平面向量應用舉例

2、5平面向量應用舉例

一、教材分析

向量概念有明確得物理背景與幾何背景，物理背景就是力、速度、加速度等，幾何背景就

是有向線段,可以說向量概念就是從物理背景、幾何背景中抽象而來得，正因為如此,運用向

量可以解決一些物理與幾何問題，例如利用向量計算力沿某方向所做得功，利用向量解決平

面內(nèi)兩條直線平行、垂直位置關系得判定等問題。

二、教學目標

1、通過應用舉例，讓學生會用平面向量知識解決幾何問題得兩種方法---------向量法

與坐

標法,可以用向量知識研究物理中得相關問題得“四環(huán)節(jié)”與生活中得實際問題

2、通過本節(jié)得學習，讓學生體驗向量在解決幾何與物理問題中得工具作用，增強學生得

積極主動得探究意識,培養(yǎng)創(chuàng)新精神。

三、教學重點難點

重點:理解并能靈活運用向量加減法與向量數(shù)量積得法則解決幾何與物理問題、

難點：選擇適當?shù)梅椒ǎ瑢缀螁栴}或者物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題加以解決、

四、學情分析

在平面幾何中，平行四邊形就是學生熟悉得重要得幾何圖形,而在物理中，受力分析則就

是其中最基本得基礎知識，那么在本節(jié)得學習中，借助這些對于學生來說，非常熟悉得內(nèi)容

來講解向量在幾何與物理問題中得應用。

五、教學方法

1、例題教學，要讓學生體會思路得形成過程，體會數(shù)學思想方法得應用.

2、學案導學:見后面得學案

3、新授課教學基本環(huán)節(jié):預習檢查、總結(jié)疑惑一情境導入、展示目標一合作探究、精

講點撥一反思總結(jié)、當堂檢測一發(fā)導學案、布置預習

六、課前準備

1、學生得學習準備:預習本節(jié)課本上得基本內(nèi)容，初步理解向量在平面幾何與物理中得

應用

2、教師得教學準備:課前預習學案，課內(nèi)探究學案,課后延伸拓展學案。

七、課時安排：1課時

八、教學過程

（-）預習檢查、總結(jié)疑惑

檢查落實了學生得預習情況并了解了學生得疑惑，使教學具有了針對性。

（二）情景導入、展示目標

教師首先提問：（1）若0為重心，則++=

（2）水渠橫斷面就是四邊形,=,且I=I,則這個四邊形

為等腰梯形、類比幾何元素之間得關系，您會想到向量運算之間都有什么關系？

（3）兩個人提一個旅行包，夾角越大越費力、為什么？

教師:本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何與物理問題;掌握向量法與坐標法，以及

用向量解決平面幾何與物理問題得步驟，已經(jīng)布置學生們課前預習了這部分，檢查學生預習

情況并讓學生把預習過程中得疑惑說出來.

（設計意圖:步步導入，吸引學生得注意力，明確學習目標.）

（三）合作探究、精講點撥.

探究一：（1）向量運算與幾何中得結(jié)論"若,貝山且所在直線平行或重合"相類比，您有

什么體會？（2）由學生舉出幾個具有線性運算得幾何實例.

教師:平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運算及數(shù)量積表示出

來：例如,向量數(shù)量積對應著幾何中得長度、如圖：平行四邊行中，設=,=,則（平移）,,（長

度)。向量，得夾角為、因此，可用向量方法解決平面幾何中得一些問題。通過向量運算研究

幾何運算之間得關系，如距離、夾角等。把運算結(jié)果"翻譯"成幾何關系。本節(jié)課，我們就

通過幾個具體實例，來說明向量方法在平面幾何中得運用

例1。證明：平行四邊形兩條對角線得平方與等于四條邊得平方與.

已知：平行四邊形ABC，。

求證:.

分析：用向量方法解決涉及長度、夾角得問題時，我們常常要考慮向量得數(shù)量積?注意

到，，我們計算與。

證明：不妨設a,6,則

a+b,a-b,\a\2,Ib\\

得(a+b)-(a+b)

=aa+a-b-srba+bb=\aI~2a-b+IAI2o①

同理IaI2—20b+\bI2.②

①+②得2(IaI2+|*|2)=2().

所以，平行四邊形兩條對角線得平方與等于四條邊得平方與.

師:您能用幾何方法解決這個問題嗎？

讓學生體會幾何方法與向量方法得區(qū)別與難易情況。

師：由于向量能夠運算,因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性,她把一個思辨過程變

成了一個算法過程，可以按照一定得程序進行運算操作,從而降低了思考問題得難度、

用向量方法解決平面幾何問題,主要就是下面三個步驟，

⑴建立平面幾何與向量得聯(lián)系，用向量表示問題中涉及得幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)

化為向量問題；

⑵通過向量運算,研究幾何元素之間得關系，如距離、夾角等問題；

⑶把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關系.

變式訓練:中，D、E、F分別就是AB、BC、CA得中點，BF與CD交于點0,設(1)證明

A、0、E三點共線;(2)用表示向量。

例2,如圖，平行四邊形中，點E、尸分別就是A。、0c邊得中點，BE、BF分

別與交于7?、T兩點，您能發(fā)現(xiàn)ARRT、7c之間得關系嗎？

分析：由于8、T就是對角線AC上兩點，所以要判斷AR、RT、TC之間得關系，只需要

分別判斷AR、RT、TC與A。之間得關系即可.

解:設a,仇則a+b.

由與共線，因此。存在實數(shù)小使得=m(a+6).

又由與共線

因此存在實數(shù)“，使得—n=n(Z>—a).

由=〃，得相(a+b')=a+n(b一a)o

整理得a+b=O.

由于向量a、b不共線，所以有，解得.

所以。

同理

于就是

所以AR=RT=TCO

說明:本例通過向量之間得關系闡述了平面幾何中得方法,待定系數(shù)法使

用向量方法證明平面幾何問題得常用方法.F

探究二：（1）兩個人提一個旅行包，夾角越大越費力、，'：'、

（2）在單杠上做引體向上運動，兩臂夾角越小越省力、這些問題就是為，/：''

什么？

師：向量在物理中得應用，實際上就就是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然\L/

后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲得得結(jié)果解釋物理現(xiàn)象.

例3.在日常生活中，您就是否有這樣得經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，

G

夾角越大越費力;在單杠上作引體向上運動，兩臂得夾角越小越省力.您能從

數(shù)學得角度解釋這種現(xiàn)象嗎？

分析：上面得問題可以抽象為如右圖所示得數(shù)學模型.只要分析清楚尸、,

G、三者之間得關系（其中歹為Fi、F2得合力），就得到了問題得數(shù)學解釋。

解:不妨設3/=I戶2I,由向量加法得平行四邊形法則，理得平衡原理以及直角三角

形得指示，可以得到

FiI=?

通過上面得式子我們發(fā)現(xiàn)，當由逐漸變大時，由逐漸變大，得值由大逐漸變小，因此,|E|

有小逐漸變大，即戶I、F2之間得夾角越大越費力，夾角越小越省力。

師：請同學們結(jié)合剛才這個問題，思考下面得問題：

⑴為何值時，IFiI最小,最小值就是多少？

⑵|尸」能等于IG|嗎?為什么？

例4如圖，一條河得兩岸平行，河得寬度m,一艘船從B

A處出發(fā)到河對岸。已知船得速度IyJ=10km/h,水流得\'\

速度I以1=2km/h,問行駛航程最短時，所用得時間就是多\

少（精確到0、1min）?x.'、、

分析:如果水就是靜止得,則船只要取垂直于對岸得方\、'、、

向行駛，就能使行駛航程最短，所用時間最短?？紤]到水A-----------------*

得流速，要使船得行駛航程最短,那么船得速度與水流速度得合速度v必須垂直于對岸.（用

《幾何畫板》演示水流速度對船得實際航行得影響）

解:=（km/h）,

所以，（min）0

答:行駛航程最短時，所用得時間就是3、imino

本例關鍵在于對“行駛最短航程”得意義得解釋，即“分析”中給出得穿必須垂直于河

岸行駛，這就是船得速度與水流速度得合速度應當垂直于河岸，分析清楚這種關系侯，本例

就容易解決了.

變式訓練:兩個粒子A、B從同一源發(fā)射出來，在某一時刻，它們得位移分別為，（1）寫出

此時粒子B相對粒子A得位移s;(2)計算s在方向上得投影。

九、板書設計

§2、5平面向量應用舉例

例L用向量法解平面幾何例2變式訓練

問題得“三步曲”

例3、例4

變式訓練

十、教學反思

本小節(jié)主要就是例題教學，要讓學生體會思路得形成過程，體會數(shù)學思想方法得應用。

教學中，教師創(chuàng)設問題情境,引導學生發(fā)現(xiàn)解題方法,展示思路得形成過程，總結(jié)解題規(guī)律。指

導學生搞好解題后得反思,從而提高學生綜合應用知識分析與解決問題得能力、

十一、學案設計(見下頁)。

2、5平面向量應用舉例

課前預習學案

一、預習目標

預習《平面向量應用舉例》，體會向量就是一種處理幾何問題、物理問題等得工具，建立

實際問題與向量得聯(lián)系。

二、預習內(nèi)容

閱讀課本內(nèi)容，整理例題，結(jié)合向量得運算，解決實際得幾何問題、物理問題。另外，在思

考一下幾個問題：

1.例1如果不用向量得方法，還有其她證明方法嗎？

2.利用向量方法解決平面幾何問題得“三步曲”就是什么？

3o例3中，⑴為何值時，|Fi|最小，最小值就是多少？

(2)I尸"能等于|GI嗎?為什么?

三、提出疑惑

同學們，通過您得自主學習，您還有哪些疑惑，請把它填在下面得表格中

疑惑點疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學案

一、學習內(nèi)容

1、運用向量得有關知識(向量加減法與向量數(shù)量積得運算法則等)解決平面幾何與解析

幾何中直線或線段得平行、垂直、相等、夾角與距離等問題、

2、運用向量得有關知識解決簡單得物理問題、

二、學習過程

探究一：(1)向量運算與幾何中得結(jié)論"若,貝且所在直線平行或重合"相類比，您有

什么體會？

(2)舉出幾個具有線性運算得幾何實例.

例1.證明:平行四邊形兩條對角線得平方與等于四條邊得平方與。

已知：平行四邊形/ec。。

求證：。

試用幾何方法解決這個問題

利用向量得方法解決平面幾何問題得“三步曲”？

(1)建立平面幾何與向量得聯(lián)系，

(2)通過向量運算，研究幾何元素之間得關系，

(3)把運算結(jié)果"翻譯"成幾何關系.

變式訓練：中,D、E、F分別就是AB、BC、CA得中點，BF與CD交于點0,設

(1)證明A、。、E三點共線；

(2)用表示向量。

例2,如圖，平行四邊形AMCZ)中，點E、尸分別就是A。、OC邊得

中點，BE、B尸分別與AC交于R、T兩點，您能發(fā)現(xiàn)AR、RT、之間得關系嗎？

探究二:兩個人提一個旅行包，夾角越大越費力、在單杠上做引體向上運動，兩臂夾角越

小越省力、這些力得問題就是怎么回事？

例3。在日常生活中，您就是否有這樣得經(jīng)驗:兩個人共提一個旅行包，

夾角越大越費力；在單杠上作引體向上運動，兩臂得夾角越小越省力。您能從

數(shù)學得角度解釋這種現(xiàn)象嗎？

請同學們結(jié)合剛才這個問題，思考下面得問題：

⑴為何值時，I尸J最小，最小值就是多少？

⑵I居I能等于|GI嗎？為什么？

例4如圖,一條河得兩岸平行，河得寬度口，一艘船從A

處出發(fā)到河對岸。已知船得速度|力I=10km/h,水流得速

度|兀I=2km/h,問行駛航程最短時，所用得時間就是多

少(精確到0、lmin)?

變式訓練:兩個粒子A、B從同一源發(fā)射出來，在某一

時刻，它們得位移分別為

,(1)寫出此時粒子B相對粒子A得位移s;(2)計算s在方

向上得投影.

三、反思總結(jié)

結(jié)合圖形特點，選定正交基底，用坐標表示向量進行運算解決幾何問題,體現(xiàn)幾何問題

代數(shù)化得特點，數(shù)形結(jié)合得數(shù)學思想體現(xiàn)得淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運算簡練標致,

又體現(xiàn)了數(shù)學得美。有關長方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問題常用此法.

本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何問題與物理問題;掌握向量法與坐標法，以及

用向量解決實際問題得步驟.

四、當堂檢測

1、已知，求邊長c.

2、在平行四邊形A