4.1因式分解（同步課件）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課堂（北師大版）

北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第四章因式分解1因式分解學(xué)習(xí)目標(biāo)1.解掌握因式分解的意義，會(huì)判斷一個(gè)變形是否為因式分解.（重點(diǎn)）2.理解因式分解與整式乘法之間的聯(lián)系與區(qū)別.（難點(diǎn)）一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

你能把993-99化成幾個(gè)整數(shù)乘積的形式嗎？類似地，你能把a(bǔ)3-a化成幾個(gè)整式的乘積的形式嗎？

本章將研究如何把一個(gè)多項(xiàng)式分解成若干整式的乘積的形式，你將體會(huì)到這一過程與整式乘法運(yùn)算的聯(lián)系.二、自主合作，探究新知探究一：因式分解的定義想一想：993-99能被100整除嗎？你是怎樣想的？與同伴進(jìn)行交流.所以，993-99能被100整除.993-99還能被哪些正整數(shù)整除?小明是這樣做的：在這里，解決問題的關(guān)鍵是把一個(gè)數(shù)式化成了幾個(gè)數(shù)的積的形式.二、自主合作，探究新知議一議：你能把a(bǔ)3-a化成幾個(gè)整式的乘積的形式嗎？與同伴交流.a3-a

=a(a2-1)

在這里，解決問題的關(guān)鍵是把一個(gè)整式化成了幾個(gè)整式的積的形式.逆用平方差公式=a(a+1)(a-1).

=

.二、自主合作，探究新知做一做：觀察下列拼圖過程，寫出相應(yīng)的關(guān)系式.a+b+cmambmcm(1)xxx111x1(2)x+1x+1

=

.ma+mb+mcm(a+b+c)x2+2x+1(x+1)2思考：觀察以下等式，它們有什么共同特點(diǎn)？x2+2x+1=(x+1)2.ma+mb+mc=m(a+b+c)

,a3-a

=

a(a+1)(a-1),二、自主合作，探究新知多項(xiàng)式整式的積你能總結(jié)出因式分解的定義嗎？像這樣的變形叫做因式分解.二、自主合作，探究新知知識(shí)要點(diǎn)

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也可稱為分解因式.其中，每個(gè)整式都叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式.因式分解的定義二、自主合作，探究新知典型例題例1：下列從左到右的變形中是因式分解的有(

)①x2-y2-1＝(x+y)(x-y)-1；

②x3+x＝x(x2+1)；③(x-y)2＝x2-2xy+y2；

④x2-9y2＝(x+3y)(x-3y).A.1個(gè)

B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析：①?zèng)]把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故①不是因式分解；②把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故④是因式分解.故選B.B二、自主合作，探究新知判定一個(gè)變形是因式分解的條件：(1)左邊是多項(xiàng)式；(2)右邊是積的形式；

(3)右邊的因式全是整式.方法總結(jié)根據(jù)左面算式填空:(1)3x2-3x=_________;(2)ma+mb+mc=_________;(3)m2-16=__________;(4)y2-6y+9=________.計(jì)算下列各式:(1)

3x(x-1)=__,(2)

m(a+b+c)=______,(3)(m+4)(m-4)=_____,(4)(y-3)2=

.做一做：二、自主合作，探究新知3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+93x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)(y-3)2整式乘法因式分解探究二：因式分解與整式乘法的關(guān)系二、自主合作，探究新知想一想：因式分解與整式乘法有什么關(guān)系？多項(xiàng)式幾個(gè)整式的積因式分解整式乘法因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式.因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式.

二、自主合作，探究新知典型例題C二、自主合作，探究新知例3：若多項(xiàng)式x2+ax+b分解因式的結(jié)果為a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值.解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)

=ax2+ax-6a.

∴a=1，b=﹣6a=﹣6.方法歸納：對(duì)于此類問題，掌握因式分解與整式乘法為互逆運(yùn)算是解題關(guān)鍵，應(yīng)先把分解因式后的結(jié)果乘開，再與多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)比較即可.典型例題1.下列各式由左到右的變形中,屬于因式分解的是(

)A.a(m+n)=am+anB.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-xy+y2=(x-y)2C2.(m+2n)(m-2n)是下列哪個(gè)多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果()

A.m2+4n2

B.-m2+4n2C.m2-4n2

D.-m2-4n2C三、即學(xué)即練，應(yīng)用知識(shí)3.利用因式分解簡(jiǎn)便計(jì)算57×99+44×99-99,正確的是 (

)A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198三、即學(xué)即練，應(yīng)用知識(shí)B4.若多項(xiàng)式x2+mx+n因式分解的結(jié)果為(x-3)·(x+1),則m,n的值分別為(

)A.2,3 B.-2,3C.2,-3D.-2,-3D6.如圖所示，由一個(gè)邊長(zhǎng)為a的小正方形與兩個(gè)長(zhǎng)、寬分別為a，b的小長(zhǎng)方形拼接成一個(gè)大長(zhǎng)方形，則利用整個(gè)圖形可表示出一些有關(guān)多項(xiàng)式因式分解的等式，請(qǐng)你寫出任意一個(gè)表示因式分解的等式:

.三、即學(xué)即練，應(yīng)用知識(shí)a2+2ab=a(a+2b)5.對(duì)于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by從左到右的變形是

，從右到左的變形是

.整式乘法因式分解三、即學(xué)即練，應(yīng)用知識(shí)7.小明在解答“因式分解:(1)3x2-9x+3;(2)9x2-4.”這道題目時(shí),是這樣做的:解:(1)3x2-9x+3=3(x2-6x+1).(2)9x2-4=(3x+2)(3x-2).請(qǐng)你利用因式分解與整式乘法的關(guān)系,判斷小明分解得對(duì)不對(duì).解:(1)因?yàn)?(x2-6x+1)=3x2-18x+3≠3x2-9x+3,所以小明分解得不對(duì).(2)因?yàn)?3x+2)(3x-2)=(3x)2-4=9x2-4,所以小明分解得對(duì).三、即學(xué)即練，應(yīng)用知識(shí)8.通過計(jì)算說明255+511能否被30整除.解:原式=510+511=510+5×510=6×510=6×5×59=30×59.∵30×59能被30整除,∴255+511能被30整除.因式分解因式分解與整式乘法的關(guān)系定義四、課堂小結(jié)互為逆運(yùn)算.因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積；整式乘法是把幾個(gè)整式的乘積化為一個(gè)多項(xiàng)式.

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解，也可稱為分解因式.其中，每個(gè)整式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式.

五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)2.下列多項(xiàng)式中，分解因式的結(jié)果為-(x+y)(x-y)的是（）A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2

C．x2+y2

D．﹣x2﹣y2BA4.如圖所示，將兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形(它的直角邊等于前兩個(gè)直角三角形的斜邊)拼接成一個(gè)梯形,請(qǐng)根據(jù)拼接前后圖形面積的關(guān)系寫出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解:

.3.若(x-3)(x+5)是x2+px+q因式分解的結(jié)果，則p的值為

.五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)2五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)5.若多項(xiàng)式x2-mx+4可分解為(x-2)(x+n)，求mn的值.解:因?yàn)閤2-mx+4=(x-2)(x+n)=x2+(n-2)x-2n,所以-m=n-2，-2n=4,解得m=4，n=-2,則mn=-8.五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)6.20232+2023能被2024整除嗎?解:∵20232+2023=2023(2023+1)=2023×2024∴20232+2023能被2024整除.五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)7.若多項(xiàng)式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，求mn的值.

解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次數(shù)是4，

∴可設(shè)x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，