上海教育版數(shù)學(xué)七下《等腰三角形》教案

教學(xué)目標(biāo)1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性質(zhì)．3．等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用．教學(xué)重點(diǎn)1．等腰三角形的概念及性質(zhì)．2．等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用．教學(xué)方法探究歸納法．教學(xué)過程Ⅰ．知識回顧，在前面的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識了軸對稱圖形，探究了軸對稱的性質(zhì)，并且能夠作出一個簡單平面圖形關(guān)于某一直線的軸對稱圖形，還能夠通過軸對稱變換來設(shè)計一些美麗的圖案．這節(jié)課我們就是從軸對稱的角度來認(rèn)識一些我們熟悉的幾何圖形．來研究：①三角形是軸對稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對稱圖形？有的三角形是軸對稱圖形，有的三角形不是．那什么樣的三角形是軸對稱圖形？滿足軸對稱的條件的三角形就是軸對稱圖形，也就是將三角形沿某一條直線對折后兩部分能夠完全重合的就是軸對稱圖形．我們這節(jié)課就來認(rèn)識一種成軸對稱圖形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．導(dǎo)入新課同學(xué)們通過自己的思考來做一個等腰三角形．作一條直線L，在L上取點(diǎn)A，在L外取點(diǎn)B，作出點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)C，連結(jié)AB、BC、CA，則可得到一個等腰三角形．A點(diǎn)可以取直線L上的任意一點(diǎn)．按這種方法我們可以得到一系列的等腰三角形．現(xiàn)在同學(xué)們拿出自己準(zhǔn)備的硬紙和剪刀，按自己設(shè)計的方法，也可以用課本探究中的方法，剪出一個等腰三角形．按照我們的做法，可以得到等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．同學(xué)們在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底邊、頂角和底角．有了上述概念，同學(xué)們來想一想．1．等腰三角形是軸對稱圖形嗎？請找出它的對稱軸．2．等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系？3．頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？4．底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？底邊上的高所在的直線呢？等腰三角形是軸對稱圖形．它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．因?yàn)榈妊切蔚膬裳嗟龋园堰@兩條腰重合對折三角形便知：等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．同學(xué)們把自己做的等腰三角形進(jìn)行折疊，找出它的對稱軸，并看它的兩個底角有什么關(guān)系．它們是同一條直線．現(xiàn)在同學(xué)們來歸納等腰三角形的性質(zhì)．沿等腰三角形的頂角的平分線對折，發(fā)現(xiàn)它兩旁的部分互相重合，由此可知這個等腰三角形的兩個底角相等，而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高．等腰三角形的性質(zhì)：1．等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．2．等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）．由上面折疊的過程獲得啟發(fā)，我們可以通過作出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形的全等來證明這些性質(zhì)．同學(xué)們現(xiàn)在就動手來寫出這些證明過程）．（演示課件）[例1]如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度數(shù)．根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，我們可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形內(nèi)角和為180°，就可求出△ABC的三個內(nèi)角．如果我們在解的過程中把∠A設(shè)為x的話，那么∠ABC、∠C都可以用x來表示，這樣過程就更簡捷．（課件演示）[例]因?yàn)锳B=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等邊對等角）．設(shè)∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x，從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．Ⅲ．隨堂練習(xí)（一）課本P143練習(xí)1、2、3．練習(xí)如下圖，在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數(shù)．答案：（1）72°（2）30°如右圖，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底邊BC上的高，標(biāo)出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度數(shù)，圖中有哪些相等線段？答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．如右圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù)．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）閱讀課本，然后小結(jié)．Ⅳ．課時小結(jié)這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質(zhì)，并對性質(zhì)作了簡單的應(yīng)用．等腰三角形是軸對稱圖形，它的兩個底角相等（等邊對等角），等腰三角形的對稱軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高．我們通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先就是要理解并掌握這些性質(zhì)，并且能夠靈活應(yīng)用它們．Ⅴ．課后作業(yè)（一）課本P149─1、3、4、8題．（二）1．預(yù)習(xí)課本．2．預(yù)習(xí)提綱：等腰三角形的判定．Ⅵ．活動與探究如右圖，在△ABC中，過C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，DE∥AB交AC于E．求證：AE=CE．過程：通過分析、討論，讓學(xué)生進(jìn)一步了解全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)．結(jié)果：證明：延長CD交AB的延長線于P，如右圖，在△ADP和△ADC中∴△ADP≌△ADC．∴∠P=∠ACD．又∵DE∥AP，∴∠4=∠P．∴∠4=∠ACD．∴DE=EC．同理可證：AE=DE．∴AE=CE．板書設(shè)計§14．3．1．1等腰三角形（一）一、設(shè)計方案作出一個等腰三角形二、等腰三角形性質(zhì)1．等邊對等角2．三線合一三、例題分析四、隨堂練習(xí)五、課時小結(jié)六、課后作業(yè)備課資料參考練習(xí)一、選擇題1．如果△ABC是軸對稱圖形，則它的對稱軸一定是（）A．某一條邊上的高;B．某一條邊上的中線C．平分一角和這個角對邊的直線;D．某一個角的平分線2．等腰三角形的一個外角是100°，它的頂角的度數(shù)是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C2．C二、已知等腰三角形的腰長比底邊多2cm，并且它的周長為16cm．求這個等腰三角形的邊長．解：設(shè)三角形的底邊長為xcm，則其腰長為（x+2）cm，根據(jù)題意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三邊長為4cm、6cm和6cm．§14．3．1．2等腰三角形（二）第八課時教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識點(diǎn)探索等腰三角形的判定定理．（二）能力訓(xùn)練要求探索等腰三角形的判定定理，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對稱的特征，發(fā)展空間觀念．（三）情感與價值觀要求通過對等腰三角形的判定定理的探索，讓學(xué)生體會探索學(xué)習(xí)的樂趣，并通過等腰三角形的判定定理的簡單應(yīng)用，加深對定理的理解．從而培養(yǎng)學(xué)生利用已有知識解決實(shí)際問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)等腰三角形的判定定理及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)探索等腰三角形的判定定理．教學(xué)方法講練結(jié)合法．教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影儀．教學(xué)過程Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，那么滿足了什么樣的條件就能說一個三角形是等腰三角形呢？這就是我們這節(jié)課要研究的問題．Ⅱ．導(dǎo)入新課同學(xué)們看下面的問題并討論：思考：如圖，位于在海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險船只的報警，當(dāng)時測得∠A=∠B．如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能大約同時趕到出事地點(diǎn)（不考慮風(fēng)浪因素）？在一般的三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關(guān)系？現(xiàn)在我們把這個問題一般化，在一般的三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關(guān)系？[師]為什么它們所對的邊相等呢？同學(xué)們思考一下，給出一個簡單的證明．[例1]已知：在△ABC中，∠B=∠C（如圖）．求證：AB=AC．證明：作∠BAC的平分線AD．在△BAD和△CAD中∴△BAD≌△CAD（AAS）．∴AB=AC．在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊也是相等，也就說這個三角形就是等腰三角形．也就是如何來判定一個三角形是等腰三角形．（演示課件）等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．通過幾個例題來初步學(xué)習(xí)等腰三角形判定定理的簡單運(yùn)用．（演示課件）[例2]求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．這個題是文字?jǐn)⑹龅淖C明題，我們首先得將文字語言轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)語言，再根據(jù)題意畫出相應(yīng)的幾何圖形．已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如圖）．求證：AB=AC．（演示課件，括號內(nèi)部分由學(xué)生來填）證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角對等邊）．[例3]如圖（1），標(biāo)桿AB的高為5米，為了將它固定，需要由它的中點(diǎn)C向地面上與點(diǎn)B距離相等的D、E兩點(diǎn)拉兩條繩子，使得D、B、E在一條直線上，量得DE=4米，繩子CD和CE要多長？這是一個與實(shí)際生活相關(guān)的問題，解決這類型問題，需要將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型．本題是在等腰三角形中已知等腰三角形的底邊和底邊上的高，求腰長的問題．解：選取比例尺為1：100（即為1cm代表1m）．（1）作線段DE=4cm；（2）作線段DE的垂直平分線MN，與DE交于點(diǎn)B；（3）在MN上截取BC=2.5cm；（4）連接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的長，就可以算出要求的繩長．Ⅲ．隨堂練習(xí)（一）課本P1451、2、3．1．如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分別計算∠1、∠2的度數(shù)，并說明圖中有哪些等腰三角形．答案：∠1=72°，∠2=36°．等腰三角形有：△ABC、△ABD、△BCD．2．如圖，把一張矩形的紙沿對角線折疊．重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？答案：是等腰三角形．因?yàn)?，如圖可證∠1=∠2．3．如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB∥DC，OA=OB，求證：OC=OD．答案：證明：∵OA=OB，∴∠A=∠B．又∵AB∥DC，∴∠A=∠C，∠B=∠D．∴∠C=∠D．∴OC=OD（等角對等邊）．（二）補(bǔ)充練習(xí)：如圖，在△ABD中，C是BD上的一點(diǎn)，且AC⊥BD，AC=BC=CD．（1）求證：△ABD是等腰三角形．（2）求∠BAD的度數(shù)．答案：（1）證明：∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°．又∵AC=AC，BC=CD，∴△ACB≌△ACD（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．∴△ABD是等腰三角形．（2）解：由（1）可知AB=AD，∴∠B=∠D．又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，AC=CD．∴∠D=∠DAC（等邊對等角）．在△ABD中，∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°，∴2（∠BAC+∠DAC）=180°．∴∠BAC+∠DAC=90°，即∠BAD=90°．（鼓勵學(xué)生思考其他解法）Ⅳ．課時小結(jié)本節(jié)課我們主要探究了等腰三角形判定定理，并對判定定理的簡單應(yīng)用作了一定的了解．在利用定理的過程中體會定理的重要性．在直觀的探索和抽象的證明中發(fā)現(xiàn)和養(yǎng)成一定的邏輯推理能力．Ⅴ．課后作業(yè)（一）課本P149─2、4、5、9、13題．（二）預(yù)習(xí)．Ⅵ．活動與探究[探究1]等腰三角形兩底角的平分線相等．過程：利用等腰三角形的性質(zhì)即等邊對等角，全等三角形的判定及性質(zhì)．結(jié)果：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分線．求證：BD=CE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角）．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2，∴△BDC≌△CEB（ASA）．∴BD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．[探究2]等腰三角形兩腰上的高相等．過程：同探究1．結(jié)果：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分別是△ABC的高．求證：BE=CF．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角）．又∵BE、CF分別是△ABC的高，∴∠BFC=∠CEB=90°．在△BFC和△CEB中，∵∠ABC=∠ACB，∠BFC=∠CEB，BC=CB，∴△BFC≌△CEB（AAS）．∴BE=CF．[探究3]等腰三角形兩腰上的中線相等．過程：同探究1．結(jié)果：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分別是兩腰上的中線．求證：BD=CE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角）．又∵CD=AC，BE=AB，∴CD=BE．在△BEC和△CDB中，∵BE=CD，∠ABC=∠ACB，BC=CB，∴△BEC≌△CDB（SAS）．∴BD=CE．板書設(shè)計§14．3．1．2等腰三角形（一）一、等腰三角形的判定定理──等角對等邊二、等腰三角形判定定理的應(yīng)用三、隨堂作業(yè)四、課時小結(jié)五、課后作業(yè)備課資料墻上釘了一根木條，小明想檢驗(yàn)這根木條是否水平．他拿來一個如下圖所示的測平儀，在這個測平儀中，AB=AC，BC邊的中點(diǎn)D處掛了一個重錘．小明將BC邊與木條重合，觀察此時重錘是否通過A點(diǎn)．如果重錘過A點(diǎn)，那么這根木條就是水平的．你能說明其中的道理嗎？答案：根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，等腰三角形ABC底邊BC上的中線DA應(yīng)垂直于底邊BC（即木條），如果重錘過點(diǎn)A，說明直線AD垂直于水平線，那么木條就是水平的．根據(jù)是平面內(nèi)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．§14．3．2．1等邊三角形（一）第九課時教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識點(diǎn)經(jīng)歷探索等腰三角形成為等邊三角形的條件及其推理證明過程．（二）能力訓(xùn)練要求1．經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維．2．經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明的數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)．（三）情感與價值觀要求1．積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲．2．在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心．教學(xué)重點(diǎn)等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明．教學(xué)難點(diǎn)1．等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明．2．引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題．教學(xué)方法探索發(fā)現(xiàn)法．教具準(zhǔn)備多媒體課件，投影儀．教學(xué)過程Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境我們在前兩節(jié)課研究證明了等腰三角形的性質(zhì)和判定定理，我們知道，在等腰三角形中有一種特殊的等腰三角形──三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形．回答下面的三個問題．（演示課件）1．把等腰三角形的性質(zhì)用到等邊三角形，能得到什么結(jié)論？2．一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形？3．你認(rèn)為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？把你的證明思路與同伴交流．（教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時間）Ⅱ．導(dǎo)入新課探索等腰三角形成等邊三角形的條件．如果等腰三角形的頂角是60°，那么這個三角形是等邊三角形．這個結(jié)論的證明對學(xué)生來說可能有一定的難點(diǎn)，難點(diǎn)是意識到分別討論60°的角是底角和頂角兩種情況．這是一種分類討論的思想，教師要關(guān)注學(xué)生得出證明思路的過程，引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題，并有意識地向?qū)W生滲透分類的思想方法今天，我們探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等邊三角形的判定定理；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，我們在證明這個定理的過程中，還得出了三個角都相等的三角形是等邊三角形．下面就請同學(xué)們來證明這個結(jié)論．已知：如圖，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=∠B，∴BC=AC（等角對等邊）．又∵∠A=∠C，∴BC=AC（等角對等邊）．∴AB=BC=AC，即△ABC是等邊三角形．我們由等腰三角形的性質(zhì)和判定方法就可以得到．（演示課件）等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°；三個角都相等的三角形是等邊三角形．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．有了上述結(jié)論，我們來學(xué)習(xí)下面的例題，體會上述定理．（演示課件）[例4]如圖，課外興趣小組在一次測量活動中，測得∠APB=60°，AP=BP=200m，他們便得出一個結(jié)論：A、B之間距離不少于200m，他們的結(jié)論對嗎？分析：我們從該問題中抽象出△APB，由已知條件∠APB=60°且AP=BP，由本節(jié)課探究結(jié)論知△APB為等邊三角形．解：在△APB中，AP=BP，∠APB=60°，所以∠PAB=∠PBA=（180°-∠APB）=（180°-60°）=60°．于是∠PAB=∠PBA=∠APB．從而△APB為等邊三角形，AB的長是200m，由此可以得出興趣小組的結(jié)論是正確的．Ⅲ．隨堂練習(xí)（一）課本P147練習(xí)1、2．1．等邊三角形是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？它們分別是什么線段？答案：等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，它們分別是三個角的平分線（或是三條邊上的中線或三條邊上的高線）．2．如圖，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，圖中有哪些與BD相等的線段？答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF．（二）補(bǔ)充練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，∠B和∠C的平分線相交于D，BD、CD的垂直平分線分別交BC于E、F，求證：BE=CF．證明：連結(jié)DE、DF，則BE=DE，DF=CF．由△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，得∠1=30°，故∠2=30°，從而∠DEF=60°．同理∠DFE=60°，故△DEF是等邊三角形．DE=DF，因而BE=CF．Ⅳ．課時小結(jié)這節(jié)課，我們自主探索、思考了等腰三角形成為等邊三角形的條件，并對這個結(jié)論的證明有意識地滲透分類討論的思想方法．這節(jié)課我們學(xué)的定理非常重要，在我們今后的學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用．Ⅴ．課后作業(yè)（一）課本P149─5、6、7、10題．（二）預(yù)習(xí)．Ⅵ．活動與探究探究：如圖，在等邊三角形ABC的邊AB、AC上分別截取AD=AE．△ADE是等邊三角形嗎？試說明理由．過程：通過分析、討論，讓學(xué)生進(jìn)一步了解等邊三角形的性質(zhì)及判定．結(jié)果：已知：三角形ABC為等邊三角形．D、E為邊AB、AC上兩點(diǎn)，且AD=AE．判斷△ADE是否是等邊三角形，并說明理由．解：△ADE是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°．又∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形．∴△ADE是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．板書設(shè)計§14．3．2．1等邊三角形（一）一、探索等邊三角形的性質(zhì)及判定問題：一個等腰三角形滿足什么條件時便成為等邊三角形二、等邊三角形的性質(zhì)及判定三、應(yīng)用例題講解四、隨堂練習(xí)五、課時小結(jié)六、課后作業(yè)備課資料等腰三角形（含等邊三角形）的性質(zhì)與判定．性質(zhì)判定的條件等腰三角形（含等邊三角形）等邊對等角等角對等邊“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形的三個角都相等，且每個角都是60°三個角都相等的三角形是等邊三角形參考例題1．已知，如圖，房屋的頂角∠BAC=100°，過屋頂A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求頂架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數(shù)．解：在△ABC中，∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等邊對等角）．∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=40°（三角形內(nèi)角和定理）．又∵AD⊥BC（已知），∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合）．∴∠BAD=∠CAD=50°．2．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD．求證：DB=DE．證明：∵△ABC是等邊三角形，且BD是中線，∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CD=CE，∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°．∴∠DBC=∠E．∴DB=DE．3．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E．求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形（已知），∴∠A=∠B=∠C（等邊三角形各角相等）．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（兩直線平行，同位角相等）．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形（三個角都相等的三角形是等邊三角形）．§14．3．2．2等邊三角形（二）第十課時教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識點(diǎn)1．探索──發(fā)現(xiàn)──猜想──證明直角三角形中有一個角為30°的性質(zhì)．2．有一個角為30°的直角三角形的性質(zhì)的簡單應(yīng)用．（二）能力訓(xùn)練要求1．經(jīng)歷“探索──發(fā)現(xiàn)──猜想──證明”的過程，引導(dǎo)學(xué)生體會合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系．2．培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)的習(xí)慣和能力．（三）情感與價值觀要求1．鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲．2．體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動中的探索與創(chuàng)新、感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．教學(xué)重點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明．教學(xué)難點(diǎn)1．含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明．2．引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題．教學(xué)方法探索發(fā)現(xiàn)法．教具準(zhǔn)備兩個全等的含30°角的三角尺；多媒體課件；投影儀．教學(xué)過程Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境我們學(xué)習(xí)過直角三角形，今天我們先來看一個特殊的直角三角形，看它具有什么性質(zhì)．大家可能已猜到，我讓大家準(zhǔn)備好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性質(zhì)呢？問題：用兩個全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？你能證明你的結(jié)論嗎？Ⅱ．導(dǎo)入新課（讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時引導(dǎo)學(xué)生意識到，通過實(shí)際操作探索出來的結(jié)論，還需要給予證明）其中，圖（1）是等邊三角形，因?yàn)椤鰽BD≌△ACD，所以AB=AC，又因?yàn)镽t△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．圖（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等邊三角形．圖（1）是等邊三角形．由此能得出在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系。在直角三角形中，30°角所對直角邊是斜邊的一半．定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB．分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，則∠B=60°．延長BC至D，使CD=BC，連接AD（如下圖）∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．∴△ABD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．∴BC=BD=AB．這個定理在我們實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，因?yàn)樗山堑奶厥庑?，揭示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關(guān)系，下面我們就來看一個例題．（演示課件）[例5]右圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多長？分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△AED與Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中點(diǎn)，所以DE=AB．解：因?yàn)镈E⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知BC=AB，DE=AD，所以BD=×7.4=3.7（m）．又AD=AB，所以DE=AD=×3.7=1.85（m）．答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m．[例6]等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的長．分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一個外角，則∠DAC=15°×2=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半，可求出CD．解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）．Ⅲ．隨堂練習(xí)（一）課本練習(xí)Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？邊AB與BC之間有什么關(guān)系？答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC．（二）補(bǔ)充練習(xí)1．已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求證：BD=AB．證明：在Rt△ABC中，∠A=30°，∴BC=AB．在Rt△BCD中，∠B=60°，∴∠BCD=30°．∴BD=BC．∴BD=AB．2．已知直角三角形的一個銳角等于另一個銳角的2倍，這個角的平分線把對邊分成兩條線段．求證：其中一條是另一條的2倍．