九年級數(shù)學下冊專題04相似三角形重要模型之一線三等角模型(原卷版+解析)

專題04相似三角形重要模型之一線三等角模型相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·重慶渝北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點．將沿翻折，點正好落在線段上的點處，使得．若，則的長度為（

）A． B． C． D．例2．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現(xiàn)在有如下五個結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個例3．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）[問題背景]（1）如圖1，是等腰直角三角形，，直線過點，，，垂足分別為，．求證：；[嘗試應(yīng)用]（2）如圖2，，，，，三點共線，，，，．求的長；[拓展創(chuàng)新]（3）如圖3，在中，，點，分別在，上，，，若，直接寫出的值為．例4．（2022?廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點，且，與相似嗎？請說明理由.（2）模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長為，為邊上一點，為射線上一點，將沿翻折，使點落在射線上的點處，且.①如圖2，當點在線段上時，求的值；②如圖3，當點落在線段的延長線上時，求與的周長之比.例5．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過、向經(jīng)過點直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．（1）探究問題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請你說明理由．（2）學以致用：如圖③，在平面直角坐標系中，直線與直線交于點，且兩直線夾角為，且，請你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點為邊上—個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點落在點處，當點在矩形外部時，連接，．若為直角三角形時，請你探究并直接寫出的長．

例6．（2023·浙江·九年級專題練習）在中，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）．（1）如圖，若點在線段上運動，交于．①求證：；②當是等腰三角形時，求的長；（2）如圖，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長度；若不存在，請簡要說明理由；（3）若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．例7．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┤鐖D，矩形中，，點是邊上的一個動點，聯(lián)結(jié)，過點作，垂足為點.

(1)設(shè)，的余切值為，求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若存在點，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；(3)對（2）中求出的矩形，聯(lián)結(jié)，當?shù)拈L為多少時，是等腰三角形？課后專項訓練1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）如圖，點E、F分別在矩形的邊上，且，若，則的長為（

）

A．12 B．13 C．14 D．152．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點D是線段上的一點，連接，過點B作，分別交、于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．若點D是AB的中點，則C．當B、C、F、D四點在同一個圓上時，D．若，則3．（2023秋·山東聊城·九年級?？茧A段練習）如圖，在正方形中，是的中點，是上一點，，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論有（

）①；②；③；④圖中有3對相似三角形．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期中）在一次數(shù)學活動課上，小穎發(fā)現(xiàn)：將三角板的直角頂點放在長方形紙片的邊上移動，恰好存在兩直角邊分別經(jīng)過點，情形（如圖）．如果，，則的長應(yīng)為（

）

A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或65．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點G，若，則的長為．6．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖．是等邊三角形，點D，E分別為邊，上的點，，若，，則的長為．

7．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形中，，點E、F分別是邊上的動點，且，當為時，最大．8．（2023春·廣東深圳·八年級校考期中）如圖，在等邊中，，，E，F(xiàn)分別為邊，上的點，將沿所在直線翻折，點A落在邊上的G點，得到三角形，則的面積為．

9．（2023·山西·九年級專題練習）如圖，在中，，，，，，則CD的長為______．10．（2023·安徽·九年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________11．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點是線段上的一點，且．已知．(1)證明：．(2)求線段的長．

12．（2023秋·安徽阜陽·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，點、分別是、邊上的點，且．(1)求證：；(2)若，，當時，求的長．

13．（2023秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）如圖，梯形中，，點是邊上一點，點在邊上，射線交的延長線于點，且．(1)求證：；(2)若，求的長．

14．（2023秋·吉林長春·九年級?？茧A段練習）如圖，是矩形的邊上的一點，于點，，，．(1)求證：∽．(2)計算點到直線的距離為______．

15．（2023春·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）在梯形中，，，，，點E是射線上一點（不與點A、B重合），聯(lián)結(jié)，過點E作交射線于點F，聯(lián)結(jié)．設(shè)．(1)求的長；(2)如圖，當點E在線段上時，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)如果是以為腰的等腰三角形，求的長．

16．（2023秋·四川達州·九年級?？茧A段練習）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大小；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．17．（2023·四川成都·校考三模）在矩形中，，．點為邊上一動點，連接，在右側(cè)作，，．

(1)如圖1，若點恰好落在邊上，求的長；(2)如圖2，延長交邊于點，當時，求的值；(3)連接，當為等腰三角形時，求的長．18．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過點，過點、分別作于點，于點，則（不用證明）．(1)【類比探究】如圖2，在中，，且，上述結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由：若不成立，請寫出一個你認為正確的結(jié)論．(2)【拓展延伸】①如圖3，在中，，且，猜想線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．②若圖1的中，，，并將直線繞點旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊相交，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為點和點，請在備用圖上畫出圖形，并直接寫出線段、、之間滿足的一種數(shù)量關(guān)系（不要求寫出證明過程）．

專題04相似三角形重要模型之一線三等角模型相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·重慶渝北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點．將沿翻折，點正好落在線段上的點處，使得．若，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是等邊三角形，＝＝＝60°，由沿DE折疊C落在AB邊上的點F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)AD＝x，CD=DF＝，由BE=2，BC＝，可得CE＝，可證，利用性質(zhì)，即，解方程即可【詳解】解：∵是等邊三角形，∴＝＝＝60°，∵沿DE折疊C落在AB邊上的點F上，∴，∴＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，∵AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)＝x，＝DF＝，∵BE=2，BC＝，∴CE＝，∵＝，＝60°，∴＝120°，＝120°，∴＝，∵＝，∴，∴，即，解得：，使等式有意義，∴＝，故選擇：A．【點睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．例2．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現(xiàn)在有如下五個結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】如圖1中，證明，，可得，可得，，可得①②正確，如圖2中，當M與C重合時，設(shè)．則，證明，可得，即，可得，可得③正確，如圖3中，當點F與點D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，可得④錯誤，如圖1中，于H，，同理可得：，可得，結(jié)合，可得⑤正確．【詳解】解：如圖1中，

∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點，∴，由翻折可知：，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，故①②正確，如圖2中，當M與C重合時，設(shè)．則，

∵，∴，∴，∴，∴，即，可得，∴，∴，故③正確，如圖3中，當點F與點D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，故④錯誤，如圖1中，∵于H，，同理可得：，∴，∴，∵，∴．故⑤正確，故選：C．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．例3．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）[問題背景]（1）如圖1，是等腰直角三角形，，直線過點，，，垂足分別為，．求證：；[嘗試應(yīng)用]（2）如圖2，，，，，三點共線，，，，．求的長；[拓展創(chuàng)新]（3）如圖3，在中，，點，分別在，上，，，若，直接寫出的值為．【答案】（1）見解析；（2）；（3）5【分析】（1）由“”可證；（2）延長，交于點，過點作于，由（1）可知：，可得，，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）通過證明，可求，通過證明，可求，即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）如圖2，延長，交于點，過點作于，由（1）可知：，∴，，∵，，∴，∴，，∴，∴，，∴，∴；（3）如圖3，過點作，交的延長線于，延長交于，過點作于，過點作于，∵，∴設(shè)，，∴，由（1）可知：，∴，，∵，，，∴，∴，，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形是本題的關(guān)鍵．例4．（2022?廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點，且，與相似嗎？請說明理由.（2）模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長為，為邊上一點，為射線上一點，將沿翻折，使點落在射線上的點處，且.①如圖2，當點在線段上時，求的值；②如圖3，當點落在線段的延長線上時，求與的周長之比.【答案】（1），見解析；（2）①；②與的周長之比為.【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，即可證明；（2）①設(shè)，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與折疊可知，，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，即可證明，故，再根據(jù)比例關(guān)系求出的值；②同理可證，得，得，再得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】解（1），理由：，在中，，，，，，，；（2）①設(shè)，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，；②設(shè)，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，..與的周長之比為.【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì).例5．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過、向經(jīng)過點直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．（1）探究問題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請你說明理由．（2）學以致用：如圖③，在平面直角坐標系中，直線與直線交于點，且兩直線夾角為，且，請你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點為邊上—個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點落在點處，當點在矩形外部時，連接，．若為直角三角形時，請你探究并直接寫出的長．

【答案】（1）理由見解析；（2）；（3）長為3或．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到，然后利用AA定理判定三角形相似；（2）過點作交直線于點，分別過、作軸，軸，由（1）得，從而得到，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出，，從而確定N點坐標，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）分兩種情形討論：①如圖1中，當∠PDC=90°時．②如圖2中，當∠DPC=90°時，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x．分別求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴又∵∴∴∵．∴（2）如圖，過點作交直線于點，分別過、作軸，軸由（1）得

∴∵坐標

∴，∵

∴解得：，

∴設(shè)直線表達式為，代入，得，解得，∴直線表達式為（3）解：①如圖1中，當∠PDC=90°時，∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠PDC=180°，∴A、D、P共線，∵EA=EP，∠AEP=90°，∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，∴∠BAE=45°，∵∠B=90°∴∠BAE=∠BEA=45°，∴BE=AB=3．②如圖2中，當∠DPC=90°時，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x，∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠PEF，在△ABE和△EFP中，∴△ABE≌△EFP，∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，∴CF=3-（5-x）=x-2，∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC，∴△PHD∽△CHP，∴PH2=DH?CH，∴（x-2）2=x（3-x），∴x=或（舍棄），∴BE=，綜上所述，當△PDC是直角三角形時，BE的值為3或．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．例6．（2023·浙江·九年級專題練習）在中，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）．（1）如圖，若點在線段上運動，交于．①求證：；②當是等腰三角形時，求的長；（2）如圖，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長度；若不存在，請簡要說明理由；（3）若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．【答案】（1）①見解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，見解析【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，再證，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分，和三種情況討論，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解；（2）先證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)定理，進行判斷即可．【詳解】（1）①證明：∵，，∴．∴．又∵，∴．∴；②解：分三種情況：（i）當，時，得到，點分別與重合，∴．（ii）當時，在△ABD和△DCE中，，∴，∴，∵BC=，∴，∴；（iii）當時，有，∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴．綜上所述，當是等腰三角形時，的長為2，或1．（2）解：存在．∵，∴．∵，∴．∴，∴，∴，當，．（3）解：不存在．理由如下：如圖，∵和不重合，∴，又，，∴≠．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．例7．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學校考期末）如圖，矩形中，，點是邊上的一個動點，聯(lián)結(jié)，過點作，垂足為點.

(1)設(shè)，的余切值為，求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若存在點，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；(3)對（2）中求出的矩形，聯(lián)結(jié)，當?shù)拈L為多少時，是等腰三角形？【答案】(1)(2)(3)或或1【分析】（1）根據(jù)已知條件矩形和，得出，，從而求出，再根據(jù)求出結(jié)果；（2）假設(shè)存在，由題意、與四邊形的面積比是，可得，設(shè)，證，根據(jù)三角形的相似比，從而求解；（3）過點作，垂足為點，判斷是等腰三角形，要分類討論，①；②；③，根據(jù)三角形相似進行求解．【詳解】（1）解：，，，，∵在矩形中，，∴，則，；（2）：四邊形的面積比是，，，設(shè)，則，∵，，，且，，，解得，，∴；（3）①時，過點作，垂足為點，則，，延長交于點，

，，當時，是等腰三角形；②時，則，，，，則，當時，是等腰三角形；③時，則點在的垂直平分線上，故為中點．，，，∴，，，即，∴，解得，當時，是等腰三角形，綜上：的長度為或或1．【點睛】此題難度比較大，主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及等腰三角形的判定，考查知識點比較多，綜合性比較強，另外要注意輔助線的作法．課后專項訓練1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）如圖，點E、F分別在矩形的邊上，且，若，則的長為（

）

A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【分析】證明，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可求得．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，故選：A．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明相似三角形是本題的關(guān)鍵．2．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點D是線段上的一點，連接，過點B作，分別交、于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．若點D是AB的中點，則C．當B、C、F、D四點在同一個圓上時，D．若，則【答案】D【分析】由，可確定A項正確；由可得，進而由確定點F為的三等分點，可確定B項正確；當B、C、F、D四點在同一個圓上時，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，得到為圓的直徑，因為，根據(jù)垂徑定理得到，故C項正確；因為D為的三等分點，即，可得，由此確定D項錯誤．【詳解】解：依題意可得，∴，∴，又，∴．故A項正確；如圖，∵，，∴．在與中，，∴，∴，又∵，∴；∵為等腰直角三角形，∴；∴；∵，∴，∴，∴．故B項正確；當B、C、F、D四點在同一個圓上時，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，∴是B、C、F、D四點所在圓的直徑，∵，∴，∴，故C項正確；∵，，，∴，∴，，∴，∴；∴．故D項錯誤．故選：D．【點睛】本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應(yīng)用，有一定的難度．對每一個結(jié)論，需要仔細分析，嚴格論證；注意各結(jié)論之間并非彼此孤立，而是往往存在邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系，需要善加利用．3．（2023秋·山東聊城·九年級?？茧A段練習）如圖，在正方形中，是的中點，是上一點，，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論有（

）①；②；③；④圖中有3對相似三角形．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由題中條件可得，進而得出對應(yīng)線段成比例，進而又可得出，即可得出題中結(jié)論．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，是的中點，，，故①正確；由可得，的正切值相同，，，，，，，，故②正確；，，，與不全等，故③錯誤；由以上證得，，，故④正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，其中又涉及正方形的一些性質(zhì)問題，能夠熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期中）在一次數(shù)學活動課上，小穎發(fā)現(xiàn)：將三角板的直角頂點放在長方形紙片的邊上移動，恰好存在兩直角邊分別經(jīng)過點，情形（如圖）．如果，，則的長應(yīng)為（

）

A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或6【答案】B【分析】根據(jù)得出，再根據(jù)長方形的性質(zhì)證得，，從而得到，最后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出的長．【詳解】解：由題意知，，四邊形為長方形，，，，，，，，設(shè)，則，，整理得，，解得，，，即的長應(yīng)為2或8，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．5．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點G，若，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)題意證明，，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，又，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖．是等邊三角形，點D，E分別為邊，上的點，，若，，則的長為．

【答案】或【分析】根據(jù)是等邊三角形，得到，，推出，得到，得到，然后代入數(shù)值求得結(jié)果．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴，即，解得：或，經(jīng)檢驗：或是原方程的解，故答案為：或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．7．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形中，，點E、F分別是邊上的動點，且，當為時，最大．【答案】/【分析】在中，，則，當增加時，也增加，因為，要使取最大值，所以取最小值，然后證明，利用二次函數(shù)求得的最小值即可．【詳解】設(shè)，∵矩形中，，∴，∴,∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即，整理得：，∵，∴當時，y取最小值，∵中，，∴，∴要使取最大值，即最大時，y應(yīng)取最小值，∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查二次函的最值、三角形相似的判定和性質(zhì)、正切函數(shù)的性質(zhì)，也體現(xiàn)了數(shù)學中轉(zhuǎn)化的思想，靈活運用是關(guān)鍵．8．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，在等邊中，，，E，F(xiàn)分別為邊，上的點，將沿所在直線翻折，點A落在邊上的G點，得到三角形，則的面積為．

【答案】【分析】過點G作于點M，過點F作于點N，由已知條件及翻折的性質(zhì)可知，可得，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可求出x值，即可得，，證明，則，可得和，在中，可得，利用三角形面積公式直接求的面積即為的面積．【詳解】解：過點G作于點M，過點F作于點N．

∵為等邊三角形，，，∴，，，由翻折可知，，，在中，，，∴，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，，解得，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，∴，在中，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題）、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023·山西·九年級專題練習）如圖，在中，，，，，，則CD的長為______．【答案】5【分析】在CD上取點F，使，證明，求解再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得到答案.【詳解】解：在CD上取點F，使，，，由，，，，且，，，∽，，，，又，，∽，，又，，或舍去，經(jīng)檢驗：符合題意，．故答案為：5．本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分式方程與一元二次方程的解法，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.10．（2023·安徽·九年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________【答案】【分析】根據(jù)題意證明，列出比例式即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點是線段上的一點，且．已知．

(1)證明：．(2)求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出，，則，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，解得：．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·安徽阜陽·九年級校考階段練習）如圖，在中，，點、分別是、邊上的點，且．(1)求證：；(2)若，，當時，求的長．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由三角形外角的性質(zhì)可得，即可求證；（2）根據(jù)，可得，再由，可得，從而得到，進而得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴且，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，即，∵，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·上海·九年級?？茧A段練習）如圖，梯形中，，點是邊上一點，點在邊上，射線交的延長線于點，且．(1)求證：；(2)若，求的長．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得，證明，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出比例式，代入數(shù)據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵梯形中，，∴，又∵∴∴，∴∴∴即；（2）解：∵∴∵∴，∴則∵∴，∴【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·吉林長春·九年級?？茧A段練習）如圖，是矩形的邊上的一點，于點，，，．(1)求證：∽．(2)計算點到直線的距離為______．

【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）證明兩個角對應(yīng)相等；（2）點到直線的距離就是線段的長度，由相似三角形對應(yīng)邊成比例求解即可；【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，∴，，∴，∴，∽，（2）解：∵∽，∴，即?！喙蚀鸢笧椋海军c睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證得∽是解題的關(guān)鍵15．（2023春·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）在梯形中，，，，，點E是射線上一點（不與點A、B重合），聯(lián)結(jié)，過點E作交射線于點F，聯(lián)結(jié)．設(shè)．(1)求的長；(2)如圖，當點E在線段上時，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)如果是以為腰的等腰三角形，求的長．

【答案】(1)6(2)(3)或【分析】（1）過點作，可得四邊形為矩形，利用勾股定理求出的長即可；（2）證明，列出比例式進行求解即可；（3）分點在線段上和在線段的延長線上，兩種情況進行討論求解．【詳解】（1）解：過點作與點，

∵，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，在中，，∴（2）∵，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，即：，整理，得：，∵點E在線段上，∴，∴；（3）當點在線段上時，①當時，如圖，過點作與點，則：，

由（1）知，，∴，由（2）知：，當時：或，即：或；②當時，∵，∴此種情況不存在；當點在線段的延長線上時：如圖，

則：，同法（2）可得：，即：，整理，得：，∵是以為腰的等腰三角形，則：，在中：，在中：，在中：，整理，得：，∵，∴，整理，得：，解得：（負值已舍掉）；∴，綜上：或．【點睛】本題考查矩形得判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，勾股定理．解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確的作圖，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解．16．（2023秋·四川達州·九年級?？茧A段練習）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大小；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延長過點F作，證明即可得出結(jié)論．（2）在上截取，使，連接，證明，通過邊和角的關(guān)系即可證明．（3）過點A作