2024年中考數學復習：圓（解析版）

知識必備09圓

〕方廷清單

方法1：圓中最值問題

一.選擇題（共2小題）

1.（2023?江南區(qū)校級三模）如圖，正方形48CD的邊長為5,以C為圓心，2為半徑作OC.點尸為OC上的動點,

連接8P,并將8尸繞點3逆時針旋轉90。得到3P,連接C尸.在點尸運動的過程中，C尸長度的最大值是（）

A.572+2B.372+2C.572-2D.372-2

【分析】連接尸PC,通過證明△PR4三AP3C可推出P的軌跡是以N為圓心，2為半徑的圓上，從而求出PC

取到最大值時P的位置，結合勾股定理從而可求出PC的最大值.

【解答】解：連接尸'/,PC,

■：/ABC=ZP'BP=90°,

ZP'BA=NPBC,

■：BP'=BP,BA=BC,

△P'BA=\PBC（SAS）.

P'A=PC=2,

在以/為圓心，2為半徑的圓上，

連接/C,則當P在C/的延長線上時，PC最長，

此時尸'C=P/+/C=2+j52+52=5夜+2,

故選：A.

【點評】本題主要考查了圓外一點到圓上一點的最大距離.本題的做題關鍵是通過全等來推出動點的軌跡.

2.（2023?明光市二模）如圖，正方形的邊長為2,點尸是射線/D上一個動點，點0在AP上，且滿足

NBCQ=NBPC,則線段C。的最小值為（）

A.V2B.1C.V5-1D.272-1

【分析】根據已知證明ABCQ^ABPC,再證出NABQ^\PBA,NAQB=90°,說明點。的運動軌跡是在以48為直

徑的圓上，再根據點圓關系求出最值即可.

【解答】解：如圖，連接

???NBCQ=NBPC,且ZCBQ=NPBC,

NBCQ^ABPC,

BQ:BC=BC:BP,

???AB=BC,

BQ\AB=AB\BP,

NABQ=NPBA,

,AABQs"BA,

:.NAQB=NBAP=90P,

.?.點。的運動軌跡是在以A8為直徑的圓上，

如圖，取48中點。，連接。C交。。于Q,則CQ此時最小,

OC=712+22=V5,

故選：C.

【點評】本題考查了正方形的性質、相似三角形的性質等知識點的應用，點圓關系取最值的應用是解題關鍵.

二.填空題(共6小題)

3.(2023?南海區(qū)校級模擬)如圖，點M的坐標為(3,4),點4的坐標為(-2,0),點N、點8關于原點對稱，點尸是

平面上一點，且滿足尸/，尸3,則線段尸”的最小值為3.

y.

■.M

P.

A~OBx

【分析】根據直徑所對的圓周角是直角，作出以48為直徑作。。，連接0M與。。交于點尸，此時的值最小,

再根據點州的坐標求出OM的長，即可得到答案.

【解答】解：如圖，以48為直徑作。O,連接0M與。。交于點尸，過點M作軸于點。，

此時滿足PAVPB,PM的值最小，

?.?點M的坐標是(3,4)，

OM=4?+4。=5,

?.?點/的坐標為(-2,0),

04=2,

OP=OA=2,

:.PM=OM-OP=5-2=3>.

故答案為:3.

【點評】本題主要考查了點和圓的位置關系，準確找到點尸的位置是解題的關鍵.掌握：直徑所對的圓周角是直角.

4.（2023?紅旗區(qū)二模）如圖，四邊形Z4CQ中，AB//CD,ABAD=ZABC=60°,AD=BC=CD=4,點〃是

四邊形45CQ內的一個動點，滿足//MQ=90。，連接MC、MB,貝（JAM5C面積的最小值為_6百-4_.

DC

【分析】取4D的中點O.連接(W,過點M作于點￡,過點。作。尸，5C于點尸，交于點G,則

OM+ME...OF,根據垂線段最短可知，當O,￡三點共線時，ME的值最小，從而求得AA山。面積的最小值.

【解答】解：取4。的中點連接。河，過點M作于點￡,過點。作。尸，6C于點尸，交于點G,

貝！J(W+ME...Ob，

/AMD=90。，AD=4,OA=OD,

/.OM=-AD=-x4=2，

22

AB//CD,

ZGCF=/B=60°,

/./DGO=/CGF=30。,

???AD=BC,

/DAB=/B=60°,

:,ZADC=ZBCD=12O°,

/./DOG=ZDGO=30°,

/.DG=DO=2,

???CO=4,

CG=2,

.?.OG=2。。cos30。=2^，GF=43,OF=30

/.ME...OF-OM=3y/3-2,

.?.當0,M,￡三點共線時，ME的值最小，最小值為3舊-2,

AM3C面積的最小值是：gx4x（3百-2）=6百-4.

故答案為：6A/3-4.

【點評】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，垂線段最短，以及解直角三角形，解題的關鍵是學會用轉化思想思

考問題.

5.（2023?浙江模擬）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

（1）如圖①，圓錐的母線長為12cm,8為母線OC的中點，點/在底面圓周上，元的長為4/c機，則螞蟻從點N

爬行到點3的最短路徑長為_6拒_cm（結果保留根號）；

（2）如圖②中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成，點4在圓柱的底面圓周上，點8在母線OC上，當螞

蟻從點/以最短路徑爬行到點2時與圓錐底面交于點E.若母線長為12c機，圓柱的高為6c/，AD的長為15c機，

港的長為9”?,08=4也則螞蟻從點/爬行到點8的最短路徑長為cm（乃取3）.

①②

【分析】（1）先判斷出AO4C為等邊三角形，進而得出上等邊三角形的高，即可得出結論;

（2）根據題意畫出示意圖，分別求出/G和8G的長，然后再求4B得長.

【解答】解：⑴如圖③，將圓錐的側面展開，連接/。，AC,AB.設N/OC=〃。.

②

AC的長為4%cm，

n7ix12

二4〃，，〃=60,

180

ZAOC=60°,

??,OA=OC,

AAOC是等邊三角形，

?/OB=BC=6cm，

/.ABLOC,

AB=yJOA2-OB2=V122-62=6V3(cm).

最短的路徑是線段/B,最短路徑的長為6心機.

故答案為：643；

(2)將圓錐與圓柱的側面展開螞蟻從點/爬行到點8的最短路徑的示意圖如圖④，最短路徑為線段N8.

設與圓柱的展開圖的上邊的交點記作點G,連接。G,并過G點作G尸，ND,垂足為尸，

由題可知，GF=6cm,OB=4A/2C?I,

AD的長為15。加,

二.展開后的線段4。=15c加.

??,母線長為12的，設NC'OG=a,

a?xl2八

,------二9,

180

?.a=45

/.ZCOG=45°,

作BELOG,垂足為E,

?/OB=4yf2cm，

OE=BE=4cm，

GE=12-4=8(cm),

/.BG=不BE?+EG?=4&(cm),

???AF=AD-CG,

AF=6cm，

AG=ylAF2+FG-=V62+62=6?cm),

AB=AG+BG=(6五+4^5)cm.

故答案為：672+475.

④

【點評】此題考查了平面展開-最短路徑問題，弧長公式，勾股定理，圓柱和圓錐的側面展開圖，等邊三角形的判

定和性質，作出輔助線構造出直角三角形是解本題的關鍵.

6.（2023?西峽縣一模）如圖，點E是正方形邊3c上一動點（點E不與點3、C重合），連接DE,過點/

作/￡交CD于尸，垂足為尸，連接尸C,已知正方形的邊長為2,則尸C的最小值為_石-1

【分析】以/。為直徑作連接CH,交0H為點P,根據點圓最值的性質，則尸C為最小距離，再根據勾股

定理計算即可.

【解答】解：

.?.點P的運動軌跡是以AD為直徑的圓上一段圓弧上，

如圖，取。中點〃，連接S,交0H為點P,則尸C為所求,

?.?正方形的邊長為2,

:.DC=2,DH=\,

CH=722+12=45,

-,?HP=\,

：.CP=4S-I.

故答案為：V5-1.

【點評】本題考查了正方形的性質的應用，點圓最值的應用是解題關鍵.

7.（2023?龍崗區(qū)校級模擬）如圖，在矩形48CD中，48=3,BC=4,￡為邊5c上一動點，/為NE中點，G為

DE上一點，BF=FG,則CG的最小值為_而-2

【分析】如圖1,連接/G,證明/尸=FG=￡F,則N/GE=N/GD=90。，根據圓周角定理可知：點G在以/。為

直徑的圓上運動，取4D的中點O,當。，G,C三點共線時，CG的值最小，由此可解答.

【解答】解：如圖1,連接/G,

圖1

?.?四邊形是矩形，

ZABC=ZBCD=ZADC=90°,DC=AB=3,

?.?尸是/￡的中點，

:.BF=~AE=AF=EF,

2

BF=FG,

AF=FG=EF,

ZAGE=ZAGD=90°,

.?.點G在以NO為直徑的圓上運動，取NO的中點O,連接OG,

當。，G,C三點共線時，CG的值最小，如圖2所示，

oc7展+￥=而,

CG的最小值為Jl5-2.

故答案為：V13-2.

【點評】本題考查旋轉的性質，矩形的性質，圓周角定理，線段的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線,

構造動點G的軌跡來解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

8.（2023?雁塔區(qū)校級四模）如圖，在矩形/BCD中，AB=6,BC=5,點、E在BC上,且CE=43E,點”為矩

形內一動點，使得NCWE=45。，連接NW,則線段的最小值為_5-2五

【分析】作AWC的外接圓。O,連接4。，當點M是/O與。。的交點時，最小.

【解答】解：如圖，作AEMC的外接圓O。，連接Z。，CO,EO,作。尸_L/8,ON1BC,

-：BC=5,點E在8C上，J!LC￡=4BE,

BE=\,EC=4,

???ACME=45°,

NEOC=90°,

OE=OC=2V2,ON=EN=CN=2,

BN=OF=3,AF=6-2=4,

在RtAAFO中，40=V32+42=5,

當點M是CM與O。的交點時，NM最小，

AM的最小值=OA-OE=5-2>/2.

故答案為：5-272.

【點評】本題考查了點圓位置關系求最值，解題的關鍵是構造輔助圓.

三.解答題（共4小題）

9.（2023?競秀區(qū)二模）已知，在半圓。中，直徑48=10,點C,D在半圓。上運動，弦CD=5.

（1）如圖1,當就'=前時，求證：\CAB=KDBA；

（2）如圖2,若NDAB=225。,求圖中陰影部分（弦/￡＞、直徑N3、弧如圍成的圖形）的面積;

（3）如圖3,取CZ）的中點Af，點C從點/開始運動到點Z）與點2重合時結束，在整個運動過程中：點M到48

的距離的最小值是_*6_.

圖1圖2圖3

【分析】（1）分別說明=,ZCAB=ZDBA,AB=BA成立,用S4s（證明AC45二AQA4；

（2）將陰影面積分割：S陰影部分=S扇形008+；

c/T

（3）先得到點〃在以。為圓心，—為半徑的圓弧"例〃上運動，然后計算點C從點A開始運動時〃到AB的

2

距離.

【解答】（1）證明：???8=。。，

ZCAD=ZDBC,

???AC=BD,

ZDAB=ZCBA,AC=BD,

?.ACAD+/DAB=ZDBC+ACBA,

ACAB=/DBA,

又AB=BA,

ACABADBA(SAS)；

(2)解：過。作。于H,連接O。，如圖2:

???半圓。中，直徑45=10,

OA=OD=5,

???/DAB=22.5°,

/DOB=45°，

收八5A/225Tl

...DH=-OD=S扇形。08

22~T~

S"08=箏

25〃25c

一S陰影部分二S扇形30B+SMOD=-----+

84

(3)連接。M，OC,

是CD的中點，

/.OM1CD,CM=-CD=-,

22

:.OM=VOC2-CM2=^52-(1)2=乎，

5A

.?.點M在以。為圓心，為半徑的圓弧上運動,

2

過AT作MW_L48,垂足為N,

5

sinZAOM'=^-=^-=-,

0A52

MN=OM'-sinZAOM'=—x-=,

224

.?.點M到AB的距離的最小值是2若，

4

故答案為：-V3.

4

圖Iffl2圖3

【點評】本題考查了圓的性質、三角形全等的判定、與圓有關的面積計算、隱圓問題等知識點，對于(2),關鍵

是確定點河在以。為圓心，壬為半徑的圓弧“胡〃上運動.

2

10.(2023?大興區(qū)二模)在平面直角坐標系中，已知點4-jO),8(廠,0).點尸為平面內一點(不與點/,點8重

合)，若A48尸是以線段A8為斜邊的直角三角形，則稱點尸為線段N8的直點.

(1)若r=1,

①在點嗎,-；)，鳥(0,1),粗-1,-1)這三個點中，點—巴—是線段"的直點;

②點尸為線段48的直點，點。(-1,1),求CP的取值范圍；

(2)點。在直線y=上，若點。的橫坐標馬滿足2<x0<4,點尸為線段A3的直點，且。尸=1,直接寫出r

的取值范圍.

y

【分析】(1)①按所給點尸，逐個計算OP,再根半徑比較即可;

②連接。尸作直線，交。。于W、N,則CN是CP的最小值，CN是C尸的最大值，再分別計算CM、CN即可;

(2)若點。在(2,1)處和若點。在(4,3)處時，分別求出當。尸=1時的。尸長即可.

【解答】解：(1)①若r=l,

則4(-1,0),5(1,0).

以。為圓心，1為半徑作圓，

則線段AB的直點滿足在。。上,

,不在OO內，

不是線段的直點;

???巴(0,1)，

OP2=],

在°。上，

二巴是線段的直點；

6(-1,-1)>

22

OP3=Vl+1=V2>1,

.?.用在。。外,

，月不是線段的直點;

故答案為：p2.

②如圖，作直線C。，交O。于“、N,則CM是。尸的最小值，CN是CP的最大值,

?.,點。(-1,一1),

oc=#+i2=6，

CM=42-1,CN=41+\,

A/2-L,OP、,V2+1,

(2);D在直線y=x-l上且滿足2<4,

若點。在(2,1)處，。￡>=#+22=&

連接OD交。。于P,

當。P=1時，。？=百-1,

即r=A/5—1,

若點。在(4,3)處，0口=打+4。=5,

連接。。交。。于P,

當。P=1時，0P=5+1=6,

即r=6,

.J的取值范圍石-16.

當r<0時，

即V5—1<—r<6,

r的取值范圍-6<r<-V5+1.

【點評】本題考查了點圓最值的應用解答，一次函數性質及勾股定理的計算是解題關鍵.

II.(2023?南海區(qū)一模)如圖1,在矩形中，40=12,=8,點￡在射線上運動，將A4ED沿ED翻

折，使得點/與點G重合，連接/G交。石于點尸.

(1)【初步探究】當點G落在8C邊上時，求2G的長；

(2)【深入探究】在點E的運動過程中，8G是否存在最小值，如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理

由；

(3)【拓展延伸】如圖3,點尸為3G的中點，連接/P,點E在射線上運動過程中，求/P長的最大值.

【分析】(1)由翻折得：DG=4。=12翻艮據勾股定理可得CG=-CD?=J12?-8?=4石，再由8G=8C-CG,

即可求得答案；

(2)以。為圓心，4D長為半徑作。D,可得點G在0。上運動，當點G在線段3。上時，2G最小，此時，

BG=BD-DG,由勾股定理可得,即可求得3G的最小值為4而-12；

(3)以。為圓心，/D長為半徑作。D,延長R4至〃，使4"=民4=8,連接G",根據三角形中位線定理可得

AP=-GH,則/尸最大時，GH最大,由于點G在。。上運動，當HG經過點。時，GH最大,即可求得答案.

2

【解答】解：(1)當點G落在8C邊上時，如圖1,

圖1

?.?四邊形43c。是矩形，

：.BC=AD=n,CD=AB=8,ZB=ZC=90°,

由翻折得：DG=AD=12,

在RtACDG中，CG=y]DG2-CD2=V122-82=46,

BG=BC-CG=\2-4A/5;

(2)如圖2,以。為圓心，ND長為半徑作0D,

由翻折得：DG=AD=\2,

.,.點G在0。上運動，

當點G在線段2D上時，8G最小，此時，BG=BD-DG,

在RtAABD中，BD=NAB?+心=弁+12、=4標,

BG=BD-DG=45-12,

故在點￡的運動過程中，8G存在最小值，8G的最小值為4布-12；

(3)如圖3,以。為圓心，長為半徑作OD,延長84至“，使/H=R4=8,連接，

圖3

???AH=BA,

:.點、4是BH的中點，

■:點、P為BG的中點，

AP是ABGH的中位線，

AP=-GH,

2

則4P最大時，GH最大,

由翻折得：DG=AD=12,

.,.點G在。。上運動，

當"G經過點。時，G”最大，如圖4,

E

在RtAADH中，HD=AH2+AD2=782+122=4713,

GH=HD+DG=4V13+12,

AP=-GH=2s/13+6,

2

故點E在射線48上運動過程中，4P長的最大值為2&5+6.

【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，翻折的性質，勾股定理，三角形的中位線定理，圓的有關

性質，點到圓上各點距離的最大值和最小值的應用，解決問題的關鍵是運用三角形中位線定理和圓中的最值.

12.(2023?北京一模)在平面直角坐標系x/中，。。的半徑為1,“為。。上一點，點N(0,-2).

對于點尸給出如下定義：將點P繞點/順時針旋轉90。，得到點P,點P關于點N的對稱點為。，稱點0為點產

的“對應點”.

(1)如圖，已知點”(0,1),點尸(4,0),點。為點尸的“對應點

①在圖中畫出點。；

②求證：OQ=COM；

(2)點P在x軸正半軸上，且。尸=W>1),點。為點尸的“對應點”，連接尸。，當點M在O。上運動時，直接

【分析】(1)①根據定義，先確定點P的位置，再得出點。的位置；

②過點P作PE_Ly軸于點E,利用44s證明三△尸河。，設。(x,y),利用中點坐標公式可求得0(1,-1),

再運用兩點間距離公式可求得。。，即可證得結論；

(2)尸點繞。點順時針旋轉90。后得到點G,可求得GP=亞，則尸'在以G為圓心，夜為半徑的圓上，設G點

關于N點的對稱點為X,則8(0,4),求得QH=6,則。點在以X為圓心行為半徑的圓上，再根據點到圓上

各點距離的最大值和最小值即可求得答案.

【解答】(1)①解：如圖，點。即為所求;

/.M0=\,。尸=4,

由旋轉得：MP=MP,ZPfMP=90°,

ZPMO+AP'ME=90°,

???/PEM=/POM=90°，

ZMPrE+ZPrME=90°,

/./MPE=APMO，

△MPEtAPMO(AAS),

P,E=MO=\,ME=OP=4,

:.OE=ME-OM==3,

設。(xj)，又點N。-2),

,??點P關于點N的對稱點為。，

..q=o,g=_2,

22

解得：x=1,y=-\,

???2(1,-1)，

由兩點間距離公式可得：。。=7(1-0)2+(-1-0)2=V2,

OQ=41OM；

(2)解：P點繞。點順時針旋轉90。后得到點G,

設當點M在第四象限時，過點M作班，x軸于過點P作P尸，ME于尸,

貝(JZPEM=/MFP=/PMP=90°,MP=MP,

???ZPME+ZMPE=90°,ZPME+AP'MF=90°,

ZMPE=NPMF,

APME=△MPF(AAS),

：.MF=PE=t-a,PF=EM=—b,

P'(a—b,a+b—/)，

GP=yj2(a2+b2),

?：M(a,b)在OO上，

a1+b2=\,

GP=JI,

在以G為圓心，血為半徑的圓上，

設G點關于N點的對稱點為X,則8(0,7-4),

QH=y]2(a2+b2)=V2,P/f2=(Z-0)2+(0-f+4)2=2Z2-8/+16,

.?.0點在以〃為圓心后為半徑的圓上，

PQ的最大值為PH+42,PQ的最小值為PH-41-

PQ長的最大值與最小值的積為(PH+6(PH-6)=2r-8?+14,

故答案為：2〃-8/+14.

【點評】本題考查圓的綜合應用，熟練掌握三角形全等的判定及性質，兩個相交圓的性質，圖形旋轉的性質，弄清

定義，并能夠判斷出P、。點的運動軌跡是解題的關鍵.

方法2：定點定長構造輔助圓

選擇題（共1小題）

I.（2023?張家口一模）在A48c中，要判斷々和NC的大小關系（NB和NC均為銳角），同學們提供了許多方案，

老師選取其中兩位同學的方案（如圖1和圖2）

①以點A為圓心,AB長為半徑作①作邊BC的垂直平分線EF；

I②觀察點C與?A的位置關系即可。,I②觀察EF與邊AC是否有交點位置關系即可。J

圖1圖2

對于方案I、II說法正確的是（）

A.I可行、II不可行B.I不可行、II可行

C.I、II都可行D.I、II都不可行

【分析】根據作圖得出AB=4P,根等邊對等角得出=根據N4P3=NC+NP4C即可判斷方案I；根

據垂直平分線的性質可得8。=。。，則NC=NQ2C,根據NN8C>NQ8C即可判斷方案H.

【解答】解：方案I：

由作圖可知：AB=AP,

NB=ZAPB,

???NAPB=ZC+APAC,

ZAPB>ZC,

ZB>ZC,

故方案I可行，符合題意;

方案II：

???跖垂直平分8C,

BQ=CQ,

ZC=ZQBC,

■：NABC>ZQBC,

NABC>ZC,

故方案n可行，符合題意;

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質，垂直平分線的性質，三角形的外角定理，解題的關鍵是掌握等腰三角

形等邊對等角；垂直平分線上的點到兩端距離相等.

二.填空題（共1小題）

2.（2023?營口一模）如圖，等邊三角形N8C和等邊三角形/DE■，點N,點M分別為8C,。石的中點，48=6,

/D=4,ZUDE繞點/旋轉過程中，血W的最大值為_56

【分析】分析題意可知，點M是在以為半徑，點/為圓心的圓上運動，連接/N,AM,以為半徑，點/

為圓心作圓，反向延長/N與圓交于點AT,以此得到M、/、N三點共線時，"N的值最大，再根據勾股定理分

別算出NA/、/N的值，則血皿的最大值M火=4%+㈤1/，=/%+/河.

【解答】解：連接/N,AM,以4W為半徑，點/為圓心作圓，反向延長NN與圓交于點AT,如圖，

M'

VMDE繞點、A旋轉,

，點M是在以4W為半徑，點N為圓心的圓上運動,

?：AM+AN..MN,

當點〃■旋轉到AT,即V、4、N三點共線時，"N的值最大，最大為ATN,

AABC和AADE都是等邊三角形，

點N,點”分別為3C,DE的中點，AB=6,AD=4,

ANVBC,AMLDE,BN=3,DM=2,

在RtAABN中，由勾股定理得AN=』AB。-BN?=3百,

在RtAADM中，由勾股定理得AM=yjAD2-DM2=273,

根據旋轉的性質得，AM，=AM=2也,

M'N=AN+AM'=573,即的最大值為56.

故答案為：56.

【點評】本題主要考查等邊三角形的性質、旋轉的性質、勾股定理，解題關鍵在于確定點M是在以為半徑，

點/為圓心的圓上運動.

三.解答題（共1小題）

3.（2023?新城區(qū)校級三模）圓的定義：在同一平面內，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形.

（1）已知：如圖1,OA=OB=OC,請利用圓規(guī)畫出過/、B.。三點的圓.若乙408=70。，則乙4。3=_35。_.

如圖，RtAABC中，AABC=90°,ZBCA=30°,AB=2.

（2）已知，如圖2.點尸為/C邊的中點，將/C沿氏4方向平移2個單位長度，點N、尸、C的對應點分別為點。、

E、F,求四邊形8。尸。的面積和/BEA的大小.

（3）如圖3,將/C邊沿8C方向平移。個單位至。尸，是否存在這樣的°,使得直線。尸上有一點。，滿足

480/=45。且此時四邊形A4D尸的面積最大？若存在，求出四邊形尸面積的最大值及平移距離.，若不存在,

說明理由.

【分析】（1）利用圓的定義知N,B,C三點共圓，再利用圓周角定理求解.

（2）根據圖形的平移性質，判定平移后圖形形狀，繼而確定面積的計算方式和方法，角度問題也迎刃而解.

（3）因角度不變，借助圓周角定點在圓周上運動時角度不變的思想，判斷出。點能夠向右移動的最大距離，求出

四邊形的最大面積.

【解答】（1）以。為圓心，。/為半徑作輔助圓，如圖，

ZAOB=70°,

ZACB=35°,

故答案為35。.

(2)連接P8，PE,如圖,

RtAABC中，ZABC=90°,ZBCA=30°,48=2.

:.AC=4,ABAC=60°,BC=273.

P為RtAABC斜邊NC中點，

:.BP=-AC=2,

2

線段NC平移到。尸之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

，四邊形NBPE為菱形，

ABAC=60°,

ZBEA=30°,

CF/IBD,且N48c=90°,

二.四邊形3D尸C為直角梯形，

:.S=；(BD+CF)xBC=gx6x2小=6小,

(3)如圖所示，以48為斜邊在48的右側作等腰直角三角形OAB,以。為圓心，。/為半徑作。0,

當AC邊沿BC方向平移a個單位至DF時，

滿足N3a=45。且此時四邊形氏4￡）尸的面積最大，

，直線DF與。。相切于點。，

連接。。交于G,過點。作。于”，

則ZAHO=ZOHG=ZDQG=90°,ZOAH=45°,ZGDQ=30°,

■：ZABC=90°,NBCA=30°,AB=2,

SC=273,OA=OB=OQ=y/2,

AH=OH=\,HG=—,OG=—,

33

GQ=41-^-,r>G=2GQ=2后一殍，

AD=AH+HG+GD=1+—+272-述=1+2應-6，

33

.,.q=l+2^/2—>/3,

此時直角梯形45即的最大面積為：

5'=1x（5F+^r>）xy45=1x（2V3+l+2V2-A/3+l+2>/2-V3）x2=4V2+2.

【點評】本題主要考查圖形的平移，圓心角，圓周角之間的關系，解題的關鍵是數形結合，找到極值點求解.

方法3：定弦定角構造輔助圓

選擇題（共1小題）

1.（2023?肇東市校級模擬）如圖，是。。的直徑，AB=4,C為套的三等分點（更靠近/點），點尸是。。上

個動點，取弦/尸的中點D,則線段CD的最大值為（）

A.2B.V7C.2拒D.V3+1

【分析】如圖，連接。。，OC,首先證明點。的運動軌跡為以/。為直徑的OK,連接CK,當點。在CK的延長

線上時，CO的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接OC,

AB

\D\^/

P

■：AD=DP,

ODYPA,

ZADO=90°,

.?.點。的運動軌跡為以/。為直徑的OK,連接CK,AC,

當點。在CK的延長線上時，CD的值最大，

???C為翁的三等分點，

ZAOC=60°,

AAOC是等邊三角形，

CK1OA,

在RtAOCK中，-■?ZCOA=60°,OC=2,OK=1,

:.CK=JOC'-OQ=V3,

■：DK=-OA=\,

2

CD=V3+1,

r.CO的最大值為6+1,

故選：D.

【點評】本題考查圓周角定理、軌跡、勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是正確尋找點。的運動軌

跡，學會構造輔助圓解決問題.

二.填空題（共2小題）

2.（2023?利州區(qū)模擬）如圖，正方形48C。中，45=4,動點￡從點/出發(fā)向點。運動，同時動點尸從點。出

發(fā)向點C運動，點E、尸運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段/尸、2E相交于點尸，

M是線段3C上任意一點，則“D+MP的最小值為_2而

【分析】首先作出點。關于8c的對稱點。從而可知當點P、M、。在一條直線上時，路徑最短，當點￡與點D

重合，點尸與點C重合時，尸G和G。均最短，即最短，然后由正方形的性質和軸對稱圖形的性質可知：PG=2,

GD'=6,最后由勾股定理即可求得尸。的長，從而可求得MO+MP的最小值.

【解答】解：如圖作點。關于8c的對稱點連接P。，

\1

由軸對稱的性質可知：MD=D'M,CD=CD'=4,

PM+DM=PM+MD'=PD'

過點尸作尸E垂直。C,垂足為G,

易證/FLBE,故可知P的軌跡為以A8為直徑的四分之一圓弧上，當點E與點。重合，點尸與點C重合時，PG

和G。均最短，

此時，尸。最短.

?.?四邊形ABCD為正方形，

PG=-AD=2,GC=-DC=2.

22

GD'=6.

在RtAPGD，中，由勾股定理得：PD'=ylPG2+GD'2=物+6?=2A/W.

故答案為：2回.

【點評】本題主要考查的是最短路徑問題，由軸對稱圖形的性質和正方形的性質確定出點尸的位置是解題的關鍵.

3.（2023?定遠縣校級一模）如圖，半徑為4的00中，CD為直徑，弦48，且過半徑OD的中點，點￡為0。

上一動點，CFLAE于點、F.當點E從點2出發(fā)順時針運動到點。時，點尸所經過的路徑長為—冥玩

一3

建C

D

【分析】由N//C=90。，得點/在以/C為直徑的圓上運動，當點E與3重合時，此時點尸與G重合，當點E與

。重合時，此時點尸與“重合，則點E從點3出發(fā)順時針運動到點。時，點F所經過的路徑長為/G的長，然后

根據條件求出NG所在圓的半徑和圓心角，從而解決問題.

【解答】解：???C/?L/E,

ZAFC=90°,

.?.點尸在以NC為直徑的圓上運動，

以/C為直徑畫半圓/C,連接ON,

當點E與3重合時，此時點尸與G重合，

當點￡與。重合時，此時點產與/重合，

.?.點E從點B出發(fā)順時針運動到點。時，點尸所經過的路徑長為AG的長,

?.?點G為。。的中點，

OG=-OD=-OA=2,

22

OG1AB,

ZAOG=60°,NG=，

OA=OC,

:.ZACG=30°,

:.AC=2AG=4y/3,

N言所在圓的半徑為2百，圓心角為60。,

，〃的長為^2岳

3

2乖）兀

故答案為:

3

【點評】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，定角對定弦，弧長公式等知識，確定點尸的運動路徑是解題的關

鍵.

三.解答題（共2小題）

4.（2023?滿橋區(qū)校級模擬）問題提出：（1）如圖①，AA8C為等腰三角形，ZC=120°,AC=BC=S,D是4B上

一點，且CD平分A48C的面積，則線段CD的長度為4.

MC

B

圖①圖②圖③

問題探究：（2）如圖②，A48C中，ZC=120°,45=10,試分析和判斷A48C的面積是否存在最大值，若存在，

求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在會場旁規(guī)劃

一個四邊形花圃N8CD,滿足BC=600米，。=300米，ZC=60°,乙4=60。，主辦方打算過的中點”點（入

口）修建一條徑直的通道建（寬度忽略不計）其中點E（出口）為四邊形N2C。邊上一點，通道旌把四邊形NBC。

分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷休閑觀賞.問是否存在滿足上述條件的

通道ME?若存在，請求出點/距出口的距離/E的長；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）由題意可知，CD是A48c的中線，利用等腰三角形的性質推出利用三角函數求解即可解

決問題；

（2）當A48c的邊上的高CD最大時，三角形48C的面積最大，即CO過圓心。，連接求出的最大

值即可得出答案；

（3）連接。河，BD.首先證明48。。=90。，求出8。，推出ASDC的面積是定值，要使得四邊形48CD的面積

最大，只要A/tBZ）的面積最大即可，因為瓦3為定值，為定角=60。，推出當是等邊三角形時，求出四邊

形/3CD的面積最大值，然后再求出NMDE=90。，構建方程解決問題即可.

【解答】解：（1）如圖①,

圖①

?.?CD平分A43C的面積,

/.AD=DB,

3c=8,

CDVAB,ZACD=/BCD=-ZACB=60°，

2

CD=ACcosNACD=8cos60°=4,

:.CD的長度為4,

故答案為：4；

（2）存在.如圖②，

圖②

^5=10,N/C3=120。都是定值，

.?.點。在就上，并且當點C在叁的中點時，AA8C的面積最大;

連接OC交48于點。，則C0_L48,AD=BD=-AB=5,

2

ZACD=-ZACB=60°,

2

答：A48c的面積最大值是空8；

3

(3)存在.如圖③，連接DM,BD,

圖③

???M是5c的中點,

:.CM=-BC=300,

2

CM=CD,

又???NC=60。,

/.bCMD是等邊三角形，

ZMDC=ZCMD=60°,CM=DM=BM,

ZCBD=ZMDB=30°,

NBDC=90°,

BD=CD-tan60°=30073米，

在A4a)中，5。=300G米，乙4=60。為定值,

由（2）可知當48=/。時，即AA8。為等邊三角形時AAB。的面積最大,

此時也為四邊形N2C。的最大值（ASDC的面積不變），

鼠=S謝0+S皿=300x30073+,(3006)2=112500^；

VAARD是等邊三角形，

AADB=60°,

...ZADM=ZADB+ZBDM=90°,

1八]

-DEx300+—x3002=-x112500^,

242

解得：DE=22573,

AE=AD-DE=30073-22573=7573（米），

答：點N距出口的距離/￡的長為756米.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了勾股定理，垂徑定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質等知識，解題

的關鍵是理解題意構造輔助圓，靈活運用所學知識解決問題，難度較大，屬于中考壓軸題.

5.（2023?柯城區(qū)校級一模）如圖，點/與點8的坐標分別是（1,0）,（5,0）,點P是該直角坐標系內的一個動點.

（1）使乙4PB=30。的點尸有無數個:

（2）若點尸在y軸上，且//尸8=30。，求滿足條件的點尸的坐標；

（3）當點尸在y軸上移動時，乙4網是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時44PB最大的理由；若沒

有，也請說明理由.

%

5-

4-

3-

2-

1-/B

I1I1一I!I1

-4-3-2-1012345X

-1-

-2-

-3-

-4-

【分析】（1）己知點/、點B是定點，要使N4P8=30。，只需點尸在過點/、點8的圓上，且弧所對的圓心

角為60。即可，顯然符合條件的點尸有無數個.

（2）結合（1）中的分析可知：當點尸在y軸的正半軸上時，點尸是（1）中的圓與y軸的交點，借助于垂徑定理、

等邊三角形的性質、勾股定理等知識即可求出符合條件的點尸的坐標；當點尸在y軸的負半軸上時，同理可求出符

合條件的點尸的坐標.

(3)由三角形外角的性質可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角.要N4P2最大，

只需構造過點/、點B且與〉軸相切的圓，切點就是使得44四最大的點尸，然后結合切線的性質、三角形外角的

性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識即可解決問題.

【解答】解：(1)以4B為邊,在第一象限內作等邊三角形

以點C為圓心，/C為半徑作。C,交y軸于點片、P2.

在優(yōu)弧上任取一點尸，如圖1,

則ZAPB=-AACB=-x60°=30°.

22

使NAPB=