2025年中考數(shù)學(xué)專題50 12345專題（解析版）

模型介紹模型介紹初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無論是一次函數(shù)、平行四邊形、特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開直角三角形。而在直角二角形中，345的三角形比含有30°的直角二角形的1：：2以及含有45°的直角三角形的1：1：更加特殊更加重要。因為345不僅僅是自己特殊，更是可以在變化中隱藏更加特殊的變化(1：2：及1：3：)，綜合性非常大，深受壓軸題的喜愛?，F(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，345的獨特魅力`【引入】如圖，在3×3的網(wǎng)格中標(biāo)出了∠1和∠2，則∠1＋∠2＝ 如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，BD＝3，DC＝2，AD的長為 . 第2題 第3題A（0,6）B（3,0）在X軸上有一點P，若∠PAB=45°，則P點坐標(biāo)為.【“123”+“45”的來源】 此外，還可以得到

例題精講例題精講【例1】．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（）°（點A，B，P是網(wǎng)格交點）．A．30 B．45 C．60 D．75解：延長AP交格點于D，連接BD，則PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故選：B．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E、F分別在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，則CF的長為（）A．2 B．3 C． D．解：如圖，延長FD到G，使DG＝BE；連接CG、EF；∵四邊形ABCD為正方形，在△BCE與△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF與△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝＝＝3，∴AE＝3，設(shè)AF＝x，則DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，∴EF＝＝，∴（9﹣x）2＝9+x2，∴x＝4，即AF＝4，∴GF＝5，∴DF＝2，∴CF＝＝＝2，故選：A．【變式1-2】．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點，AB＝5，BD＝1，tanB＝．（1）求CD的長；（2）求sinα的值．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，∴tanB＝．設(shè)AC＝3x，則BC＝4x．∵BC2+AC2＝AB2，∴（3x）2+（4x）2＝52．∴x＝1．∴AC＝3，BC＝4．∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝3．（2）如圖，過點B作BE⊥AD于點E．∴∠BED＝90°．∴∠BED＝∠ACD．∵∠BDE與∠CDA是對頂角，∴∠BDE＝∠CDA．∴△BDE∽△ADC．∴．在Rt△ACD中，∠C＝90°，∴AD＝．∴．∴BE＝．∴∠BED＝90°，∴sinα＝．【例2】．如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．若DF＝3，則BE的長為2．解：法一：由題意可得，△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，設(shè)BE＝x，則GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，法二：設(shè)BE＝x，連接GF，如下圖所示，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABE＝∠GCF＝90°，∵△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴∠GAF＝90°，GA＝FA，∴△GAF為等腰直角三角形，∵∠EAF＝45°，∴AE垂直平分GF，∴∠AEB+∠CGF＝90°，∵在Rt△AEB中，∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CGF，∴△BAE∽△CGF，∴，∵CF＝CD﹣DF＝6﹣3＝3，GC＝BC+BG＝BC+DF＝6+3＝9，∴，∴x＝2，即BE＝2，故答案為：2．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，則DF的長是．解：取AD，BC的中點M，N，連接MN，交AF于H，延長CB至G，使BG＝MH，連接AG，∵點M，點N是AD，BC的中點，∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，∵AD∥BC，∴四邊形ABNM是平行四邊形，∵AB＝AM＝4，∴四邊形ABNM是菱形，∵∠BAD＝90°，∴四邊形ABNM是正方形，∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，∴△ABG≌△AMH（SAS），∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，∵∠EAF＝45°，∴∠MAH+∠BAE＝45°，∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，又∵AG＝AH，AE＝AE∴△AEG≌△AEH（SAS）∴EH＝GE，∴EH＝2+MH，在Rt△HEN中，EH2＝NH2+NE2，∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，∴MH＝∵MN∥CD，∴△AGM∽△AFD，∴∴DF＝×＝，故答案為：．【變式2-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+m（m≠0）分別交x軸，y軸于A，B兩點，已知點C（3，0）．點P為線段OB的中點，連接PA，PC，若∠CPA＝45°，則m的值是18．解：作OD＝OC＝3，連接CD．則∠PDC＝45°，如圖，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°．當(dāng)m＜0時，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此時∠CPA＞45°，故不合題意．∴m＞0．∵∠CPA＝∠ABO＝45°，∴∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，∴△PCD∽△APB，∴，即，解得m＝18．故答案是：18．1．如圖，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點A恰好落在對角線BD上F處，則DE的長是（）A．3 B． C．5 D．解：∵矩形ABCD，∴∠BAD＝90°，由折疊可得△BEF≌△BEA，∴EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，在Rt△ABD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，根據(jù)勾股定理得：BD＝10，即FD＝10﹣6＝4，設(shè)EF＝AE＝x，則有ED＝8﹣x，根據(jù)勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，則DE＝8﹣3＝5，故選：C．2．如圖，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中點．將△ABG沿AG對折至△AFG，延長GF交DC于點E，則DE的長是（）A．2 B．2.5 C．3.5 D．4解：如圖，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折疊得，AF＝AB，GF＝BG＝BC＝3，∠AFG＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFE＝180°﹣∠AFG＝90°，∴∠AFE＝∠D，∵AE＝AE，∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），∴DE＝FE，設(shè)DE＝EF＝x，則CE＝6﹣x，EG＝EF+FG＝x+3，在Rt△CGE中，由勾股定理得，EG2﹣CE2＝CG2，∴（x+3）2﹣（6﹣x）2＝32，∴x＝2，∴DE＝2，故選：A．3．如圖，在矩形紙片ABCD中，點E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，點C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（）A．2 B． C． D．3解：如圖，延長EH交CF于點P，過點P作MN⊥CD于N，∵將矩形紙片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，在△CPH和△CPN中，，∴△CPH≌△CPN（AAS），∴NP＝PH，CH＝CN＝4，∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，∴四邊形BCNM是矩形，又∵CN＝CB＝4，∴四邊形BCNM是正方形，∴MN＝BM＝4，∴EM＝2，∵EP2＝EM2+PM2，∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，∴NP＝，∵tan∠DCF＝，∴，∴DF＝2，故選：A．4．如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是邊AB上的點，且BE＝2AE，過點E作DE的垂線交正方形外角∠CBG的平分線于點F，交邊BC于點M，連接DF交邊BC于點N，則MN的長為（）A． B． C． D．1解：作FH⊥BG交于點H，作FK⊥BC于點K，∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，∴四邊形BHFK是正方形，∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠DEA＝∠EFH，∵∠A＝∠EHF＝90°，∴△DAE∽△EHF，∴，∵正方形ABCD的邊長為3，BE＝2AE，∴AE＝1，BE＝2，設(shè)FH＝a，則BH＝a，∴，解得a＝1；∵FK⊥CB，DC⊥CB，∴△DCN∽△FKN，∴，∵BC＝3，BK＝1，∴CK＝2，設(shè)CN＝b，則NK＝2﹣b，∴，解得b＝，即CN＝，∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，∴△ADE∽△BEM，∴，∴，解得BM＝，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣﹣＝，故選：B．5．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、O都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠AOB的值為．解：過點B作BD⊥AO，垂足為D，由題意得：AB＝2，OB＝＝2，AO＝＝2，∵△ABO的面積＝AO?BD＝×2×2，∴BD＝，在Rt△BOD中，sin∠AOB＝＝＝，故答案為：．6．如圖，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，D為BC的中點．將△ABC折疊，使A點與點D重合．若EF為折痕，則sin∠BED的值為，的值為．解：設(shè)Rt△ABC的直角邊AC＝a，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∵△DEF是△AEF沿EF折疊而成，∴∠A＝∠FDE＝∠B＝45°，∵∠2+∠B＝∠1+∠FDE，∠FDE＝∠B＝45°∴∠1＝∠2，∵D是BC的中點，∴CD＝，設(shè)CF＝x，則AF＝DF＝a﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得，DF2＝CF2+CD2，即（a﹣x）2＝x2+（）2，解得x＝，∴DF＝a﹣x＝a﹣＝，∴sin∠1＝＝＝，∴sin∠2＝，即sin∠BED的值為；過D作DG⊥AB，∵BD＝，∠B＝45°，∴DG＝BD?sin∠B＝×＝，∵∠2＝∠1，∠C＝∠DGE，∴△EDG∽△DFC，∴＝＝＝．故答案為：，．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A和點E（6，﹣2）都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，如果∠AOE＝45°，那么直線OA的表達式是y＝﹣2x．解：∵點E（6，﹣2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝6×（﹣2）＝﹣12，∴反比例函數(shù)為y＝﹣，如圖，OE順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到OD，連接DE，交OA于F，∵點E（6，﹣2），∴D（﹣2，﹣6），∵∠AOE＝45°，∴∠AOD＝45°，∵OD＝OE，∴OA⊥DE，DF＝EF，∴F（2，﹣4），設(shè)直線OA的解析式為y＝mx，把F的坐標(biāo)代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2，∴直線OA的解析式為y＝﹣2x，故答案為y＝﹣2x．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象分別交x、y軸于點A、B，將直線AB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點C，則直線BC的函數(shù)表達式是y＝x﹣1．解：∵一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象分別交x、y軸于點A、B，∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，則x＝，∴A（，0），B（0，﹣1），∴OA＝，OB＝1，過A作AF⊥AB交BC于F，過F作FE⊥x軸于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝1，EF＝OA＝，∴F（，﹣），設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為：y＝kx+b，∴，∴，∴直線BC的函數(shù)表達式為：y＝x﹣1，故答案為：y＝x﹣1．9．如圖，在正方形ABCD中，P是BC的中點，把△PAB沿著PA翻折得到△PAE，過C作CF⊥DE于F，若CF＝2，則DF＝6．解：過A作AM⊥DF于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠FDC＝90°，∵∠ADF+∠MAD＝90°，∴∠FDC＝∠MAD，∵∠AMD＝∠DFC＝90°，∴△AMD≌△DFC，∴DM＝FC＝2，由折疊得：AB＝AE，BP＝PE，∵AB＝AD，∴AE＝AD，∴DM＝EM＝2，∠EAM＝∠MAD，∵P是BC的中點，∴PC＝BC＝AD＝PE，設(shè)∠MAD＝α，則∠EAM＝α，∠BAP＝∠PAE＝45°﹣α，∴∠APE＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α，∵∠EAM＝∠DAM，∠BAP＝∠PAE，∴∠PAE+∠EAM＝∠BAD＝45°，過P作PH⊥AM于H，過E作EG⊥PH于G，∴△PAH是等腰直角三角形，∴∠APH＝45°，∴∠HPE＝α＝∠MAD，∵∠PGE＝∠AMD＝90°，∴△PGE∽△AMD，∴＝＝＝，∴＝＝，∴GE＝1，AM＝2PG，設(shè)PG＝x，則AM＝2x，∴AH＝2x﹣1，∵AH＝PH，∴2x﹣1＝2+x，x＝3，∴PG＝3，AM＝6，∵△DAM≌△CDF，∴DF＝AM＝6．10．如圖，已知點A（2，3）和點B（0，2），點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，交反比例函數(shù)圖象于點C，則點C的坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）．解法一：如圖所示，過A作AE⊥x軸于E，以AE為邊在AE的左側(cè)作正方形AEFG，交AB于P，根據(jù)點A（2，3）和點B（0，2），可得直線AB的解析式為y＝x+2，由A（2，3），可得OF＝1，當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣+2＝，即P（﹣1，），∴PF＝，將△AGP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△AEH，則△ADP≌△ADH，∴PD＝HD，PG＝EH＝，設(shè)DE＝x，則DH＝DP＝x+，F(xiàn)D＝1+2﹣x＝3﹣x，Rt△PDF中，PF2+DF2＝PD2，即（）2+（3﹣x）2＝（x+）2，解得x＝1，∴OD＝2﹣1＝1，即D（1，0），根據(jù)點A（2，3）和點D（1，0），可得直線AD的解析式為y＝3x﹣3，解方程組，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案為：（﹣1，﹣6）．解法二：如圖，過A作AD⊥y軸于D，將AB繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到A'B，過A'作A'H⊥y軸于H，由AB＝BA'，∠ADB＝∠BHA'＝90°，∠BAD＝∠A'BH，可得△ABD≌△BA'H，∴BH＝AD＝2，又∵OB＝2，∴點H與點O重合，點A'在x軸上，∴A'（1，0），又∵等腰Rt△ABA'中，∠BAA'＝45°，而∠BAC＝45°，∴點A'在AC上，由A（2，3），A'（1，0），可得直線AC的解析式為y＝3x﹣3，解方程組，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案為：（﹣1，﹣6）．解法三：如圖，過B作BF⊥AC于F，過F作FD⊥y軸于D，過A作AE⊥DF于E，則△ABF為等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB，設(shè)BD＝a，則EF＝a，∵點A（2，3）和點B（0，2），∴DF＝2﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∵AE+OD＝3，∴2﹣a+2﹣a＝3，解得a＝，∴F（，），設(shè)直線AF的解析式為y＝k'x+b，則，解得，∴y＝3x﹣3，解方程組，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案為：（﹣1，﹣6）．11．如圖，已知正方形ABCD的邊長為，對角線AC、BD交于點O，點E在BC上，且CE＝2BE，過B點作BF⊥AE于點F，連接OF，則線段OF的長度為．解：如圖，作OG⊥OF交AE于G，∴OA＝OB，∠FOG＝90°，∵AC，BD是正方形的對角線，∴∠AOB＝90°，∴∠AOG＝∠BOF，∵BF⊥AE，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∵∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE∴∠OBF＝∠ABF﹣∠ABD＝90°﹣∠BAE﹣∠ABD＝90°﹣∠BAC+∠CAE﹣∠ABD＝∠CAE，在△AOG和△BOF中，∴△AOG≌△BOF，∴OG＝OF，∴△OFG是等腰直角三角形，∵CE＝2BE，BC＝，∴BE＝，根據(jù)勾股定理得，AE＝，∵∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠ABF＝∠AEB，∵∠AFB＝∠ABE，∴△ABF∽△AEB，∴，∴，∴BF＝1，AF＝3，∴AG＝BF＝1，∴GF＝AF﹣BF＝2，∴OF＝．故答案為．12．如圖，在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且∠NMB＝∠MBC，求tan∠ABM．解：如圖：延長MN交BC的延長線于T，設(shè)MB的中點為O，連TO，則OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT＝90°，∠OTB+∠MBT＝90°，∴∠ABM＝∠OTB，∴△BAM∽△TOB，∴＝，∴MB2＝2AM?BT①令DN＝1，CT＝MD＝k，則：AM＝2﹣k，BM＝，BT＝2+k，代入①中得：4+（2﹣k）2＝2（2﹣k）（2+k），解方程得：k1＝0（舍去），k2＝．∴AM＝2﹣＝．∴tan∠ABM＝＝．13．如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F．（1）求證：△ABF≌△EDF；（2）若AB＝6，BC＝8，求AF的長，（1）證明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，由折疊得：DE＝CD，∠C＝∠E＝90°，∴AB＝DE，∠A＝∠E＝90°∵∠AFB＝∠EFD，∴△ABF≌△EDF（AAS）（2）解：∵△ABF≌△EDF，∴BF＝DF，…4分設(shè)AF＝x，則BF＝DF＝8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2，即（8﹣x）2＝x2+62x＝，即AF＝14．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．（1）求直線AC的解析式；（2）連接BC，判斷∠CAB和∠CBA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）設(shè)點D為直線AC上方拋物線上一點（與A、C不重合），連BD、AD，且BD交AC于點E，△ABE的面積記作S1，△ADE的面積記作S2，求的最小值．解：（1）令x＝0，得y＝2，令y＝0，得﹣x2﹣，∴x1＝﹣4，x2＝，∴A（﹣4，0），B（），C（0，2），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+2，則0＝﹣4k+2，∴k＝，∴直線AC的解析式為y＝x+2；（2）∠CAB＝2∠CBA，理由如下：作點B關(guān)于y軸的對稱點B′，連接CB′，∴CB＝CB′，∴∠CBA＝∠CB′O，∵A（﹣4，0），B（），C（0，2），∴B′（﹣），∴AB′＝，CB′＝＝，∴AB′＝CB′，∴∠CAB＝∠ACB′，∵∠CB′O＝∠CAB+∠ACB′＝2∠CAB，∴∠CAB＝2∠CBA；（3）過點D作DM⊥x軸交AC于點M，過點B作BN⊥x軸交AC于點N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴，∴，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為a，∴D（a，﹣），∴M（a，a+2），∵B（），∴N（），∴DM＝﹣a2﹣﹣（a+2）＝﹣a，BN＝，∴＝，當(dāng)a＝﹣2時，﹣（a+2）2+4取得最大值，最大值為4，此時，有最小值，最小值為．15．下面圖片是八年級教科書中的一道題．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證AE＝EF．（提示：取AB的中點G，連接EG．）（1）請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：AG＝CE；（2）如圖1，若點E是BC邊上任意一點（不與B、C重合），其他條件不變．求證：AE＝EF；（3）在（2）的條件下，連接AC，過點E作EP⊥AC，垂足為P．設(shè)＝k，當(dāng)k為何值時，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明．（1）解：∵點E為BC的中點，∴BE＝CE，∵點G為AB的中點，∴BG＝AG，∴AG＝CE，故答案為：AG＝CE；（2）證明：取AG＝EC，連接EG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AG＝CE，∴BG＝BE，∴△BGE是等腰直角三角形，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△GAE≌△CEF（ASA），∴AE＝EF；（3）解：k＝時，四邊形PECF是平行四邊形，如圖，由（2）知，△GAE≌△CEF，∴CF＝EG，設(shè)BC＝x，則BE＝kx，∴GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，∵EP⊥AC，∴△PEC是等腰直角三角形，∴∠PEC＝45°，∴∠PEC+∠ECF＝180°，∴PE∥CF，∴PE＝（1﹣k）x，當(dāng)PE＝CF時，四邊形PECF是平行四邊形，∴（1﹣k）x＝kx，解得k＝．16．已知拋物線y＝x2﹣2x+c與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．（1）求D點的坐標(biāo)；（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點E，求∠E的度數(shù)；（3）如圖2，已知點P（﹣4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點M，當(dāng)∠PMA＝∠E時，求點Q的坐標(biāo)．解：（1）把x＝﹣1，y＝0代入y＝x2﹣2x+c得：1+2+c＝0∴c＝﹣3∴y＝x2﹣2x﹣3＝y(tǒng)＝（x﹣1）2﹣4∴頂點坐標(biāo)為（1，﹣4）；（2）如圖1，連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸于點F，由x2﹣2x﹣3＝0得x＝﹣1或x＝3∴B（3，0）當(dāng)x＝0時，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3∴C（0，﹣3）∴OB＝OC＝3∵∠BOC＝90°，∴∠OCB＝45°，BC＝3又∵DF＝CF＝1，∠CFD＝90°，∴∠FCD＝45°，CD＝，∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠FCD＝90°．∴∠BCD＝∠COA又∵∴△DCB∽△AOC，∴∠CBD＝∠OCA又∵∠ACB＝∠CBD+∠E＝∠OCA+∠OCB∴∠E＝∠OCB＝45°，（3）如圖2，設(shè)直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DG⊥x軸于G點∵∠PMA＝45°，∴∠EMH＝45°，∴∠MHE＝90°，∴∠PHB＝90°，∴∠DBG+∠OPN＝90°又∴∠ONP+∠OPN＝90°，∴∠DBG＝∠ONP∴∠DGB＝∠PON＝90°，∴△DGB∽△PON∴＝，即：＝∴ON＝2，∴N（0，﹣2）設(shè)直線PQ的解析式為y＝kx+b則解得：∴y＝﹣x﹣2設(shè)Q（m，n）且n＜0，∴n＝﹣m﹣2又∵Q（m，n）在y＝x2﹣2x﹣3上，∴n＝m2﹣2m﹣3∴﹣m﹣2＝m2﹣2m﹣3解得：m＝2或m＝﹣∴n＝﹣3或n＝﹣∴點Q的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（﹣，﹣）．17．已知⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，點N為AC的中點，連接ON并延長交⊙O于點E，連接BE，BE交AC于點D．（1）如圖1，求證：∠CDE+∠BAC＝135°；（2）如圖2，過點D作DG⊥BE，DG交AB于點F，交⊙O于點G，連接OG，OD，若DG＝BD，求證：OG∥AC；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG，若DN＝，求AG的長．（1）證明：如圖1，過點O作OP⊥BC，交⊙O于點P，連接AP交BE于Q，∴＝，∴∠BAP＝∠CAP，∵點N為AC的中點，∴＝，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，∴∠AQB＝∠EQP＝135°，△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，∴∠CDE+∠BAC＝135°；（2）證明：在△DGO和△DBO中，，∴△DGO≌△DBO（SSS），∴∠ABD＝∠DGO，∵DG⊥BE，∴∠GDB＝90°，∴∠ADG+∠BDC＝90°，∵∠BDC+∠CBE＝90°，∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，∴OG∥AD；（3）解：如圖3，過點G作GK⊥AC于K，延長GO交BC于點H，由（2）知：OG∥AC，∴GH∥AC，∴∠OHB＝∠C＝90°，∴OH⊥BC，∴BH＝CH，∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，∴四邊形GHCK是矩形，∴CH＝GK，設(shè)GK＝y(tǒng)，則BC＝2y，ON＝GK＝y(tǒng)，由（2）知：∠ADG＝∠DBC，在△GKD和△DCB中，，∴△GKD≌△DCB（AAS），∴GK＝DC＝y(tǒng)，∵OE∥BC，∴∠E＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tanE，∴，即＝，∴EN＝，∴AN＝CN＝y(tǒng)+，ON＝y(tǒng)，由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，∴（y+）2＝y(tǒng)2+（y+）2，解得：y1＝﹣（舍），y2＝，∴AG＝＝＝2．18．已知拋物線y＝ax2﹣2ax+c過點A（﹣1，0）和C（0，3），與x軸交于另一點B，頂點為D．（1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標(biāo)；（2）如圖1，E為線段BC上方的拋物線上一點，EF⊥BC，垂足為F，EM⊥x軸，垂足為M，交BC于點G．當(dāng)BG＝CF時，求△EFG的面積；（3）如圖2，AC與BD的延長線交于點H，在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（1）把點A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2ax+c中，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，當(dāng)時，y＝4，∴D（1，4）；（2）如圖1，∵拋物線y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，∴x＝﹣1，或x＝3，∴B（3，0）．設(shè)BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），將點C（0，3），B（3，0）代入，得，解得，∴y＝﹣x+3．∵EF⊥CB．設(shè)直線EF的解析式為y＝x+b，設(shè)點E的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），將點E坐標(biāo)代入y＝x+b中，得b＝﹣m2+m+3，∴y＝x﹣m2+m+3，聯(lián)立得．∴．∴．把x＝m代入y＝﹣x+3，得y＝﹣m+3，∴G（m，﹣m+3）．∵BG＝CF．∴BG2＝CF2，即．解得m＝2或m＝﹣3．∵點E是BC上方拋物線上的點，∴m＝﹣3，（舍去）．∴點E（2，3），F(xiàn)（1，2），G（2，1），，，∴；（3）如圖2，過點A作AN⊥HB于N，∵點D（1，4），B（3，0），∴yDB＝﹣2x+6．∵點A（﹣1，0），點C（0，3），∴yAC＝3x+3，聯(lián)立得，∴，∴．設(shè)，把（﹣1，0）代入，得b＝，∴，聯(lián)立得，∴，∴，∴＝，，∴AN＝HN．∴∠H＝45°．設(shè)點P（n，﹣n2+2n+3）．過點P作PR⊥x軸于點R，在x軸上作點S使得RS＝PR，∴∠RSP＝45°且點S的坐標(biāo)為（﹣n2+3n+3，0）．若∠OPB＝∠AHB＝45°在△OPS和△OPB中，∠POS＝∠POB，∠OSP＝∠OPB，∴△OPS∽△OBP．∴．∴OP2＝OB?OS．∴n2+（n+1）2（n﹣3）2＝3?（﹣n2+3n+3）．∴n＝0或或n＝3（舍去）．∴P1（0，3），，．19．如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是AD邊上一個動點，連接BE，將△ABE沿直線BE翻折得到△FBE．（1）如圖1，若點F落在對角線BD上，則線段DE與AE的數(shù)量關(guān)系是DE＝AE；（2）若點F落在線段CD的垂直平分線上，在圖2中用直尺和圓規(guī)作出△FBE（不寫作法，保留作圖痕跡）．連接DF，則∠EDF＝75°；（3）如圖3，連接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的長．解：（1）DE＝AE，理由如下：在正方形ABCD中，∠ADB＝45°，∠A＝90°，由折疊