隨機(jī)變量及其分布單元檢測(cè)-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)

第七章隨機(jī)變量及其分布（單元檢測(cè)）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋擲兩枚均勻骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記事件A為“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不同”，事件B為“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)中最大點(diǎn)數(shù)為4”，則P(B|A)＝()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,5)D.eq\f(5,6)2.某射擊小組共有20名射手，其中一級(jí)射手4人，二級(jí)射手8人，三級(jí)射手8人；一、二、三級(jí)射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率分別是0.9,0.7,0.4.則任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率為()A.0.62B.0.48C.0.5D.0.43.袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球．每次隨機(jī)摸取1個(gè)球，若取得黑球則另換1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹梗裘虻拇螖?shù)為ξ，則表示事件“放回5個(gè)紅球”的是()A.ξ＝4B.ξ＝5C.ξ＝6D.ξ≤54.某一供電網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)用電單位，每個(gè)單位在一天中使用電的機(jī)會(huì)是p，供電網(wǎng)絡(luò)中一天平均用電的單位個(gè)數(shù)是()A.np(1－p)B.npC.nD.p(1－p)5.從一口袋中有放回地每次摸出1個(gè)球，摸出一個(gè)白球的概率為0.4，摸出一個(gè)黑球的概率為0.5，若摸球3次，則恰好有2次摸出白球的概率為()A.0.24B.0.26C.0.288D.0.2926.現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)課本共7本(其中語文課本不少于2本)，從中任取2本，至多有1本語文課本的概率是eq\f(5,7)，則語文課本共有()A.2本B.3本C.4本D.5本7.已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生成績(jī)X～N(110，52)，據(jù)此估計(jì)，大約有57人的分?jǐn)?shù)所在的區(qū)間為()A.(90,100]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]8.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布ξ～N(1，σ2)，若P(ξ>3)＝0.012，則P(－1≤ξ≤1)＝()A.0.976B.0.024C.0.488D.0.048二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.為弘揚(yáng)我國(guó)古代“六藝”文化，某研學(xué)旅行夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃在暑假開設(shè)“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六門體驗(yàn)課程，若甲乙丙三名同學(xué)各只能體驗(yàn)其中一門課程，則()A.甲乙丙三人選擇課程方案有120種方法B.恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中的概率為eq\f(5,9)C.已知在甲不選擇課程“御”的條件下，乙丙也不選擇“御”的概率為eq\f(25,36)D.設(shè)三名同學(xué)選擇課程“禮”的人數(shù)為ξ，則E(ξ)＝eq\f(1,2)10.已知隨機(jī)變量X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)則下列結(jié)論正確的是()A.E(X)＝－eq\f(1,3)B.E(X＋4)＝－eq\f(1,3)C.D(3X＋1)＝5D.P(X>0)＝eq\f(1,6)11.有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒子里有1個(gè)紅球，乙盒子里有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機(jī)取出n(1≤n≤6，n∈N*)個(gè)球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為ξ個(gè)，則隨著n(1≤n≤6，n∈N*)的增加，下列說法正確的是()A.E(ξ)增大B.D(ξ)增大C.D(ξ)減小D.E(ξ)減小三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器，第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12，兩個(gè)車間的成品都混合堆放在一個(gè)倉庫，假設(shè)第一、二車間生產(chǎn)的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉庫中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，則該產(chǎn)品合格的概率為________13.隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2．若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________14.某校為了解高三學(xué)生身體素質(zhì)情況，從某項(xiàng)體育測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取n個(gè)學(xué)生成績(jī)進(jìn)行分析，得到成績(jī)頻率分布直方圖(如圖所示)，已知成績(jī)?cè)赱90，100]的學(xué)生人數(shù)為8，且有4個(gè)女生的成績(jī)?cè)赱50，60)中，則n＝______；現(xiàn)從成績(jī)?cè)赱50，60)的樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記所抽取學(xué)生中女生的人數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望是________四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（15分）現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．16.（15分）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．17.（15分）某工廠生產(chǎn)一種汽車的元件，該元件是經(jīng)過A、B、C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)．已知每道工序的加工都相互獨(dú)立，三道工序加工都合格的元件為一等品；恰有兩道工序加工合格的元件為二等品；其他的為廢品，不進(jìn)入市場(chǎng)．(1)生產(chǎn)一個(gè)元件，求該元件為二等品的概率；(2)若從該工廠生產(chǎn)的這種元件中任意取出3個(gè)元件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有2個(gè)元件是一等品的概率．18.（16分）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．19.（16分）九節(jié)蝦的蝦身上有一深一淺的橫向紋路，煮熟后有明顯的九節(jié)白色花紋，肉味鮮美．某酒店購進(jìn)一批九節(jié)蝦，并隨機(jī)抽取了40只統(tǒng)計(jì)質(zhì)量，得到的結(jié)果如下表所示：質(zhì)量/g[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]數(shù)量4121185(1)若購進(jìn)這批九節(jié)蝦35000g，且同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，試估計(jì)這批九節(jié)蝦的數(shù)量(所得結(jié)果保留整數(shù))；(2)以頻率估計(jì)概率，若在本次購買的九節(jié)蝦中隨機(jī)挑選4只，記質(zhì)量在[5,25)間的九節(jié)蝦的數(shù)量為X，求X的分布列及期望．參考答案及解析：一、單項(xiàng)選擇題1.C解析：事件A為“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不同”的基本事件個(gè)數(shù)為36－6＝30，事件B為“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)中最大點(diǎn)數(shù)為4”的基本事件有(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共6個(gè)，即P(B|A)＝eq\f(6,30)＝eq\f(1,5)．2.A解析：設(shè)A1為進(jìn)入比賽的一級(jí)射手，A2為進(jìn)入比賽的二級(jí)射手，A3為進(jìn)入比賽的三級(jí)射手，則P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.4且A1，A2，A3兩兩互斥，B＝“任取一名射手進(jìn)入比賽”，則P(B)＝0.2×0.9＋0.4×0.7＋0.4×0.4＝0.62.3.C解析：“放回5個(gè)紅球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故ξ＝6.故選C.4.B解析：供電網(wǎng)絡(luò)中一天用電的單位個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，故所求為np.故選B.5.C解析：恰好有2次摸出白球的概率為Ceq\o\al(2,3)×0.42×(1－0.4)＝0.288．6.C解析：設(shè)語文課本有x本，則數(shù)學(xué)課本有(7－x)本，由題意知eq\f(C\o\al(1,x)·C\o\al(1,7－x),C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(2,7－x),C\o\al(2,7))＝eq\f(5,7)．整理，得x2－x－12＝0，解得x＝－3(舍)或x＝4．∴語文課本有4本．7.C解析：∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5，又eq\f(57,60)＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100<X≤120)．8.C解析：由題意知，對(duì)稱軸為x＝1，則P(ξ<－1)＝P(ξ>3)＝0.012，故P(－1≤ξ≤1)＝eq\f(1－0.012－0.012,2)＝0.488．二、多項(xiàng)選擇題9.BCD解析：選項(xiàng)A：甲乙丙三人每人都有6種選擇，共有6×6×6＝216種，故A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B：恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中即3名學(xué)生選擇了不同的三門，則概率為P＝eq\f(A\o\al(3,6),63)＝eq\f(5,9)，故B正確，選項(xiàng)C：甲不選擇課程“御”的概率為1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，甲乙丙同時(shí)不選擇課程“御”的概率為eq\f(53,63)＝eq\f(125,216)，則甲不選擇課程“御”的條件下，乙丙也不選擇“御”的概率為eq\f(\f(125,216),\f(5,6))＝eq\f(25,36)，故C正確，選項(xiàng)D：三名同學(xué)選擇課程“禮”的人數(shù)為ξ，則ξ服從二項(xiàng)分布，則E(ξ)＝3×eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，故D正確，故選BCD．10.ACD解析：E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(X＋4)＝eq\f(11,3)，故A正確，B錯(cuò)誤．D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，D(3X＋1)＝9D(X)＝5，故C正確．P(X>0)＝P(X＝1)＝eq\f(1,6)，故D正確．11.BD解析：依題意，從乙盒子里隨機(jī)取出n個(gè)球，含有紅球個(gè)數(shù)X服從超幾何分布，即X～H(6，3，n)，其中P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(n－k,3),C\o\al(n,6))，其中k∈N，k≤3且k≤n，E(X)＝eq\f(3n,6)＝eq\f(n,2)，故從甲盒中取球，相當(dāng)于從含有eq\f(n,2)＋1個(gè)紅球的n＋1個(gè)球中取一球，取到紅球個(gè)數(shù)為ξ，故P(ξ＝1)＝eq\f(\f(n,2)＋1,n＋1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2n＋2)，隨機(jī)變量ξ服從兩點(diǎn)分布，所以E(ξ)＝P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2n＋2)，隨著n的增大，E(ξ)減小；D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2n＋2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2n＋2)))，隨著n的增大，D(ξ)增大．三、填空題12.答案：0.868解析：設(shè)B＝{從倉庫中隨機(jī)提出的一臺(tái)是合格品}，Ai＝{提出的一臺(tái)是第i車間生產(chǎn)的，i＝1，2}．由題意P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．13.答案：eq\f(2,5)解析：設(shè)P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5)．14.答案：50，eq\f(4,3)解析：由(0.012＋0.016＋0.018＋0.024＋x)×10＝1，解得x＝0.03．依題意0.016×10n＝8，則n＝50．成績(jī)?cè)赱50，60)人數(shù)為0.012×10×50＝6，其中4個(gè)為女生，2個(gè)為男生．ξ可能取值為0，1，2．P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，故E(ξ)＝0×eq\f(1,15)＋eq\f(8,15)×1＋2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,3)．四、解答題15.解：設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB．(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè)，總的事件數(shù)n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，所以P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3)．(2)因?yàn)閚(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5)．(3)法一：由(1)(2)得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5)．法二：因?yàn)閚(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5)．16.解：(1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋m＋eq\f(1,20)＝1，解得m＝eq\f(1,6)．(2)E(X)＝(－2)×eq\f(1,4)＋(－1)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,20)＝－eq\f(17,30)．(3)法一(公式法)：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－eq\f(62,15)．法二(直接法)：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：Y－7－5－3－11Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)eq\f(1,6)eq\f(1,20)所以E(Y)＝(－7)×eq\f(1,4)＋(－5)×eq\f(1,3)＋(－3)×eq\f(1,5)＋(－1)×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,20)＝－eq\f(62,15)．17.解：(1)不妨設(shè)元件經(jīng)A，B，C三道工序加工合格的事件分別為A，B，C．所以P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，P(C)＝eq\f(3,4)．P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)，P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,4)．設(shè)事件D為“生產(chǎn)一個(gè)元件，該元件為二等品”．由已知A，B，C是相互獨(dú)立事件．根據(jù)事件的獨(dú)立性、互斥事件的概率運(yùn)算公式，P(D)＝P(eq\x\to(A)BC＋Aeq\x\to(B)C＋ABeq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，所以生產(chǎn)一個(gè)元件，該元件為二等品的概率為eq\f(11,24)．(2)生產(chǎn)一個(gè)元件，該元件為一等品的概率為P＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)．設(shè)事件E為“任意取出3個(gè)元件進(jìn)行檢測(cè)，至少有2個(gè)元件是一等品”，則P(E)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,32)．所以至少有2個(gè)元件是一等品的概率為eq\f(5,32)．18.解：(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,3),C\o\al(3,7))(k＝0,1,2,3)．所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(18