新八年級(jí)數(shù)學(xué)講義第7講乘法公式-提高班(學(xué)生版+解析)

第7講乘法公式1平方差公式平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 要點(diǎn)詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如【例題精選】例1(2023秋?孟津縣期末）為了運(yùn)用平方差公式計(jì)算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列變形正確的是（）A．[x﹣（2y+1）]2 B．[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）] C．[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1] D．[x+（2y﹣1）]2例2(2023秋?蘭考縣期末）下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y）【隨堂練習(xí)】1．(2023?青山區(qū)模擬）計(jì)算（x﹣3）（3+x）的結(jié)果為（）A．3﹣x2 B．9+x2 C．x2﹣9 D．3+x22．(2023春?德清縣期中）下列各式能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（3a+b）（a﹣b） B．（3a+b）（﹣3a﹣b） C．（﹣3a﹣b）（﹣3a+b） D．（﹣3a+b）（3a﹣b）3．(2023?唐山二模）下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（﹣x﹣y）（x﹣y） B．（x﹣y）（﹣x+y） C．（x+y）（﹣x+y） D．（﹣x+y）（﹣x﹣y）2完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：【例題精選】例1(2023秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（x﹣2y+1）2．例2(2023秋?天心區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（）A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2） C． D．（2x﹣3y）（2x+3y）【隨堂練習(xí)】1．(2023春?江陰市期中）計(jì)算：（a+2b）2＝________________．2．(2023?石屏縣一模）已知（x﹣1）2＝2，則代數(shù)式2x2﹣4x+5＝_______．3(2023?濱?？h一模）若x+y＝1，x﹣y＝5，則xy＝________．3完全平方式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：【例題精選】例1(2023秋?宜春期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，則m的值等于（）A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1例2(2023春?德清縣期中）若x2﹣2（k﹣1）x+4是完全平方式，則k的值為（）A．±1 B．±3 C．﹣1或3 D．1或﹣32【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?肇慶期末）如果x2+2mx+9是一個(gè)完全平方式，則m的值是（）A．3 B．±3 C．6 D．±6綜合練習(xí)一．選擇題（共4小題）1．如果9x2﹣kx+25是一個(gè)完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．302．已知a+b＝6，ab＝3，則﹣ab＝（）A．9 B．18 C．15 D．123．若x2﹣mx+4是一個(gè)完全平方式，則m的值應(yīng)是（）A．2 B．﹣2 C．4或﹣4 D．2或﹣24．把長(zhǎng)和寬分別為a和b的四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成如圖的正方形，圖形中陰影部分面積正好可以驗(yàn)證下面等式的正確性的是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab二．填空題（共2小題）5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，則xy的值為．6．計(jì)算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝．三．解答題（共3小題）7．計(jì)算：（1）（﹣5）0﹣（）2+|﹣3|；（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）．8．化簡(jiǎn)：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2．9．（1）計(jì)算：（﹣2）2+﹣（2）0．（2）化簡(jiǎn)：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣4）．第7講乘法公式1平方差公式平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 要點(diǎn)詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如【例題精選】例1(2023秋?孟津縣期末）為了運(yùn)用平方差公式計(jì)算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列變形正確的是（）A．[x﹣（2y+1）]2 B．[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）] C．[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1] D．[x+（2y﹣1）]2分析：原式利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征變形即可．【解答】解：運(yùn)用平方差公式計(jì)算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），應(yīng)變形為[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．例2(2023秋?蘭考縣期末）下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y）分析：根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、（x﹣y）（﹣x+y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y），含y的項(xiàng)符號(hào)相同，含x的項(xiàng)符號(hào)相同，不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)正確；B、含x的項(xiàng)符號(hào)相同，含y的項(xiàng)符號(hào)相反，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、含y的項(xiàng)符號(hào)相同，含x的項(xiàng)符號(hào)相反，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、含y的項(xiàng)符號(hào)相同，含x的項(xiàng)符號(hào)相反，能用平方差公式計(jì)算．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查了平方差公式．運(yùn)用平方差公式計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．【隨堂練習(xí)】1．(2023?青山區(qū)模擬）計(jì)算（x﹣3）（3+x）的結(jié)果為（）A．3﹣x2 B．9+x2 C．x2﹣9 D．3+x2【解答】解：（x﹣3）（3+x）＝（x﹣3）（x+3）＝x2﹣9．故選：C．2．(2023春?德清縣期中）下列各式能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（3a+b）（a﹣b） B．（3a+b）（﹣3a﹣b） C．（﹣3a﹣b）（﹣3a+b） D．（﹣3a+b）（3a﹣b）【解答】解：A、不能用平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不能用平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、能用平方差公式，故本選項(xiàng)符合題意；D、不能用平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3．(2023?唐山二模）下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（﹣x﹣y）（x﹣y） B．（x﹣y）（﹣x+y） C．（x+y）（﹣x+y） D．（﹣x+y）（﹣x﹣y）【解答】解：A、（﹣x﹣y）（x﹣y）符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（x﹣y）（﹣x+y）不符合平方差公式的特點(diǎn)，不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，故本選項(xiàng)正確．C、（x+y）（﹣x+y）符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、（﹣x+y）（﹣x﹣y）符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．2完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：【例題精選】例1(2023秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（x﹣2y+1）2．分析：根據(jù)完全平方公式解答即可．【解答】解：原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1＝x2﹣4xy+4y2+2x﹣4y+1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵．例2(2023秋?天心區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（）A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2） C． D．（2x﹣3y）（2x+3y）分析：A、原式利用平方差公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，不合題意；B、原式第一個(gè)因式提取﹣1變形后利用完全平方公式計(jì)算得到結(jié)果，符合題意；C、原式利用平方差公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，不合題意；D、原式利用平方差公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，不合題意．【解答】解：A、原式＝b2﹣a2，本選項(xiàng)不合題意；B、原式＝﹣（m2+n2）2，本選項(xiàng)符合題意；C、原式＝q2﹣p2，本選項(xiàng)不合題意；D、原式＝4x2﹣9y2，本選項(xiàng)不合題意，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．(2023春?江陰市期中）計(jì)算：（a+2b）2＝________________．【解答】解：原式＝a2+4ab+4b2＝a2+4ab+4b2，故答案為：a2+4ab+4b2．2．(2023?石屏縣一模）已知（x﹣1）2＝2，則代數(shù)式2x2﹣4x+5＝_______．【解答】解：2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3＝2×2+3＝4+3＝7．故答案是：7．3(2023?濱海縣一模）若x+y＝1，x﹣y＝5，則xy＝________．【解答】解：∵x+y＝1，x﹣y＝5，∴xy＝[（x+y）2﹣（x﹣y）2]＝﹣6，故答案為：﹣63完全平方式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：【例題精選】例1(2023秋?宜春期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，則m的值等于（）A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1分析：利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，∴m﹣3＝±4，解得：m＝7或﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．例2(2023春?德清縣期中）若x2﹣2（k﹣1）x+4是完全平方式，則k的值為（）A．±1 B．±3 C．﹣1或3 D．1或﹣32分析：利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出k的值．【解答】解：∵x2﹣2（k﹣1）x+4是完全平方式，∴﹣2（k﹣1）＝±4，解得：k＝﹣1或3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?肇慶期末）如果x2+2mx+9是一個(gè)完全平方式，則m的值是（）A．3 B．±3 C．6 D．±6【解答】解：∵x2+2mx+9是一個(gè)完全平方式，∴2m＝±6，∴m＝±3，故選：B．綜合練習(xí)一．選擇題（共4小題）1．如果9x2﹣kx+25是一個(gè)完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．30【解答】解：∵9x2﹣kx+25是一個(gè)完全平方式，∴﹣kx＝±2×3x×5，則k＝±30．故選：C．2．已知a+b＝6，ab＝3，則﹣ab＝（）A．9 B．18 C．15 D．12【解答】解：把a(bǔ)+b＝6兩邊平方得：（a+b）2＝36，整理得：a2+b2+2ab＝36，將ab＝3代入得：a2+b2＝30，則原式＝15﹣3＝12，故選：D．3．若x2﹣mx+4是一個(gè)完全平方式，則m的值應(yīng)是（）A．2 B．﹣2 C．4或﹣4 D．2或﹣2【解答】解：∵（x±2）2＝x2±4x+4＝x2﹣mx+4，∴m＝±4．故選：C．4．把長(zhǎng)和寬分別為a和b的四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成如圖的正方形，圖形中陰影部分面積正好可以驗(yàn)證下面等式的正確性的是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【解答】解：陰影部分的面積是：（a+b）2﹣（a﹣b）2；4個(gè)長(zhǎng)方形的面積是：4ab，∴驗(yàn)證的等式是：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．故選：D．二．填空題（共2小題）5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，則xy的值為．【解答】解：∵（x﹣y）2＝7，∴x2﹣2xy+y2＝7①，∵x+y＝5，∴（x+y）2＝25，∴x2+2xy+y2＝25②，∴②﹣①得：4xy＝18，則xy＝．6．計(jì)算：（1﹣π）0（2a+