量a在向量6上的投影向量為|b,D正確.

故選：ABD.

10.答案：BCD

2

解析:/(x)=sinf2cox+yj+sinf2cox-三卜2百coscox-y/3

sin26wxcos—+cos26y%sin—+sin2°xcos三-cos2tuxsin三十百cos2cox

33

=sin26yx+Gcos2twx=2sinf2cox+I,

對于A,若/（另相鄰兩條對稱軸的距離為4,則7=2'3=無=如,故°=1人錯誤,

22269

對于B,當g=1,=2sin12x+g),當xs0,-^-時+7T4兀

3,3

則/（x）的值域為［-6,2］,B正確，

對于C,當°=1,/（》）=2$皿［2苫+工

/（X）的圖象向左平移巴個單位長度得到函數(shù)解析式為

6、

、717?1v—?I—2兀、

+=2s++—=2sin2x+—2cos2%+工］,C正確,

-TijHvi63；3)I6

對于D,當川咽時,2。若唱,2唔W

若在區(qū)間0,-上有且僅有兩個零點，則2?！?3四+二<3兀，解得5W0<8,故D正

L6J63

確，

故選：BCD.

11.答案：ABD

解析：在△A8C中，設BC=GAC=Gm>0，

由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC^

貝13m2=AB2+m2-2mABxl,BPAB2-mAB一2%=0，

2

解得AB=2加或=（舍去），

貝IAC2+BC2=AB?，可得AC_LBC?

在△AC￡>中，設ZADC=8，

由余弦定理可得：AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC，

即川=4+12-2x2x2百cos。=16-8j5?cos。,

由正弦定理可得—=焉皮'則sin48=""=jin°'

在△3C￡>中，由余弦定理可得：BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosZBCD，

則》=3療+12-23nx26?cosf-1-+ZACDj=3m2+12+12wtxsinZ.ACD

,圄+

3（16-8G.cose）+12+24sine=48sin60,

因為6€（0,兀），則

若△4CD恰有一解，則。-1e

WBD2€（60-2473,60+246）或BD?=108，

62=36e（60-24百,60+246）,（4指『=96e（60-24區(qū)60+24省卜

g）=某6（60—2475,60—24月）,（66『=108，

故A、B、D正確,C錯誤.

故選：ABD.

12.答案：巴

2

解析：由題意tz=（3,1）,/?=（3,—2）,c=（1,4）,貝（jb-c=（2,-6）,

（3，以2,-6）

所以cos（a,石一e）

療Kx"2+（—6）2

又因為04（a,。一c,W7i,所以〃一=

故答案為：1.

2

13.答案：1

8

解析：設a-夕，則sin/?=a

所以sin[2a-？=sin7

8

故答案為：

8

r?1-

14.答案：|1L[2,+oo）

解析：函數(shù)=log。（加—2x+4）是由

y=log.t和，—2x+4復合而成，

當a>1時y=logJ單調(diào)遞增,

若函數(shù)/（x）=log"（62_2X+4）（a〉0,且M）在區(qū)間（別上單調(diào)遞增，

則=十一2*+4在（別上單調(diào)遞增，且/=加一2%+4>0在加上恒成立,

t-ax2-2x+4的對稱軸為x=—

所以-<-解得：a>2,

--1+4>0

14

當0<a<l時y=log/單調(diào)遞減，

若函數(shù)小卜陶國一？一）（a>0,且“1）在區(qū)間3）上單調(diào)遞增，

則t-*-2x+4在（g,3]上單調(diào)遞減，且t=/-2x+4>0在區(qū)間,31上怛成立,

t=ax2-2x+4的對稱軸為x

->3解得

9?-6+4>0

綜上所述：。的取值范圍是[2,+oo）,

93

故答案為：I[2,+oo

[93」「

15.答案：（1）1-73

「5兀kn1In,小

（2）——+—,——+——（keZ）

363363v7

_2TI_

解析：（1）由題意知函數(shù)/（x）的最小正周期為四，所以"=T=6,

33

貝U/（尤）=25抽（61+方）+1,所以/——2Csi?n6Vx—兀I?！?1=1—>/3.

I63

1c?//兀、1

（2）由（1）知/（一元）=2sin+1——2sin6x—+1?

I3J

當烏+2加46x—色K至+2E/eZ,

232

艮嗤+等，卷+*Z,/（x）單調(diào)遞增,

故/㈠單調(diào)遞增區(qū)間為徭宮黑片

（&eZ）.

16.答案：（1）生叵

3

（2）證明見解析

解析：（1）因為BM=%C,

3

I1。[

所以AM=AB+BM=AB+—BC=A8+—（AC-A5）=—AB+—AC,

33、>33

所以

I|2<21Y42412441116

\AM\=-AB+-AC=-AB+-ABAC+-AC=-x4+-x2x4x-+-xl6=—，

11U3J99999293

所以卜手；

（2）因為4V」AC,

2

所以6N=84+AN=-A6+，AC,

2

所以AM.8N=（2AB+1AC]/-AB+，AC]=-2A82+，AC2=-2X4+』X16=0,

（33八2J3636

所以AM_LBN，即40，9,所以40_1。'-

17.答案：（1）獨I

26

⑵V2

解析：（1）由題意可設NAC￡）=e，

在△AC。中&=旦一①

sin0sin60°

十.DBCD否

在△38中.小。/~②

sin（60°-，）sin600

由①②可得3sin（60。一夕）=sin。，

廠n_3>/3_sin夕,—

解得tan”地，則tan<=y-=斯，解得c°se=ML

5sin2+cos20=1如

故COS/ACD=M^

26

I2

（2）AM=mAC+-AB=mAC+-AD,

23

且C、M、。三點共線,所以加=1

3

s.c=；網(wǎng)"

故網(wǎng)同=4.

11Y1-2112

-AC+-AB=-AC+-ACAB+-AB

32J934

4

=2

H

當且僅當|AC|=C時;所以=e.

18.答案：(1)y=8sind+4cos29+4,6e(0,女)；

4

(2)10

解析：(1)由AB是半圓的直徑，得ACJ.8C，則AQ=8C=A8sinNC4B=4sin。，

過。作。E_L8交C￡)于E,連接CO，則/COB=20，ZEOC=--20,

2

因此CO=2CE=20csinZEOC=4cos20，

所以y-8sin0+4cos20+4,e(0,—)?

4

（2）由（1）知y=8sin（9+4cos26+4=-8sin2e+8sin9+8,ee（0,：）,

設f=sin。e（0,也），則y=-8d+即+8,顯然當f=；時,y有最大值10.

所以梯形ABC。周長的最大值是10.

19.答案：（1）日

25

(2)20

(3)[T,2V5-9)

解析：(1)由余弦定理cosA='+>一”?=2=3=匕=*

2bc855

結合5抽4=±可知公48。的面積5=,兒5m4=^*馬^4乂？=旦

5225525

(2)因為“=4,sinA=±所以--—=5,

5sinA

由正弦定理"=5sinB，c=5sinC

所以5/7—3c_25sin8—15sinC，①

cosCcosC

由于sin3=sin(A+C)=sinAcosC4-cosAsinC=-1cosC+^sinC,

帶入①式可知.5。一3c_（20cosC+15sinC）-15sinC

=20

cosCcosC

（3）解法1：設中點為O,則,8+4。=|24。卜2,4

ABAC=（AD+DBy（AD+DC）=（AD+DB）（AD-