廣東省廣州市彭加木紀(jì)念中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測模擬試題含解析

廣東省廣州市彭加木紀(jì)念中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則②若，，，則③若，，則④若，，則其中正確命題的序號是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④2．在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P為CE上的任意一點(diǎn)，若，則（）A．2 B． C．3 D．不確定3．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對幾何問題有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指出的是：已知動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)M的軌跡是一個圓，稱之為阿波羅尼斯圓.請解答下面問題：已知，，若直線上存在點(diǎn)M滿足，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）A． B． C． D．4．如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以為直徑作兩個半圓，在扇形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．5．正三角形的邊長為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則的周長為（）A． B． C． D．6．關(guān)于x的不等式ax－b>0的解集是，則關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0≤0的解集是()A．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B．[－1,2]C．[1,2]D．(，1]∪[2，)7．已知，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．8．設(shè),為兩條不同的直線，,為兩個不同的平面，給出下列命題:①若，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，則與所成的角和與所成的角相等.其中正確命題的序號是()A．①② B．①④ C．②③ D．②④9．如圖，在矩形中，，,點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，則的最大值是()A． B． C． D．10．已知，，，，則（）A． B． C．或 D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知sin+cosα=，則sin2α=__12．若點(diǎn)，是圓C：上不同的兩點(diǎn)，且，則的值為______.13．若關(guān)于的方程（）在區(qū)間有實(shí)根，則最小值是____．14．?dāng)?shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________．15．在中，已知M是AB邊所在直線上一點(diǎn)，滿足，則________.16．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的通項(xiàng)公式為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知三棱錐中，，.若平面分別與棱相交于點(diǎn)且平面.求證:（1）；（2）.18．某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量（單位：百千克）與肥料費(fèi)用（單位：百元）滿足如下關(guān)系：，且投入的肥料費(fèi)用不超過5百元.此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費(fèi)等）百元.已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克（即16百元/百千克），且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為（單位：百元）.（1）求利潤函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？19．求傾斜角為且分別滿足下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)；（2）在軸上的截距是-5.20．已知向量，其中，記函數(shù)，已知的最小正周期為.(1)求；(2)當(dāng)時，試求函數(shù)的值域.21．已知圓的圓心在軸的正半軸上，半徑為2，且被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設(shè)是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，證明：經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個平面的兩條直線不一定平行，垂直于同一個平面和兩個平面也不一定平行，可得③④不正確．由此可得本題的答案．【詳解】解：對于①，因?yàn)?，所以?jīng)過作平面，使，可得，又因?yàn)?，，所以，結(jié)合得．由此可得①是真命題；對于②，因?yàn)榍?，所以，結(jié)合，可得，故②是真命題；對于③，設(shè)直線、是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故③不正確；對于④，設(shè)平面、、是位于正方體經(jīng)過同一個頂點(diǎn)的三個面，則有且，但是，推不出，故④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號是①和②故選：【點(diǎn)睛】本題給出關(guān)于空間線面位置關(guān)系的命題，要我們找出其中的真命題，著重考查了線面平行、面面平行的性質(zhì)和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．2、C【解析】

延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，可推出，，所以有，然后利用平面向量共線的推論即可求出【詳解】如圖，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為則在中有，，所以，所以有，同理可得因?yàn)樗砸驗(yàn)槿c(diǎn)共線，所以有，即故選：C【點(diǎn)睛】遇到三點(diǎn)共線時，要聯(lián)想到平面向量共線的推論：三點(diǎn)共線，若，則.3、B【解析】

根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得到關(guān)于的一元二次方程，只需即可求解.【詳解】點(diǎn)M在直線上，不妨設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由直線上存在點(diǎn)M滿足，則，整理可得，，所以實(shí)數(shù)c的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式、一元二次不等式的解法，考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.4、A【解析】試題分析：設(shè)扇形半徑為，此點(diǎn)取自陰影部分的概率是，故選B.考點(diǎn)：幾何概型.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查幾何概型，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.本題的總體思路較為簡單：所求概率值應(yīng)為陰影部分的面積與扇形的面積之比．但是，本題的難點(diǎn)在于如何求陰影部分的面積，經(jīng)分析可知陰影部分的面積可由扇形面積減去以為直徑的圓的面積，再加上多扣一次的近似“橢圓”面積．求這類圖形面積應(yīng)注意切割分解，“多還少補(bǔ)”.5、C【解析】

根據(jù)斜二測畫法以及正余弦定理求解各邊長再求周長即可.【詳解】由斜二測畫法可知,,,.所以.故..故.所以的周長為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了斜二測畫法的性質(zhì)以及余弦定理在求解三角形中線段長度的運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】試題分析：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式ax－b>0的解集是，所以，從而SKIPIF1<0≤0可化為SKIPIF1<0，解得，關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0≤0的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)，選A。考點(diǎn)：本題主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法。點(diǎn)評：簡單題，從已知出發(fā)，首先確定a,b的關(guān)系，并進(jìn)一步確定一元二次不等式的解集。7、D【解析】

依次判斷每個選項(xiàng)得出答案.【詳解】A.，取，不滿足，排除B.，取，不滿足，排除C.，當(dāng)時，不滿足，排除D.，不等式兩邊同時除以不為0的正數(shù)，成立故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識.8、D【解析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)和面面垂直的判定可知②④正確.【詳解】對于①，若，，或，故①錯；對于②，過作一個平面，它與平面交于，則，因?yàn)?，故，因?yàn)椋?，故②成立；對于③，由面面垂直的性質(zhì)定理可知前提條件缺少，故③錯；對于④，如圖所示，如果分別于平面斜交，且斜足分別為，在直線上分別截取斜線段、，使得，過分別作平面的垂線，垂足分別為，連接，則分別為與平面所成的角、與平面所成的角，因?yàn)?，故，所以，?當(dāng)分別垂直于時，；當(dāng)分別平行于時，；故與所成的角和與所成的角相等，故④正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查空間中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，正確判斷這些命題的真假的前提是熟悉公理、定理的前提條件，同時需要動態(tài)考慮它們的位置關(guān)系，觀察是否有不同的情況出現(xiàn).9、A【解析】

把線段最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立函數(shù)表達(dá)式，從而求得最值.【詳解】設(shè)，，，，，，，，，，的最大值是.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，建立合適的函數(shù)關(guān)系式是解決此題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的分析能力及數(shù)學(xué)建模能力.10、B【解析】

先根據(jù)角的范圍及平方關(guān)系求出和，然后可算出，進(jìn)而可求出【詳解】因?yàn)?，，，所以，，所以，所以因?yàn)?，所以故選：B【點(diǎn)睛】在由三角函數(shù)的值求角時，應(yīng)根據(jù)角的范圍選擇合適的三角函數(shù)，以免產(chǎn)生多的解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】∵，∴即，則.故答案為：.12、【解析】

由，再結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，是圓C：上不同的兩點(diǎn)，則，，又所以，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.13、【解析】

將看作是關(guān)于的直線方程，則表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，根據(jù)距離公式可求出點(diǎn)到直線的距離最小，再結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性，可求出最小值?！驹斀狻繉⒖醋魇顷P(guān)于的直線方程，表示點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)?，令，在上單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式以及對勾函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的的應(yīng)用。14、【解析】

先利用裂項(xiàng)求和法將數(shù)列的通項(xiàng)化簡，并求出，由此可得出的值.【詳解】，.，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查裂項(xiàng)法求和，要理解裂項(xiàng)求和法對數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)的要求，并熟悉裂項(xiàng)法求和的基本步驟，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、3【解析】

由M在AB邊所在直線上，則，又，然后將，都化為，即可解出答案.【詳解】因?yàn)镸在直線AB上，所以可設(shè)，

可得，即，又，則由與不共線，所以，解得.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查向量的減法和向量共線的利用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

已知求，通常分進(jìn)行求解即可?！驹斀狻繒r，，化為：．時，，解得．不滿足上式．∴數(shù)列在時成等比數(shù)列．∴時，．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)式的求法:求數(shù)列通項(xiàng)式常用的方法有累加法、定義法、配湊法、累乘法等。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用線面平行的性質(zhì)定理可得線線平行，最后利用平行公理可以證明出；（2）利用線面垂直的判定定理可以證明線面垂直，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明線線垂直，利用平行線的性質(zhì)，最后證明出.【詳解】證明（1）因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?平面，所以有,同理可證出,根據(jù)平行公理，可得；（2）因?yàn)?，?平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理、以及平行公理的應(yīng)用.18、（1）見解析（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時，種植該果樹獲得的最大利潤是4300元.【解析】試題分析：（1）根據(jù)利潤等于收入減成本列式：，由投入的肥料費(fèi)用不超過5百元及實(shí)際意義得定義域，（2）利用基本不等式求最值：先配湊：，再根據(jù)一正二定三相等求最值.試題解析：解：（1）（）.（2）.當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.故.答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時，種植該果樹獲得的最大利潤是4300元.19、（1）（2）【解析】

(1)利用傾斜角與斜率的關(guān)系與點(diǎn)斜式求解即可.(2)利用點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】解：（1）∵所求直線的傾斜角為,斜率,又∵經(jīng)過,故方程為∴即方程為.（2）∵所求直線在軸上的截距是-5,又有斜率,故方程為∴所求方程為【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線斜率與傾斜角的關(guān)系以及直線方程的點(diǎn)斜式運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.20、（1）1（2）【解析】

（1）先根據(jù)向量數(shù)列積得關(guān)系式，再根據(jù)二倍角公式以及配角公式化為基本三角函數(shù)形式，最后根據(jù)正弦函數(shù)周期性得；（2）先根據(jù)x取值范圍得范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定值域.【詳解】（1）（2）由（1）知，，，所以函數(shù)的值域.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式、配角公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解能力.21、(1)圓：.(2)證明見解析；，.【解析】

（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式以及圓的弦長列方程，解方程求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓的方程.（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)過圓的