2025年中考數(shù)學(xué)專題36 中點(diǎn)四邊形專題和梯形中位線定理（原卷版）

模型介紹模型介紹中點(diǎn)四邊形模型（1）任意四邊形四條邊的中點(diǎn)依次連接得到的四邊形一定是平行四邊形.（2）矩形四條邊中點(diǎn)連線所得到的四邊形為菱形.（3）菱形四條邊中點(diǎn)連線所得到的四邊形為矩形.梯形中位線定理（1）中位線定義：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線．（2）梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．（3）梯形面積與中位線的關(guān)系：梯形中位線的2倍乘高再除以2就等于梯形的面積，即梯形的面積＝×2×中位線的長×高＝中位線的長×高（4）中位線在關(guān)于梯形的各種題型中都是一條得天獨(dú)厚的輔助線．例題精講例題精講考點(diǎn)一：中點(diǎn)四邊形問題【例1】．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BD，CD，AC的中點(diǎn)，AD＝4，BC＝5，則四邊形EFGH的周長是．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是（）A．7 B．9 C．11 D．13【變式1-2】．如圖，在四邊形ABCD中，AC＝8，BD＝6，且AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則EG2+FH2＝．考點(diǎn)二：梯形的中位線定理【例2】．如圖，在?ABCD中，BC＝4m，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別為BE、CD的中點(diǎn)，則FG＝m．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分線相交于梯形中位線EF上的一點(diǎn)P，若EF＝3，則梯形ABCD的周長為（）A．9 B．10.5 C．12 D．15【變式2-2】．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于點(diǎn)O，若AC＝5，BD＝12，中位線長為，△AOB的面積為S1，△COD的面積為S2，則＝．1．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD為對角線，中位線EF交BD于O點(diǎn)，若FO﹣EO＝3，則BC﹣AD等于（）A．4 B．6 C．8 D．102．如圖，在四邊形ABCD中，AC＝BD＝5，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連接EG，HF，相交于點(diǎn)O，則EG2+FH2的值為（）A．25 B．30 C．35 D．403．在如圖所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝11，①中A1B1是連接兩腰中點(diǎn)的線段，易知A1B1＝8，②中A1B1，A2B2是連接兩腰三等分點(diǎn)且平行于底邊的線段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此規(guī)律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是連接兩腰十一等分點(diǎn)且平行于底邊的線段，則A1B1+A2B2+…+A10B10的值為（）A．50 B．80 C．96 D．1004．如圖，四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2，如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBn?nDn．下列結(jié)論正確的是（）①四邊形A4B4C4D4是菱形；②四邊形A3B3C3D3是矩形；③四邊形A7B7C7D7周長為；④四邊形AnBn?nDn面積為．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④5．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AD＝2，BC＝4，則四邊形EFGH的面積為．6．如圖，等腰梯形的一條對角線與下底的夾角為45°，中位線長為8，則梯形的面積為．7．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位線EF與對角線AC，BD交于M，N兩點(diǎn)，若EF＝18cm，MN＝8cm，則AB的長等于cm．8．如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，且AB＝CD，下列結(jié)論：①EG⊥FH；②四邊形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝；⑤四邊形EFGH是菱形．其中正確的是．9．如圖，在四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，且對角線AC⊥BD，AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，則MQ：QP＝，四邊形MNPQ的面積是．10．如圖，在四邊形ABCD中，AC＝BD＝3，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則EG2+FH2＝．11．由四邊形四條邊的中點(diǎn)組成的四邊形叫做原四邊形的中點(diǎn)四邊形．如圖，四邊形ABCD是矩形，取矩形ABCD四條邊的中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形A1B1C1D1，再取四邊形A1B1C1D1四條邊的中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形A2B2C2D2，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，若矩形ABCD的面積為1，則得到的中點(diǎn)四邊形AnBn?nDn的面積為．12．如圖，梯形中ABCD中，∠DBC＝30°，，，EF為梯形的中位線．求梯形的面積及EF的長．13．如圖：在梯形ABCD中，CD∥AB，點(diǎn)F在AB上．CF＝BF，且CE⊥BC交AD于E，連接EF．已知EF⊥CE，（1）若CF＝10，CE＝8，求BC的長．（2）若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：AF+DC＝BF．14．如圖，在四邊形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形EFGH是菱形；（2）若AC＝8，求EG2+FH2的值．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，OA＝4，OC＝2，點(diǎn)D、E、F、G分別為邊OA、AB、BC、CO的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF、FG、GD．（1）若點(diǎn)C在y軸的正半軸上，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）時，判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由．（2）若點(diǎn)C在第一象限運(yùn)動，且四邊形DEFG為菱形時，求四邊形OABC對角線OB長度的取值范圍．（3）若在點(diǎn)C運(yùn)動過程中，四邊形DEFG始終為正方形，當(dāng)點(diǎn)C從x軸負(fù)半軸經(jīng)過y軸正半軸，運(yùn)動至x軸正半軸時，直接寫出點(diǎn)B的運(yùn)動路徑長．16．已知：在△ABC中，AB＝10．（1）如圖（1）所示，若點(diǎn)D，E分別是AC，CB的中點(diǎn)，則DE的長為；（2）如圖（2）所示，若點(diǎn)A1，A2把AC三等分，B1，B2把BC三等分，則A1B1+A2B2＝；（3）如圖（3）所示，若點(diǎn)A1，A2，…A10把AC邊十一等分，B1，B2，…，B10把BC邊十一等分，分別交BC邊于點(diǎn)B1，B2，…，B10．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出A1B1+A2B2+…+A10B10的結(jié)果為．17．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b．若E1、F1分別是AB、DC的中點(diǎn)，則E1F1＝（AD+BC）＝（a+b）；若E2，F(xiàn)2分別是E1B，F(xiàn)1C的中點(diǎn)，則E2F2＝（E1F1+BC）＝[（a+b）+b]＝（a+3b）；當(dāng)E3，F(xiàn)3分別是E2B，F(xiàn)2C的中點(diǎn)，則E3F3＝（E2F2+BC）＝（a+7b）；若EnFn分別是En﹣1，F(xiàn)n﹣1的中點(diǎn)，根據(jù)上述規(guī)律猜想EnFn＝．（n≥1，n為整數(shù)）18．請閱讀下面知識：梯形中位線的定義：梯形兩腰中點(diǎn)的連線，叫做梯形的中位線．如圖，E，F(xiàn)是梯形ABCD兩腰AB，CD的中點(diǎn)，則EF是梯形的中位線梯形中位線與兩底長度的關(guān)系：梯形中位線長度等于兩底長的和的一半如圖：EF＝（AD+BC）利用上面的知識，完成下面題目的解答已知：直線l與拋物線M交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，拋物線M的對稱軸為y軸，過點(diǎn)A，B作x軸的垂線段，垂足分別為D，C，已知A（﹣1，3），B（）（1）求梯形ABCD中位線的長度；（2）求拋物線M的解析式；（3）把拋物線M向下平移k個單位，得拋物線M1（拋物線M1的頂點(diǎn)保持在x軸的上方），與直線l的交點(diǎn)為A1，B1，同樣作x軸的垂線段，垂足為D1，C1，問此時梯形A1B1C1D1的中位線的長度（設(shè)為h）與原來相比是否發(fā)生變化？若不變，說明理由．若有改變，求出h與k的函數(shù)關(guān)系式．19．讓我們一起來探索平面直角坐標(biāo)系中平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系．第一步：數(shù)軸上兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)表示的數(shù)．自己畫一個數(shù)軸，如果點(diǎn)A、B分別表示﹣2、4，則線段AB的中點(diǎn)M表示的數(shù)是．再試幾個，我們發(fā)現(xiàn)：數(shù)軸上連接兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)所表示的數(shù)是這兩點(diǎn)所表示數(shù)的平均數(shù)．第二步；平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)的坐標(biāo)（如圖①）為便于探索，我們在第一象限內(nèi)取兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），取線段AB的中點(diǎn)M，分別作A、B到x軸的垂線段AE、BF，取EF的中點(diǎn)N，則MN是梯形AEFB的中位線，故MN⊥x軸，利用第一步的結(jié)論及梯形中位線的性質(zhì)，我們可以得到點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，）（用x1，y1，x2，y2表示），AEFB是矩形時也可以．我們的結(jié)論是：平面直角坐標(biāo)系中連接兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)等于這兩點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)的平均數(shù)．第三步：平面直角坐標(biāo)系中平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系（如圖②）在平面直角坐標(biāo)系中畫一個平行四