內(nèi)蒙古呼和浩特市英華學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

內(nèi)蒙古呼和浩特市賽罕區(qū)英華學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題，本題共12小題，每題5分，總計(jì)60分，每題有且只有一個(gè)最符合題意的選項(xiàng)，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上，按要求作答。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x}，則A∩B＝（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（0，1） D．（0，2）2．（5分）下列命題中的假命題是（）A．?x0∈R，lgx0＝1 B．?x0∈R，tanx0＝0 C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R，2x＞03．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．4．（5分）下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝﹣2xln2 C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝5．（5分）隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，4，5，且P（ξ＝k）＝ak，（k＝1，2，3，4，5），則a的值為（）A． B． C．30 D．156．（5分）已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是672，則a＝（）A．39 B．29 C．2 D．17．（5分）某地市在2023年全市一模測(cè)試中，全市高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N（90，σ2），已知P（88＜X＜92）＝0.32，P（X＜85）＝m，則下列結(jié)論正確的是（）A．0＜m＜0.34 B．m＝0.34 C．0.34＜m＜0.68 D．m＝0.688．（5分）極坐標(biāo)方程4ρ?cos2＝5表示的曲線是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線9．（5分）5個(gè)大學(xué)生分配到三個(gè)不同的村莊當(dāng)村官，每個(gè)村莊至少有一名大學(xué)生，其中甲村莊恰有一名大學(xué)生的分法種數(shù)為（）A．14 B．35 C．70 D．10010．（5分）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（1﹣x）＝f（1+x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x2，則f（﹣3）的值為（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．311．（5分）函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的圖像可能是（）A． B． C． D．12．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且xf′（x）+f（x）＞0，則不等式（x+2）f（x+2）＞x2f（x2）的解集是（）A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）三、填空題，本題共4小題，每題5分，總計(jì)20分，請(qǐng)將正確答案寫在答題紙上，按要求作答。13．（5分）命題“?x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定為．14．（5分）若函數(shù)沒有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．15．（5分）在三次獨(dú)立重復(fù)射擊中，若至少有一次擊中目標(biāo)的概率為，則每次射擊擊中目標(biāo)的概率是．16．（5分）已知多項(xiàng)式，則a2+a4＝．三、解答題，本題共6小題，第17小題10分，18-22小題每題12分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙相應(yīng)位置作答。17．（10分）同濟(jì)大學(xué)的入學(xué)面試中有4道難度相當(dāng)?shù)念}目，王寧答對(duì)每道題目的概率都是0.6，若每位面試者共有4次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第4次為止．用Y表示答對(duì)題目，用N表示沒有答對(duì)題目，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，那么（1）求王寧第3次答題通過面試的概率；（2）求王寧最終通過面試的概率．18．（12分）李先生是一名上班族，為了比較上下班的通勤時(shí)間，記錄了20天個(gè)工作日內(nèi)，家里到單位的上班時(shí)間以及同路線返程的下班時(shí)間（單位：分鐘），如下莖葉圖顯示兩類時(shí)間的共40個(gè)記錄：（1）求出這40個(gè)通勤記錄的中位數(shù)M，并完成下列2×2列聯(lián)表：超過M不超過M上班時(shí)間下班時(shí)間（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)問上下班的通勤時(shí)間是否有顯著差異？并說明理由．附：，P（χ2≥3.841）≈0.0519．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+x+1在x＝﹣1時(shí)取得極值．（1）求f（x）在（0，f（0））處的切線方程；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣2，0]上的最大值與最小值．21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C1的方程為x2+（y﹣1）2＝1．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線l和曲線C1的極坐標(biāo)方程；（2）曲線分別交直線l和曲線C1于點(diǎn)A，B，求的最大值及相應(yīng)α的值．22．（12分）函數(shù)f（x）＝（x﹣2）ex﹣ax2+2ax，a∈R．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，證明：f（x）+e≥0；（2）若x＝1是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案與試題解析一、選擇題，本題共12小題，每題5分，總計(jì)60分，每題有且只有一個(gè)最符合題意的選項(xiàng)，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上，按要求作答。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x}，則A∩B＝（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（0，1） D．（0，2）【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{y|y＞0}；∴A∩B＝（0，2）．故選：D．2．（5分）下列命題中的假命題是（）A．?x0∈R，lgx0＝1 B．?x0∈R，tanx0＝0 C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R，2x＞0【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)x0＝10時(shí)，lg1＝1，故為真命題；對(duì)于B，當(dāng)x0＝0時(shí)，tan0＝0，故為真命題；對(duì)于C，當(dāng)x＝0時(shí)，03＝0，故為假命題；對(duì)于D根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，?x∈R，2x＞0恒成立，故為真命題．故選：C．3．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．【解答】解：復(fù)數(shù)z＝﹣2i＝﹣2i＝﹣2i＝﹣i，所以＝+i，所以的虛部為．故選：B．4．（5分）下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝﹣2xln2 C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝【解答】解：（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx，，（2sin2x）′＝4cos2x，．故選：C．5．（5分）隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，4，5，且P（ξ＝k）＝ak，（k＝1，2，3，4，5），則a的值為（）A． B． C．30 D．15【解答】解：∵隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，4，5，且P（ξ＝k）＝ak，（k＝1，2，3，4，5），由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得a+2a+3a+4a+5a＝1，解得．故選：B．6．（5分）已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是672，則a＝（）A．39 B．29 C．2 D．1【解答】解：展開式的通項(xiàng)為，令，得r＝6，∴常數(shù)項(xiàng)是，故a＝2．故選：C．7．（5分）某地市在2023年全市一模測(cè)試中，全市高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N（90，σ2），已知P（88＜X＜92）＝0.32，P（X＜85）＝m，則下列結(jié)論正確的是（）A．0＜m＜0.34 B．m＝0.34 C．0.34＜m＜0.68 D．m＝0.68【解答】解：因?yàn)閄服從正態(tài)分布N（90，σ2），所以μ＝90，已知P（88＜X＜92）＝0.32，且x＝88與x＝92關(guān)于x＝90對(duì)稱，P（X＜85）＝m＜P（X＜88）＝[1﹣P（88＜X＜92）]＝0.34，所以0＜m＜0.34．故選：A．8．（5分）極坐標(biāo)方程4ρ?cos2＝5表示的曲線是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線【解答】解：極坐標(biāo)方程4ρ?cos2＝5，化為2ρ（cosθ+1）＝5，即，化為，兩邊平方可得：4（x2+y2）＝25﹣20x+4x2，化為，此方程表示拋物線．故選：D．9．（5分）5個(gè)大學(xué)生分配到三個(gè)不同的村莊當(dāng)村官，每個(gè)村莊至少有一名大學(xué)生，其中甲村莊恰有一名大學(xué)生的分法種數(shù)為（）A．14 B．35 C．70 D．100【解答】解：由題意得，甲村莊恰有一名大學(xué)生，有5種分法，另外四名大學(xué)生分為兩組，共有＝7種，再分配到兩個(gè)村莊，有＝14種不同的分法，所以每個(gè)村莊至少有一名大學(xué)生，其中甲村莊恰有一名大學(xué)生的分法種數(shù)為5×14＝70種．故選：C．10．（5分）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（1﹣x）＝f（1+x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x2，則f（﹣3）的值為（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，且滿足f（1﹣x）＝f（1+x），所以f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣f（1+2）＝﹣f（1﹣2）＝f（1），又因?yàn)閤∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x2，所以f（﹣3）＝f（1）＝1．故選：C．11．（5分）函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的圖像可能是（）A． B． C． D．【解答】解：由導(dǎo)函數(shù)圖像可知原函數(shù)在（﹣∞，a）單調(diào)遞減，（a，b）單調(diào)遞增，（b，c）單調(diào)遞減，（c，+∞）單調(diào)遞增，其中a＜0＜b＜c，由圖可知A，C選項(xiàng)f（x）先遞增，故不滿足題意，其中B選項(xiàng)，f（x）的增區(qū)間為（a，b），（c，+∞），且a＜b＜0＜c，故不滿足題意，故選：D．12．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且xf′（x）+f（x）＞0，則不等式（x+2）f（x+2）＞x2f（x2）的解集是（）A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）【解答】解：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝xf（x），則g′（x）＝xf′（x）+f（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，又（x+2）f（x+2）＞x2f（x2），即g（x+2）＞g（x2），所以x+2＞x2，即x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2．故選：D．三、填空題，本題共4小題，每題5分，總計(jì)20分，請(qǐng)將正確答案寫在答題紙上，按要求作答。13．（5分）命題“?x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定為?x＞0，x2+x﹣1≤0．【解答】解：命題“?x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定為?x＞0，x2+x﹣1≤0，故答案為：?x＞0，x2+x﹣1≤0．14．（5分）若函數(shù)沒有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，2]．【解答】解：f′（x）＝x2+2（a﹣1）x+1，因?yàn)闆]有極值，f′（x）≥0，所以Δ＝4（a﹣1）2﹣4≤0，解得0≤a≤2．故答案為：[0，2]．15．（5分）在三次獨(dú)立重復(fù)射擊中，若至少有一次擊中目標(biāo)的概率為，則每次射擊擊中目標(biāo)的概率是．【解答】解：設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p，則三次獨(dú)立重復(fù)射擊中，若至少有一次擊中目標(biāo)的概率1﹣（1﹣p）3＝，解得p＝．故答案為：．16．（5分）已知多項(xiàng)式，則a2+a4＝﹣6．【解答】解：令x＝1，則﹣（1+1）4＝a0+a1+a2+a3+a4+a5＝﹣16，令x＝﹣1，則0＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，兩式相加，可得，令x＝0，則a0＝﹣2，所以a2+a4＝﹣6．故答案為：﹣6．三、解答題，本題共6小題，第17小題10分，18-22小題每題12分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙相應(yīng)位置作答。17．（10分）同濟(jì)大學(xué)的入學(xué)面試中有4道難度相當(dāng)?shù)念}目，王寧答對(duì)每道題目的概率都是0.6，若每位面試者共有4次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第4次為止．用Y表示答對(duì)題目，用N表示沒有答對(duì)題目，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，那么（1）求王寧第3次答題通過面試的概率；（2）求王寧最終通過面試的概率．【解答】解：（1）因?yàn)镻（Y）＝0.6，所以P（N）＝1﹣0.6＝0.4，于是王寧第三次通過面試的概率為P（NNY）＝0.4×0.4×0.6＝0.096；（2）王寧未通過面試的概率為P（NNNN）＝0.4×0.4×0.4×0.4＝0.0256，所以王寧最終通過面試的概率為1﹣P（NNNN）＝1﹣0.0256＝0.9744．18．（12分）李先生是一名上班族，為了比較上下班的通勤時(shí)間，記錄了20天個(gè)工作日內(nèi)，家里到單位的上班時(shí)間以及同路線返程的下班時(shí)間（單位：分鐘），如下莖葉圖顯示兩類時(shí)間的共40個(gè)記錄：（1）求出這40個(gè)通勤記錄的中位數(shù)M，并完成下列2×2列聯(lián)表：超過M不超過M上班時(shí)間下班時(shí)間（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)問上下班的通勤時(shí)間是否有顯著差異？并說明理由．附：，P（χ2≥3.841）≈0.05【解答】解：（1）根據(jù)莖葉圖可知，這40個(gè)通勤記錄的中位數(shù)是，故M＝43，2×2列聯(lián)表：超過M不超過M上班時(shí)間812下班時(shí)間713（2）根據(jù)題意，由，則，故上下班的通勤時(shí)間沒有顯著差異．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范圍．【解答】解：（1）∵，∴﹣1＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的定義域（﹣1，1）；（2）函數(shù)f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．∵f（﹣x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）＝﹣f（x）．∴f（x）為奇函數(shù)（3）∵f（x）＞0，∴，求解得出：0＜x＜1故x的取值范圍：（0，1）．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+x+1在x＝﹣1時(shí)取得極值．（1）求f（x）在（0，f（0））處的切線方程；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣2，0]上的最大值與最小值．【解答】解：（1）已知f（x）＝x3+ax2+x+1，函數(shù)定義域?yàn)镽，可得f'（x）＝3x2+2ax+1，因?yàn)閒（x）在x＝﹣1處取得極值，所以f'（﹣1）＝3﹣2a+1＝0，解得a＝2，當(dāng)a＝2時(shí)，f'（x）＝3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)﹣1＜x＜﹣時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f（x）在x＝﹣1時(shí)取得極值，所以a＝2，此時(shí)f′（0）＝1，又f（0）＝1，所以f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y﹣1＝x﹣0，即x﹣y+1＝0；（2）由（1）知f（x）＝x3+2x2+x+1，當(dāng)﹣2≤x＜﹣1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)﹣1＜x＜﹣時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)﹣＜x≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）極大值＝f（﹣1）＝1，f（x）極小值＝f（﹣）＝，又f（0）＝1，f（﹣2）＝﹣8+8﹣2+1＝﹣1，所以f（x）在區(qū)間[﹣2，0]上的最大值為1，最小值為﹣1．21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C1的方程為x2+（y﹣1）2＝1．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線l和曲線C1的極坐標(biāo)方程；（2）曲線分別交直線l和曲線C1于點(diǎn)A，B，求的最大值及相應(yīng)α的值．【解答】解：（1）由（t為參數(shù)），得y﹣4＝﹣x，∴直線l的普通方程為x+y﹣4＝0，∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，∵曲線C1的普通方程為x2+y2＝2y，∴由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C1的參數(shù)方程為ρ＝2sinθ．（2）直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，令θ＝a，則|OA|＝，又|OB|＝2sinα，∴＝＝，∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．22．（12分）函數(shù)f（x）＝（x﹣2）ex﹣ax2+2ax，a∈R．（1