2025屆北京市第十九中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2025屆北京市第十九中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，則()A．0 B．-1 C．1或0 D．0或-12．已知，，則等于（）A． B． C． D．3．從A，B，C三個同學(xué)中選2名代表，則A被選中的概率為（）A． B． C． D．4．若a＜b，則下列不等式中正確的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B． C．a(chǎn)2+b2＞2ab D．a(chǎn)c2＜bc25．已知，則的值為（）A． B．1 C． D．6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，則b的值為()A．4 B．3 C．2 D．17．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用（萬元）

4

2

3

5

銷售額（萬元）

49

26

39

54

根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元8．我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤9．直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（）A． B． C． D．610．對數(shù)列,“對于任意成立”是“其前n項和數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．非充分非必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不等式的解集為______.12．某中學(xué)為了了解全校學(xué)生的閱讀情況，在全校采用隨機抽樣的方法抽取一個樣本進行問卷調(diào)查，并將他們在一個月內(nèi)去圖書館的次數(shù)進行了統(tǒng)計，將學(xué)生去圖書館的次數(shù)分為5組：制作了如圖所示的頻率分布表，則抽樣總?cè)藬?shù)為_______．13．已知圓，直線l被圓所截得的弦的中點為.則直線l的方程是________（用一般式直線方程表示）.14．如圖，四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，則直線與直線所成角的余弦值為____________.15．設(shè)，數(shù)列滿足，，將數(shù)列的前100項從大到小排列得到數(shù)列，若，則k的值為______；16．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的最小值的表達式；（2）若函數(shù)在上有且只有一個零點，求的取值范圍.18．研究正弦函數(shù)的性質(zhì)（1）寫出其單調(diào)增區(qū)間的表達式（2）利用五點法，畫出的大致圖像（3）用反證法證明的最小正周期是19．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．20．已知向量，，且函數(shù).若函數(shù)的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為.（Ⅰ)求函數(shù)的解析式；（Ⅱ)若方程在時，有兩個不同實數(shù)根，，求實數(shù)的取值范圍，并求出的值；（Ⅲ)若函數(shù)在的最大值為2，求實數(shù)的值.21．如圖，直三棱柱中，點是棱的中點，點在棱上，已知，，（1）若點在棱上，且，求證：平面平面；（2）棱上是否存在一點，使得平面證明你的結(jié)論。

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由二倍角公式可得，即，從而分情況求解.【詳解】易得，或.

由得.

由，得.故選：D【點睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用以及有關(guān)的二次齊次式子求值，屬于中檔題.2、D【解析】

通過化簡可得，再根據(jù)，可得，利用同角三角函數(shù)可得，則答案可得.【詳解】解：，又，得，即，又，且，解得，，故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變形的化簡和求值，是中檔題.3、D【解析】

先求出基本事件總數(shù)，被選中包含的基本事件個數(shù)，由此能求出被選中的概率．【詳解】從，，三個同學(xué)中選2名代表，基本事件總數(shù)為：，共個，被選中包含的基本事件為：，共2個，被選中的概率．故選：D．【點睛】本題考查概率的求法，考查列舉法和運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、C【解析】

利用特殊值對錯誤選項進行排除，然后證明正確的不等式.【詳解】取代入驗證可知，A、D選項錯誤；取代入驗證可知，B選項錯誤.對于C選項，由于，所以，即成立.故選：C【點睛】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

化為齊次分式，分子分母同除以，化弦為切，即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值，通過齊次分式化弦為切，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】試題分析：根據(jù)正弦定理可得,.在中,,.,,.,.故C正確.考點：1正弦定理;2余弦定理.7、B【解析】

試題分析：，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點在線性回歸直線上，回歸方程中的為1.4，∴42=1．4×2．5+a，∴=1．1，∴線性回歸方程是y=1．4x+1．1，∴廣告費用為6萬元時銷售額為1．4×6+1．1=3．5考點：線性回歸方程8、D【解析】

直接利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因為每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前5項和為．即金錘共重15斤，故選D．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，意在考查運用所學(xué)知識解答實際問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

直接利用斜率相等列方程求解即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，故選：A.【點睛】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)：斜率相等，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的性質(zhì)和充分必要條件判斷即可【詳解】對于任意成立可以推出其前n項和數(shù)列為遞增數(shù)列，但反過來不成立如當(dāng)時其，此時為遞增數(shù)列但所以“對于任意成立”是“其前n項和數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分非必要條件故選：A【點睛】要說明一個命題不成立，只需舉出一個反例即可.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)一元二次不等式的解法直接求解可得結(jié)果.【詳解】由得：即不等式的解集為故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.12、20【解析】

總體人數(shù)占的概率是1，也可以理解成每個人在整體占的比重一樣，所以三組的頻率為：，共有14人，即14人占了整體的0.7，那么整體共有人。【詳解】前三組，即三組的頻率為：，，解得：【點睛】此題考查概率，通過部分占總體的概率即可計算出總體的樣本值，屬于簡單題目。13、【解析】

將圓的方程化為標椎方程，找出圓心坐標與半徑，根據(jù)垂徑定理得到直線與直線垂直，根據(jù)直線的斜率求出直線的斜率，確定出直線的方程即可．【詳解】由已知圓的方程可得，所以圓心，半徑為3，由垂徑定理知：直線直線，因為直線的斜率，所以直線的斜率，則直線的方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.14、.【解析】

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與直線所成角的余弦值．【詳解】解：四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，，平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，設(shè)直線與直線所成角為，則，直線與直線所成角的余弦值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．15、【解析】

根據(jù)遞推公式利用數(shù)學(xué)歸納法分析出與的關(guān)系，然后考慮將的前項按要求排列，再根據(jù)項的序號計算出滿足的值即可.【詳解】由已知，a1＝a，0＜a＜1；并且函數(shù)y＝ax單調(diào)遞減；∵∴1>a2＞a1∴，∴a2＞a3＞a1∵，且∴a2＞a4＞a3＞a1……當(dāng)為奇數(shù)時，用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時，成立，設(shè)時，，當(dāng)時，因為，結(jié)合的單調(diào)性，所以，所以即，所以時成立，所以為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時，成立，設(shè)時，，當(dāng)時，因為，結(jié)合的單調(diào)性，所以，所以即，所以時成立，所以為偶數(shù)時，；用數(shù)學(xué)歸納法證明：任意偶數(shù)項大于相鄰的奇數(shù)項即證：當(dāng)為奇數(shù)，，當(dāng)時，符合，設(shè)時，，當(dāng)時，因為，結(jié)合的單調(diào)性，所以，所以，所以，所以時成立，所以當(dāng)為奇數(shù)時，，據(jù)此可知：，當(dāng)時，若，則有，此時無解；當(dāng)時，此時的下標成首項為公差為的等差數(shù)列，通項即為，若，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較難.(1)分析數(shù)列的單調(diào)性時，要注意到數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其定義域為；(2)證明數(shù)列的單調(diào)性可從與的關(guān)系入手分析.16、【解析】分析：由復(fù)數(shù)的除法運算可得解.詳解：由，得.故答案為：.點睛：本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的對稱軸方程，對實數(shù)分、、三種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進而可得出函數(shù)在區(qū)間上的最小值的表達式；（2）對函數(shù)分情況討論：（i）方程在區(qū)間上有兩個相等的實根；（ii）①方程在區(qū)間只有一根；（②；③.可得出關(guān)于實數(shù)的等式或不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），其對稱軸為，當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，；當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，.綜上所述：；（2）（i）若方程在上有兩個相等的實數(shù)根，則，此時無解；（ii）若方程有兩個不相等的實數(shù)根.①當(dāng)只有一根在內(nèi)時，，即，得；②當(dāng)時，，方程化為，其根為，，滿足題意；③當(dāng)時，，方程化為，其根為，，滿足題意.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題考查二次函數(shù)在定區(qū)間上最值的計算，同時也考查了利用二次函數(shù)在區(qū)間上零點個數(shù)求參數(shù)，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.18、（1）（2）見解析（3）見解析【解析】

（1）利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解；（2）利用五點法作函數(shù)的圖象即可；（3）先證明，再假設(shè)存在，使得，令，可得，令，可得，得到矛盾，即可得證.【詳解】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，所以單調(diào)遞增區(qū)間的表達式為（2）列表：描點，連線，可得函數(shù)圖象如下：（3）證明：，假設(shè)存在，使得，即，令，則，即；再令，可得，得到矛盾，綜上可知的最小正周期是.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，五點法作函數(shù)的圖象，考查了反證法的應(yīng)用，屬于中檔題.19、（1）（2）最大值為2，最小值為【解析】

(1)先將函數(shù)化簡為，根據(jù)公式求最小正周期.

(2)由，則，可求出函數(shù)的最值.【詳解】(1)所以的最小正周期為：.（2）由（1）有，則則當(dāng)，即時，有最小值.當(dāng)即，時，有最大值2.所以在區(qū)間上的最大值為2，最小值為．【點睛】本題考查三角函數(shù)化簡、求最小正周期和函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題.20、（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或【解析】

（Ⅰ)根據(jù)三角恒等變換公式化簡，根據(jù)周期計算，從而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的單調(diào)性，計算最值和區(qū)間端點函數(shù)值，從而得出的范圍，根據(jù)對稱性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范圍和關(guān)于的二次函數(shù)，討論二次函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)最大值列方程求出的值．【詳解】（Ⅰ）∵，，∴若函數(shù)的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為，則函數(shù)的周期，∴，即，∴（Ⅱ)由（Ⅰ)知，，當(dāng)時，∴若方程在有兩個不同實數(shù)根，則.∴令，，則，，∴函數(shù)在內(nèi)的對稱軸為，∵，是方程，的兩個不同根，∴（Ⅲ）因為，所以，令，則.∴又∵，由得，∴.（1）當(dāng)，即時，可知在上為減函數(shù)，則當(dāng)時，由，解得：，不合題意，舍去.（2）當(dāng)，即時，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，，由，解得，滿足題意.（3）當(dāng)，即時，知在上為增函數(shù)，則時，，由得，舍去綜上，或為所求.【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)最值的計算，考查換元法解題思想，屬于中檔題．21、（1）見解析；（2）見解析【解