山西省柳林縣聯(lián)盛中學(xué)新高考數(shù)學(xué)五模試卷及答案解析

山西省柳林縣聯(lián)盛中學(xué)新高考數(shù)學(xué)五模試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，，則A． B．C． D．2．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．3．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．64 C． D．324．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．5．已知集合，，則A． B．C． D．6．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（）A． B． C． D．7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問(wèn)題：“今有鱉臑(biēnaò)，下廣五尺，無(wú)袤；上袤四尺，無(wú)廣；高七尺.問(wèn)積幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺8．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為A． B． C． D．9．若不相等的非零實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C．2 D．10．雙曲線的一條漸近線方程為，那么它的離心率為（）A． B． C． D．11．設(shè)，則復(fù)數(shù)的模等于()A． B． C． D．12．已知集合，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，，殘缺部分位于過(guò)點(diǎn)C的豎直線的右側(cè)，現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個(gè)直角三角形，若該直角三角形一條邊在上，則裁出三角形面積的最大值為_(kāi)_____.14．定義，已知，，若恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15．一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，，，，則該四面體的外接球的體積為_(kāi)_________．16．已知多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）設(shè)拋擲4次的得分為，求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）當(dāng)游戲得分為時(shí)，游戲停止，記得分的概率和為.①求；②當(dāng)時(shí)，記，證明：數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列.18．（12分）已知數(shù)列滿足且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）設(shè)函數(shù)，直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所對(duì)的邊分別是，若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且，求面積的最大值.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實(shí)數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）求線段長(zhǎng)的最小值；（2）求點(diǎn)的軌跡方程．21．（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0．（1）證明:f(x)+f(-1（2）若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空，求22．（10分）如圖，⊙的直徑的延長(zhǎng)線與弦的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，為⊙上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．求證：~．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由可得，所以，故選B．2、C【解析】

函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.3、A【解析】

根據(jù)三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐，其底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4，故.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點(diǎn)求出，化簡(jiǎn)即得所求.【詳解】由圖像知，，，解得，因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以，，即，解得，因?yàn)?，所以?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

因?yàn)?，，所以，，故選D．6、A【解析】分析：設(shè)，則，把用表示，然后令，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值．詳解：設(shè)，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數(shù)，又，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，，∴的最小值是．故選A．點(diǎn)睛：本題易錯(cuò)選B，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時(shí)學(xué)生可能不會(huì)將其中求的最小值問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題，另外通過(guò)二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò)．7、A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐，將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球，由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球，所以為的中點(diǎn)，設(shè)球半徑為，則,所以外接球的表面積，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積，關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半徑，屬于中檔題.8、A【解析】

陽(yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù)，最后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)殛?yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有：個(gè)，滿足差的絕對(duì)值為5的有：共個(gè)，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算，難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式：.9、A【解析】

由題意，可得，，消去得,可得，繼而得到，代入即得解【詳解】由，，成等差數(shù)列，所以，又，，成等比數(shù)列，所以，消去得，所以，解得或，因?yàn)?，，是不相等的非零?shí)數(shù)，所以，此時(shí)，所以．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.10、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，列出方程，求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，可得，∴，∴雙曲線的離心率.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?所以,由復(fù)數(shù)模的定義知,.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解：，，，則故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分兩種情況討論：（1）斜邊在BC上，設(shè)，則，（2）若在若一條直角邊在上，設(shè)，則，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】（1）斜邊在上，設(shè)，則，則，，從而.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，符合.（2）若一條直角邊在上，設(shè)，則，則，，由知.，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，.當(dāng)，即時(shí)，最大.故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意分類討論把所有情況考慮完全，屬于一般性題目.14、【解析】

根據(jù)題意，分類討論求解，當(dāng)時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，再分當(dāng)，兩種情況討論求解.【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，在軸上方，且為增函數(shù)，無(wú)零點(diǎn)，至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，如圖所示：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，要有3個(gè)零點(diǎn)，則，解得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，要有3個(gè)零點(diǎn)，則，令，，所以在是減函數(shù)，又，要使，則須，所以.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題.15、【解析】

將四面體補(bǔ)充為長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體，體對(duì)角線即為外接球的直徑，從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法，由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長(zhǎng)方體上，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，長(zhǎng)方體的外接球即為該四面體的外接球，外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，所以球半徑為，體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法：補(bǔ)體法，通過(guò)補(bǔ)體得到長(zhǎng)方體的外接球從而得解，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

令可得各項(xiàng)系數(shù)和為，得出,根據(jù)第一個(gè)因式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)與第二個(gè)因式的展開(kāi)式含一次項(xiàng)的積與第一個(gè)因式展開(kāi)式含x的一次項(xiàng)與第二個(gè)因式常數(shù)項(xiàng)的積的和即為展開(kāi)式中含項(xiàng)，可得解.【詳解】令，則得，解得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)為：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和，二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)，賦值法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為6；（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】

（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可求出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，分別求出兩種情況的概率，進(jìn)而可求得；②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，可知當(dāng)且時(shí)，，結(jié)合，可推出，從而可證明數(shù)列為常數(shù)列；結(jié)合，可推出，進(jìn)而可證明數(shù)列為等比數(shù)列.【詳解】（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8.每次拋擲一次硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率也為，則，.所以變量的分布列為：45678故變量的數(shù)學(xué)期望為.（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，概率的和為.②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，故且時(shí)，有，則時(shí)，，所以，故數(shù)列為常數(shù)列；又，，所以數(shù)列為等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)已知可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解；（2）由（1）可得為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又所以?shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為.故（2）由（1）知，所以所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）3；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)函數(shù)，利用和差公式和倍角公式，化簡(jiǎn)即可求得；(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數(shù)，根據(jù)點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，代入可得，利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】(Ⅰ)的最大值為最小正周期為(Ⅱ)由題意及（Ⅰ）知，,故故的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】

（1）將曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，線段取得最小值，利用幾何法求弦長(zhǎng)即可.（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，設(shè)，由利用向量的數(shù)量積等于可求解，最后驗(yàn)證當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)也滿足.【詳解】解曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為即圓心，半徑，曲線為過(guò)定點(diǎn)的直線，易知在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)最小為當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，設(shè)，化簡(jiǎn)得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，也滿足上式，故點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、列方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.21、(1)見(jiàn)解析.(1)(-1,0).【解析】試題分析：（1）直接計(jì)算f(x)+f(-1（1）f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|，分區(qū)間討論去絕對(duì)值符號(hào)分別解不等式即可.試題解析：（1）證明：函數(shù)f（x）=|x﹣a|，a＜2，則f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥1=1．（1）f（x）+f（1x）=|x﹣a|+|1x﹣a|，a＜2．當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x，則f（x）≥﹣a；當(dāng)a＜x＜時(shí)，f（x）=x﹣a+a﹣1x=﹣x，則﹣＜f（x）＜﹣a；當(dāng)x時(shí)，f（x）=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a，則f（x）≥﹣．則f（x）的值域?yàn)閇﹣，+∞）