2025年中考數(shù)學專題55 一次函數(shù)背景下的圖形存在性問題（原卷版）

例題精講例題精講考點一：一次函數(shù)中等腰三角形存在性問題【例1】．如果一次函數(shù)y＝﹣x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，M點在x軸上，并且使得以點A、B、M為定點的三角形是等腰三角形，則M點的坐標為．變式訓練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系中，直線MN的函數(shù)解析式為y＝﹣x+3，點A在線段MN上且滿足AN＝2AM，B點是x軸上一點，當△AOB是以OA為腰的等腰三角形時，則B點的坐標為．【變1-2】．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣2x+12與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y＝x交于點C．（1）求點C的坐標．（2）若P是x軸上的一個動點，直接寫出當△OPC是等腰三角形時P的坐標．考點二：一次函數(shù)中直角三角形存在性問題【例2】．已知點A、B的坐標分別為（2，2）、（5，1），試在x軸上找一點C，使△ABC為直角三角形．【變2-1】．如圖，一次函數(shù)y＝kx+1的圖象過點A（1，2），且與x軸相交于點B．若點P是x軸上的一點，且滿足△ABP是直角三角形，則點P的坐標是．【變2-2】．如圖，已知一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與y軸交于點A，一次函數(shù)y＝4x+b的圖象與y軸交于點B，且與x軸以及一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象分別交于點C、D，點D的坐標為（﹣2，﹣4）．（1）關(guān)于x、y的方程組的解為．（2）求△ABD的面積；（3）在x軸上是否存在點E，使得以點C，D，E為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．考點三：一次函數(shù)中平行四邊形存在性問題【例3】．如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過A（1，3），B（﹣2，﹣1）兩點，并且交x軸于點C，交y軸于點D．（1）求該一次函數(shù)的表達式；（2）求△AOB的面積；（3）平面內(nèi)是否存在一點M，使以點M、C、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在，請說明理由．變式訓練【變3-1】．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點，點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上，過點D作DE⊥x軸于點E．（1）求證：△BOC≌△CED；（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當B'C'經(jīng)過點D時，求△BCD平移的距離及點D的坐標；（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上，是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．考點四：一次函數(shù)中矩形存在性問題【例4】．如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分線交x軸于點C過點C作AB的垂線，垂足為點D，交y軸于點E．（1）求線段AB的長；（2）求直線CE的解析式；（3）若M是射線BC上的一個動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點P，使以A、B、M、P為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．變式訓練【變4-1】．如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C在坐標軸上，△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點D在x軸上，直線BD交y軸于點F，交OE于點H，線段BC、OC的長是方程x2﹣4x+3＝0的兩個根，且OC＞BC．（1）求直線BD的解析式；（2）求點H到x軸的距離；（3）點M在坐標軸上，平面內(nèi)是否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．考點五：一次函數(shù)中菱形存在性問題【例5】．如圖1，直線y＝x+6與x，y軸分別交于A，B兩點，∠ABO的角平分線與x軸相交于點C．（1）求點C的坐標；（2）在直線BC上有兩點M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求點M的坐標；（3）點P在y軸上，在平面上是否存在點Q，使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．變式訓練【變5-1】．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于點D、C，直線AB與y軸交于點B（0，﹣2），與直線CD交于點A（m，2）．（1）求直線AB的解析式；（2）點E是射線CD上一動點，過點E作EF∥y軸，交直線AB于點F，若以O、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點E的坐標；（3）設P是射線CD上一點，在平面內(nèi)是否存在點Q，使以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．1．一次函數(shù)y＝x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，在x軸上取一點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的點C的坐標為．2．如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（2，1），連接OA，點P是x軸上的一動點，如果△OAP是等腰三角形，請你寫出符合條件的點P坐標．3．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（4，0），點C在y的正半軸上，且OB＝2OC，在直角坐標平面內(nèi)確定點D，使得以點D、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出點D的坐標為．4．如圖，一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象與y軸交于點B，與正比例函數(shù)y＝k1x的圖象相交于點A（3，4），且OA＝OB．（1）分別求出這兩個函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）點P在x軸上，且△POA是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．5．直線l1交x軸于點A（6，0），交y軸于B（0，6）．（1）如圖，折疊△AOB，使BA落在y軸上，折痕所在直線為l2，直線l2與x軸交于C點，求C點坐標及l(fā)2的解析式；（2）在直線l1上找點M，使得以M、A、C為頂點的三角形是等腰三角形，求出所有滿足條件的M點的坐標．6．在平面直角坐標系中，直線y＝kx+8k（k是常數(shù)，k≠0）與坐標軸分別交于點A，點B，且點B的坐標為（0，6）．（1）求點A的坐標；（2）如圖1，將直線AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°交x軸于點C，求直線BC的解析式；（3）在（2）的條件下，直線BC上有一點M，坐標平面內(nèi)有一點P，若以A、B、M、P為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點P的坐標．7．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點B，且與正比例函數(shù)y＝x的圖象交于點C（m，6）．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）求△BOC的面積；（3）在x軸上是否存在一點P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，已知一次函數(shù)y＝x+m的圖象與x軸交于點A（﹣6，0），交y軸于點B．（1）求m的值與點B的坐標（2）問在x軸上是否存在點C，使得△ABC的面積為16？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由．（3）問在x軸是否存在點P，使得△ABP為等腰三角形，求出點P坐標．（4）一條經(jīng)過點D（0，2）和直線AB上的一點的直線將△AOB分成面積相等的兩部分，請求出這條直線的函數(shù)表達式．9．在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象交x軸、y軸分別于A、B兩點，交直線y＝kx于P（2，a）．（1）求點A、B的坐標；（2）若Q為x軸上一動點，△APQ為等腰三角形，直接寫出Q點坐標；（3）點C在直線AB上，過C作CE⊥x軸于E，交直線OP于D，我們規(guī)定若C，D，E中恰好有一點是其他兩點所連線段的中點，則稱C，D，E三點為“和諧點”，求出C，D，E三點為“和諧點”時C點的坐標．10．如圖所示，直線l：y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，在y軸上有一點C（0，4）．（1）求△AOB的面積；（2）動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動，求△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當動點M在x軸上移動的過程中，在平面直角坐標系中是否存在點N，使以點A，C，N，M為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．11．如圖，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線BC與x軸、y軸分別交于C、B兩點，連接BC，且OC＝OB．（1）求點A的坐標及直線BC的函數(shù)關(guān)系式；（2）點M在x軸上，連接MB，當∠MBA+∠CBO＝45°時，求點M的坐標；（3）若點P在x軸上，平面內(nèi)是否存在點Q，使點B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．12．已知，一次函數(shù)y＝的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，與直線y＝相交于點C．過點B作x軸的平行線l．點P是直線l上的一個動點．（1）求點A，點B的坐標．（2）求點C到直線l的距離．（3）若S△AOC＝S△BCP，求點P的坐標．（4）若點E是直線y＝上的一個動點，當△APE是以AP為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出點E的坐標．13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+與y＝x相交于點A，與x軸交于點B．（1）求點A，B的坐標；（2）在平面直角坐標系xOy中，是否存在一點C，使得以O，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，試求出所有符合條件的點C的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）在直線OA上，是否存在一點D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，試求出所有符合條件的點D的坐標，如果不存在，請說明理由．14．如圖，經(jīng)過點B（0，2）的直線y＝kx+b與x軸交于點C，與正比例函數(shù)y＝ax的圖象交于點A（﹣1，3）（1）求直線AB的函數(shù)的表達式；（2）直接寫出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面積；（4）點P是直線AB上的一點，且知△OCP是等腰三角形，寫出所有符合條件的點P的坐標．15．如圖1，已知直線l1：y＝kx+4交x軸于A（4，0），交y軸于B．（1）直接寫出k的值為；（2）如圖2，C為x軸負半軸上一點，過C點的直線l2：經(jīng)過AB的中點P，點Q（t，0）為x軸上一動點，過Q作QM⊥x軸分別交直線l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如圖3，已知點M（﹣1，0），點N（5m，3m+2）為直線AB右側(cè)一點，且滿足∠OBM＝∠ABN，求點N坐標．16．如圖，平面直角坐標系中，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點（OA＜OB）且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的兩個根，點C在x軸負半軸上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C兩點的坐標；（2）若點M從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM，設△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）點P是y軸上的點，在坐標平面內(nèi)是否存在點Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．17．如圖1，在平面直角坐標系中．直線與x軸、y軸相交于A、B兩點，動點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上時，過點D作DE⊥x軸于點E．（1）求證：△BOC≌△CED；（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當直線B′C′經(jīng)過點D時，求點D的坐標；（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上．是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．18．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，點C在y軸的負半軸上，若將△CAB沿直線AC折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點D處．（1）點A的坐標是，點B的坐標是，AB的長為；（2）求點C的坐標；（3）點M是y軸上一動點，若S△MAB＝S△OCD，直接寫出點M的坐標．（4）在第一象限內(nèi)是否存在點P，使△PAB為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．19．如圖，直角坐標系中，直線y＝kx+b分別與x軸、y軸交于點A（3，0），點B（0，﹣4），過D（0，8）作平行x軸的直線CD，交AB于點C，點E（0，m）在線段OD上，延長CE交x軸于點F，點G在x軸正半軸上，且AG＝AF．（1）求直線AB的函數(shù)表達式．（2）當點E恰好是OD中點時，求△ACG的面積．（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．20．如圖直線l：y＝kx+6與x軸、y軸分別交于點B、C兩點，點B的坐標是（﹣8，0），點A的坐標為（﹣6，0）．（1）求k的值．（2）若點P是直線l在第二象限內(nèi)一個動點，當點P運動到什么位置時，△PAC的面積為3，求出此時直線AP的解析式．（3）在x軸上是否存在一點M，使得△BCM為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．21．如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線l：y＝﹣x+m與x、y軸的正半軸分別相交于點A、B，過點C（﹣4，﹣4）畫平行于y軸的直線交直線AB于點D，CD＝10（1）求點D的坐標和直線l的解析式；（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；（3）如圖2，將直線l沿y軸負方向平移，當平移適當?shù)木嚯x時，直線l與x、y軸分別相交于點A′、B′，在直線CD上存在點P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．（不必書寫解題過程）22．直線y＝kx﹣4與x軸、y軸分別交于B、C兩點，且＝．（1）求點B的坐標和k的值；（2）若點A時第一象限內(nèi)的直線y＝kx﹣4上的一動點，則當點A運動到什么位置時，△AOB的面積是6？（3）在（2）成立的情況下，x軸上是否存在點P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．23．如圖，一次函數(shù)y1＝x+n與x軸交于點B，一次函數(shù)y2＝﹣x+m與y軸交于點C，且它們的圖象都經(jīng)過點D（1，﹣）．（1）則點B的坐標為，點C的坐標為；（2）在x軸上有一點P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值；（3）在（2）的條件下，在y軸的右側(cè)，以CP為腰作等腰直角△CPM，直接寫出滿足條件的點M的坐標．24．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與y軸交于點A（0，4），與直線y＝﹣x﹣1在第四象限相交于點B，連接OB，△AOB的面積為6．（1）求點B的坐標及直線AB的解析式；（2）已知點M在直線AB右側(cè)，且△MAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請求出符合條件的點M的坐標．25．綜合與探究：如圖，直線l1：y＝x+3與過點A（3，0）的直線l2：y＝kx+b（k≠0）交于點C（1，m）與x軸交于點B．（1）求直線l2對應的函數(shù)解析式；（2）請直接寫出不等式kx+b＜x+3的解集；（3）若點N在平面直角坐標系內(nèi)，則在直線l1上是否存在點F使以A，B，F(xiàn)，N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．26．一次函數(shù)y＝kx+（k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A（1，0）、B（0，m）兩點．（1）求一次函數(shù)解析式和m的值；（2）將線段AB繞著點A旋轉(zhuǎn)，點B落在x軸負半軸上的點C處．點P在直線AB上，直線CP把△ABC分成面積之比為2：1的兩部分．求直線CP的解析式；（3）在第二象限是否存在點D，使△BCD是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．27．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，且與正比例函數(shù)y＝k2x的圖象交點為C（3，4）．（1）求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式．（2）若點D在第二象限，△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請求出點D的坐標．（3）在y軸上是否存在一點P使△POC為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點P的坐標．28．在學