2025屆北京市北方交大附中數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆北京市北方交大附中數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在等比數(shù)列中，，，則（）A． B．C． D．2．同時(shí)擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為()A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列中，，則公差（）A． B． C．1 D．24．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的表達(dá)式是（）A． B．C． D．5．設(shè)點(diǎn)，，若直線與線段沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．6．在數(shù)列中，，，則的值為（）A．4950 B．4951 C． D．7．化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A． B． C． D．8．已知，則（）．A． B． C． D．9．已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．10．已知直線與圓交于M，N兩點(diǎn)，若，則k的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知1，，，，4成等比數(shù)列，則______.12．直線的傾斜角為______．13．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________.14．某班委會(huì)由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長(zhǎng)，其中至少有1名女生當(dāng)選的概率是______15．函數(shù)的值域是________．16．向量在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則以向量為鄰邊的平行四邊形的面積是_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此做了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如表所示：零件的個(gè)數(shù)個(gè)2345加工的時(shí)間2.5344.51求出y關(guān)于x的線性回歸方程；2試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間？18．已知：（，為常數(shù)）．（1）若，求的最小正周期；（2）若在，上最大值與最小值之和為3，求的值．19．已知中，角的對(duì)邊分別為.已知，.(Ⅰ)求角的大??；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)滿足，求線段長(zhǎng)度的取值范圍.20．已知方程有兩根、，且，.（1）當(dāng)，時(shí)，求的值；（2）當(dāng)，時(shí)，用表示.21．如圖，某快遞小哥從地出發(fā)，沿小路以平均速度為20公里小時(shí)送快件到處，已知公里，，是等腰三角形，．（1）試問，快遞小哥能否在50分鐘內(nèi)將快件送到處？（2）快遞小哥出發(fā)15分鐘后，快遞公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路追趕，若汽車的平均速度為60公里小時(shí)，問，汽車能否先到達(dá)處？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的定義知與同號(hào)，再利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，.由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，因此，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)也要利用等比數(shù)列的定義判斷出項(xiàng)的符號(hào)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.2、C【解析】

求出基本事件空間，找到符合條件的基本事件，可求概率.【詳解】同時(shí)擲兩枚骰子,所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：共有36種，點(diǎn)數(shù)之和為5的基本事件有：共4種；所以所求概率為.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率的求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).3、C【解析】

利用通項(xiàng)得到關(guān)于公差d的方程，解方程即得解.【詳解】由題得.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)的基本量的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.4、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的最值求得，根據(jù)函數(shù)的周期求得，根據(jù)函數(shù)圖像上一點(diǎn)的坐標(biāo)求得，由此求得函數(shù)的解析式.【詳解】由題圖可知，且即，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)，得，即，因?yàn)?，所以，所以函?shù)的表達(dá)式為．故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】直線恒過點(diǎn)且斜率為由圖可知，且故選點(diǎn)睛：本題主要考查了兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線恒過點(diǎn)，直線與線段沒有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線與線段無公共點(diǎn)，作出圖象，由圖求解即可．6、C【解析】

利用累加法求得，由此求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的值.【詳解】依題意，所以，所以，當(dāng)時(shí)，上式也滿足.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

.所以選A.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

由已知遞推關(guān)系式可以推出數(shù)列的特征，即數(shù)列和均是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由已知可得，當(dāng)時(shí)，由得，所以數(shù)列和均是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為2和1，由等比數(shù)列知識(shí)可求得，,故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推關(guān)系式，及等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．10、C【解析】

先求得圓心到直線的距離，再根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】圓心到直線的距離為：由圓的弦長(zhǎng)公式：得解得故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

因?yàn)?，，，，4成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，再利用，確定取值.【詳解】因?yàn)?，，，，4成等比數(shù)列，所以，所以或，又因?yàn)椋?故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，還考查運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

先求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的傾斜角.【詳解】由于直線的斜率為，故傾斜角為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由直線一般式方程求斜率，考查斜率和傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.13、1.【解析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得，代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和得答案．【詳解】解：在等差數(shù)列中，由，得，，則，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】試題分析：∵從7人中選2人共有C72=21種選法，從4個(gè)男生中選2人共有C42=6種選法∴沒有女生的概率是=，∴至少有1名女生當(dāng)選的概率1-=．考點(diǎn)：本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式．點(diǎn)評(píng)：在使用古典概型的概率公式時(shí)，應(yīng)該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)．15、【解析】

求出函數(shù)在上的值域，根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時(shí)是單調(diào)減函數(shù)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上的值域?yàn)楦鶕?jù)反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域可得函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題求一個(gè)反三角函數(shù)的值域，著重考查了余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)和反函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.16、3【解析】

將向量平移至相同的起點(diǎn)，寫出向量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，計(jì)算向量的夾角，從而求得面積.【詳解】根據(jù)題意，將兩個(gè)向量平移至相同的起點(diǎn)，以起點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系如下所示：則，故.又兩向量的夾角為銳角，故，則該平行四邊形的面積為.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查用向量解決幾何問題的能力，涉及向量坐標(biāo)的求解，夾角的求解，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）小時(shí)【解析】

（1）由已知數(shù)據(jù)求得與的值，則線性回歸方程可求；（2）在（1）中求得的回歸方程中，取求得值即可．【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)得：，，，，，，．（2）將代入回歸直線方程，（小時(shí)）．預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了回歸分析，解答此類問題的關(guān)鍵是利用公式計(jì)算，計(jì)算要細(xì)心．18、（1）；（2）1【解析】

（1）利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)，即可求出最小正周期；（2）根據(jù)在，上，求解內(nèi)層函數(shù)范圍，即可求解最值，由最大值與最小值之和為3，求的值．【詳解】解：，（1）的最小正周期；（2），，當(dāng)時(shí)，即，取得最小值為，當(dāng)時(shí)，即，取得最大值為，最大值與最小值之和為3，，，故的值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

（I）利用數(shù)量積的定義和三角形面積公式可求得，從而得角；（II）由得，平方后可求得，即中線長(zhǎng)，結(jié)合可得最小值，從而得取值范圍．【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以得以兩式相除得所?Ⅱ)因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以所以所以．?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)所以線段長(zhǎng)度的取值范圍時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查平面向量的線性運(yùn)算、三角形面積公式，解題關(guān)鍵是把中線向量表示為，這樣把線段長(zhǎng)度（向量模）轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積．20、（1）；（2）.【解析】

（1）由反三角函數(shù)的定義得出，，再由韋達(dá)定理結(jié)合兩角和的正切公式求出的值，并求出的取值范圍，即可得出的值；（2）由韋達(dá)定理得出，，再利用兩角和的正切公式得出的表達(dá)式，利用二倍角公式將等式兩邊化為正切，即可用表示.【詳解】（1）由反三角函數(shù)的定義得出，，當(dāng)，時(shí)，由韋達(dá)定理可得，，易知，，，，則.由兩角和的正切公式可得，；（2）由韋達(dá)定理得，，所以，，，，又由得，則，則、至少一個(gè)是正數(shù)，不妨設(shè)，則，又，，易知，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查反正切的定義，考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，同時(shí)涉及了二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二倍角公式化簡(jiǎn)，在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解題時(shí)，需要對(duì)角的范圍進(jìn)行討論，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21、(1)快遞小哥不能在50分鐘內(nèi)將快件送到處．(2)汽車能先到達(dá)處．【解析】試題分析：（1）由題意結(jié)合圖形，根據(jù)正弦定理可得，，求得的長(zhǎng)，又，可求出快遞小哥從地到地的路程，再計(jì)算小哥到達(dá)地的時(shí)間，從而問題可得解；（2）由題意，可根據(jù)余弦定理分別算出與的長(zhǎng)，計(jì)算汽車行馳的路程，從而求出汽車到達(dá)地所用的時(shí)間，計(jì)算其與步小哥所用時(shí)間相差是否有15分鐘，從而問題可得解.試題解析：（1）（公里