2025年中考數學專題21 瓜豆原理之直線型（解析版）

運動軌跡為直線問題1：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？解析：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．問題2：如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ，且∠PCQ為定值，當點P在直線AB上運動，Q的運動軌跡是？解析：當CP與CQ夾角固定，且AP=AQ時，P、Q軌跡是同一種圖形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP1≌△CPP1，則∠CPP1=CQQ1，故可知Q點軌跡為一條直線.模型總結R條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量；主動點、從動點到定點的距離之比是定量．R結論：①主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形；②主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角③當主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運動路徑長；例題精講例題精講【例1】.如圖，在平面直角坐標系中，A（－3，0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．解：求OP最小值需先作出P點軌跡，根據△ABP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌跡也是直線．取兩特殊時刻：（1）當點B與點O重合時，作出P點位置P1；（2）當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點位置P2．連接P1P2，即為P點軌跡．根據∠ABP＝60°，可知：與y軸夾角為60°，作OP⊥，所得OP長度即為最小值，OP2＝OA＝3，所以．變式訓練【變式1-1】．如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，當點P在線段BC上運動時，畫出點Q的運動軌跡．解：如圖，直線QF即為所求．【變式1-2】．如圖，等邊△ABC中，AB＝BC＝AC＝6，點M是BC邊上的高AD所在直線上的點，以BM為邊作等邊△BMN，連接DN，則DN的最小值為．解：如圖，連接CN，∵△ABC和△BMN是等邊三角形，∴AB＝BC，BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠CBN，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝3，在△ABM和△CBN中，，∴△ABM≌△CBN（SAS），∴AM＝CN，∠BAD＝∠BCN＝30°，∴點N在與BC成30度的射線CN上運動，∴當DN⊥CN時，DN有最小值，∵DN⊥CN，∠BCN＝30°，∴DN＝CD＝，故答案為：．【變式1-3】．如圖，已知點A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），動點P在線段AB上，點P、C、M按逆時針順序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，當點P從點A運動到點B時，則點M運動的路徑長為6．解：∵點A（﹣3，0），B（0，3），∴AB＝，∵C（﹣1，4），動點P在線段AB上，∠CPM＝90°，CP＝MP，∴，P為主動點，M為從動點，C為定點，由“瓜豆原理”得P運動路徑（AB）與M運動路徑之比等于，∴點M運動的路徑長為÷＝6，故答案為：6．【例2】．如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接HN．則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是（）A． B．1 C．2 D．解：如圖，取BC的中點G，連接MG，∵旋轉角為60°，∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，∵CH是等邊△ABC的對稱軸，∴HB＝AB，∴HB＝BG，又∵MB旋轉到BN，∴BM＝BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG＝NH，根據垂線段最短，MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，此時∵∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×5＝，∴MG＝CG＝，∴HN＝，故選：A．變式訓練【變式2-1】．如圖，等邊△ABC的邊長為4，點D是邊AC上的一動點，連接BD，以BD為斜邊向上作等腰Rt△BDE，連接AE，則AE的最小值為（）A．1 B． C．2 D．2解：如圖，過點B作BH⊥AC于H點，作射線HE，∵△ABC是等邊三角形，BH⊥AC，∴AH＝2＝CH，∵∠BED＝∠BHD＝90°，∴點B，點D，點H，點E四點共圓，∴∠BHE＝∠BDE＝45°，∴點E在∠AHB的角平分線上運動，∴當AE⊥EH時，AE的長度有最小值，∵∠AHE＝45°，∴AH＝AE＝2，∴AE的最小值為，故選：B．【變式2-2】．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．0.5 B．2.5 C． D．1解：由題意可知，點F是主動點，點G是從動點，點F在線段上運動，點G也一定在線段軌跡上運動將△EFB繞點E旋轉60°，使EF與EG重合，得到△EHG，連接BH，得到△EFB≌△EHG從而可知△EBH為等邊三角形，點G在垂直于HE的直線HN上，延長HM交CD于點N．則△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH為等邊三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴點G在垂直于HE的直線HN上，作CM⊥HN，由垂線段最短可知，CM即為CG的最小值，作EP⊥CM，連接BH，EH，則四邊形HEPM為矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP＝EC＝，∴CM＝MP+CP＝1+＝，即CG的最小值為．方法二：以CE為邊作等邊三角形CEH，連接FH，則△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，當FH⊥AB時，FH最小＝1+＝．故選：B．【變式2-3】．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為4，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經過的路線長為2．解：連接OC，OM、CM，如圖，∵M為PQ的中點，∴OM＝PQ，CM＝PQ，∴OM＝CM，∴點M在OC的垂直平分線上，∴點M運動的軌跡為△ABC的中位線，∴點M所經過的路線長＝AB＝2．故答案為2．1．如圖，長方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為BC上一點，且BE＝1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，將EF繞著點E順時針旋轉45°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為（）A．2 B．1+322 C．22 解：如圖，將線段BE繞點E順時針旋轉45°得到線段ET，連接GT，連接DE交CG于J．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，在△EBF和△TEG中，EB=ET∠BEF=∠TEG∴△EBF≌△TEG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴點G的在射線TG上運動，∴當CG⊥TG時，CG的值最小，∵BC＝4，BE＝1，CD＝3，∴CE＝CD＝3，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四邊形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝1，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ=12DE=322，∴CG＝CJ+∴CG的最小值為1+3222．如圖，已知直線y＝kx+2k分別交x軸和y軸于A，B兩點，以AB為邊作等邊△ABC（A，B，C三點逆時針B排列），D，E兩點坐標分別為（﹣6，0），（﹣1，0），連接CD，CE，則CD+CE的最小值為（）A．6 B． C．6.5 D．7解：∵點B在直線y＝kx+2k上，∴k（x+2）＝0，∵k≠0，∴x﹣2＝0，∴A（﹣2，0），∵E（﹣1，0），D（﹣6，0），在x軸上方作等邊△AOF，∵∠CAB＝∠FAO＝60°，∴∠CAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAO，即∠CAF＝∠BAO，在△AOB和△AFC中，，∴△AOB≌△AFC（SAS），∴∠AFC＝∠AOB＝90°，∴點C的軌跡為定直線CF，作點E關于直線CF的對稱點E'，連接CE'，CE＝CE'，∴CD+CE＝CD+CE'，∴當點D、C、E'在同一條直線上時，DE'＝CD+CE的值最小，∵AF＝AO＝2，∠FAO＝60°，∠AFG＝90°，∴AG＝4，EG＝3，EE'＝2×AF＝3，即E'（，），∴（CD+CE）的最小值＝DE'＝＝7，故選：D．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，點D在BC上，且CD＝2，點P是線段AC上一個動點，以PD為直徑作⊙O，點Q為直徑PD上方半圓的中點，連接AQ，則AQ的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．4解：如圖，連接OQ，CQ，過點A作AT⊥CQ交CQ的延長線于T，∵，∴OQ⊥PD，∴∠QOD＝90°，∴∠QCD＝，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT＝45°，∵AT⊥CT，∴∠ATC＝90°，∵AC＝8，∴AT＝AC?sin45°＝4，∵AQ≥AT，∴AQ≥4，∴AQ的最小值為：4，故選：D．4．如圖，∠AOB＝30°，OD＝4，當點C在OA上運動時，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，則O，E兩點間距離的最小值為．解：∵∠AOB＝30°，OD＝4，點C在OA上運動時，CD＝DE，CD⊥DE，∴C為主動點，E為從動點，D為定點，由“瓜豆原理”，C在OA上運動，則E在垂直O(jiān)A的直線上運動，當DC⊥OA時，如答圖：過E作EM⊥OA于M，交OB于N，則直線MN即為E的運動軌跡，OM的長為O，E兩點間距離的最小值，∵∠AOB＝30°，OD＝4，DC⊥OA，∴CD＝2，∵CD＝DE，∴DE＝2，∵∠OCD＝∠CDE＝90°，∴DE∥OA，而EM⊥OA，∴∠DEN＝90°，∠EDN＝30°，∴在△DEN中可得DN=4∴ON＝4+433，△OMN中可得OM=32×（4+45．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，點P在線段BC上運動（含B、C兩點），連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為________解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點E，過點D作DH⊥QE于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等邊三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，，∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝，∴點Q在射線FE上運動，∵AD＝BC＝5，∴DE＝AD﹣AE＝，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE?sin60°＝×＝，根據垂線段最短可知，當點Q與H重合時，DQ的值最小，最小值為6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在BC邊上，BC＝5，CD＝2，點E是邊AC所在直線上的一動點，連接DE，將DE繞點D順時針方向旋轉60°得到DF，連接BF，則BF的最小值為．解：如圖，以BD為邊作等邊三角形DBH，連接EH，過點H作HN⊥BD于N，∵BC＝5，CD＝2，∴BD＝3，∵△DHB是等邊三角形，HN⊥BD，∴DN＝BN=32，DB＝DH，∠HDB＝60°，∴CN∵將DE繞點D順時針方向旋轉60°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠HDB，∴∠EDH＝∠FDB，在△DHE和△DBF中，DE=DF∠EDH=∠FDB∴△DHE≌△DBF（SAS），∴EH＝BF，∴當EH有最小值時，BF有最小值，由垂線段最短可得：當EH⊥AC時，EH有最小值，此時，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，∴四邊形CNHE是矩形，∴HE＝CN=72，故答案為：7．如圖，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，點E為對角線AC上一動點，BE⊥BF，BEBF=43，BG⊥EF于點G，連接CG，當CG最小時，CE的長為解：如圖，過點B作BP⊥AC于點P，連接PG，∵BEBF=ABBC=43，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴ABPB=EBGB=1sin∠BAC=AC∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在點E的運動過程中，∠BPG的大小不變且等于∠BAC，∴當CG⊥PG時，CG最小，設此時AE＝x，∵AEPG=ABPB∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴CPPG代入PG=35x，解得CP∵CP＝BC?sin∠CBP＝BC?sin∠BAC=18∴x=185，∴AE=185．∴CE8．如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y＝﹣x于點N．若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是．解：如圖1所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP，ABi，BBi，∵AO⊥AB1，AP⊥ABi，∴∠OAP＝∠B1ABi，又∵AB1＝AO?tan30°，ABi＝AP?tan30°，∴AB1：AO＝ABi：AP，∴△AB1Bi∽△AOP，∴∠AB1Bi＝∠AOP．同理得△AB1B2∽△AON，∴∠AB1B2＝∠AOP，∴∠AB1Bi＝∠AB1B2，∴點Bi在線段B1B2上，即線段B1B2就是點B運動的路徑（或軌跡）．由圖形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，∴，Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，∴＝，∴，∵∠PAB1＝∠NAB2＝90°，∴∠PAN＝∠B1AB2，∴△APN∽△AB1B2，∴＝＝，∵ON的解析式為：y＝﹣x，∴△OMN是等腰直角三角形，∴OM＝MN＝，∴PN＝，∴B1B2＝，綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B1B2，其長度為．故答案為：．9．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠B＝120°，E是BC的中點，F是對角線AC上的動點，連接EF，將線段EF繞點F按逆時針旋轉30°，G為點E對應點，連接CG，則CG的最小值為．解：如圖取CD的中點K，連接FK，KG，EK，延長KG交BC于J，作CH⊥JK于H．∵四邊形ABCD是菱形，∴∠FCE＝∠FCK，CB＝CD，AB∥CD，∴∠DCB+∠B＝180°，∵∠B＝120°，∴∠DCB＝60°，∵BE＝EC，CK＝KD，∴CK＝CE，∴△ECK是等邊三角形，∵CF＝CF，∠FCK＝∠FCE，CK＝CE，∴△FCK≌△FCE（SAS），∴FK＝FE，∵FG＝FE，∴FE＝FG＝FK，∴∠EKG=12∠EFG＝∵∠CKE＝60°，∴∠CKJ＝45°，∴點G在直線KJ上運動，根據垂線段最短可知，當點G與H重合時，CG的值最小，在Rt△CKH中，∵∠CKH＝45°，∠CHK＝90°，CK=12CD＝∴CH＝KH=2，∴CG的最小值為2，故答案為210．如圖，已知△ABC為直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D是直線AB上一點．以CD為斜邊作等腰直角三角形CDE，求AE的最小值．解：如圖，作CH⊥AB于H，取CD的中點O，連接OE，OH，EH，作AG⊥EH交EH的延長線于G．∵∠CED＝∠CHD＝90°，CO＝OD，∴OE＝OH＝OC＝OD，∴C，E，H，D四點共圓，∴∠EHC＝∠EDC＝45°，∴∠AHG＝90°﹣∠EHC＝45°，∴點E的運動軌跡是直線GH，當AE與AG重合時，AE的值最小，在Rt△ABC中，∵BC＝4，∠CAB＝30°，∴AC＝BC＝4，AH＝AC?cos30°＝6，∵AG⊥HG，∴∠G＝90°，∵∠AHG＝∠GAH＝45°，∴AG＝GH＝AH＝3，∴AE的最小值為311．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足為D，點E為AB邊上中點，點F為直線BD上一點．當點M為BE中點，點N在邊AC上，且DN＝2NC，點F從BD中點Q沿射線QD運動，將線段EF繞點E順時針旋轉60°得到線段EP，連接FP，當NP+12MP最小時，直接寫出△DPN解：以M為頂點，MP為一邊，作∠PML＝30°，ML交BD于點G，過點P作PH⊥ML于點H，設MP交BD于點K，如圖，Rt△PMH中，HP=12MP，∴NP+12MP最小即NP+HP最小，此時∵將線段EF繞點E順時針旋轉60°得到線段EP，∴F在射線QF上運動，則點P在MP上運動，根據“瓜豆原理”，F為主動點，P是從動點，E為定點，∠FEP＝60°，則F、P軌跡的夾角∠QKP＝∠FEP＝60°，∴∠BKM＝60°，∵∠ABD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°，∴∠BML＝∠A，∴ML∥AC，∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，∴四邊形GHND為矩形，∴DN＝GH，∵等邊△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，∴CD＝3，又∵DN＝2NC，∴等邊△ABC中，AB＝6，點E為AB的中點，點M為BE中點，∴BM=32，BD＝AB?sinA＝6×sin60°Rt△BGM中，MG=12BM=34，BG＝BM∴MH＝MG+GH=114，GD＝BD﹣BG=934，Rt△MHP中，HP＝MH∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP=433，∴S△12．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是直線AB上一點．將線段CD繞點D順時針旋轉60°得到線段DE，連接BE．（1）若點D在AB邊上（不與A，B重合）請依題意補全圖并證明AD＝BE；（2）連接AE，當AE的長最小時，求CD的長．解：（1）補全圖形如圖1所示，AD＝BE，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，∵DC＝DE，∠CDE＝60°，∴△CDE是等邊三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．（2）過點A作AF⊥EB交EB延長線于點F．∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠A＝60°，∴點E的運動軌跡是直線BE，根據垂線段最短可知：當點E與F重合時，AE的值最小，此時CD＝CE＝CF，∵∠ACB＝∠CBE＝60°，∴AC∥EF，∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，∴CF＝＝＝2，∴CD＝CF＝213．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC邊上一動點，以AD為邊向右作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）在圖①中，畫出當點D從點B運動到點C的過程中，點E的運動軌跡；（2）如圖②，若AB＝6，點F為AB的中點，連接EF，求EF的最小值．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，連接CE，如圖，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∴點E始終在過C點作BC的垂線上，根據題意得，線段CF為所求作的點E的運動軌跡；（2）由題意可知，當EF⊥CE時，EF取最小值，如圖，過點F作FM⊥BC于點M，∵AB＝6，F為AB的中點，∴BF＝3，∵∠B＝45°，∴BM＝BF＝，∵∠CMF＝∠CEF＝∠MCE＝90°，∴四邊形CEFM為矩形，∴EF＝CM＝BC﹣BM＝＝．∴EF的最小值為．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點E在折線BCD上運動，將AE繞點A順時針旋轉得到AF，旋轉角等于∠BAC，連接CF．（1）當點E在BC上時，作FM⊥AC，垂足為M，求證：AM＝AB；（2）當AE＝3時，求CF的長；（3）連接DF，點E從點B運動到點D的過程中，試探究DF的最小值．（1）證明：如圖1中，作FM⊥AC，垂足為M，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵FM⊥AC，∴∠B＝∠AMF＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠MAF，在△ABE和△AMF中，，∴△ABE≌△AMF（AAS），∴AB＝AM；（2）解：當點E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，∴BE＝＝＝，∵△ABE≌△AMF，∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，∵∠CMF＝90°，∴CF＝＝＝．當點E在CD上時，可得CF＝．綜上所述，CF的值為或；（3）解：當點E在BC上時，如圖2中，過點D作DH⊥FM于點H．∵△ABE≌△AMF，∴AM＝AB＝4，∵∠AMF＝90°，∴點F在射線FM上運動，當點F與K重合時，DF的值最小，∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，∴△CMJ∽△CDA，∴＝＝，∴＝＝，∴MJ＝，CJ＝，∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣＝，∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，∴△CMJ∽△DHJ，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴DF的最小值為．當點E在線段CD上時，如圖3中，將線段AD繞點A順時針旋轉，旋轉角為∠BAC，得到線段AR，連接FR，過點D作DQ⊥AR于點Q，DK⊥FR于點K．∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，∴∠DAE＝∠RAF，∵AE＝AF，AD＝AR，∴△ADE≌△ARF（SAS），∴∠ADE＝∠ARF＝90°，∴點F在直線RF上運動，當點D與K重合時，DF的值最小，∵DQ⊥AR，DK⊥RF，∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，∴四邊形DKRQ是矩形，∴DK＝QR，∴AQ＝AD?cos∠BAC＝3×＝，∵AR＝AD＝3，∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝，∴DF的最小值為，∵＜，∴DF的最小值為．解法二：當點E在BC上時，如圖，將線段AD繞點A逆時針旋轉，旋轉角的度數＝∠BAC，得到AT，連接DT，ET，DF．證明△DAF≌△TAE，推出DF＝TE，當TE⊥BC時，DF的值最小，可得DF的最小值為．當點E在CD上時，同法可得DF的最小值為．

15．問題提出：（1）如圖①，△BCE≌△ACD，請在圖中找到一組相似的三角形△CAB∽△CDE．問題探究：（2）如圖②，點D為等腰直角三角形ABC的直角邊BC上的動點，AD繞點D順時針旋轉90°得到ED，連接BE，求∠ADE與∠E的關系．（3）如圖③，點D是等邊三角形ABC的AC上的動點．連接DB，將DB繞點D逆時針旋轉120°得到DE，連接EA，EC，若AB＝2，直接寫出EA+EC的最小值．解：（1）△CAB∽△CDE，∵△BCE≌△ACD，∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE＝∠ACD，∴＝＝1，∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠BCA＝∠ECD，＝，∴△CAB∽△CDE，故答案為：△CAB∽△CDE；（2）∵AD繞點D順時針旋轉90°得到ED，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠E＝∠EAD＝45°，∴∠ADE＝2∠E；（3）延長AC到F，使CF＝BC．∵△ABC為等邊三角形，DB繞點D逆時針旋轉120°得到DE，∴∠EDF＝∠FCB＝120°，，∴△EDB∽△FCB，∴∠DBE＝∠CBF，∴∠DBC＝∠EBF，，△EBF∽△DBC，∠DCB＝∠EFB＝60°，∴點E在∠BFE的邊FE上運動．找C關于FE的對稱點C′，∴∠EFC′＝∠EFC＝30°，∠C′EF＝90°，∠ABF＝90°，C′F∥AB，∴A，E，C′共線，且AC′⊥FC′，AC′最小．則四邊形ABFC′是矩形，∴EA+EC最?。紸C′＝BF＝．

16．菱形ABCD的對角線交于點O．（1）如圖1，過菱形ABCD的頂點A作AE⊥BC于點E，交OB于點H，若∠ABC＝60°，四邊形AECD的面積為24，求菱形ABCD的邊長；（2）如圖2，菱形ABCD中，過頂點A作AF⊥BC于點E，交DC延長線于點F，線段AF交OB于點H，若AD＝AF，求證：OH＝BH﹣OC；（3）如圖3，菱形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝9，點P為射線AD上一動點，連接BP，將BP繞點B逆時針旋轉60°到BQ，連接AQ，直接寫出線段AQ的最小值．（1）解：如圖1中，設AD＝2m．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2m，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵AE⊥CB，∴BE＝CE＝m，∴AE＝m，∵S四邊形AECD＝×（m+2m）×m＝24，∴m＝4或﹣4（舍去），∴AD＝8；（2）證明：如圖2中，連接CH，在OC上取一點Q，使得OH＝OQ，連接HQ．∵AD⊥AD，AD＝AF，∴∠ADF＝∠F＝45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC＝45°，AD∥CB，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝67.5°，∴∠EAC＝∠EBH＝22.5°，∴△BEH≌△AEC（ASA），∴BH＝AC＝2OC，∵BD垂直平分線段AC，∴HA＝HC，∴∠HCA＝∠HAC＝22.5°，∵OQ＝OH，∴∠OHQ＝∠OQH＝45°，∵∠OQH＝∠QHC+∠QCH，∴∠QHC＝∠HCQ＝22.5°，∴QH＝QC＝OH，設OH＝m，則OQ＝m，HQ＝CQ＝m，∴OC＝m+m，∴OH+OC＝m+m+m＝2m+m，∵BH＝OC＝（m+m）＝m+2m，∴OH＝BH﹣OC；（3）解：如圖3中，以AB為邊向下作等邊△ABT，連接PT，過點T作TH⊥AD于點H，在TH上取一點J，使得AJ＝JT．∵∠PBQ＝∠ABT＝60°，∴∠ABQ＝∠TBP，∵