立體幾何壓軸題十大題型（學(xué)生版）-2024年高考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練

魚體瓜何蕉”真十人q型忙意

壓軸題解讀

本專題考查類型主要涉及點立體幾何的內(nèi)容,主要涉及了立體幾何中的動點問題,外接球

命題預(yù)測內(nèi)切球問題，以及不規(guī)則圖形的夾角問題，新定義問題等。

預(yù)計2024年后命題會繼續(xù)在以上幾個方面進行。

題型01幾何圖形內(nèi)切球、外接球問題題型06幾何中的旋轉(zhuǎn)問題

題型02立體幾何中的計數(shù)原理排列組合問題題型07立體幾何中的折疊問題

高頻考法題型03立體幾何動點最值問題題型08不規(guī)則圖形表面積、體積問題

題型04不規(guī)則圖形中的面面夾角問題題型09立體幾何新定義問題

題型05不規(guī)則圖形中的線面夾角問題題型10立體幾何新考點

高分必搶

星型01幾何圖形內(nèi)切球、外接球問題

解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面,將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程

如下：

（1）定球心:如果是內(nèi)切球,球心到切點的距離相等且為球的半徑;如果是外接球,球心到接點的距離相等且

為半徑；

（2）作截面:選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素

的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結(jié)論:根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程,并求解.________________________

趣白工侈選）（23-24高三下.浙江.開學(xué)考試）如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點A,B,C,D

在同一個平面內(nèi)，如果四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則（）

A.異面直線AE與DF所成角大小為看B.二面角A——C的平面角的余弦值為:

C.此八面體一定存在外接球D.此八面體的內(nèi)切球表面積為萼

題目區(qū)（2024?浙江寧波?二模）在正四棱臺ABCD-4BQQ1中，AB=4,45=2,44產(chǎn)遍，若球。與上

底面ABGA以及棱AB,BC,CD,DA均相切，則球O的表面積為（）

A.9兀B.16兀C.25兀D.36兀

題目3（2024.河北石家莊.二模）己知正方體的棱長為2四,連接正方體各個面的中心得到一個八面體，以正

方體的中心。為球心作一個半徑為平的球,則該球。的球面與八面體各面的交線的總長為（）

A.2遙兀B.當(dāng)⑥兀C.當(dāng)⑥兀D.4V67t

OO

蜃目0（多選）（2022.山東聊城.二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形

狀,則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱

為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的兀倍，已知某圓

柱的底面半徑為2,用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱,得到一個高為6的斜圓柱,對于這個斜圓

柱，下列選項正確的是（）

A.底面橢圓的離心率為卓B.側(cè)面積為240兀

C.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36兀D.底面積為4V27T

痼目回（21-22高三上?湖北襄陽?期中）在正方體ABCD-ABQQi中，球Q同時與以A為公共頂點的三

個面相切,球同時與以G為公共頂點的三個面相切,且兩球相切于點F.若以F為焦點，AB.為準線的拋

物線經(jīng)過Q,，設(shè)球Oi，Q的半徑分別為rY,r2,^\—=

—r2-----

題型02立體幾何中的計數(shù)原理排列組合問題

趣目口（2024.浙江臺州.二模）房屋建造時經(jīng)常需要把長方體磚頭進行不同角度的切割，以契合實際需要.已

知長方體的規(guī)格為24cmX11cmX5cm，現(xiàn)從長方體的某一棱的中點處作垂直于該棱的截面，截取1次后共

可以得到12cmX11cmx5cm,24cmX3cmx5cm,24cmx11cmX■|~cm三種不同規(guī)格的長方體.按照

上述方式對第1次所截得的長方體進行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進行第3次截取,則共可得

到體積為165cm3的不同規(guī)格長方體的個數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.16

:題目區(qū)（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測）在空間直角坐標系。一凝/z中，4（10,0,0）,B（0,10,0）,0（0,0,10）,則三棱

錐O—ABC內(nèi)部整點（所有坐標均為整數(shù)的點,不包括邊界上的點）的個數(shù)為（）

A.&B.ClC.CfoD.Cl

題目區(qū)（2024.重慶.模擬預(yù)測）從長方體的8個頂點中任選4個，則這4個點能構(gòu)成三棱錐的頂點的概率為

（）???

27R29

AB-35。C—

367

題目0（多選）（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，16枚釘子釘成4x4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子,則下列

說法正確的有（不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同）（）

A.可以圍成20個不同的正方形B.可以圍成24個不同的長方形（鄰邊不相等）

C.可以圍成516個不同的三角形D.可以圍成16個不同的等邊三角形

題目回（2024.上海浦東新?模擬預(yù)測）如圖ABCDEF-AFC'DE'F'為正六棱柱，若從該正六棱柱的6個側(cè)

面的12條面對角線中，隨機選取兩條,則它們共面的概率是

題型03立體幾何動點?值同?

空間幾何體中線段和差最值以及幾何體中的軌跡問題,以及線線角和線面角的求解,綜合性較強,難度較大,

解答時要發(fā)揮空間想象,明確空間的位置關(guān)系,結(jié)合空間距離,確定動點的軌跡形狀;結(jié)合等體積法求得點到

平面的距離,結(jié)合線面角的定義求解.

:題目D侈選）（2024.浙江臺州.二模）已知正方體ABCD-ABGR的棱長為1,P為平面ABCD內(nèi)一動點,

且直線DF與平面ABCD所成角為專，E為正方形44。。的中心，則下列結(jié)論正確的是（）

A.點P的軌跡為拋物線

B.正方體,3-人用的的內(nèi)切球被平面&BG所截得的截面面積為專

V3

C.直線CP與平面CD2G所成角的正弦值的最大值為

3

/11-2V6

D.點"■為直線。出上一動點，則MP+ME的最小值為V6

;題目區(qū)（多選）（2024.江蘇揚州.模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A.B.C.D,中，M為平面

4BCD內(nèi)一動點，貝U（）???

A.若Al在線段AB上，則DrM+MC的最小值為74+272

B.平面AC2被正方體內(nèi)切球所截，則截面面積為？

0

C.若GM■與AB所成的角為年，則點/■的軌跡為橢圓

D.對于給定的點過M有且僅有3條直線與直線D1ADQ所成角為60°

:穎目3（多選）（2023?安徽蕪湖膜擬預(yù)測）已知正方體ABC。-4BCA的棱長為2,棱AB的中點為"■，過

點河作正方體的截面a,且BQLa,若點N在截面a內(nèi)運動（包含邊界），則（）

A.當(dāng)|兒叫最大時，上W與BC所成的角為名

B.三棱錐4—BNG的體積為定值得

C.若|DN|=2,則點N的軌跡長度為2兀

D.若NC平面4田81，則|BN|+|NG|的最小值為/6+2代

蜃目目（多選）（2024.福建廈門.一模）如圖所示，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，△4BF和

△IX汨均是等邊三角形，且AB=2V^,EF=cQ>0）4lJ（）

A.EF〃平面ABCD

B.二面角A—EF—B隨著劣的減小而減小

C.當(dāng)BC=2時,五面體ABCDEF的體積V（x）最大值為夸

D.當(dāng)BC=1■時，存在/使得半徑為卓的球能內(nèi)含于五面體ABCDEF

題目回（多選）（2024?廣西南寧?一模）在邊長為2的正方體ABCD—ABG。中，動點加■滿足旃=如布

+a4。+2441，（/,g,zG7?且/>0,g>0,z>0）,下列說法正確的是（）

A.當(dāng)2=1,2=0,夕6[0,1]時，31河+血的最小值為，叵

B.當(dāng)，=g=l,z=；時,異面直線BM與CD.所成角的余弦值為手

C.當(dāng)c+v+z=l,且4河=窄時，則河的軌跡長度為生答

OO

D.當(dāng)c+y=l,z=0時，4W與平面ABB所成角的正弦值的最大值為平

O

題型04不規(guī)則圖形中的面面夾常問星???

利用向量法解決立體幾何中的空間角問題，關(guān)鍵在于依托圖形建立合適的空間直角坐標系,將相關(guān)向量用坐

標表示，通過向量的坐標運算求空間角,其中建系的關(guān)鍵在于找到兩兩垂直的三條直線.

［題目［T］（2024?浙江臺州?二模）如圖，已知四棱臺ABCD-AAC.D,中，AB=3AB，AB//CD,AD±AB,

AB=6,CD=9,40=6,且44產(chǎn)口3=4,Q為線段CG中點，

（1）求證：BQ//平面ADD.A,；

⑵若四棱錐Q-ABBA的體積為普③，求平面ABBA與平面CDD?夾角的余弦值.

O

題目區(qū)（2024?浙江杭州?二模）如圖，在多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，/DAB=60°,BC

=2PQ=4AB=4,M為BC的中點，PQ//BC,PD±DC,QB_LMD.

（1）證明：/ABQ=90°；

（2）若多面體ABCDPQ的體積為三,求平面PCD與平面QAB夾角的余弦值.

???

遁目回（2024.浙江金華.模擬預(yù)測）已知四棱錐P—ABCD的棱的長為四,其余各條棱長均為1.

（1）求四棱錐P—ABCD的體積；

（2）求二面角A-PC-B的大小.

題目回（2024.安徽.二模）將正方形A5CD繞直線逆時針旋轉(zhuǎn)900,使得CD到EF的位置，得到如圖所示

的幾何體.

B

⑴求證：平面ACF±平面BDE；

（2）點加■為DF上一點，若二面角C—的余弦值為力,求/AMD

???

〔題自回（2024.山西.二模）如圖，四棱錐P—ABCD中,二面角P—CD—A的大小為90',/OCF=/DPC<

4，NDAB=AABC=2/ADB=2ZDCB=90",E是PA的中點.

4

⑴求證：平面EBD_L平面PCD；

（2）若直線PD與底面ABCD所成的角為60°,求二面角B—ED—C的余弦值.

題型05不規(guī)則圖形中的線面夾甭向星

「題目|1〕（2024.浙江寧波.二模）在菱形ABCD中，4B=2,/BAD=60°,以AB為軸將菱形ABCD翻折到菱

形ABC.D,,使得平面ABC.D.Y平面ABCD，點E為邊BC.的中點,連接CE,DD?

⑴求證：CE〃平面ADD,；

（2）求直線CE與平面BDD1所成角的正弦值.

???

遁目因（23-24高三下.江蘇泰州.階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，/歷LD=

60°,/XPAD為等邊三角形，點”，N分別為AB,PC的中點.

AMB

⑴證明：直線MN〃平面P4O；

（2）當(dāng)二面角P—AD—C為120°時,求直線與平面PCD所成的角的正弦值.

題目回（23—24高三下.浙江?開學(xué)考試）在三棱錐。-ABC中，AC=3,OC=22,/DCA=45°,CB，

AB,BC=BD=V6.

B

（1）證明:平面ADC±平面ABC；

（2）點E為棱。。上，若BC與平面E4B所成角的正弦值為嗜，求DE的長;

???

遁目回（2022.江西贛州.二模）已知四棱錐P—ABCD中，△ABD、△BCD、八8。？都是正三角形AB=2,

AP=3

（1）求證:平面ACP±平面BDP；

（2）求直線BP與平面ADP所成角的正弦值.

題目回（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，兩兩垂直，點E為AB的中點，點F在線段CD上,且滿足

DF=4CF,AB=EF=2,CD=5.

D

（1）求證:平面ABC±平面ABD.

（2）求直線與平面ACD所成角的正弦值.

???

題型06幾何中的棘問國

［題目工（2024.全國.模擬預(yù)測）如圖，已知長方體ABCD—中，AB=BC=2,44'=2，。為正方形

ABCD的中心點,將長方體ABCD-A^C'D'繞直線OD進行旋轉(zhuǎn).若平面a滿足直線。口與a所成的角

為53°,直線…a,則旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與，夾角的正弦值的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：sin53°-六，

5

cos5302-|-）

題目②（多選）（2024.河北唐山.一模）在透明的密閉正三棱柱容器內(nèi)灌進一些水，已知=

AAt=4.如圖，當(dāng)豎直放置時，水面與地面距離為3.固定容器底面一邊AC于地面上，再將容器按如圖方

向傾斜，至側(cè)面ACG4與地面重合的過程中，設(shè)水面所在平面為a,則（）

A.水面形狀的變化:三角形n梯形=矩形B,當(dāng)G4<=a時,水面的面積為2小

C.當(dāng)BCa時,ZK面與地面的距離為苧D.當(dāng)側(cè)面48出與地面重合時,ZK面的面積為12

［題目①（2024.陜西商洛.模擬預(yù)測）魔方，又叫魯比克方塊,最早是由匈牙利布達佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比

克教授于1974年發(fā)明的機械益智玩具.魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法,風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會

舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一.一個三階魔方，由27個棱長為1的正方體組成，如圖是把魔方

的中間一層轉(zhuǎn)動了45°,則該魔方的表面積增加了.

???

遁目Tj（2024.福建.模擬預(yù)測）在△48。中，/4BC=90°,AB=6,乙4cB的平分線交4B于點。，AD=

2DB.平面a過直線且與△ABC所在的平面垂直.

（1）求直線CD與平面a所成角的大小；

（2）設(shè)點ECa,且/ECD=30°,記E的軌跡為曲線「.

（i）判斷「是什么曲線，并說明理由；

（位）不與直線AB重合的直線，過點。且交「于P,Q兩點,試問：在平面a內(nèi)是否存在定點T,使得無論I繞

點D如何轉(zhuǎn)動，總有NPTC=ZQTC?若存在，指出點T的位置;若不存在，說明理由.

題目J3（多選）（2024?浙江?二模）已知正方體ABCD—的棱長為1,點P是正方形4BQQ1上的

一個動點，初始位置位于點4處，每次移動都會到達另外三個頂點.向相鄰兩頂點移動的概率均為:，向?qū)?/p>

角頂點移動的概率為"I■，如當(dāng)點P在點兒處時，向點回，口移動的概率均為十，向點G移動的概率為

則（）

A.移動兩次后門PCJ=通”的概率為4

O

B.對任意neN*,移動九次后,“P4〃平面BDCJ的概率都小于4

C.對任意neN*,移動九次后，"PC±平面BDG”的概率都小于y

D.對任意外CN*,移動九次后，四面體P—BDCi體積V的數(shù)學(xué)期望E（V）<］（注：當(dāng)點P在平面BDC1

上時，四面體P—BDC,體積為0）???

題型07立體幾何中的折疊問題

［題目工（2020.浙江.模擬預(yù)測）如圖，在△4BC中，乙4BC=90°,4B=1,BC=2,O為線段BC（端點除外）

上一動點.現(xiàn)將沿線段AD折起至△AF。,使二面角F—4D—。的大小為120°,則在點O的移動

過程中，下列說法錯誤的是（）

A.不存在點。，使得C?，48

B.點笈在平面ABC上的投影軌跡是一段圓弧

C.BA與平面力BC所成角的余弦值的取值范圍是（平,1）

D.線段C9的最小值是，

〔題目區(qū)（多選）（23—24高三下?江蘇泰州?階段練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為4,點E在線段上，跳;

=1.沿DE將△ADE折起，使點A翻折至平面BCDE外的點P,則（）

A.存在點P,使得PELB.存在點P,使得直線BC〃平面PDE

C.不存在點P,使得PCLDED.不存在點P,使得四棱錐P—BCDE的體積為8

題目區(qū)（2024.安徽池州.模擬預(yù)測）如圖①，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△EAB與△E4。是兩個全

等的直角三角形，且FA=4,FC與AD交于點G,將Rt^EAB與RtAFAD分別沿AB,AD翻折，使重

合于點P,連接PC,得到四棱錐P—4BCD,如圖②，

（1）證明：3D，PC；

（2）若河為棱PC的中點,求直線與平面PCG所成角的正弦值.

???

;題自0（多選）（2023?浙江嘉興?模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，乙8=拳48=后3。=1,過AC中點”的

直線I與線段AB交于點N.將沿直線I翻折至△4MN，且點4在平面BCMN內(nèi)的射影H在線段

BC上，連接交Z于點0,0是直線Z上異于。的任意一點，則（）

A.AADH>AADC

B.ZADH^Z.AOH

C.點。的軌跡的長度為專

0

D.直線AO與平面BCMV所成角的余弦值的最小值為8V3-13

fell5）（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖1,已知在正方形ABCD中，48=2,“，E,F分別是邊CD,BC,AD

的中點，現(xiàn)將矩形ABEF沿EF翻折至矩形ASEF的位置，使平面ASEF±平面CDFE,如圖2所示.

圖1圖2

（1）證明：平面AEMA.平面AFM；

（2）設(shè)Q是線段AE上一點,且二面角A-FM-Q的余弦值為苧，求費■的值.

???

題型08不規(guī)則圖形衰面積、體積向風(fēng)

解決不規(guī)則圖形的表面積體積問題,注意使用割補法，通過分割與補形的方法,轉(zhuǎn)化成常規(guī)的幾何體進行求

解。

〔題目口（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，已知長方體ABC。一ABCQ1的體積為匕七是棱GA的中點，平面

ABE將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（）

7

A?尹B?尹c-iyD.yV

>1區(qū)（2022.遼寧錦州.一模）2022年北京冬奧會的成功舉辦使北京成為奧運史上第一座“雙奧之城”.其

中2008年北京奧運會的標志性場館之一“水立方”搖身一變成為了“冰立方”.“冰立方”在冬奧會期間承接

了冰壺和輪椅冰壺等比賽項目.“水立方”的設(shè)計靈感來自威爾?弗蘭泡沫，威爾?弗蘭泡沫是對開爾文胞體的

改進,開爾文胞體是一種多面體,它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六

邊形），已知該多面體共有24個頂點，且棱長為2,則該多面體的表面積是（）

開爾文胞體

A.24(73+1)B.24V3+6C.486+24D.16V3+8

???

遁目回（2024.全國.模擬預(yù)測）如圖，已知正方體4BCD—ABQQi和正四棱臺4BCD—4乙。?，中，4

B-2—2AB—4,AA2—V11.

D\C

A2B2

⑴求證：CA2//平面ABC。;

⑵若河是線段BBi的中點,求三棱錐M-A2B2C2的表面積.

，題目④（2024.江蘇常州.一模）如圖,正四棱柱ABCD-的底面邊長為1,高為2,點河是棱CG上

一個動點（點M與GG均不重合）.

⑴當(dāng)點M是棱CG的中點時，求證:直線人加，平面BjJWR；

（2）當(dāng)平面"將正四棱柱ABCD—ABQ12分割成體積之比為1:2的兩個部分時，求線段MC的長度.

???

遁目回（多選）（2024.安徽蕪湖.二模）如圖,多面體PS—ABCD由正四棱錐P—ABCD和正四面體S—

PBC組合而成，其中PS=L則下列關(guān)于該幾何體敘述正確的是（）

A.該幾何體的體積為空

B.該幾何體為七面體

C.二面角A—PB—C的余弦值為一力D.該幾何體為三棱柱

題型09立體幾何新定義同醫(yī)

立體幾何新定義問題,解題關(guān)鍵是理解新定義，能夠構(gòu)建合適的空間直角坐標系,解決相應(yīng)問題.

Ml0（多選）（23—24高三上.河北.期末）球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖，球

。的半徑為R,A,B,。為球面上三點，劣弧3C的弧長記為a,設(shè)表示以O(shè)為圓心，且過B,。的圓，同

理，圓a，a的劣弧AC，的弧長分別記為6,C,曲面ABC（陰影部分）叫做曲面三角形，若a=6=c，則

稱其為曲面等邊三角形，線段OA,OB,與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面O

-ABC.設(shè)=則下列結(jié)論正確的是（）

A.若平面△ABC是面積為辛&的等邊三角形，則a=b=c=R

B.若a2+/=c2,則/+/=/

C.若a=b=c=菅七則球面O-ABC的體積V+冬費

D.若平面△ABC為直角三角形,且AACB=-y，則a2+b2>c2

???

遁目因（2022.安徽合肥.模擬預(yù)測）已知頂點為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點S的平面&相

交，記交線為C,圓錐S的軸線Z與平面。所成角。是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角6的一半,

為探究曲線。的形狀，我們構(gòu)建球T,使球T與圓錐S和平面a都相切，記球T與平面a的切點為直線Z

與平面a交點為4直線AF與圓錐S交點為O,圓錐S的母線OS與球T的切點為Al,|QW|=a，血⑸=

b.

⑴求證:平面SOA_L平面a,并指出a,b,。關(guān)系式;

（2）求證：曲線。是拋物線.

???

遁目回（2022.遼寧沈陽.二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去

三個相等的三棱錐H-ABC,J-CDE,K-EFA,再分別以A。，CE,EA為軸將4ACH,△CEJ,&EAK

分別向上翻轉(zhuǎn)180°,使三點重合為點S所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂

空間的彎曲度可用曲率來刻畫,定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和,而每一頂點的

曲率規(guī)定等于2兀減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表

示）.例如:正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是名，所以正四面體在各頂點的曲率為2兀一3x^=

JO

兀.

⑴求蜂房曲頂空間的彎曲度；

（2）若正六棱柱底面邊長為1,側(cè)棱長為2，設(shè)BH=x

（i）用C表示峰房（圖2右側(cè)多面體）的表面積SQ）；

（近）當(dāng)峰房表面積最小時,求其頂點S的曲率的余弦值.

???

量目⑷（2024.山東濟南?一模）在空間直角坐標系。一xyz中，任何一個平面的方程都能表示成Ax+By+

Cz+。=0,其中AB,C,_DeR,A2+B2+CM0,且五=（AB,。）為該平面的法向量.已知集合P=

{{x,y,z）\\x\<1,\y\<1,|2：|<1},Q={（c,g,z）||c|+|引+|z|W2},T=

{{x,y,z）\\x\+|y|<2,|y|+|z|<2,|z|+—{2}.

（i）設(shè)集合{（c,：y,z）|z=o},記pn朋■中所有點構(gòu)成的圖形的面積為Si，QC”中所有點構(gòu)成的圖形的

面積為S2,求S1和S2的值；

（2）記集合Q中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為4,PCQ中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為％，求4和%的

值：

（3）記集合T中所有點構(gòu)成的幾何體為W.

①求W的體積%的值；

②求W的相鄰（有公共棱）兩個面所成二面角的大小,并指出W的面數(shù)和棱數(shù).

???

Ql。2。3

［題目回（2024云南?模擬預(yù)測）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運算的算法，其運算法則如下：仇

b匕3

2二Q1

C1。2C3

->->

1jk

62。3+。2匕3。1+。3ble2一。3b2。1一。2ble3一。也。2?若日X族=力1y〔zi，則稱日X書為空間向量江與書的叉乘，其中

劣2統(tǒng)Z2

a=x1i+yj+z需㈣,%,2住R),t=x2i+y2j+z^,(x2,y2,z2ER),｛孑，多，科為單位正交基底.以。為坐標

原點,分別以孑了用的方向為立軸、？/軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，已知是空間直角坐標系中

異于O的不同兩點.

⑴①若4（0,2,1）,B（—1,3,2）,求血

②證明：恐Nx屈+屈x=6.

（2）記△AQB的面積為S^OB，證明：SM°B=y|OAxOB\；

（3）問：（H?x加尸的幾何意義表示以△AOB為底面、|瓦？x方同為高的三棱錐體積的多少倍？

題型10立體幾何新考點

題目—）（2024?河北滄州?一模）如圖，在正三棱錐A-BCD中，BC=CD=RD=4,點P滿足AP=AAC,A

6（0,1）,過點P作平面a分別與棱AB,BD,CD交于Q,S,T三點，且AD〃&,BC〃a.

（1）證明：V4e（0,1）,四邊形PQST總是矩形；

（2）若AC=4,求四棱錐C-PQST體積的最大值.

???

遁目因（2022.全國.模擬預(yù)測）如圖1,在矩形ABQQ中，B,。分別為AB】，CQ的中點，且AB=3C=1,

現(xiàn)將矩形沿B。翻折，得到如圖2所示的多面體ABCDBiG.

（1）當(dāng)二面角A-BG—C的大小為60°時,證明：多面體ABCDBG為正三棱柱；

（2）設(shè)點A關(guān)于平面C.BD的對稱點為P,當(dāng)該多面體ABCDBG的體積最大時,求三棱錐P-ABC的體

積.

題目①（23-24高三下?浙江金華?階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC—中，A4BC是邊長為2的正三角

形，側(cè)面是矩形，44產(chǎn)AB.

B

（1）求證:三棱錐力i-ABC是正三棱錐；

（2）若三棱柱ABC-456的體積為2卷,求直線AG與平面44田田所成角的正弦值.

???

遁目回（2023?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）正錐體具有良好的對稱性.

（1）在正三棱錐P—ABC中，證明：P4LBC；

（2）已知正棱錐P-入/2“人心請在下列兩個條件中，選擇一個命題填到上，并證明:

①當(dāng)k=2九+1,九eZ+時,存在me{l,2,---,fc—1},使得PAr.LAmAm+1；

②當(dāng)k=2九+2,neZ+時，不存在Me{1,2,…次一1},使得P4」4nAm+r

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

Mi回（23-24高三下.江蘇蘇州.階段練習(xí)）甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對象，設(shè)棱長為71,

若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形,定義隨機變量

X的值為其三角形的面積;若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條,定義隨機變量￡

的值為這兩條棱的夾角大小（弧度制）；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條,定義隨機變量/的值為這兩條

棱的夾角大?。ɑ《戎疲?

（1）比較三種隨機變量的數(shù)學(xué)期望大??；（參考數(shù)據(jù)arctanv弓g0.3661,arctan（—會）0.2677,arctan2V2

0.3918）

⑵現(xiàn)單獨研究棱長n,記（,+1）義卜+十）x…x（,+：）m>2且nCN*）,其展開式中含，項的系數(shù)為

S”,含/項的系數(shù)為Tn.

①若差=ari'+bn+c