初中數(shù)學(xué)課程- 第三章 統(tǒng)計(jì)與概率

初中數(shù)學(xué)課程_第三章統(tǒng)計(jì)與概率

隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，信息化時(shí)代的到來(lái)，人們常常需要收集大量的數(shù)據(jù)，根

據(jù)所獲得的數(shù)據(jù)提取有價(jià)值的信息，作出合理的決策。統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、

整理、描述和分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，它可以為人們制定決策提供依據(jù)，又為人們認(rèn)識(shí)客

觀世界提供了重要的思維模式和解決問(wèn)題的方法。

當(dāng)前，在統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)中存在的問(wèn)題：重視繁雜的計(jì)算，忽視和淡化統(tǒng)計(jì)概率模

型的理解、建立和應(yīng)用，缺乏問(wèn)題意識(shí)和數(shù)據(jù)處理能力，以教師講實(shí)驗(yàn)、說(shuō)實(shí)驗(yàn)來(lái)

代替學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)，存在嚴(yán)重的應(yīng)試傾向，等等。要想解決這些問(wèn)題，數(shù)學(xué)教師

要正確理解數(shù)學(xué)、概率、統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，整體把握統(tǒng)計(jì)與概率基本知識(shí)脈絡(luò)，正

確解釋基本概念的含義，樹(shù)立正確的數(shù)據(jù)分析觀念。

一、明確教與學(xué)的目標(biāo)

1.初步識(shí)記初中統(tǒng)計(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別，初步識(shí)記數(shù)據(jù)分析觀念的含義，初

步養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說(shuō)話的習(xí)慣。

2.培養(yǎng)以隨機(jī)的觀點(diǎn)來(lái)理解世界，形成提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3.領(lǐng)會(huì)收集數(shù)據(jù)的方法：調(diào)查與實(shí)驗(yàn)。

4.領(lǐng)會(huì)統(tǒng)計(jì)表及其制作方法，并能夠利用條形圖、折線圖、扇形圖、直方圖等描

述數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等分析數(shù)據(jù)。

5.正確理解概率的意義，并能夠用多種方法計(jì)算概率;

6.學(xué)會(huì)實(shí)驗(yàn)和調(diào)查設(shè)計(jì)，并能夠解決實(shí)際問(wèn)題。

二、正確選擇教與學(xué)的方式方法

1.恰當(dāng)使用信息技術(shù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，突出統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)意義。對(duì)于統(tǒng)計(jì)

的教與學(xué)，必須強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)基本思想和方法的認(rèn)識(shí)和理解，而不能把統(tǒng)計(jì)作為計(jì)算統(tǒng)

計(jì)量的學(xué)習(xí)。

2.突出過(guò)程。以統(tǒng)計(jì)過(guò)程為線索處理統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容。統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要任務(wù)是，

研究如何以有效的方式收集和處理受隨機(jī)性影響的數(shù)據(jù)，通過(guò)分析數(shù)據(jù)對(duì)所考察的

問(wèn)題做出推斷和預(yù)測(cè)，從而為決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議。統(tǒng)計(jì)是一個(gè)包括數(shù)據(jù)的

收集、整理、描述和分析（包括概率）的完整過(guò)程。

3.強(qiáng)調(diào)活動(dòng)。通過(guò)活動(dòng)體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的思想，建立統(tǒng)計(jì)的觀念。統(tǒng)計(jì)與生活實(shí)際是密

切聯(lián)系的，在收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)以及利用數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)、推斷和決策的過(guò)程中包

含著大量的活動(dòng)，完成這些活動(dòng)需要正確的統(tǒng)計(jì)思想觀念的指導(dǎo)。

4.循序漸進(jìn)、螺旋上升式安排內(nèi)容。

三、準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)、概率、統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系

統(tǒng)計(jì)是數(shù)據(jù)分析的科學(xué)和藝術(shù)。統(tǒng)計(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)在許多方面存在差異、合而不同。

相對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)性來(lái)說(shuō)，統(tǒng)計(jì)學(xué)既是科學(xué)也是藝術(shù)。

（一）研究問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不同

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來(lái)的數(shù)和圖形。數(shù)學(xué)研究問(wèn)題必須有定義，

即數(shù)學(xué)研究問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)是定義，沒(méi)有定義無(wú)法進(jìn)行數(shù)學(xué)的研究，比如，對(duì)數(shù)進(jìn)行

運(yùn)算，必須對(duì)加法進(jìn)行定義，加法是定義出來(lái)的，然后逐步擴(kuò)充到更廣泛的領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)論證的出發(fā)點(diǎn)是公理，比如，任意兩個(gè)不同的數(shù)之間總能插進(jìn)去一個(gè)數(shù)，這是

連續(xù)性公理；兩點(diǎn)之間直線最短等。另外，數(shù)學(xué)研究必須遵循大家認(rèn)可的一些規(guī)

則，比如，三段論、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等。而統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)不同，它的出發(fā)點(diǎn)不是

定義，也不是公理，甚至不是規(guī)則，而是數(shù)據(jù)，因此有人有稱(chēng)其為數(shù)據(jù)分析。統(tǒng)計(jì)

研究所依賴(lài)的是模型，構(gòu)建一些模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究。但是，統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)有著密

切的聯(lián)系，我們拿來(lái)數(shù)學(xué)的很多知識(shí)、思想方法作為統(tǒng)計(jì)分析的工具。

(-)研究問(wèn)題的立論基礎(chǔ)不同

從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系這個(gè)角度考慮，數(shù)學(xué)是建立在概念和符號(hào)的基礎(chǔ)上的。為了研究

數(shù)量，先從數(shù)量中抽象出自然數(shù)以及自然數(shù)的運(yùn)算法則，根據(jù)運(yùn)算的需要逐漸進(jìn)行

數(shù)的擴(kuò)充：自然數(shù)與加法，整數(shù)與減法，有理數(shù)與除法，實(shí)數(shù)與極限；為了研究數(shù)

量關(guān)系，定義了方程、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、微分方程。對(duì)數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程的

討論我們知道，一個(gè)好的概念的形成和一個(gè)好的符號(hào)表達(dá)對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展是至關(guān)重

要的。而統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在數(shù)據(jù)和模型的基礎(chǔ)上，雖然概念和符號(hào)對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展

也是重要的，但是統(tǒng)計(jì)學(xué)在本質(zhì)上是通過(guò)數(shù)據(jù)和模型進(jìn)行推斷的。

(三)研究問(wèn)題的方法不同

與概念和符號(hào)相對(duì)應(yīng)，數(shù)學(xué)的推理依賴(lài)的是公理和假設(shè)，雖然這些公理和假設(shè)可能

是來(lái)源于人們的經(jīng)驗(yàn)和直觀；數(shù)學(xué)的推理過(guò)程在本質(zhì)上是演繹法，是一個(gè)從一般到

特殊的方法，而統(tǒng)計(jì)學(xué)的推斷依賴(lài)的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，強(qiáng)調(diào)根據(jù)背景尋找

合適的推斷方法；統(tǒng)計(jì)學(xué)的推斷過(guò)程在本質(zhì)上是歸納法，這是一個(gè)從部分推斷全體

的方法，是一個(gè)從特殊到一般的方法。

（四）研究問(wèn)題的判斷原則不同

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是確定性的，它對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是對(duì)與錯(cuò)，從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)

是一門(mén)科學(xué)，而統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也

允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果，我們很難說(shuō)

哪種方法方法是對(duì)的哪種方法是錯(cuò)的。因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是好與壞，

從這個(gè)意義上說(shuō)，統(tǒng)計(jì)學(xué)不僅是一門(mén)科學(xué)，也是一門(mén)藝術(shù)，因?yàn)樗囆g(shù)允許“仁者見(jiàn)

仁，智者見(jiàn)智

下面我們通過(guò)一個(gè)案例來(lái)闡述統(tǒng)計(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的不同：

例1假設(shè)：在一所小學(xué)，對(duì)于香港的男演員，學(xué)生們不是喜歡成龍就是喜歡周星

馳。首先建立關(guān)系式事=38,其中無(wú)表示學(xué)生，，表示學(xué)生喜歡的演員。為了

方便起見(jiàn)，用1表示周星馳，用2表示成龍。

如果我們知道，這所小學(xué)3年級(jí)的學(xué)生喜歡周星馳，4?6年級(jí)的學(xué)生喜歡

成龍，那么，就構(gòu)成了一個(gè)函數(shù)關(guān)系x=4.5.6.

學(xué)生是三年級(jí)以下的，即工=3,則函數(shù)值對(duì)應(yīng)于周星馳，即事學(xué)生是四

年級(jí)以上的，即則函數(shù)值對(duì)應(yīng)于成龍，即產(chǎn)=2。

12

如果我們知道，這所小學(xué)的學(xué)生有『喜歡周星馳，有號(hào)喜歡成龍，則構(gòu)成了概率

關(guān)系。令口=1，表示事件“學(xué)生喜歡周星馳”，力=2｝表示事件“學(xué)生喜歡成龍,,,

那么對(duì)于一名隨機(jī)抽查到的學(xué)生，這名學(xué)生喜歡周星馳和成龍的概率分別

為

也就是說(shuō)：函數(shù)給定一個(gè)X只能取一個(gè)值；而概率給定一個(gè)無(wú)可能取兩個(gè)值1或

2,只是取1或2的可能性不同而已。

如果我們除了前面假想的背景，即“該所小學(xué)的學(xué)生們不是喜歡成龍就是喜歡周星

馳”以外沒(méi)有其他信息，希望通過(guò)調(diào)查數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)學(xué)生喜歡兩位演員的分布，則是

統(tǒng)計(jì)關(guān)系。令學(xué)生喜歡周星馳的概率為尸，我們通過(guò)調(diào)查來(lái)估計(jì)這個(gè)概率。調(diào)查

m

了〃名學(xué)生，其中有名學(xué)生喜歡周星馳，于是我們就用三來(lái)估計(jì)尸：這時(shí)學(xué)

生喜歡喜歡成龍的概率就是用”來(lái)估計(jì)，這實(shí)際上是最大似然估計(jì)。

當(dāng)然，我們還可以更仔細(xì)地來(lái)估計(jì)學(xué)生喜歡兩位演員的分布，比如，分別調(diào)查每個(gè)

年級(jí)學(xué)生的情況，或者分別調(diào)查男生女生的情況，等等。

從這個(gè)案例可以進(jìn)一步看到，數(shù)學(xué)（甚至包括概率）更側(cè)重研究確定性的問(wèn)題，而

統(tǒng)計(jì)學(xué)則更側(cè)重研究不確定的問(wèn)題。

四、統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)脈絡(luò)的整體把握

（-）統(tǒng)計(jì)學(xué)簡(jiǎn)介

統(tǒng)計(jì)學(xué)，《大不列顛百科全書(shū)》定義為“關(guān)于收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)。”

一般統(tǒng)計(jì)學(xué)產(chǎn)生于國(guó)家管理中各種數(shù)據(jù)的處理。比如國(guó)民收入、各種稅收等等都需

要分析研究。為了直觀，人們發(fā)明各種報(bào)表，以及直方圖、扇形圖等等。并通過(guò)

圖表形式對(duì)所搜集的數(shù)據(jù)進(jìn)行加工處理，借以描述客觀現(xiàn)象所呈現(xiàn)的規(guī)律性數(shù)量

特征。

這種傳統(tǒng)意義的統(tǒng)計(jì)學(xué)描述統(tǒng)計(jì)學(xué)現(xiàn)在小學(xué)統(tǒng)計(jì)教

(descriptivestatistics)0

學(xué)中，首先接觸的就是畫(huà)各種統(tǒng)計(jì)圖。

這樣的統(tǒng)計(jì)學(xué)，還沒(méi)有和隨機(jī)性現(xiàn)象聯(lián)系起來(lái)。大約在14世紀(jì)以后，人們開(kāi)始

關(guān)注數(shù)據(jù)的來(lái)源。例如國(guó)民收入，是一戶(hù)不漏地統(tǒng)計(jì)出來(lái)的，還是抽一部分地區(qū)

的國(guó)民收入推斷出來(lái)的呢？如果是從部分地區(qū)推斷出來(lái)的，就涉及“由部分推斷整

體”的問(wèn)題。若問(wèn)推斷是否準(zhǔn)確？準(zhǔn)確到什么程度？由于部分的資料不完備，推斷

的答案就是不是確定的。這樣一來(lái)，統(tǒng)計(jì)學(xué)就成為一種“不確定”的隨機(jī)現(xiàn)象了。

再如，航海保險(xiǎn)業(yè)為了合理地確定保險(xiǎn)金與賠償金，需要了解不同季節(jié)、不同路線

航海出現(xiàn)事故的可能性的大小。比如根據(jù)過(guò)去的資料?，知道臺(tái)風(fēng)季節(jié)航行事故

多，于是推斷出今后凡在臺(tái)風(fēng)季節(jié)航行的船只，保險(xiǎn)費(fèi)就要高。這是從“過(guò)去的資

料推斷今后“，推斷是否合理，又是不確定的現(xiàn)象了。值得注意的是，過(guò)去的資

料也只是“部分”，廣義地看，仍然是從部分推斷總體。

這兩個(gè)例子，都涉及如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)去推斷總體的數(shù)量特征。這樣的統(tǒng)計(jì)學(xué)稱(chēng)

為推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)。用數(shù)學(xué)解釋和證明推斷統(tǒng)計(jì)原理、方法的學(xué)問(wèn)，我們稱(chēng)為數(shù)理統(tǒng)

計(jì)學(xué)，它是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是以概率為基礎(chǔ)，對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系的

模式加以解釋?zhuān)瑢?duì)統(tǒng)計(jì)原理和方法給予數(shù)學(xué)的證明。它與應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)構(gòu)成統(tǒng)計(jì)學(xué)的

全部。

初中數(shù)學(xué)中，，統(tǒng)計(jì)與概率，，的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，除了一部分描述統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容之外，還要學(xué)

習(xí)運(yùn)用概率觀念的推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)。顯然，由部分推斷總體是一種不完全的歸納，結(jié)論

不能完全確定。由于初中數(shù)學(xué)中的其他數(shù)學(xué)內(nèi)容都是研究確定性現(xiàn)象的，所以學(xué)習(xí)

起來(lái)有一些困難。

更進(jìn)一步，由于可以用各種方法對(duì)樣本的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納整理、分析判斷，因此，得

到的結(jié)論也可能是不同的。我們很難說(shuō)哪一種方法是對(duì)的，哪一種方法是錯(cuò)的，我

們只能說(shuō)，為了能夠更客觀地反映實(shí)際背景，哪種方法要更好一些。比如，我們

希望知道某公司員工的收入情況，可以用平均數(shù)也可以用中位數(shù)，很難說(shuō)哪個(gè)方法

對(duì)哪個(gè)方法錯(cuò)。事實(shí)上，如果收入比較均衡，用平均數(shù)要好一些；如果收入比較極

端，用中位數(shù)要好一些。統(tǒng)計(jì)學(xué)關(guān)心更多的是好與不好，而小學(xué)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)關(guān)心更多

的是對(duì)與錯(cuò)。這是學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的又一個(gè)困難。

（二）數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的基本步驟

用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，一般有如下幾個(gè)步驟：建立數(shù)學(xué)模型，收集

整理數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷、預(yù)測(cè)和決策。當(dāng)然，這些環(huán)節(jié)不能截然分開(kāi)，也不一定

按上述次序，有時(shí)是互相交錯(cuò)的。

（1）模型的選擇和建立。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，模型是指關(guān)于所研究總體的某種假

定，一般是給總體分布規(guī)定一定的類(lèi)型。建立模型要依據(jù)概率的知識(shí)、所研究問(wèn)題

的專(zhuān)業(yè)知識(shí)、以往的經(jīng)驗(yàn)以及從總體中抽取的樣本（數(shù)據(jù)）。比如，我們知道，

同年齡兒童的身高，總是兩頭小、中間大，即特高和特矮的人數(shù)少。

(2)數(shù)據(jù)的收集。其方法主要包括全面觀測(cè)、抽樣觀測(cè)和安排特定的實(shí)驗(yàn)3種

方式。全面觀測(cè)又稱(chēng)普查，即對(duì)總體中每個(gè)個(gè)體都加以觀測(cè)，測(cè)定所需要的指標(biāo)。

抽樣觀測(cè)又稱(chēng)抽查，是指從總體中抽取一部分，測(cè)定其有關(guān)的指標(biāo)值。這方面的研

究?jī)?nèi)容構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)分支學(xué)科。叫抽樣調(diào)查。

比如，希望知道學(xué)生的身高，先驗(yàn)知識(shí)是“年齡之間差別很大因此，最好是根據(jù)

年齡段學(xué)生數(shù)的多少按比例抽取樣本，我們稱(chēng)這種方法為“分層抽樣希望知道學(xué)

生喜歡的歌手，年齡之間差別可能不大，就要采取“隨機(jī)抽樣當(dāng)然，也可以用

“分層抽樣”，但是要麻煩得多。

(3)安排特定實(shí)驗(yàn)以收集數(shù)據(jù)，這些特定的實(shí)驗(yàn)要有代表性，并使所得數(shù)據(jù)便

于進(jìn)行分析。這里面所包含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的又一分支學(xué)科，即實(shí)驗(yàn)

設(shè)計(jì)的內(nèi)容。

(4)數(shù)據(jù)整理。目的是把包含在數(shù)據(jù)中的有用信息提取出來(lái)。一種形式是制定

適當(dāng)?shù)膱D表，如散點(diǎn)圖，以反映隱含在數(shù)據(jù)中的粗略的規(guī)律性或一般趨勢(shì)。另一

種形式是計(jì)算若干數(shù)字特征，以刻畫(huà)樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差

等簡(jiǎn)單描述性統(tǒng)計(jì)量。

(5)統(tǒng)計(jì)推斷。指根據(jù)總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關(guān)總體分布

的某種論斷。數(shù)據(jù)的收集和整理是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的必要準(zhǔn)備，統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)

學(xué)的主要任務(wù)。

(6)統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)。統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的對(duì)象，是隨機(jī)變量在未來(lái)某個(gè)時(shí)刻所取的值，或設(shè)

想在某種條件下對(duì)該變量進(jìn)行觀測(cè)時(shí)將取的值。

例如，預(yù)測(cè)一種新產(chǎn)品在未來(lái)3年內(nèi)的市場(chǎng)銷(xiāo)售量；預(yù)測(cè)某位10歲男孩在3年

后的身高、體重等等。

(7)統(tǒng)計(jì)決策。依據(jù)所做的統(tǒng)計(jì)推斷或預(yù)測(cè)，并考慮到行動(dòng)的后果(以經(jīng)濟(jì)損

失的形式表示)而制定的一種行動(dòng)方案。目的是使損失盡可能小，或反過(guò)來(lái)說(shuō)，使

收益盡可能大。以下的第五節(jié)，將討論風(fēng)險(xiǎn)決策。

(三)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)脈絡(luò)圖

初中統(tǒng)計(jì)與概率的課程內(nèi)容包含統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率論兩方面的內(nèi)容，其宗旨在于，在小

學(xué)體驗(yàn)和理解統(tǒng)計(jì)初步的基礎(chǔ)上，主動(dòng)地投入到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的全過(guò)程，并在此過(guò)程

中，使用統(tǒng)計(jì)與概率的特有語(yǔ)言進(jìn)行交流，進(jìn)行簡(jiǎn)單推理。其主要內(nèi)容包括：

描述統(tǒng)計(jì)的進(jìn)一步擴(kuò)展--描述統(tǒng)計(jì)的基本目標(biāo)在于以最簡(jiǎn)單而直觀的形式最大

限度地容納有用的數(shù)據(jù)。學(xué)生應(yīng)理解平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、

頻率分布等統(tǒng)計(jì)量，以便更好地整理、分析和展示數(shù)據(jù)。

滲透數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想一一數(shù)理統(tǒng)計(jì)與描述統(tǒng)計(jì)的根本區(qū)別在于總體與樣本概念的引

入，它的基本思想是通過(guò)對(duì)樣本的分析來(lái)推斷總體的特性。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的引入使得統(tǒng)

計(jì)有了隨機(jī)的思想，統(tǒng)計(jì)數(shù)字有了概率的分析，它提供了“從數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷”的普遍

適用且強(qiáng)有力的思想方式。這部分的一個(gè)核心的內(nèi)容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過(guò)

程、樣木的多少是收集數(shù)據(jù)的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。

學(xué)習(xí)概率的初步內(nèi)容-----包括運(yùn)用列表、畫(huà)樹(shù)狀圖、制作面積模型、簡(jiǎn)單計(jì)算等

方法得到一些事件發(fā)生的概率；通過(guò)實(shí)驗(yàn)，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復(fù)實(shí)

驗(yàn)時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；通過(guò)大量豐富的實(shí)例，進(jìn)一步豐富對(duì)概率

的認(rèn)識(shí)，并能解決一些實(shí)際的問(wèn)題。

就初中統(tǒng)計(jì)與概率的數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)，主要包含圖3.1-1、圖3.1-2所示的框架：

統(tǒng)訐

統(tǒng)計(jì)意義數(shù)據(jù)收集整理數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)作出訣策

頻

作

用

試

統(tǒng)

統(tǒng)

遁

樣

遁

數(shù)統(tǒng)

出

樣

驗(yàn)

計(jì)

計(jì)

機(jī)

本

機(jī)調(diào)

分

判

本

設(shè)

圖

圖

試

空

事

布

計(jì)斷

估

訐

件

表

驗(yàn)

間

表

和

計(jì)

工

量預(yù)

總

??石

L「

頻

一測(cè)

體

±提_

抽

離

加

普條形圖

集

數(shù)

取

權(quán)

樣

總體樣本個(gè)體散

中

平

直方圖信

調(diào)

程

程

均

息

頻

查

度

查

抽樣方法度

數(shù)

率折線圖

一

一

一

.扇形圖

筒單遁機(jī)抽樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣

莖葉圖~平11Ali中I極方標(biāo)

準(zhǔn)

盒型圖上差差

圉3.1-1統(tǒng)計(jì)知識(shí)嘛絡(luò)圖

五、正確把握或理解統(tǒng)計(jì)與概率基本概念的涵義

普查：為了一定的目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱(chēng)為普查

總體：所考察對(duì)象的全體稱(chēng)為總體。

個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱(chēng)為個(gè)體。

抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱(chēng)為抽樣調(diào)查。

樣本：從總體中抽取部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。

樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)量叫樣本容量。

(一)隨機(jī)事件和樣本空間

在自然界和人類(lèi)社會(huì)中存在兩類(lèi)不同現(xiàn)象，一類(lèi)是確定性現(xiàn)象，即一定條件實(shí)現(xiàn)就

必然發(fā)生的現(xiàn)象。例如，“在大氣壓等于IPa時(shí)，水加熱到：LOOC,必然會(huì)沸

騰”；“在自然狀態(tài)下地面上拋出去一塊石頭，必定會(huì)落下來(lái)”等等。另一類(lèi)現(xiàn)象

是非確定性現(xiàn)象，即在一定條件實(shí)現(xiàn)后，可能產(chǎn)生也可能不產(chǎn)生的現(xiàn)象，人們稱(chēng)之

為隨機(jī)現(xiàn)象。例如，擲一枚硬幣，是出現(xiàn)正面還是反面，其結(jié)果事先是不確定的；

在數(shù)據(jù)測(cè)量方面也存在隨機(jī)現(xiàn)象，如用一種測(cè)量工具測(cè)量某一物體的重量或長(zhǎng)度寬

度，每次測(cè)量的結(jié)果都略有差異；在射擊方面，射擊手用槍射擊一個(gè)目標(biāo)，能否擊

中目標(biāo)事先是無(wú)法確定的；在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，未來(lái)市場(chǎng)的商品價(jià)格也不能確定；在生

物學(xué)方面，某生物群體的增長(zhǎng)、擴(kuò)散、遷移也具不確定性；在醫(yī)學(xué)方面，同樣一種

藥，對(duì)同一疾病的不同患者，療效也是不一樣的。概率論是尋求隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可

能性大小給出度量方式及其算法。盡管隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中其結(jié)果不可把握，但

在作出大量重復(fù)觀察或試驗(yàn)時(shí)，又會(huì)呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

具備以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)：

⑴可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)每次試驗(yàn)可出現(xiàn)不同的結(jié)果，最終出現(xiàn)哪種結(jié)果，試驗(yàn)之前不能確定；

(3)事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果。

例2下面給出的是隨機(jī)試驗(yàn)：

Ai：擲一顆均勻?qū)ΨQ(chēng)的骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

A2：記錄一段時(shí)間內(nèi)，某城市110報(bào)警次數(shù)；

A3：從含有三件次品a1.a2.a3和三件正品bi.b2.b3的六件產(chǎn)品

中，任取二件，觀察出現(xiàn)正品、次品的情況；

A4：向坐標(biāo)平面區(qū)域D:x2+y2W100內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)M（假設(shè)點(diǎn)M必落在D

上），觀察落點(diǎn)M的坐標(biāo)。

1.隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱(chēng)為一個(gè)隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件，一般用A、B、C

等表示。事件是概率論中最基本的概念，能將所關(guān)心的事件正確地表示出來(lái)是學(xué)習(xí)

概率論的最基本的要求。事件又分為基本事件和復(fù)合事件?；臼录侵覆荒茉俜?/p>

解的事件，例如，擲一顆骰子，｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1｝、｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為2｝、……、｛出現(xiàn)

點(diǎn)數(shù)為6｝都是基本事件。復(fù)合事件是指由若干基本事件組成的事件，例如，擲一

顆骰子，｛出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)｝、｛出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)｝。但應(yīng)注意，把事件區(qū)分為基本事件與復(fù)

合事件是相對(duì)具體試驗(yàn)的考察目的而言的，不可絕對(duì)化。在兩位賭徒擲一顆骰子，

以出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)還是出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)決定輸贏的場(chǎng)合下，｛出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)｝、｛出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)｝

都是基本事件。這里需要強(qiáng)調(diào)的是：隨機(jī)事件是和重復(fù)試驗(yàn)緊密相連的，并非所有

不確定的結(jié)果都是隨機(jī)事件。要注意以下兩種誤區(qū)：

第一，把目前尚不知道結(jié)論是否正確的命題當(dāng)成了隨機(jī)事件。

例如，哥德巴赫猜想是否成立、火星上是否有生命等。顯然，這些命題或結(jié)果沒(méi)有

任何隨機(jī)性，它是完全確定的。只是人們至今尚未知道其結(jié)論而已。特別地，在數(shù)

學(xué)中，凡是未被證明或否定的猜想都是這種命題，它們沒(méi)有任何隨機(jī)性，更不是隨

機(jī)事件。

第二，把和重復(fù)試驗(yàn)無(wú)關(guān)的不確定結(jié)果當(dāng)成了隨機(jī)事件。

有些事情：比如美國(guó)的總統(tǒng)選舉。雖然選舉前不能確定它的結(jié)果。但它不滿(mǎn)足可重

復(fù)性。所以它不是數(shù)學(xué)中所指的隨機(jī)現(xiàn)象。因此也不存在'概率'的問(wèn)題。如果有四

人預(yù)測(cè)美國(guó)的選舉結(jié)果：

甲說(shuō)：“布什有95%的可能當(dāng)選?！?/p>

乙說(shuō)：“布什有50%的可能當(dāng)選?！?/p>

丙說(shuō)：“布什有5%的可能當(dāng)選?！?/p>

丁說(shuō)：“布什肯定不會(huì)當(dāng)選?！?/p>

若結(jié)果是布什當(dāng)選了。上面僅有丁一人說(shuō)錯(cuò)。若布什沒(méi)有當(dāng)選。上面四人全沒(méi)有

錯(cuò)。由于美國(guó)的選舉不可重復(fù)。實(shí)際上，前面三人說(shuō)的話是不可驗(yàn)證的，它只是反

映了說(shuō)話人的主觀態(tài)度及認(rèn)識(shí)。再如，恐怖分子頭目本拉登是否還活著、小王是

否生病了等等，在概率論中也是無(wú)意義的。

對(duì)上述兩類(lèi)問(wèn)題，人們有時(shí)在言談中也會(huì)談到其發(fā)生的‘可能性'。例如，人們會(huì)

說(shuō)：“我看十有八九本拉登已經(jīng)死了“、“我猜火星上有生命的可能性不到萬(wàn)分之一”

等等。但這只是一種猜測(cè)，和重復(fù)試驗(yàn)無(wú)關(guān)。這樣一種猜測(cè)我們稱(chēng)為‘主觀概率

它反映的是人們主觀的想法或愿望。其結(jié)論正確與否依賴(lài)于該人對(duì)所談事物了解的

程度、依賴(lài)于該人的經(jīng)驗(yàn)和學(xué)識(shí)。研究主觀概率并非沒(méi)有意義。這種判斷在人們的

生活工作中確實(shí)大量存在，特別是，在許多決策問(wèn)題中。在這種主觀猜測(cè)或判斷

中，經(jīng)驗(yàn)起著重要的作用，但它和重復(fù)試驗(yàn)無(wú)關(guān)。一般來(lái)說(shuō)，每個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和看法

并不相同，主觀概率的大小因人而異。它不是概率論研究的內(nèi)容。目前在統(tǒng)計(jì)中有

一個(gè)強(qiáng)大的學(xué)派：貝葉斯學(xué)派，這一學(xué)派的理論是依賴(lài)主觀概率的。希望老師在講

隨機(jī)事件時(shí)，所舉的例子一定要和重復(fù)試驗(yàn)緊密相連。強(qiáng)調(diào)相同條件下的試驗(yàn)。

（當(dāng)然在現(xiàn)實(shí)生活中，條件不可能絕對(duì)相同。）

2.樣本空間

為了用數(shù)學(xué)方法描述隨機(jī)現(xiàn)象，需要引入樣本空間的概念。

一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E產(chǎn)生的所有基本事件構(gòu)成的集合稱(chēng)為樣本空間，記為C。稱(chēng)其中

的元素（基本事件）為一個(gè)樣本點(diǎn)，記為3,即^=心｝。由于任何一個(gè)事件A或

是基本事件，或是由基本事件織成的復(fù)合事件，故任何一個(gè)事件A都是樣本空間

中的一個(gè)子集。因此由樣本空間的子集可描述隨機(jī)試驗(yàn)中所對(duì)應(yīng)的一切隨機(jī)事件。

例3寫(xiě)出美例3d中給出的臼個(gè)推機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。

解：A有6個(gè)基點(diǎn)卡仰，即出現(xiàn)1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)。

弱={1,2,3,4,5,6}；

A2的基本事件為報(bào)警。次、報(bào)警1次、授瞽2次、授警3次、報(bào)警4次、???，因此

Q={0,1,2,3,.......................};

A,的樣本空間為{（為，a。，（對(duì)，a3）,（期，b,）t（期，瓦），（同，b3）,（a?,

>3）,（>z.，），（a2,bz）,（a2,b3）,（a3,b,）,（a3,殳），（a3,bs）,（b,,民），（，，

%）,8,b3））；

A,的樣本空間為Q={（x.y）:W《I。。，其中（x,y）為點(diǎn)M的坐標(biāo)}.

（二）數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析

1.數(shù)據(jù)的收集

在現(xiàn)實(shí)生活與實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)據(jù)歷來(lái)是一種重要的信息，尤其科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)的

今天，為了更好地理解世界，人們必須學(xué)會(huì)處理各種信息，特別是數(shù)字信息。收

集、表示、整理與分析信息的能力已成為信息時(shí)代每一個(gè)公民基本素養(yǎng)的重要組成

部分。數(shù)據(jù)有兩種，一種是在現(xiàn)實(shí)生活中原來(lái)就有的數(shù)據(jù)；另一種是人們通過(guò)試驗(yàn)

設(shè)計(jì)獲得的數(shù)據(jù)。與此對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)收集方法有兩種：調(diào)查和實(shí)驗(yàn)。在現(xiàn)實(shí)生活中原

來(lái)就有的數(shù)據(jù)，人們通過(guò)調(diào)查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對(duì)所有考察對(duì)

象的全面調(diào)查；抽樣調(diào)查，即為一特定目的而對(duì)部分考察對(duì)象作調(diào)查。

初中階段介紹的三種常用抽樣方法是：隨機(jī)抽樣法、分層抽樣法和系統(tǒng)抽樣法。

表3-1針對(duì)這三種方法的特點(diǎn)作了簡(jiǎn)單的比較。

在這部分內(nèi)容的教學(xué)中，應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思想，例如，解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的第

一個(gè)步驟是收集數(shù)據(jù)，我們有不同的方法來(lái)收集數(shù)據(jù)，無(wú)論是隨機(jī)抽樣，還是分層

抽樣，等等，都滲透著隨機(jī)的思想。由于樣本的隨機(jī)性，統(tǒng)計(jì)的結(jié)果可能會(huì)犯錯(cuò)

誤。隨機(jī)思想是理解統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一個(gè)基本思想。

在具體的教學(xué)中，應(yīng)通過(guò)具體例子，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，盡管結(jié)果可能犯錯(cuò)誤，但統(tǒng)計(jì)

的推斷還是有意義的。作為教師應(yīng)該清楚，樣本隨機(jī)性產(chǎn)生的誤差是可以估計(jì)的。

也可以估計(jì)由此犯錯(cuò)誤的概率。這和樣本抽取不當(dāng)以及故意制造誤導(dǎo)產(chǎn)生的錯(cuò)誤是

完全不同的。隨機(jī)抽樣能使得樣本中不同的百分比和總體中的百分比近似相同。換

句話說(shuō)，隨機(jī)抽樣的樣本能很好地反映總體的狀況。如果不把這一點(diǎn)說(shuō)清楚，只單

純地介紹三種抽樣的具體操作方法就講偏了。

我們關(guān)注三種抽樣方法的差別和不同的適用范圍。例如，系統(tǒng)抽樣通常比簡(jiǎn)單隨機(jī)

抽樣簡(jiǎn)單，在田野上考察害蟲(chóng)的個(gè)數(shù)，通常就是從任意一個(gè)地點(diǎn)出發(fā)，每隔相同的

距離測(cè)量害蟲(chóng)的個(gè)數(shù)。但如果考察馬路上的車(chē)流量，每隔幾天記錄一次，若選擇不

當(dāng)，例如，每七天測(cè)一次，恰選在了星期日。就會(huì)造成錯(cuò)誤的結(jié)果。同樣在分層抽

樣中，如果分的不當(dāng)，同一組內(nèi)個(gè)體相差太大，結(jié)果也會(huì)有偏差。在給學(xué)生講授

時(shí)，應(yīng)講清這些，而不是單純地講方法。從統(tǒng)計(jì)上說(shuō)，理解這些比方法本身更重

要。

表3-1三種抽樣方法的比較

類(lèi)別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍

簡(jiǎn)單隨抽樣過(guò)總體中的個(gè)體

從總體中逐個(gè)抽取

機(jī)抽樣程中每數(shù)較少

個(gè)個(gè)體將總體均分成幾部分，在起始部分抽樣

系統(tǒng)總體中的個(gè)體

被抽取按事先確定的規(guī)則在各時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)

抽樣數(shù)較多

的概率部分抽取抽樣

相等

各層抽樣時(shí)采用總體由差異明

分層將總體分成幾層，分層

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或顯的幾部分組

抽樣進(jìn)行抽取

系統(tǒng)抽樣成

作為教師應(yīng)該清楚不同的抽樣方法得到的是不同的數(shù)學(xué)模型（樣本的分布不同）。

在數(shù)學(xué)上處理起來(lái)有難易的差別。最常用的假定是：樣本是獨(dú)立同分布的（粗略地

說(shuō)，獨(dú)立是指每次抽樣和前面的抽取無(wú)關(guān)，不能因?yàn)檫@次抽到一個(gè)男孩身高較高，

下次就故意去找一個(gè)身材較矮的。同分布是指，若第一次抽到一米九以上的可能性

是千分之一，那末第二次抽到一米九以上的可能性也是千分之一，等等）。即假定

抽樣是有放回的，這是實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)近似。

還應(yīng)該讓學(xué)生關(guān)注的是：實(shí)際問(wèn)題中的樣本是否是隨機(jī)的。例如，一些心理學(xué)實(shí)驗(yàn)

是由志愿人員完成的，可能缺乏代表性。一些數(shù)據(jù)只來(lái)自某個(gè)學(xué)校或某個(gè)醫(yī)院，并

非隨機(jī)抽樣等等。作為基礎(chǔ)教育讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，由于缺乏隨機(jī)性，報(bào)刊雜志等提供

的數(shù)據(jù)以及由此產(chǎn)生的結(jié)論可能產(chǎn)生誤導(dǎo)。

教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)抽樣的方法。在統(tǒng)計(jì)與概率這部分的內(nèi)容里，有很重要

的一個(gè)成分就是抽樣，雖然課本上講到普查與抽樣調(diào)查這兩種數(shù)據(jù)的收集方式，還

應(yīng)該教給學(xué)生們以抽樣的方法，在對(duì)某件事進(jìn)行調(diào)查時(shí)，你是用什么方法去收集數(shù)

據(jù)的，在無(wú)法收集到所有的數(shù)據(jù)時(shí).，只能利用抽樣去獲得數(shù)據(jù)。但是教科書(shū)上大都

是直接給出數(shù)據(jù)，叫學(xué)生利用現(xiàn)成數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，這個(gè)不利于學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解

決實(shí)際問(wèn)題。

2.數(shù)據(jù)的整理和分析

前面我們講述了收集數(shù)據(jù)的方法，了解了提高數(shù)據(jù)的代表性的一些具體方法。由于

抽取到的數(shù)據(jù)是雜亂無(wú)章的，人們往往無(wú)法直接從原始數(shù)據(jù)中理解它們的含義并

且尋找所包含的有價(jià)值的信息，必須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，如畫(huà)統(tǒng)計(jì)圖、表、計(jì)算來(lái)

分析數(shù)據(jù)，研究數(shù)據(jù)中的規(guī)律，使數(shù)據(jù)所包含的信息轉(zhuǎn)化為直觀的易于理解的形

式，并對(duì)總體作出相應(yīng)的估計(jì)。在初中階段，作為教師必須深入理解兩種估計(jì)方

法，一種是用樣本的頻率分布來(lái)估計(jì)總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢(shì)（平

均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和離散程度（極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）來(lái)估計(jì)總體的集中程度

和離散程度。

頻數(shù)和頻率

我們稱(chēng)每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，也稱(chēng)次數(shù)。在一組依大小順序排列的測(cè)量值

中，當(dāng)按一定的組距將其分組時(shí)出現(xiàn)在各組內(nèi)的測(cè)量值的數(shù)目，即落在各類(lèi)別（分

組）中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。如，有一組測(cè)量數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)N=148最小的測(cè)量值

Xmin=0.03,最大的測(cè)量值Xmax=31.67,按組距為△x=3.000將148個(gè)數(shù)據(jù)分

為11組，其中分布在15.05?18.05范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)有26個(gè)，則稱(chēng)該數(shù)據(jù)組的頻

數(shù)為26。

一般我們稱(chēng)落在不同小組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為該組的頻數(shù)，頻數(shù)與總數(shù)的比為頻率，即

每一個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值，用來(lái)反映每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的頻繁程度。如在

3.14159265358979324中，數(shù)字9出現(xiàn)的頻數(shù)是3,出現(xiàn)的頻率是引=16.7%

頻數(shù)也稱(chēng)“次數(shù)”，對(duì)總數(shù)據(jù)按某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)出各個(gè)組內(nèi)含個(gè)體的個(gè)數(shù)。

而頻率則每個(gè)小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。

例如，我們經(jīng)常擲硬幣，在擲了100次后，硬幣有40次正面朝上，那么，硬幣

反面朝上的頻數(shù)為一。

在這里，擲了硬幣100次，40次朝上，則有100-40=60(次)反面朝上，

因而，硬幣反面朝上的頻數(shù)為60.

數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)

數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)(centraltendency)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠

攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的位置所在。集中趨勢(shì)測(cè)度就是尋找數(shù)據(jù)水平

的代表值或中心值，低層數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值適用于高層次的測(cè)量數(shù)據(jù)，能夠揭

示總體中眾多個(gè)觀察值所圍繞與集中的中心，反之，高層次數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值

并不適用于低層次的測(cè)量數(shù)據(jù)。

反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的度量包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。

所謂平均數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是用這組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)

得到的值。例如，I,3,6,10,20這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)是8,即這幾個(gè)數(shù)的算

術(shù)平均數(shù)是8o

所謂中位數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)就是將這組數(shù)據(jù)從小到達(dá)排列后，位于正中

間的數(shù)（或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）。例如，I,3,6,10,20這5個(gè)數(shù)的中位

數(shù)就是6,而I,3,6,8,10,20,這6個(gè)數(shù)的中位數(shù)就是6與8的平均數(shù)

7?

所謂眾數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)。

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：

從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。

區(qū)別：

計(jì)算平均數(shù)時(shí)，所有數(shù)據(jù)都參加運(yùn)算，它能充分利用數(shù)據(jù)

所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應(yīng)用最為廣泛。

中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，只與其在數(shù)據(jù)中的位置有關(guān)。

但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息。

眾數(shù)只與其在數(shù)據(jù)中重復(fù)的次數(shù)有關(guān)，而且往往不是唯一

的。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，而且當(dāng)各個(gè)數(shù)據(jù)的重

復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒(méi)有特別的意義。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些教師經(jīng)常把平均數(shù)的知識(shí)當(dāng)作一種典型應(yīng)用題來(lái)教學(xué)，即

在教學(xué)中，教師比較重視于給出若干個(gè)數(shù)據(jù)，要求學(xué)生計(jì)算出它們的平均數(shù)，并且

把數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度和學(xué)生的計(jì)算速度及正確率作為教學(xué)的重點(diǎn)。但是，從數(shù)學(xué)與現(xiàn)

實(shí)問(wèn)題的聯(lián)系、解決問(wèn)題的作用來(lái)看，教學(xué)中更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)平均數(shù)的意義、特

征的把握，注重其統(tǒng)計(jì)含義的理解，讓學(xué)生在新的問(wèn)題情境中，正確地運(yùn)用它去解

決問(wèn)題。也就是說(shuō)，要求學(xué)生正確地計(jì)算出平均數(shù)的基礎(chǔ)上，把理解平均數(shù)的意義

作為教學(xué)的重點(diǎn)，緊密聯(lián)系實(shí)際，使學(xué)生體會(huì)到為什么要學(xué)習(xí)平均數(shù)，充分引導(dǎo)學(xué)

生理解“平均數(shù)”概念所蘊(yùn)涵的豐富、深刻的統(tǒng)計(jì)與概率的背景，讓學(xué)生在實(shí)踐應(yīng)用

中，去把握平均數(shù)的特征，理解平均數(shù)的意義。

平均數(shù)反應(yīng)的是這組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)的平均大?。恢形粩?shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的集

中趨勢(shì)的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)特征量，它們都是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)據(jù)說(shuō)話的基本概念。平均

數(shù)是最常用的指標(biāo)。但在實(shí)際問(wèn)題中，不能一味的使用平均數(shù)來(lái)確定數(shù)據(jù)的特征。

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)從不同側(cè)面給我們提供一組數(shù)據(jù)的面貌特征。各有其長(zhǎng)，也

各有其短。平均數(shù)的計(jì)算過(guò)程中用到了一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)，因此比中位數(shù)和

眾數(shù)更靈敏，能充分利用了更多數(shù)據(jù)的信息，在生活中較為常用，但它容易受極

端數(shù)字的影響，且計(jì)算較繁。

中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，不容易受到極端值的影響，確定了中位數(shù)之后，可以

知道小于中位數(shù)的數(shù)值和大于中位數(shù)的數(shù)值在這組數(shù)據(jù)中各占一半，但不能充分

利用所有數(shù)字的信息。眾數(shù)的可靠性較差，它不受極端數(shù)據(jù)的影響，很容易從直

方圖中獲得，求法簡(jiǎn)便。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，適宜選擇眾數(shù)來(lái)表

示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”，但是不能反映眾數(shù)比其他數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)多多少，而且

也丟失了很多其他數(shù)據(jù)的信息。眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，是一組

數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，而不是相應(yīng)的次數(shù)，一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)有時(shí)不只一個(gè)，這些是很

容易混淆的。

平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，但描述的角度和適

用范圍有所不同，平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，其中任何數(shù)據(jù)

的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng)；眾數(shù)著眼于對(duì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)的考察，其大

小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其

眾數(shù)往往是我們關(guān)心的一種統(tǒng)計(jì)量；中位數(shù)則僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)

的變動(dòng)對(duì)它的中位數(shù)沒(méi)有影響。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用它來(lái)描

述其集中趨勢(shì)。

數(shù)據(jù)的離散程度

極差是指一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數(shù)據(jù)的變化

范圍。

方差是指一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)之差的平方和的平均數(shù)。計(jì)算公式

為：

S=三［（工—Xl）+（X—X2）+（X—X3）+——+（X—X”）

其中［是一組數(shù)據(jù)Xi（i=L23…一的平均值。

標(biāo)準(zhǔn)差是指一組數(shù)據(jù)中的方差的算術(shù)平方根。計(jì)算公式為：

s=J；［（xri）+（X_X2）'G_X3）2+--

樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的量，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差

越大，樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大。例4某校初三年級(jí)甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入

速度比賽，兩個(gè)班參加比賽的學(xué)生每分鐘輸入漢字的個(gè)數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)和計(jì)算后結(jié)果如

下表所示：

班級(jí)參加人數(shù)平均字?jǐn)?shù)中位數(shù)方差

甲55135149191

乙55135151110

有一位同學(xué)根據(jù)上表得出如下結(jié)論：

①甲、乙兩班學(xué)生的平均水平相同；

②乙班優(yōu)秀的人數(shù)比甲班優(yōu)秀的人數(shù)多（每分鐘輸入漢字達(dá)150個(gè)以上為優(yōu)

秀）；

③甲班學(xué)生比賽成績(jī)的波動(dòng)比乙班學(xué)生比賽成績(jī)的波動(dòng)大.

上述結(jié)論正確的是（填序號(hào)）.

解：填①、②、③，顯然①、③是正確的.對(duì)于第②個(gè)結(jié)論，因?yàn)榧?/p>

的中位數(shù)為149,表明甲班優(yōu)秀人數(shù)未過(guò)半，而乙的中位數(shù)為151,表明乙班優(yōu)

秀人數(shù)在半數(shù)以上，故乙班優(yōu)秀的人數(shù)比甲班優(yōu)秀人數(shù)多，②正確。

加權(quán)平均數(shù)的概念

加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)就是把原始數(shù)據(jù)按照合理的比例

來(lái)計(jì)算，即一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)乘以它的權(quán)重后所得積的總和。

例5你的小測(cè)驗(yàn)成績(jī)是80分，期末考成績(jī)是90分，老師要計(jì)算總的平均成績(jī)，

就按照小測(cè)驗(yàn)40%、期末成績(jī)60%的比例來(lái)算，所以你的平均成績(jī)是：

80x40%+90x60%=86O

比如，在一些體育比賽項(xiàng)目中，也要用到權(quán)重的思想。比如在跳水比賽中，每個(gè)運(yùn)

動(dòng)員除完成規(guī)定動(dòng)作外，還要完成一定數(shù)量的自選動(dòng)作，而自選動(dòng)作的難度是不同

的，兩位選手由于所選動(dòng)作的難度系數(shù)不同，盡管完成各自動(dòng)作的質(zhì)量相同，但得

分也是不相同的，難度系數(shù)大的運(yùn)動(dòng)員得分應(yīng)該高些，難度系數(shù)實(shí)際上起著權(quán)重的

作用。

我們通常所說(shuō)的平均數(shù)稱(chēng)之為算術(shù)平均數(shù)，是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)

平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時(shí)，就是算術(shù)平均數(shù)。

統(tǒng)計(jì)圖表及其制作

統(tǒng)計(jì)表不僅反映某一類(lèi)事物的具體數(shù)據(jù)，而且還能說(shuō)明有關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，是初

步統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)的起始課，它既不同于計(jì)算、應(yīng)用題等教學(xué)，是實(shí)踐性很強(qiáng)，應(yīng)

用極廣泛的內(nèi)容，而且是下階段制作統(tǒng)計(jì)圖的依據(jù)，因而在統(tǒng)計(jì)表教學(xué)過(guò)程中

必須克服重計(jì)算和應(yīng)用題解答，輕統(tǒng)計(jì)表的傾向，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)表格化的過(guò)

程，掌握描述、分析數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)方法，了解統(tǒng)計(jì)表的基本結(jié)構(gòu)及其作用，通過(guò)

統(tǒng)計(jì)表所展示的數(shù)據(jù)之間的關(guān)系獲得信息，進(jìn)行簡(jiǎn)單的推斷預(yù)測(cè)，體驗(yàn)“運(yùn)用數(shù)據(jù)

進(jìn)行推斷”的思維方式。

例6某個(gè)旅游團(tuán)對(duì)來(lái)自某地團(tuán)隊(duì)游客的年齡進(jìn)行調(diào)查的結(jié)果如下:

50574646486358465750515859525262625354686961

615253626347565640425749585252595559665451

請(qǐng)您制作一個(gè)統(tǒng)計(jì)表。

解：此題提問(wèn)本身有問(wèn)題，依據(jù)具體要解決問(wèn)題的需要有多種不同的制作統(tǒng)計(jì)表方

法，比如，若你要關(guān)心的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，則

總?cè)藬?shù)M■姆年齡眾數(shù)=位數(shù)

43555255

若你所關(guān)心的是數(shù)亮分布狀況，M

年玲分組至京率/級(jí)奧

京數(shù)(f.)組費(fèi)率CAft)

40?45歲20.0470.0094

45~5。歲60.1400.0280

50-55歲130.3020.0604

55?60歲120.2790.0558

60-65歲70.1630.0326

65~70歲30.0700.0140

C注意：區(qū)間40~45表示包含40不包含45,依此類(lèi)推)

而統(tǒng)計(jì)圖是借助于幾何線、形(線段、長(zhǎng)方形、三角形、圓形等)以及事物的形象

等形式，顯示收集到的數(shù)據(jù)信息，直觀地反映其規(guī)模、水平、構(gòu)成、相互關(guān)系、發(fā)

展變化趨勢(shì)和分布狀況，即是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的圖形。用統(tǒng)計(jì)圖形呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)資

料的方法，稱(chēng)之為統(tǒng)計(jì)圖示法。但初中階段的教學(xué)，教師掌握以下幾種統(tǒng)計(jì)圖制作

即可。

條形圖

條形圖是以簡(jiǎn)單的幾何圖形，即等寬條形的長(zhǎng)短或高低來(lái)比較數(shù)據(jù)所隱含信息的統(tǒng)

計(jì)圖示法。在統(tǒng)計(jì)圖中，條形圖是一種呈現(xiàn)收集數(shù)據(jù)所隱含信息最為廣泛的方法，

所表示的數(shù)據(jù)可以是絕對(duì)數(shù)、相對(duì)數(shù)和平均數(shù)。

條形圖主要用于同類(lèi)指標(biāo)在單位、地區(qū)、時(shí)間等不同觀察指標(biāo)上的比較，反映事物

現(xiàn)象及其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)在觀察指標(biāo)上的變化，也可以進(jìn)行目標(biāo)與實(shí)際完成程度的對(duì)

比，還可以利用條形圖形式表示競(jìng)賽、評(píng)比的結(jié)果等。所以，條形圖具有表現(xiàn)形式

明確、鮮明醒目、易于閱覽，繪制簡(jiǎn)便、易于掌握，易于和其他圖形配合，效果突

出等特點(diǎn)。條形圖的分類(lèi)方法很多，作為教師必須了解，比如，按其排列形式的不

同可分為縱列條形圖（垂直條形圖或柱式圖）和橫排條形圖（水平條形圖或帶式條

形圖）；按條形圖的形式和資料內(nèi)容的不同可以分為單式條形圖、復(fù)式條形圖、分

段條形圖（結(jié)構(gòu)條形圖）、對(duì)稱(chēng)條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。

例7某同學(xué)十一休假期間，根據(jù)2008年本省內(nèi)五個(gè)城市商品房銷(xiāo)售均價(jià)（即銷(xiāo)

售平均價(jià)）的數(shù)據(jù)，繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖：

2008?本省內(nèi)五個(gè)城巾套品自匿名均價(jià)統(tǒng)計(jì)圖

圖3.1-3

例8某校對(duì)張、王、李三位年輕教師從專(zhuān)業(yè)知識(shí)、工作經(jīng)驗(yàn)、儀表形象三個(gè)維度

進(jìn)行考核，每一個(gè)指標(biāo)滿(mǎn)分20分，最后的打分制成條形統(tǒng)計(jì)圖（如圖3-4所

示）。

直方圖

直方圖有兩種，頻數(shù)直方圖和頻率直方圖。若縱坐標(biāo)是頻數(shù)，以組距為底，對(duì)應(yīng)頻

數(shù)為高的矩形組成的直方圖為頻數(shù)直方圖；若縱坐標(biāo)是頻率/組距，以組距為底，

對(duì)應(yīng)頻率/組距為高的矩形則組成頻率直方圖。

例9以上面案例的數(shù)據(jù)為例畫(huà)出其頻數(shù)直方圖和頻率直方圖。

頻數(shù)直方圖與頻率直方圖既有聯(lián)系，又有區(qū)別。在畫(huà)這兩個(gè)圖形時(shí)，小矩形的底

都是組距。盡管它們的高分別是組頻數(shù)和組頻率/組距（而不是組頻率），但它們從

畫(huà)出的輪廓形狀來(lái)看是一樣的。

扇形圖

用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個(gè)組成部分?jǐn)?shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖。扇

形圖能直觀地、生動(dòng)地反映各部分在總體中所占的比例。

繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟：計(jì)算各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)量的百分之幾；計(jì)算各部分?jǐn)?shù)量的

扇形圓心角的度數(shù)；按照算出的圓心角的度數(shù)，在圓里畫(huà)出各個(gè)扇形；在各個(gè)扇形

內(nèi)寫(xiě)上名稱(chēng)和百分?jǐn)?shù)，并用不同顏色或條紋區(qū)別開(kāi)。

教卿考核

□窕

a三

□學(xué)

括悻

圖3.1-4圖3.1-5

例1。某位學(xué)生對(duì)本班如名同學(xué)身高進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：1.7米以上有10人，1.6-

1.7米之間16人，1.6米以下有14人，請(qǐng)你依據(jù)數(shù)據(jù)畫(huà)扇形統(tǒng)計(jì)圖來(lái)表示身高狀況。

解：

人數(shù)百分比圓心角

1.7米以上1025%900

1.6-1.7米1640%145°

1.6米以下1435%126°

圖3-6

扇形統(tǒng)計(jì)圖具有四個(gè)特點(diǎn)：一是利用圓和扇形來(lái)表示總體和部分的關(guān)系，二是圓

代表總體，各個(gè)扇形分別表示總體中不同的部分；三是扇形的大小反映部分占總體

的百分比的大小，四是各個(gè)扇形所占的百分比之和為1;最后，在不同的統(tǒng)計(jì)圖

中，不能簡(jiǎn)單地根據(jù)百分比的大小來(lái)比較部分量的大小。

折線統(tǒng)計(jì)圖

折線統(tǒng)計(jì)圖的制圖原理與條形統(tǒng)計(jì)圖是一樣的，都是用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的

數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來(lái)，折線統(tǒng)計(jì)圖不

但可以表示出數(shù)量的多少，還能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況，并且可以

進(jìn)行簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)。條形統(tǒng)計(jì)圖是用直條的長(zhǎng)度表示數(shù)量的大小，而折線統(tǒng)計(jì)圖是用

點(diǎn)的位置的高低來(lái)表示數(shù)量的大小。

折線統(tǒng)計(jì)圖可分為單式折線圖或復(fù)式折線圖。復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖就是在同一個(gè)坐

標(biāo)圖上用2條或2條以上的折線來(lái)表示不同事物的發(fā)展變化，其特點(diǎn)就是不僅能

看出各事物的變化趨勢(shì)，而且能將其加以對(duì)比，但畫(huà)復(fù)式折線圖時(shí)，要用不同顏

色或形狀的線條區(qū)別開(kāi)來(lái)。在教學(xué)過(guò)程中，使學(xué)生把握折線統(tǒng)計(jì)圖的范圍和結(jié)

構(gòu)，能選擇合適的刻度，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，合理確定橫軸、縱軸上的數(shù)據(jù)位置，掌握

繪制單式折線統(tǒng)計(jì)圖的方法。

例II中國(guó)第23至29屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌統(tǒng)計(jì)圖（如圖3-7所示）。

作為初中數(shù)學(xué)教師，熟練掌握以上幾種統(tǒng)計(jì)圖的繪制方法以外，還要了解其它統(tǒng)計(jì)

圖，比如，莖葉圖、點(diǎn)線圖等。

總之，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師要準(zhǔn)備很多以問(wèn)題背景或?qū)W生有關(guān)的，有利于學(xué)生

學(xué)習(xí)，如班級(jí)選舉、學(xué)生家庭人口、考試成績(jī)等案例，或者涉及到歷史、經(jīng)濟(jì)、

體育、環(huán)境、媒體、博采等案例，突出有關(guān)概念、公式和圖表所蘊(yùn)涵的統(tǒng)計(jì)與概率

意義，使學(xué)生掌握整理雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)的方法，感受抽樣的必要性，能指出總

體、個(gè)體、樣本，體會(huì)不同的抽樣會(huì)有不同的結(jié)果，體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，

能用樣本的平均數(shù)、方差來(lái)估計(jì)總體的平均數(shù)和方差，對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果做出合理的推斷

和預(yù)測(cè)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用，能夠查找資料以獲得數(shù)據(jù)信息，對(duì)日常數(shù)據(jù)發(fā)表

看法，從作好的樣本發(fā)展關(guān)于總體特征的推測(cè)，通過(guò)模擬，找出數(shù)據(jù)的差異。決

不應(yīng)該簡(jiǎn)單地處理為知識(shí)的灌輸，切忌強(qiáng)化各種專(zhuān)業(yè)性術(shù)語(yǔ)和單純的技巧型學(xué)

習(xí)，而著重滲透統(tǒng)計(jì)思想，增強(qiáng)統(tǒng)計(jì)意識(shí)，學(xué)會(huì)一定的畫(huà)統(tǒng)計(jì)圖的方法，培養(yǎng)簡(jiǎn)

單分析數(shù)據(jù)或作出判斷的能力，要注重培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維模式、素養(yǎng)。例

如，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖等，這些內(nèi)容的教學(xué)既不能

簡(jiǎn)單地作為名詞和術(shù)語(yǔ)處理，也不能僅僅作為相應(yīng)的代數(shù)和圖形知識(shí)來(lái)處理。

要注重調(diào)查收集數(shù)據(jù)的過(guò)程中的做法同時(shí)要讓學(xué)生理解不同數(shù)據(jù)整理方法和不同統(tǒng)

計(jì)圖表的特點(diǎn)，使得學(xué)生能夠進(jìn)行探索和交流，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。

（三）隨機(jī)事件的概率

統(tǒng)計(jì)是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納的研究，而概率是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研

究，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，二者是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的。作為初中數(shù)學(xué)教師要熟

練掌握實(shí)驗(yàn)估計(jì)概率和分析預(yù)測(cè)概率的方法，能夠借助概率模型或通過(guò)設(shè)計(jì)具體

活動(dòng)解釋、估計(jì)、預(yù)測(cè)一些事件發(fā)生的概率，在教學(xué)過(guò)程中著重聯(lián)系生活實(shí)際，突

出概率的應(yīng)用性和趣味性。

所謂某個(gè)隨機(jī)事件的概率，實(shí)質(zhì)上是指在客觀世界中，這個(gè)事件發(fā)生可能性大小的

一個(gè)數(shù)量刻畫(huà)。若事件的概率大，我們說(shuō)該事件發(fā)生的可能性大；若事件的概率

小，我們說(shuō)該事件發(fā)生的可能性小。也就是說(shuō)用概率來(lái)衡量事件發(fā)生可能性的大

小。一方面，必須承認(rèn)隨現(xiàn)象中隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是客觀存在的，是不以

人的意志為轉(zhuǎn)移的，并且通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，人們可以逐漸認(rèn)識(shí)到隨機(jī)事件的這種

客觀的、本身所固有的規(guī)律性；另一方面，確定如何解釋、估計(jì)、預(yù)測(cè)或計(jì)算隨

機(jī)事件發(fā)生可能性的大小，即求隨機(jī)事件的概率。但是，依據(jù)概率定義，針對(duì)不同

的概率模型（概型），采取不同的解決辦法。

1.概率的定義

概率的統(tǒng)計(jì)定義

頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)在全部試驗(yàn)次數(shù)中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發(fā)

生的可能性大小。人們?cè)趯?shí)踐過(guò)程中觀察到一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，不是依

據(jù)一次、兩次或幾次試驗(yàn)的結(jié)果，而是依據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果，試驗(yàn)次數(shù)越多，

反映事物的情況越全面，頻率之間差別也越小，客觀事物的規(guī)律性也就越明顯。頻

率在大量重復(fù)試驗(yàn)條件下出現(xiàn)了穩(wěn)定的“趨勢(shì)”，這種趨勢(shì)和頻率之間不但是數(shù)量上

的差別，而且有了質(zhì)上的差別。作為頻率的變化趨勢(shì)，它是一個(gè)不變的結(jié)果，它既

有與頻率有區(qū)別的一方面，又有與頻率變化過(guò)程不可分開(kāi)的一面。這種客觀事實(shí)給

予我們對(duì)事件發(fā)生的可能性的認(rèn)識(shí)提供了可比較的依據(jù)。它可以作為衡量事件發(fā)生

可能性大小的一個(gè)尺度，這種辦法就是概率的統(tǒng)計(jì)定義。即一般地，在大量重復(fù)進(jìn)

行同一試驗(yàn)時(shí).，事件A發(fā)生的頻率總是趨近某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把

這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).

古典概型

古典概型也可以稱(chēng)為等可能概型或古典型隨機(jī)試驗(yàn)，是指隨機(jī)實(shí)驗(yàn)所有可能的結(jié)

果是有限的，并且每個(gè)基本事件發(fā)生的概率是相同的概率模型，即具有如下特點(diǎn)

的概率模型：⑴它的基本事件空間中只有有限個(gè)基本事件；(2)每個(gè)基本事件發(fā)生

的可能性