2025優(yōu)化設(shè)計一輪 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用

第6節(jié)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用高考總復(fù)習優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標解讀1.結(jié)合具體實例,了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義;能借助圖象理解參數(shù)A,ω,φ的意義,了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響.2.會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題,體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.研考點精準突破目錄索引

強基礎(chǔ)固本增分12強基礎(chǔ)固本增分知識梳理1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的有關(guān)概念

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x≥0)表示一個簡諧運動時振幅周期頻率相位初相

T=

f==

Aωx+φφ2.五點法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一個周期內(nèi)的簡圖時,要找出的五個特征點如下表所示:

精髓是通過變量代換,求出相應(yīng)的x,然后描點、作圖

主要指平移變換(相位變換)和伸縮變換(周期變換、振幅變換)3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換由函數(shù)y=sin

x的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖象的兩種方法.微思考先平移變換再周期變換和先周期變換再平移變換有什么聯(lián)系與區(qū)別?提示

兩種變換方法都是針對x而言的,即x本身加減多少,而不是ωx加減多少.先平移變換(左右平移),再周期變換(伸縮變換),平移的量是|φ|個單位長度,而先周期變換(伸縮變換),再平移變換(左右平移),平移的量是

個單位長度.常用結(jié)論1.三角函數(shù)圖象的平移規(guī)則是“左加右減”“上加下減”.2.在函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,若其最大值、最小值分別為M,m,則自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.利用圖象變換作圖時“先平移,后伸縮”與“先伸縮,后平移”中平移的長度一致.(

)4.由圖象求函數(shù)解析式時,振幅A的大小是由一個周期內(nèi)圖象中最高點的值與最低點的值確定的.(

)×××√C解析

依題意,應(yīng)把圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的

倍,橫坐標不變.6.(人教A版必修第一冊習題5.6第4題)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,此函數(shù)的解析式為_______________.

D研考點精準突破考點一函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象(多考向探究預(yù)測)DBDA規(guī)律方法三角函數(shù)圖象變換的關(guān)鍵點三角函數(shù)的平移變換問題類型多、情況復(fù)雜、技巧性強,在解題時容易出現(xiàn)錯誤,破解此類題的關(guān)鍵如下:(1)定函數(shù):一定要看準是將哪一個函數(shù)的圖象變換得到哪一個函數(shù)的圖象.(2)變同名:變換前后函數(shù)的名稱要一樣.(3)選方法:即選擇變換方法.要注意:對于函數(shù)y=sin

ωx(ω>0)的圖象,向左平移|φ|個單位長度得到的是函數(shù)y=sin[ω(x+|φ|)]的圖象.ACBC[對點訓(xùn)練2](多選題)(2020·新高考Ⅰ,10)右圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖象,則sin(ωx+φ)=(

)BC考點二函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用BC(-2,-1)變式探究(換條件)本例(2)中,若將“有兩個不同的實數(shù)根”改為“有實根”,則m的取值范圍是__________.

[-2,1)規(guī)律方法利用三角函數(shù)圖象解決方程根或零點問題的方法(1)研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在給定區(qū)間上零點個數(shù)問題時,仍然采用整體換元的方法,將ωx+φ

作為一個整體,結(jié)合函數(shù)的周期性確定ωx+φ

的范圍,從而解決問題.(2)將方程的根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題,結(jié)合三角函數(shù)的周期性,建立不等式組進行求解.BCD考點三三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用例4(2024·廣東珠海一中模擬)摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)(如圖1),某摩天輪的最高點距離地面的高度為90米,最低點距離地面10米,摩天輪上均勻設(shè)置了36個座艙(如圖2),開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動,游客在座艙離地面最近時的位置進入座艙,摩天輪轉(zhuǎn)完一周后游客在相同的位置離開座艙,摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30分鐘,當游客甲坐上摩天輪的座艙時開始計時.(1)經(jīng)過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米,已知H關(guān)于t的函數(shù)解析式滿足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|≤π),求摩天輪轉(zhuǎn)動一周的函數(shù)解析式H(t);(2)游客甲坐上摩天輪后多長時間,距離地面的高度恰好為30米?規(guī)律方法三角函數(shù)模型在實際應(yīng)用中的2種類型及其解題策略(1)已知函數(shù)模型,利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題,其關(guān)鍵是準確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系;(2)把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,建立三角函數(shù)模型,再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題,其關(guān)鍵是建模.[對點訓(xùn)練4](多選題)(2024·湖南長沙明德中學(xué)模擬)心臟跳動時,血壓在增加或減小,血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓,健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為120~140mmHg和60~90mmHg,血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓,讀數(shù)120/80mmHg為標準值.記某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)=a+bsin

ωt,其中p(t)為血壓(單位