河南省TOP二十2024屆高三年級下冊5月猜題（一）數(shù)學試卷(含答案)

河南省TOP二十名校2024屆高三下學期5月猜題（-）數(shù)學試卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.在復平面內，復數(shù)z=（2-5i）（-l-2i）對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.設集合A={l,2a+l},3={3,a—1,3a—2},若則a=（）

A.-2B.-lC.lD.3

3.設角?的頂點與直角坐標系的原點重合,始邊與x軸非負半軸重合，則

“2E+]<o<2E+號（左eZ）”是“cos^WO”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分又不必要條件

4.將函數(shù)y=3sin（3x+e）的圖象向右平移1個單位長度,得到的函數(shù)圖象關于y軸對稱,

則|°|的最小值為（）

A二B.FC.9D.2

618186

5.在某電路上有“、N兩個獨立工作的元件，每次通電后，需要更換M元件的概率為

0.3，需要更換N元件的概率為0.2,則在某次通電后M、N有且只有一個需要更換的條件

下，般需要更換的概率是（）

22

6.已知橢圓C:=+==1（?！?〉0）的左頂點、上頂點分別為A,5,右焦點為卜過R且

ab

與x軸垂直的直線與直線油交于點E,若直線,勺斜率小于孚。為坐標原點，則直

線A3的斜率與直線OE的斜率的比值的取值范圍是（）

7.如圖,在圓錐SO中，若軸截面為等邊三角形SA3,C為底面圓周上一點，且NH9C=號,

則直線OC與直線SB所成角的余弦值為（）

s

8.已知實數(shù)機,“滿足〃2+111772=4,"111"+〃=63,則"2〃的值為()

A.e2B.e3C.e4D.e5

二、多項選擇題

9.將正數(shù)x用科學記數(shù)法表示為x=axlO",ae[l,10)eZ，則把”,1ga分別叫做Igx的

首數(shù)和尾數(shù)，分別記為S(lgx),W(lgx),下列說法正確的是()

A.若M=2x10"',N=3x10","eZ,則S(lg(ACV))=S(lgAf)+S(lgN)

B.若M=2xl(r,N=8x10",m,"eZ，則W(\g(MN))=W(\gM)+W(\gN)

C.若M=2xl(r,N=4x10",〃eZ,則S[1g=S(lgM)-S(lgN)

D.若M=8xl(T,N=2xl(r,m,"eZ^lJwBg*]=W(lgM)—W(lgN)

10.已知[/+亍)(〃eN*)的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，且展開式的

各項系數(shù)之和為2187,則下列說法正確的是()

A.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為64

B.展開式中存在常數(shù)項

C.展開式中含一項的系數(shù)為560

3

D.展開式中系數(shù)最大的項為672戶

11.在平面直角坐標系xOy中，點R是拋物線「：丁=以2(?！?)的焦點下到r的準線/

的距離為2,點A是r上的動點，過點A且與r相切的直線機與y軸交于點民C是準線

/上的一點，且AC，/,則下列說法正確的是()

A.〃二4

B.當點A的橫坐標為2時，直線m的斜率為1

C.設Z>(3,0)，則|AD|+1AC|的最小值為M

D.\OB\,\AB\,\BC\成等差數(shù)列

三、填空題

12.若向量不共線，且(%。+。)//(。+砌,則孫的值為.

13.若正數(shù)。力滿足片(6一a)=〃,則a的最小值是.

14.記r(x)是不小于x的最小整數(shù)，例如*1.2)=2"⑵=2"(-1.3)=-1，則函數(shù)

/(X)=r(x)-x-2-X+；的零點個數(shù)為.

四、解答題

15.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且S3=：,2a“M-a”=0(〃eN)

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)若數(shù)列bn=-an+ilog2an，求數(shù)列也｝的前n項和Tn.

16.在一個不透明的密閉紙箱中裝有10個大小、形狀完全相同的小球，其中8個白球,2

個黑球.小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球觀察其顏色,連續(xù)摸4次，記隨機變量X為

小張摸出白球的個數(shù).

⑴若小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球后放回紙箱，求E(X)和。(X);

(2)若小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球后不放回紙箱，求X的分布列.

17.如圖，在正三棱柱ABC-4耳C中，。為△4耳G的重心,。是梭CG上的一點，且ODH

平面4耳。.

CD￡

⑴證明:

2

⑵若A41=2A}B]=12，求點D到平面B}AC的距離.

18.動點P(x,y)與定點F(2,0)的距離和它到定直線/：x=g的距離的比是2,記動點P

的軌跡為曲線C

⑴求C的方程；

⑵過R(-2,0)的直線I與C交于A,B兩點，且R4=aRB(a>0),若點M滿足AM=aMB，證

明:點航在一條定直線上.

19.已知函數(shù)/(x)=alnx-(a+l)x+gx\

⑴討論/(x)的單調性；

(2)當a=l時，丸(x)=/(x)-工X?+2x+』,數(shù)列{4}滿足乙e(0,1),且(+]=//&)(“eN*),證

2x

明:*J+%3>2/“+2("WN*).

參考答案

1.答案：B

解析：因為復數(shù)z=(2-5i)(-l-2i)=-12+i,所以z對應的點為(-12,1),位于第二象限.故

選B.

2.答案：C

解析：由已知得，若2a+l=3，解得a=1,此時A={1,3},5={0,1,3},符合題意;若

2a+l=a—1,解得a=—2,此時A={1,—3},3={—8,—3,3},不符合題意;若2。+1=3。一2,解

得a=3，此時A={1,7},3={2,3,7},不符合題意.綜上所述:a=1.故選C.

3.答案：C

解析：當2E+—<?<2bi+型(左eZ)時,cos<0,所以cosa<0成立，所以

22',

“2E+]<(z<2E+g(左eZ)"是"coscuWO”的充分條件;當coseWO

時,2E+]KaV2左兀+今(keZ),所以"2E+]<a<24兀+^■(左eZ)“不是

“cosKO”的必要條件.故選C.

4.答案：A

解析：將函數(shù)y=3sin(3x+⑶的圖象向右平移個單位長度得

y=3sin3(x—怖)+。=3sin(3x—1+―,又y=3sin13x—g+9]的圖象關于y軸對稱，

所以一二+9=工+也(左eZ),解得夕=型+也(左eZ),當左=-1時,|如取得最小值巴.故選

3266

A.

5.答案：A

解析：記事件A為在某次通電后〃、N有且只有一個需要更換，事件3為M需要更換，

貝|JP(A)=03x(1—0.2)+(1—0.3)X0.2=0.38,尸(AB)=03x(1—0.2)=0.24,由條件概率公式

日“、P(AB)0.2412"、4

可得尸(對A)=」~乙=——=—.故選AA.

P(A)0.3819

6.答案：D

A

解析：由已知得，直線A3的方程為丁=^^+九設橢圓的焦距為2c(c>0),由題意設點

be"

E(G%),則%=至+萬,即史+，,所以勺E=衛(wèi)二=2"旦又％=2〈羋，所

a\a)caca4

1

>—，即/e＜1.設直線AB的斜率與直線0E的斜率的比值為辦則

4

b

口二瓦為rUr*"又卜(i所以:＜加＜；,故選D

ac

7.答案：A

解析：取SA的中點為。，連接ODQC,則OD//SB，所以/COZ)為直線。。與直線S3所

成的角或補角.取AC的中點為瓦連接OE,SE,因為NBOC=臼,△SAB為正三角形，所以

3

4。，0后,又4。，50,0石|SO=O,OE,SOu平面S。民所以AC,平面SOE.^AO=r,

y/15r

SF—n—,—11

tanZSAE=一=」一=A，所以cosZSAE=—，即cosADAC=—，又△CODZCAD,

AE￡44,

2

所以cos/COD=cosACAD=L故選A.

4

解析：由m+Inm=4,nlnn+n=e3,1^elnw+Inm-4=0,e3-lnn+3-In〃-4=0.令

/(x)=e%+%-4,易得/(x)在(―*+8)上單調遞增，又/(Inm)=/(3—In〃),所以

Inm二3—In幾,所以In(冽幾)=3,所以mn=e3.故選B.

9.答案：AD

解析：若M=2xl(F,N=3xlO",m,〃wZ,則

S(lgM)=m,S(lgN)=n,MN=6義10""",S(lg(iW))=+〃,所以

S(lg(MN))=S(lgM)+S(lgN),故A正確；

若M=2x10"',N=8x10",“eZ,則

W(lgM)=1g2,W(lgN)=1g8,肱V=16x10"*"=1.6x10m+,,+1,W(lg(腦V))=1g1.6,所以

W(lg(MV))=W(lgAf)+W(lgN)不成立，故B錯誤；

若M=2xl(F,N=4xlO",m”Z則

S(lgM)=加，S(lgN)=","=工xl(r-"=5xlO'"fT,skg絲］=機—〃一l,所以

“-N21N)

S11g端=S(lgM)—S(lgN)不成立，故C錯誤；

若M=8x10"',N=2x10",根,“eZ，則

MlgM)=lg8,W(lgN)=lg2,\=|^，=4xl(r-",卬,2］=坨4,所以

w［lg.］=W(lgM)-W(lgN)，所以D正確.故選AD.

10.答案：ACD

解析：由二項式的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，所以C：=C：,解得〃=7,

又展開式的各項系數(shù)之和為2187,即當x=l時,(1+4=2187,解得a=2.則二項式系數(shù)

之和為27=128,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為:xl28=64,故A正確；V+j］的展開

式的通項I+LCK。］告，令14-，=0,解得故展開式中不存在

常數(shù)項，故B錯誤;令14-上廠=4,解得r=4,所以展開式中含/項的系數(shù)為2y=560,故

2

C正確油［2'CR2：C『解得"史e以“以展開式中系數(shù)最大的

2c22七廠33

14-—x5—

項為小=25C"2=672爐,故D正確.故選ACD.

11.答案：BC

解析：拋物線「：丁=以2(。>0)化為標準方程為必=工y,因為R到r的準線/的距離為

a

2'所以《乜所以。小攵A錯誤;

由八；得，「的方程為y十，所以小卜所以直線加的斜率1*2=1,故B正確;

|相>|+|4。|=|4)1+|4可習￡0|=正工=回,當且僅當點4是線段。歹與r的交點

時，等號成立，故C正確;

,2、

不妨設點A在第一象限，則點A，*(玉)>。),所以y'=京所以直線機的斜率左濘'

4

2

所以直線機的方程為丁號=?——化簡可得,2/x-4y-*=0,令x=0,則

22\

-李，所以40,號，因為ACJJ,所以所以

y

7

(2\242/“2

%=1+2所以

|AB|2=^+kj+爭。吐?,|BC\-+-1+才

2|明一(|08|+|80)=2*+?—手=2,片+金一攻―1,故D錯誤.故選BC.

42

12.答案：1

解析：因為a力不共線，所以可設0力為一組基向量，因為(xa+b)ll(a+y。),所以eR,

'x=2

使得xa+>="a+yZO,所以xa+匕=/La+Xyb,,所以《'，消去4，得盯=1.

]=以

13.答案:4

解析：因為』(6—,所以a2b=生十左,因為。力為正數(shù)，所以

c^b=a3*8+b2>2y1a3-b~=2ab4a，即a2b>2ab4a，所以a24,當且僅當t?=〃,即

a=4力=8時取等號，所以。的最小值是4.

14.答案：3

解析：令/(x)=0,貝U4x)—x=2一工一’,令g(x)=r(x)-x,丸(x)=2一”一’,貝|g(x)與h(x)的

88

交點個數(shù)即為/(X)的零點個數(shù).當—1<xW0時,gCO=0—無=—xe[0,1),又

g(x+l)=f(x+D-(x+l)=T(x)-x=g(x),所以g(x)是周期為1的函數(shù),7z(x)在R上單調

所以g（x）與/z（x）有3個交點，故/（X）的零點個數(shù)為3.

15.答案：⑴a—,

7

解析：（1）因為S3="2a“+]-a"=0（"wN*）,

所以反包=；,所以數(shù)列｛4｝是公比為l的等比數(shù)列,

22

7,

=“解得4

所以4=3T

⑵由⑴知優(yōu)=-305=展,

所以r=9+?+[+n—2n—1

2'T

1012n—2n—1

所以51=或+/+夢+-\------------1--------

2"2"i

n-1_1n+1

相減得+1

2"~22向

2

2"-n-1

所以4=

2"

16.答案：(l)E(X)=3.2,Z>(X)=0.64

(2)分布列見解析

解析：(1)由已知得,X~3(4,0.8),

所以E(X)=4xO.8=3.2,

D(X)=4X0.8X(1-0.8)=0.64.

⑵由已知得,X服從超幾何分布，且P(X=k)=C字，左=2,3,4,

Go

所以X的分布列為

X234

281

p

15153

17.答案：(1)證明見解析

⑵博

解析：⑴證明:連接。延長G。交A用于E,連接CE,如圖所示.

EO1

因為。為與C的重心，所以聯(lián)=4

因為ODH平面ABC，ODu平面CC[E,

平面CC]E'平面A5C=CE,

所以OD//EC,

匚匚2CDEO1

所以——=——=-

DC,0G2

⑵取A3的中點為連接EF.

因為三棱柱ABC-是正三棱柱，所以直線EB1,EC1,EF兩兩垂直,

以E為坐標原點，直線股,EC1,所所在的直線分別為x,y,z軸建立空間坐標系，如圖所示.

又"=24g=12,

則Bi(3,0,0),A(-3,0,12),C(0,36,12),D(0,3瓜8),

所以做=(6,0,—12),AC=(3,36,0),DC=(0,0,4).

設平面片AC的法向量〃=(x,y,z),

n-AB,=6x-12z=0,.2

所以1廣令x=2，解得y=-而,z=l,

n-AC=3x+313y=0,

所以平面4AC的一個法向量〃=上—

A/3>

所以-44A/57

lnl19'

I2

即點。到平面瓦AC的距離為生巨

%

2

18.答案：(1?2-5=1

(2)證明見解析

解析：(1)由題意知"”―2)；+.—

2，所以—2)?+>2=2x—]

X——

2

所以V—4x+4+/=4卜-X+；］,

2

化簡得C的方程為入『L

⑵證明:依題意，設4(萬,%),5(孫必)，”(知％)，

①當直線/的斜率為0時,不妨設A(-1,O),5(1,0),

因為R(-2,0),所以7M=(1,0),=(3,0),

所以RA=—RB，從而a=—,

33

則即（x0+l,y°）=；（l-x。,-%）,解得/=-；，%=0,即“[3,0

②當直線I的斜率不為0時，設I的方程為x=O-2,

x=ty-2,

由，y2消去x,得（3產(chǎn)一l）y2—129+9=0,

I3

則3r—1/0且A=144產(chǎn)—4x（3/一1）義9>0,%+%=^-，乂?%，

3t—13t—1

消去見得%（%—"）=%（%—%）,

所以T

12tIt

3i

從而x0=ty0-2=--2=--,

又’;"也在直線x=-：上.

綜上，點”在直線》=-,上.

2

19.答案：(1)在(0,1)上單調遞增，在(1,a)上單調遞減，在(a,+8)上單調遞增

(2)證明見解析

解析：(1)由題意知/'(x)=g_(a+l)+x=x2_("+Dx+a=(x_a)(x_D.當a、0時，令

XX