二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課60二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)二項(xiàng)分布掌握2023年新高考Ⅱ卷T★★★邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算超幾何分布理解2023年全國甲卷（理）T★☆☆邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算正態(tài)分布了解2022年新高考Ⅱ卷T132021年新高考Ⅱ卷★★☆邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來看，這三個(gè)分布主要出現(xiàn)在解答題中.命題熱點(diǎn)是以離散型隨機(jī)變量為載體，常常與離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征交匯，綜合性較強(qiáng).預(yù)計(jì)2025年高考命題情況變化不大一、伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1.伯努利試驗(yàn)只包含①兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫作伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為②n重伯努利試驗(yàn).2.二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p0<p<1，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為PX=如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作④X～二、兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差1.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則EX=p2.若X～Bn,p三、超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為PX=k=⑦CMkCN?Mn?kCNn，k=m，m+1，m+2，?，r四、正態(tài)分布1.定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為fx=12πσ?e?x?μ22.正態(tài)曲線的特點(diǎn)（1）曲線是單峰的，它關(guān)于直線⑨x=μ（2）曲線在⑩x=μ處達(dá)到峰值（3）當(dāng)x無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.3.3σ原則（1）Pμ（2）Pμ（3）Pμ4.正態(tài)分布的均值與方差若X～Nμ,σ2，則EX=1.當(dāng)n=2.若X服從正態(tài)分布，即X～Nμ,σ3.利用n重伯努利試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足應(yīng)用公式PX=k=Cnkpk1?（1）在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；（2）n次試驗(yàn)不但是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；（3）該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”）（1）X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布.(√)（2）從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(√)（3）n重伯努利試驗(yàn)中各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.(√)（4）正態(tài)分布是對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量而言的.(√)2.（易錯(cuò)題）甲、乙兩名羽毛球運(yùn)動(dòng)員之間要進(jìn)行三場(chǎng)比賽，且這三場(chǎng)比賽可看作三重伯努利試驗(yàn)，若甲至少取勝一次的概率為6364，則甲恰好取勝一次的概率為(CA.14 B.34 C.964【易錯(cuò)點(diǎn)】本題容易混淆概率模型.[解析]設(shè)“甲取勝”為事件A，每次甲勝的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B3,p，則有1?1?p題組2走進(jìn)教材3.（人教A版選修③P77?練習(xí)T3（2）改編）已知在100件產(chǎn)品中有5件次品，有放回地任意抽取20件，設(shè)XA.X～B100,0.05 B.X～[解析]有放回地抽取，每次取到次品的概率都是5100=0.05，相當(dāng)于20次獨(dú)立重復(fù)的伯努利實(shí)驗(yàn)，所以服從二項(xiàng)分布B4.（雙空題）（人教A版選修③P76?T1改編）若將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù),則EX=[解析]一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次正面朝上的概率為12，且每次是否正面朝上相互獨(dú)立，所以X～B4,題組3走向高考5.[2022年新高考Ⅱ卷]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N2,σ2，且P[解析]由題意可知，PX>2考點(diǎn)一n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布［自主練透］1.根據(jù)調(diào)查可知，大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功與失敗的概率分別為a，b，且a=2b，則某高校四名大學(xué)生畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，其中至少有兩名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功的概率為(A.881 B.89 C.724[解析]由題意a=2b,a+b=2.體育課上進(jìn)行投籃測(cè)試，每人投籃3次，至少投中1次則通過測(cè)試.某同學(xué)每次投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為(D).A.0.064 B.0.600 C.0.784 D.0.936[解析]該同學(xué)通過測(cè)試的概率為1?0.433.[2024·武漢質(zhì)檢]某省推出的高考新方案是“3+1+2”模型，“3”是語文、外語、數(shù)學(xué)三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科作為高考科目.某學(xué)校為做好選課走班教學(xué)，給出三種可供選擇的組合進(jìn)行模擬選課，其中A組合：物理、化學(xué)、生物；B組合：歷史、政治、地理；C組合：物理、化學(xué)、地理.根據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇A組合的概率為35，選擇B組合的概率為1（1）求這三位同學(xué)恰好選擇互不相同的組合的概率；（2）記η表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求η的分布列及數(shù)學(xué)期望.[解析]用Ai表示“第i位同學(xué)選擇A組合”，用Bi表示“第i位同學(xué)選擇B組合”，用Ci表示“第i位同學(xué)選擇C由題意可知，Ai，Bi，且PAi=35（1）三位同學(xué)恰好選擇不同的組合共有A33=（2）由題意知，η的所有可能取值為0，1，2，3，且η～所以PηPηPηPη所以η的分布列為η0123P2754368所以Eη1.n重伯努利試驗(yàn)概率的解題策略（1）首先判斷問題中涉及的試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)，判斷時(shí)注意各次試驗(yàn)之間是否相互獨(dú)立，并且每次試驗(yàn)的結(jié)果是否只有兩種，在任何一次試驗(yàn)中，某一事件發(fā)生的概率是否都相等，全部滿足才能用相關(guān)公式求解；（2）解此類題時(shí)常用互斥事件概率加法公式，相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對(duì)立事件的概率公式.2.判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)（1）在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.（2）各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.（3）在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.考點(diǎn)二超幾何分布［師生共研］典例1某公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對(duì)使用A，B兩種套餐的集團(tuán)用戶進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市nn∈N（1）在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，求全為大集團(tuán)的概率；（2）若一次抽取3個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出小集團(tuán)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望.[解析]（1）由題意知共有n+4個(gè)集團(tuán)，取出2個(gè)集團(tuán)的方法總數(shù)是Cn+4整理得到n+3n+4若2個(gè)全是大集團(tuán)，則共有C5若2個(gè)全是小集團(tuán)，則共有C4故在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，全為大集團(tuán)的概率為1010（2）由題意知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3，則PX=0PX=2故X的分布列為X0123P51051數(shù)學(xué)期望EX求超幾何分布的分布列的三個(gè)步驟[2024·鹽城模擬]端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè).（1）求三種粽子各取到1個(gè)的概率；[解析]令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有PA（2）設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列，并求EX[解析]X的所有可能值為0，1，2，且PX=0=C所以X的分布列為X012P771所以EX考點(diǎn)三正態(tài)分布［師生共研］典例2已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N10,σ2，若P[解析]由題可知，P8<X所以PX典例3某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個(gè)零件，測(cè)量其內(nèi)徑（單位：cm）,數(shù)據(jù)如下：87，87，88，92，95，97，98，99,103,104.設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ.（1）求μ與σ值.（2）假設(shè)這批零件的內(nèi)徑Z（單位：cm）服從正態(tài)分布Nμ①從這批零件中隨機(jī)抽取10個(gè)，設(shè)這10個(gè)零件中內(nèi)徑大于107cm的個(gè)數(shù)為X，求D②若該車間又新購了一臺(tái)設(shè)備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個(gè)零件，測(cè)得內(nèi)徑（單位：cm）分別為76，85，93，99，108，以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，試問這臺(tái)設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試?請(qǐng)說明你的理由.參考數(shù)據(jù)：若X～Nμ,σ2，則[解析]（1）μ=110×87（2）①∵Z服從正態(tài)分布N∴P則X～∴D∴D②∵Z服從正態(tài)分布N∴P∴5個(gè)零件的內(nèi)徑中恰有一個(gè)不在[μ?∵76∴試生產(chǎn)的5個(gè)零件的內(nèi)徑就出現(xiàn)了1個(gè)不在[μ∴根據(jù)3σ原則，需要進(jìn)一步調(diào)試.解決正態(tài)分布問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1.對(duì)稱軸為直線x=2.標(biāo)準(zhǔn)差σ；3.分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值,由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為直線x=1.（多選題）已知隨機(jī)變量X～N1,2A.m=2 C.函數(shù)y=xm?x的最大值為1 [解析]因?yàn)殡S機(jī)變量X～所以X的正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故PX≥1所以PX又PX≤0+P1≤y=當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值1，故C正確.故選2.為了了解某地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長(zhǎng)X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2.一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若X～①利用由頻率分布直方圖得到的正態(tài)分布，求PX②從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過10小時(shí)的人數(shù)，求PZ≥1（結(jié)果精確到0.001）以及Z參考數(shù)據(jù)：1.64≈1.28，16.4≈4.05，0.598720≈0.000035，0.729120≈0.0018，[解析]（1）x=s2（2）①由題意并結(jié)合（1）可知，μ=9，∴X∴P②由①可知，PX∴Z∴PZ≥二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系二項(xiàng)分布和超幾何分布是兩類重要的概率模型，二者的區(qū)別與聯(lián)系：①超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；②超幾何分布是不放回地抽取，而二項(xiàng)分布是有放回地抽?。í?dú)立重復(fù)）；③當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布.典例設(shè)某產(chǎn)品總個(gè)數(shù)為N（無限大），且正品個(gè)數(shù)為M，則正品率P=limN→∞MN，求證：在n,[解析]CM因?yàn)閚!k!且limNlimN→∞N深度訓(xùn)練1在裝有4個(gè)黑球，6個(gè)白球的袋子中，任取2個(gè)球，試求：（1）不放回地抽取，取到黑球數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）有放回地抽取，取到黑球數(shù)Y的分布列及數(shù)學(xué)期望.[解析]（1）不放回地抽取，X服從超幾何分布.從10個(gè)球中任取2個(gè)的方法數(shù)為C102，從10個(gè)球中任取2個(gè)，其中恰有k個(gè)黑球的方法數(shù)為C4kC62得隨機(jī)變量X的分布列