復習清單02 二次函數(shù)（解析版）

清單02二次函數(shù)（14個考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識導圖】【知識清單】考點一．二次函數(shù)的定義（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關鍵條件．（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實數(shù)，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．【例1】．（2022秋?金華期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（）①；②；③y＝3x（1﹣3x）；④y＝（1﹣2x）（1+2x）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】把各關系式整理成一般形式，根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可解答．【解答】解：①y＝1﹣x2＝﹣x2+1，是二次函數(shù)；②y＝，分母中含有自變量，不是二次函數(shù)；③y＝3x（1﹣3x）＝﹣9x2+3x，是二次函數(shù)；④y＝（1﹣2x）（1+2x）＝﹣4x2+1，是二次函數(shù)．二次函數(shù)共三個．故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)的定義，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)是解題的關鍵．【變式】．（2022秋?定遠縣期末）已知是二次函數(shù)，則m的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式求解即可．【解答】解：由是二次函數(shù)，得，解得m＝1，故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)．考點二．二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側，再利用對稱性畫另一側．（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．【例2】．（2022秋?石城縣期末）某同學將如圖所示的三條水平直線m1，m2，m3的其中一條記為x軸（向右為正方向），三條豎直直線m4，m5，m6的其中一條記為y軸（向上為正方向），并在此坐標平面內畫出了二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的圖象，那么她所選擇的x軸和y軸分別為直線（）A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m2，m4【分析】由已知求得頂點坐標為（1，1﹣a），再結合a＜0，即可確定坐標軸的位置．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，∴頂點坐標為（1，1﹣a），∵a＜0，∴拋物線與m5的交點為頂點，∴m4為y軸，∵1﹣a＞1，∴m2為x軸，故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質，平面直角坐標系中坐標軸與點的位置關系是解題的關鍵．【變式】．（2022秋?襄都區(qū)校級期末）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常數(shù)，且a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷a的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤．【解答】解：A、由一次函數(shù)y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數(shù)y＝﹣ax2+2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x＝﹣＜0，故選項錯誤；B、由一次函數(shù)y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數(shù)y＝﹣ax2+2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x＝﹣＜0，故選項正確；C、由一次函數(shù)y＝ax+a的圖象可得：a＞0，此時二次函數(shù)y＝﹣ax2+2x+1的圖象應該開口向下，故選項錯誤；D、由一次函數(shù)y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數(shù)y＝﹣ax2+2x+1的圖象應該開口向上，故選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質，熟知函數(shù)與系數(shù)的關系，一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．考點三．二次函數(shù)的性質二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減?。粁＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．【例3】．（2022秋?張店區(qū)期末）下列關于拋物線y＝x2﹣6x+7的說法，正確的是（）A．開口向下 B．對稱軸是直線x＝﹣3 C．頂點坐標是（﹣3，1） D．x＜3時，y隨x的增大而減小【分析】由題意已知拋物線解析式為頂點式，進而根據(jù)頂點式的特點判斷頂點坐標，對稱軸，開口方向及增減性分別進行判斷即可．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2，a＝1＞0，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝3，頂點坐標是（3，﹣2），當x＜3時，y隨x的增大而減小．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．【變式】．（2022秋?鐘山區(qū)期末）二次函數(shù)y＝2（x﹣3）2+5的圖象的頂點坐標為（）A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（﹣3，﹣5）【分析】二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的頂點坐標是（h，k）．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的頂點式方程y＝2（x﹣3）2+5知，該函數(shù)的頂點坐標是：（3，5）．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質和二次函數(shù)的三種形式．解答該題時，需熟悉二次函數(shù)的頂點式方程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意義．考點四．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。谝淮雾椣禂?shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側．（簡稱：左同右異）③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．【例4】．（2022秋?滕州市期末）在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下結論：①abc≥0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)拋物線對稱性進行推理，進而對所得結論進行判斷，【解答】解：①∵拋物線的開口方向向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸右側，∴對稱軸為﹣，∵a＜0，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴c＞0，∴abc＜0，故①錯誤；②∵對稱軸為﹣，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②錯誤；③由圖象的對稱性可知：當x＝3時，y＜0，∴9a+3b+c＜0，故③錯誤；④由圖象可知，該拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正確；⑤由圖象可知：當x＝﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故⑤正確，綜上所述，正確的結論是：④⑤，故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，能從圖象中獲取信息是解題的關鍵．【變式】．（2022秋?豐都縣期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論：①abc＜0；②2a+b＝0；③m為任意實數(shù)時，a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【解答】解：①拋物線開口方向向上，則a＞0．拋物線對稱軸位于y軸右側，則a、b異號，即ab＜0．拋物線與y軸交于y軸負半軸，則c＜0，所以abc＜0．故①錯誤；②∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正確；③∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴函數(shù)的最小值為：a+b+c，∴m為任意實數(shù)時，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c，故③正確；④∵拋物線與x軸的一個交點在（3，0）的左側，而對稱軸為直線x＝1，∴拋物線與x軸的另一個交點在（﹣1，0）的右側，∴當x＝﹣1時，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正確；⑤∵+bx1＝+bx2，∴+bx1﹣﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正確．綜上所述，正確的有②③④⑤．故選：D．【點評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用．考點五．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．①拋物線是關于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．【例5】．（2023秋?瑞安市期末）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）為二次函數(shù)y＝x2+2x+c圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1≤y3＜y2【分析】根據(jù)解析式求得拋物線開口方向和對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性可得到y(tǒng)1，y2，y3的大小關系．【解答】解：∵y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，∵A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）為二次函數(shù)y＝x2+2x+c圖象上的三點，∴C（3，y3）關于直線x＝﹣1的對稱點（﹣5，y3）在二次函數(shù)y＝x2+2x+c圖象上，∵﹣5＜﹣4＜﹣3＜﹣1，∴y3＞y1＞y2，故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．【變式】．（2022秋?鄂倫春自治旗期末）點P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點，其對稱軸為x＝1，圖象開口向下，根據(jù)函數(shù)圖象上的點離對稱軸的水平距離越近，函數(shù)值越大，可判斷y1，y2，y3的大小關系．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c，﹣1＜0，∴對稱軸為x＝1，開口向下，∵1﹣（﹣2）＝3，2﹣1＝1，4﹣1＝3，∴y2＞y1＝y(tǒng)3．故答案為：y2＞y1＝y(tǒng)3．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標與函數(shù)解析式的關系，同時考查了函數(shù)的對稱性及增減性，解題的關鍵是利用對稱性求解．考點六．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．【例6】．（2022秋?大田縣期末）若拋物線y＝x2平移后的頂點坐標為（2，1），則在平移后的拋物線上的點是（）A．（3，2） B．（2，3） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）【分析】根據(jù)拋物線平移的性質可得平移后的拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2+1，然后再逐項判斷即可求解．【解答】解：∵拋物線y＝x2的頂點坐標為（0，0），且平移后的頂點坐標為（2，1），∴平移后的拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2+1，A、當x＝3時，y＝（3﹣2）2+1＝2，∴點（3，2）在平移后的拋物線上，符合題意；B、當x＝2時，y＝（2﹣2）2+1＝1，∴點（2，3）不在平移后的拋物線上，不符合題意；C、當x＝0時，y＝（0﹣2）2+1＝5，∴點（0，﹣1）不在平移后的拋物線上，不符合題意；D、當x＝﹣1時，y＝（﹣1﹣2）2+1＝10，∴點（﹣1，0）不在平移后的拋物線上，不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)二次函數(shù)平移的性質得到平移后的拋物線的解析式是解題的關鍵．【變式】．（2022秋?大余縣期末）拋物線y＝x2+4x+3是由某個拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的，則原拋物線的解析式為（）A．y＝（x﹣2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2+1【分析】把拋物線y＝x2+4x+3向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到原拋物線的解析式．【解答】解：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，將其向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到原拋物線的解析式為：y＝（x+2﹣1）2﹣1+2，即y＝（x+1）2+1．故選：C．【點評】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．考點七．二次函數(shù)的最值（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x＝時，y＝．（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．【例7】．（2022秋?姜堰區(qū)期末）若x+y＝2，則xy+1的最大值為．【分析】根據(jù)題意可得x＝2﹣y，代入可得xy+1＝﹣（y﹣1）2+2，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得出答案．【解答】解：∵x+y＝2，∴x＝2﹣y，∴xy+1＝（2﹣y）y+1＝﹣y2+2y+1＝﹣（y﹣1）2+2，∴當y＝1時，xy+1的最大值為2，故答案為：2．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，正確理解題意是解題的關鍵．【變式1】．（2022秋?路南區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，已知點A是拋物線y＝x2+3上任意一點，則OA長的最小值為．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可．【解答】解：∵y＝x2+3，∴拋物線開口向上，頂點坐標為（0，3），∴OA長的最小值為3．故答案為：3．【點評】本題考查了二次函數(shù)y＝ax2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0）的性質，熟練掌握二次函數(shù)y＝ax2+k的性質是解答本題的關鍵．y＝ax2+k是拋物線的頂點式，a決定拋物線的形狀和開口方向，其頂點是（0，k），對稱軸是y軸．【變式2】．（2022秋?河西區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，AB＝6，四邊形EFGH也是正方形．點E，F(xiàn)，G，H分別位于正方形ABCD的四條邊上．點E在AB邊上移動時，正方形EFGH面積也隨之改變，當AE的長度為多少時，正方形EFGH的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．【分析】設AE＝x，則BE＝6﹣x，易證△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的長，進而得到正方形EFGH的面積，利用二次函數(shù)的性質即可求出面積的最小值．【解答】解：設AE＝x，則BE＝6﹣x，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∵∠AEH+∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，在△AHE和△BEF中，，∴△AHE≌△BEF（AAS），同理可證△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝6﹣x∴EF2＝BE2+BF2＝（6﹣x）2+x2，∴正方形EFGH的面積S＝EF2＝（6﹣x）2+x2＝2（x﹣3）2+18，即：當AE＝3（即E在AB邊上的中點）時，正方形EFGH的面積最小，最小的面積為18．【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質以及二次函數(shù)的性質，題目的綜合性較強，難度中等．【變式3】．（2023?墨玉縣一模）如圖，在△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，點P在BC上，從點B向點C運動（不包括點C），速度為2cm/s；點Q在AC上，從點C向點A運動（不包括點A），速度為5cm/s．若點P，Q分別從點B，C同時運動，且運動時間記為ts，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．（1）當t為何值時，P，Q兩點的距離為？（2）當t為何值時，△PCQ的面積為15cm2？（3）點P運動多少時間時，四邊形BPQA的面積最?。孔钚∶娣e是多少？【分析】（1）根據(jù)勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，便可求出經(jīng)過1s后，P、Q兩點的距離為5cm；（2）根據(jù)三角形的面積公式S△PCQ＝×PC×CQ便可求出經(jīng)過2或1.5s后，S△PCQ的面積為15cm2；（3）根據(jù)三角形的面積公式S△PCQ＝×PC×CQ以及二次函數(shù)最值便可表示出△PCQ的面積，進而求出四邊形BPQA的面積最小值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵AC＝24cm，BC＝7cm，∴AB＝25cm，設經(jīng)過ts后，P、Q兩點的距離為5cm，ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，根據(jù)勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，代入數(shù)據(jù)（7﹣2t）2+（5t）2＝（5）2；解得t＝1或t＝﹣（不合題意舍去）；（2）設經(jīng)過ts后，S△PCQ的面積為15cm2，ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，S△PCQ＝×（7﹣2t）×5t＝15，解得t1＝2，t2＝1.5，經(jīng)過2或1.5s后，S△PCQ的面積為15cm2；（3）設經(jīng)過ts后，△PCQ的面積最大，則此時四邊形BPQA的面積最小，ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，四邊形BPQA的面積為：S△ABC﹣S△PCQ＝×7×24﹣×PC×CQ＝84﹣×（7﹣2t）×5t＝84﹣×（﹣2t2+7t）＝84+5（t2﹣t）＝5（t﹣）2+，∴四邊形BPQA的面積最小值為：（cm2），當點P運動秒時，四邊形BPQA的面積最小為cm2．【點評】本題主要考查了勾股定理和三角形面積公式的求法以及二次函數(shù)的應用，是各地中考的熱點，屬于中檔題．考點八．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．【例8】．（2022秋?石城縣期末）計算：（1）解方程：x2+2x﹣24＝0；（2）已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，求該拋物線的解析式．【分析】（1）利用“十字相乘法”對等式的左邊進行因式分解，然后解方程即可；（2）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入解析式得到關于b、c的二元一次方程組，解方程組即可得到答案．【解答】解：（1）∵（x+6）（x﹣4）＝0，∴x1＝﹣6，x2＝4；（2）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3．【點評】本題主要考查了利用“十字相乘法”解一元二次方程，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握運算方法是解題的關鍵．【變式】．（2022秋?梁平區(qū)期末）定義感知：若拋物線的頂點為P，與y軸的交點為Q，則稱直線PQ是該拋物線的“隨形線”．（1）初步運用：判斷下列判斷是否正確？正確的在題后括號內寫“正確”，錯誤寫“錯誤”；①對稱軸不是y軸的拋物線有且只有一條“隨形線”（）；②拋物線y＝x2﹣4x+2的“隨形線”是直線y＝3x+2（）；（2）拓展延伸：若直線y＝﹣3x+3是某拋物線的“隨形線”，該“隨形線”與y軸交于點Q，且拋物線頂點P與點Q相距個單位長度．試求該拋物線的解析式．【分析】（1）①根據(jù)過兩點有且只有一條直線即可判斷；②把拋物線y＝x2﹣4x+2的“隨形線”求出即可判斷．（2）當x＝0時，y＝3，即點Q（0，3），設頂點P（m，﹣3m+3），利用結合勾股定理可求得點P的坐標，分兩種情況：①當P（2，﹣3）時，②當P（﹣2，9）時，設拋物線的解析式為頂點式，利用待定系數(shù)法即可求解．【解答】解：（1）①過兩點有且只有一條直線，故對稱軸不是y軸的拋物線有且只有一條“隨形線”正確，②y＝x2﹣4x+2整理得：y＝（x﹣2）2﹣2，則拋物線的頂點為：（2，﹣2），當x＝0時，y＝x2﹣4x+2＝2，則拋物線與y軸的交點為：（0，2），設拋物線y＝x2﹣4x+2的“隨形線”是y＝kx+b，將點（2，﹣2）和（0，2）代入得：，解得：，∴拋物線y＝x2﹣4x+2的“隨形線”是直線y＝﹣2x+2，故拋物線y＝x2﹣4x+2的“隨形線”是直線y＝3x+2錯誤，故答案為：正確；錯誤；（2）當x＝0時，y＝3，即點Q（0，3），設頂點P（m，﹣3m+3），由，得，解得：m1＝2，m2＝﹣2，當m1＝2時，即點P（2，﹣3），設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣2）2﹣3，將點Q（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣3得：4a﹣3＝3，解得：，∴，當m2＝﹣2時，即點P（﹣2，9），設拋物線的解析式為：y＝a（x+2）2+9，將點Q（0，3）代入y＝a（x+2）2+9得：4a+9＝3，解得：，∴，綜上所述：拋物線的解析式為：或．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，利用直線的性質，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用分類討論思想，把拋物線的解析式設為頂點式是解題的關鍵．考點九．二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點坐標是（0，c）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標為（h，k）；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標（x1，0），（x2，0）．【例9】．（2022秋?東湖區(qū)校級期末）把二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式時，應為（）A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x﹣2）2+4 C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝﹣（x﹣）2+3【分析】利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．【解答】解：y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x2+4x+4）+1+3＝﹣（x+2）2+4．故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．【變式】．（2022秋?梁平區(qū)期末）將二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+5化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，則y＝．【分析】直接利用配方法整理即可解答．【解答】解：y＝2x2﹣4x+5＝2（x2﹣2x）+5＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2＝2（x﹣1）2+3故答案為：2（x﹣1）2+3．【點評】本題主要考查了將二次函數(shù)的一般式轉為頂點式，熟練掌握配方法是解題的關鍵．考點十．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．【例10】．（2022秋?蒙自市期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，圖象與x軸的一個交點為（﹣1，0），關于x的方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別為（）A．﹣3和1 B．﹣1和﹣3 C．﹣1和3 D．﹣1和1【分析】由拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝1，圖象與x軸的一個交點為（﹣1，0），可得圖象與x軸的另一個交點坐標為（3，0），再進行解答即可．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝1，圖象與x軸的一個交點為（﹣1，0），∴圖象與x軸的另一個交點坐標為（3，0），∴關于x的方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別為﹣1和3，故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系是解決本題的關鍵．【變式】．（2022秋?肇慶期末）拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸兩交點間的距離是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】求出拋物線與x軸的交點坐標，即可根據(jù)坐標求出兩點間的距離．【解答】解：當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得（x+1）（x﹣3）＝0，x1＝﹣1，x2＝3．與x軸的交點坐標為（﹣1，0），（3，0）．則拋物線與x軸兩交點間的距離為3﹣（﹣1）＝4．故選：A．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，令y＝0，將函數(shù)轉化為關于x的一元二次方程是解題的關鍵．考點十一．圖象法求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個數(shù)；（2）由圖象與y＝h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．【例11】．（2022秋?保德縣校級期末）下表為二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣1.1的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值，利用圖象可以判定x2﹣x﹣1.1＝0的一個近似解x為1.7（精確到0.1），解題過程中運用了（）x1.31.41.51.61.71.81.9y＝x2﹣x﹣1.1﹣0.71﹣0.54﹣0.35﹣0.140.090.340.61A．類比探究法 B．數(shù)形結合法 C．分類討論法 D．整體思想法【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，結合圖象判斷出方程的近似解，可得方法．【解答】解：通過表格中的數(shù)據(jù)，結合了圖象求解，故運用了數(shù)形結合法．故選：B．【點評】此題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的數(shù)據(jù)是解本題的關鍵．【變式】．（2022秋?如皋市期末）如表給出了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些對應值，則可以估計一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個近似解x1的范圍為（）x…1.21.31.41.51.6…y…﹣1.16﹣0.71﹣0.240.250.76…A．1.2＜x1＜1.3 B．1.3＜x1＜1.4 C．1.4＜x1＜1.5 D．1.5＜x1＜1.6【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得出“當x＝1.4時，y＝﹣0.24；當x＝1.5時，y＝0.25．”由此即可得出結論．【解答】解：當x＝1.4時，y＝﹣0.24；當x＝1.5時，y＝0.25．∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個近似解x1的范圍為1.4＜x1＜1.5．故選：C．【點評】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，熟練掌握用圖象法求一元二次方程的近似根的方法是解題的關鍵．考點十二．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數(shù)與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．【例12】．（2022秋?龍沙區(qū)期末）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可銷售300件．商場為了清庫存，決定讓利銷售，已知每降價1元，每星期可多銷售20件，那么每星期的銷售額W（元）與降價x（元）的函數(shù)關系為（）A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x） C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）【分析】根據(jù)讓利銷售，已知每降價1元，每星期可多銷售20件，求得銷售量為（300+20x），根據(jù)售價乘以銷量得出銷售額，據(jù)此即可求解．【解答】解：依題意，每星期的銷售額W（元）與降價x（元）的函數(shù)關系為W＝（60﹣x）（300+20x），故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出函數(shù)關系式是解題的關鍵．【變式】．（2022秋?長春期末）用總長為20米的圍欄材料，一面靠墻，圍成一個矩形花圃，若花圃垂直于墻的一邊長為x米，花圃的面積為y平方米，求y與x之間的函數(shù)關系式．【分析】求出花圃平行于墻的一邊長為（20﹣2x）米，再根據(jù)矩形的面積公式可求出花圃的面積，最后求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵花圃垂直于墻的一邊長為x米，圍欄總長為20米，且一面靠墻，∴花圃平行于墻的一邊長為（20﹣2x）米，∴花圃的面積為（20﹣2x）x．∵20﹣2x＞0，∴x＜10，∴y＝（20﹣2x）x＝﹣2x2+20x（0＜x＜10）．【點評】本題考查二次函數(shù)的實際應用．求出花圃平行于墻的一邊長是解題關鍵．考點十三．二次函數(shù)的應用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【例13】．（2022秋?玉林期末）如圖，一位跳水運動員在進行某次10m跳臺跳水訓練時，測得身體（看成一點）在空中的運動路線是拋物線（圖中標出的數(shù)據(jù)為已知條件）．（1）運動員在空中運動的最大高度離水面為多少m？（2）如果運動員在距水面高度為5m以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤．在一次試跳中，運動員在空中調整好入水姿勢時，測得距池邊的水平距離為，問此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由．【分析】（1）將拋物線的解析式化為頂點式求得頂點坐標為，進而可求得最大距離；也可根據(jù)頂點坐標公式求得頂點的縱坐標即可求解；（2）求得距池邊的水平距離為時對應的y值，進而求得距離水面的高度即可得出結論．【解答】解：（1）解法一：∵拋物線的頂點坐標為，∴，∴運動員在空中運動的最大高度離水面為；解法二：∵，∴，∴運動員在空中運動的最大高度離水面為．（2）當運動員距池邊的水平距離為時，即時，∴，此時，運動員距水面的高為：，因此，此次試跳不會出現(xiàn)失誤．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解答的關鍵．【變式】．（2022秋?芝罘區(qū)期末）某文具店以8元/支的進價購進一批簽字筆進行銷售，經(jīng)市場調查后發(fā)現(xiàn)，日銷量y（支）與零售價x（元）之間的關系圖象如圖所示，其中8≤x≤16．（1）求出日銷量y（支）與零售價x（元）之間的關系；（2）當零售價定為多少時，該文具店每天銷售這種簽字筆獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設每天利潤為w元，根據(jù)利潤＝（零售價﹣進價）×數(shù)量列出w關于x的二次函數(shù)關系，利用二次函數(shù)的性質求解即可．【解答】解：（1）設y與x之間的關系式為y＝kx+b，把（8，60）和（16，20）代入y＝kx+b得，∴，∴y＝﹣5x+100；（2）設每天利潤為w元，由題意得w＝（x﹣8）（﹣5x+100）＝﹣5x2+40x+100x﹣800＝﹣5（x﹣14）2+180，∵﹣5＜0，8≤x≤16，∴當x＝14時，w的最大值為180，∴當零售價定為14元時，每天銷售利潤最大，最大利潤是180元．【點評】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的實際應用，正確計算是解題的關鍵．考點十四．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．【例14】．（2022秋?大余縣期末）如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣4，0）和點B，交y軸于點C（0，4）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖2，設點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，當△ADC面積有最大值時，求D點的坐標；（3）在（2）的條件下，在拋物線對稱軸上找一點M，使DM+AM的值最小，求出此時M的坐標．【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2﹣3x+4；（2）求出直線AC的解析式為y＝x+4，設D（t，﹣t2﹣3t+4），則Q（t，t+4），可得DQ＝（﹣t2﹣3t+4）﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t，故S△ADC＝DQ?|xA﹣xC|＝×（﹣t2﹣4t）×4＝﹣2t2﹣8t＝﹣2（t+2）2+8，根據(jù)二次函數(shù)性質可得答案；（3）連接BD交對稱軸于M，可知AM＝BM，故DM+AM＝DM+BM，當D，M，B共線時，DM+AM最小，求出拋物線對稱軸為直線x＝﹣，B（1，0），直線BD函數(shù)表達式為y＝﹣2x+2，在y＝﹣2x+2中，令x＝﹣即可得M的坐標為（﹣，5）．【解答】解：（1）將A（﹣4，0）、C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c中得：，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2﹣3x+4；（2）如圖：由A（﹣4，0）、C（0，4）得直線AC的解析式為y＝x+4，設D（t，﹣t2﹣3t+4），則Q（t，t+4），∴DQ＝（﹣t2﹣3t+4）﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t，∴S△ADC＝DQ?|xA﹣xC|＝×（﹣t2﹣4t）×4＝﹣2t2﹣8t＝﹣2（t+2）2+8，∵﹣2＜0，∴當t＝﹣2時，S△ADC取最大值8，∴﹣t2﹣3t+4＝﹣4+6+4＝6，∴D的坐標為（﹣2，6）；（3）連接BD交對稱軸于M，如圖：∵M在拋物線對稱軸上，∴AM＝BM，∴DM+AM＝DM+BM，∴當D，M，B共線時，DM+AM最小，由y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+知拋物線對稱軸為直線x＝﹣，在y＝﹣x2﹣3x+4中，令y＝0得0＝﹣x2﹣3x+4，解得x＝1或x＝﹣4，∴B（1，0），由D（﹣2，6），B（1，0）得直線BD函數(shù)表達式為y＝﹣2x+2，在y＝﹣2x+2中，令x＝﹣得y＝﹣2×（﹣）+2＝5，∴M的坐標為（﹣，5）．【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，軸對稱變換等知識，解題的關鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關點坐標和相關線段的長度．【變式】．（2022秋?開州區(qū)期末）如圖1，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點P、Q為直線BC下方拋物線上的兩點，點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1，過點P作PM∥y軸交BC于點M，過點Q作QN∥y軸交BC于點N，求PM+QN的最大值及此時點Q的坐標；（3）如圖3，將拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到新的拋物線y′，在y′的對稱軸上有一點D，坐標平面內有一點E，使得以點B、C、D、E為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標．【分析】（1）直接運用待定系數(shù)法即可解答；（2）設P（a，a2﹣2a﹣3），則Q（a+1，a2﹣4），進而得到M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2）；再表示出PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可解答；（3）分以BC為矩形一邊和對角線兩種情況，分別根據(jù)等腰直角三角形的性質、平移和矩形的判定定理解答即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與y軸交于點C，令x＝0，則y＝﹣3，∴C點的坐標為（0，﹣3），設直線BC的解析式為y＝kx+b，把B、C點的坐標代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，點P、Q為直線BC下方拋物線上的兩點，設P（a，a2﹣2a﹣3），則Q（a+1，a2﹣4）．∴M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2），∴PM＝﹣a2+3a，QN＝﹣a2+a+2，∴PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4，當a＝1時，（PM+QN）max＝4，∴Q（2，﹣3）；（3）由題意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，∴y′的對稱軸為x＝2∵拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與y軸交于點C．∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°；如圖3.1：當BC為矩形一邊時，且點D在x軸的下方，過D作DF⊥y軸，∵D在y′的對稱軸為x＝2，∴FD＝2，∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即點D（2，﹣5），∴點C向右平移2個單位、向下平移3個單位可得到點D，則點B向右平移2個單位、向下平移3個單位可得到E（5，﹣3）；如圖3.2：當BC為矩形一邊時，且點D在x軸的上方，y′的對稱軸為x＝2與x軸交于F，∵D在y′的對稱軸為x＝2，∴FO＝2，∴BF＝3﹣2＝1，∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，∴BF＝FD＝3﹣2＝1，即點D（2，1），∴點B向左平移1個單位、向上平移1個單位可得到點D，則點C向左平移1個單位、向上平移1個單位可得到點E（﹣1，﹣2）；如圖3.3：當BC為矩形對角線時，設D（2，d），E（m，n），∴BC的中點F的坐標為，依題意得：，解得：，又∵DE＝BC，∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，解得：，聯(lián)立，解得：，∴點E的坐標為或．綜上，存在E（﹣1，﹣2）或（5，﹣2）或或使以點B、C、D、E為頂點的四邊形是矩形．【點評】本題主要考查了運用待定系數(shù)法求解析式、運用二次函數(shù)的性質求最值、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識點，掌握二次函數(shù)的性質和矩形的判定定理是解答本題的關鍵．【核心素養(yǎng)提升】1直觀想象——利用數(shù)形結合思想解決問題1．（2023上·河北張家口·九年級張家口東方中學?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，，，點P是直線下方拋物線上的一個動點．過點P作軸，交直線于點E．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點M是拋物線對稱軸上的一個動點，則的最小值是________；(3)求的最大值；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）先求出點C的坐標為，根據(jù)、B關于拋物線的對稱軸對稱，點M在拋物線的對稱軸上，得出，根據(jù)，兩點之間線段最短，當點A、M、C在同一直線上時，最小，即最小，求出最小值即可；（3）求出直線的解析式為，設，其中，則，求出，得出當時，取得最大值．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，，將點A，的坐標代入，得，解得：，∴．（2）解：把代入得：，∴點C的坐標為，∵、B關于拋物線的對稱軸對稱，點M在拋物線的對稱軸上，∴，∴，∵兩點之間線段最短，∴當點A、M、C在同一直線上時，最小，即最小，∴的最小值為的長，∵，∴的最小值為．故答案為：．

（3）解：設直線的解析式為，將點A，的坐標代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，設，其中，則，∴，∴當時，取得最大值，即的最大值為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，軸對稱的性質，解題的關鍵是數(shù)形結合，熟練掌握二次函數(shù)的性質．2分類討論思想2.（2023?舟山三模）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點A（1，0），點B（0，3）．點P在此拋物線上，其橫坐標為m．（1）求此拋物線的解析式．（2）若﹣1≤x≤d時，﹣1≤y≤8，則d的取值范圍是．（3）點P和點A之間（包括端點）的函數(shù)圖象稱為圖象G，當圖象G的最大值和最小值差是5時，求m的值．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點A（1，0），點B（0，3），∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴拋物線y＝x2﹣4x+3的對稱軸為直線x＝2，當x＝2時，函數(shù)有最小值﹣1．令y＝8，則x2﹣4x+3＝8，解得：x＝﹣1或x＝5．∵當﹣1≤x≤d時，﹣1≤y≤8，當x＝2時，函數(shù)有最小值﹣1，∴當﹣1≤x≤d時，函數(shù)要取得最小值，∴2≤d≤5．故答案為：2≤d≤5；（3）∵P在此拋物線上，其橫坐標為m，∴P（m，m2﹣4m+3）．①當點P在對稱軸的右側時，m＞2，拋物線的頂點最低，即最小值為﹣1，此時圖象G的最大值為m2﹣4m+3，∵圖象G的最大值和最小值差是5，∴m2﹣4m+3﹣（﹣1）＝5，∴m2﹣4m﹣1＝0．解得：m＝2+或m＝2﹣（不合題意，舍去），∴m＝2+；②點P在拋物線的頂點與點之間時，此時最小值為﹣1，最大值為0，∴圖象G的最大值和最小值差不可能為5，此種情形不存在；③點P在點A的左側，m＜1，點A處最低，即最小值為0，此時圖象G的最大值為m2﹣4m+3，∵圖象G的最大值和最小值差是5，∴m2﹣4m+3＝5，解得：m＝2+（不合題意，舍去）或m＝2﹣．∴m＝2﹣．綜上，當圖象G的最大值和最小值差是5時，m的值為2+或2﹣．3．（2022秋?諸暨市期末）已知函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，3），（6，3）．（1）求b，c的值；（2）當0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差；（3）當k﹣4≤x≤k時，若y的最大值與最小值之差為8，求k的值．【分析】（1）（0，3）是與y軸的交點，可得c＝3，再將（6，3）代入求值，可求得b的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6；當0≤x≤4時，僅當x＝0時，y取得最大值；僅當x＝3時，y取得最小值；再計算y的最大值與最小值之差；（3）分類討論：①k﹣4≤x≤k≤3，k≤3；②當k﹣4≤3且k≥3時，即3≤k≤7；③當3≤k﹣4≤x≤k時，即k≥7；根據(jù)函數(shù)特點，計算求出符合題意k的值．【解答】解：（1）∵函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，3），（6，3），∴c＝3，y＝x2+bx+3，將點（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6，∴b＝﹣6，c＝3；（2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，當0≤x≤4時，①僅當x＝3時，y取得最小值，此時y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；②僅當x＝0時，y取得最大值，此時y＝（0﹣3）2﹣6＝3；3﹣（﹣6）＝9，∴當0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差為9；（3）當k﹣4≤x≤k時，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，①當k﹣4≤x≤k≤3時，即k≤3，僅當x＝k，y取得最小值，此時y＝k2﹣6k+3；僅當x＝k﹣4，y取得最大值，此時y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，∵k≤3，∴k＝4不符合題意；②當k﹣4≤3且k≥3時，即3≤k≤7，此時最小值為y＝﹣6，當x＝k﹣4取得最大值，即3﹣（k﹣4）≥k﹣3時，k≤5，此時y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝7±2，∵3≤k≤5，7+2＞7，∴k＝7+2不符合題意；∴k＝7﹣2；當x＝k取得最大值，即3﹣（k﹣4）≤k﹣3時，k≥5，此時y＝k2﹣6k+3，k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝3±2，∵5≤k≤7，5＜3+2＜7，3﹣2＜5，∴k＝3+2符合題意，k＝3﹣2不符合題意，∴k＝3+2；③當3≤k﹣4≤x≤k時，即k≥7，僅當x＝k﹣4，y取得最小值，此時y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；僅當x＝k，y取得最大值，此時y＝k2﹣6k+3；k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，∵k≥7，∴k＝6不符合題意；綜上所述，k的值為7﹣2或3+2．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的特點，并用分類討論思想分析計算求值是解本題的關鍵，綜合性較強，難度適中．3數(shù)學建模4．（2022秋?騰沖市期末）我市某公司用800萬元購得某種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術后，進一步投入資金1600萬元購買生產(chǎn)設備，進行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工，已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品每件還需成本費40元．經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的銷售單價需要定在200元到300元之間較為合理．銷售單價x（元）與年銷售量y（萬件）之間的變化可近似的看作是如下表所反應的一次函數(shù)：銷售單價x（元）200230250年銷售量y（萬件）14119（1）請求出y與x之間的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）請說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最少虧損是多少？【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；（2）根據(jù)“總利潤＝單件利潤×銷售量”求出其函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質求解可得．【解答】解：（1）設y＝kx+b，根據(jù)題意，得：，解得：，∴y＝﹣0.1x+34（200≤x≤300）；（2）盈利160萬元，由題意可知，W＝（x﹣40）（﹣0.1x+34）＝﹣0.1x2+38x﹣1360，其對稱軸x＝﹣＝190，∵200≤x≤300，a＝﹣0.1＜0，∴x＝200時，W取得最大值，最大值為2240萬元，∴800+1600﹣2240＝160（萬元），∴賺了160萬元．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)在實際中應用，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要弄懂題意，確定變量，建立函數(shù)模型解答，其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值．5．（2022秋?大余縣期末）某商店準備銷售一種多功能旅行背包，計劃從廠家以每個30元的價格進貨，經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)當每個背包的售價為40元時，月均銷量為280個，售價每增長2元，月均銷量就相應減少20個，設每個背包的售價為x元．（1）月均銷量為個；（直接寫出答案）（2）當x為何值時，月銷售利潤為3120元？（3）求月銷售利潤的最大值．【分析】（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，列出代數(shù)式；（2）根據(jù)每個背包的利潤×銷售量＝3120列出方程，解方程即可；（3）根據(jù)每個背包的利潤×銷售量＝月銷售利潤列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質求最值即可．【解答】解：（1）設每個背包的售價為x元，則月均銷量為280﹣×20＝（680﹣10x）個．故答案為：（680﹣10x）；（2）依題意得：（x﹣30）（680﹣10x）＝3120，整理得：x2﹣98x+2352＝0，解得：x1＝42，x2＝56．答：當該這種書包銷售單價為42元或56元時，銷售利潤是3120元；（3）設月銷售利潤為w元，根據(jù)題意得：w＝（x﹣30）（680﹣10x）＝﹣10x2+980x﹣20400＝﹣10（x﹣49）2+3610，∵﹣10＜0，∴當x＝49時，w有最大值，最大值為3610元．答：月銷售利潤的最大值為3610元．【點評】本題考查了二次函數(shù)、一元二次方程的應用以及列代數(shù)式，解題的關鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，用含x的代數(shù)式表示出月均銷售量；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（3）找準等量關系，正確列出函數(shù)解析式．【中考熱點聚焦】熱點1.利用圖形分析問題6．（2023?天津）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】設AD邊長為xm，則AB邊長為長為m，根據(jù)AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根據(jù)x取值范圍判斷①；根據(jù)矩形的面積＝192．解方程求出x的值可以判斷②；設矩形菜園的面積為ym2，根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質求函數(shù)的最值可以判斷③．【解答】解：設AD邊長為xm，則AB邊長為長為m，當AB＝6時，＝6，解得x＝28，∵AD的長不能超過26m，∴x≤26，故①不正確；∵菜園ABCD面積為192m2，∴x?＝192，整理得：x2﹣40x+384＝0，解得x＝24或x＝16，∴AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2，故②正確；設矩形菜園的面積為ym2，根據(jù)題意得：y＝x?＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，∵﹣＜0，20＜26，∴當x＝20時，y有最大值，最大值為200．故③正確．∴正確的有2個，故選：C．【點評】此題主要考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應用，讀懂題意，找到等量關系準確地列出函數(shù)解析式和方程是解題的關鍵．熱點2.二次函數(shù)圖象的平移7．（2023?徐州）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數(shù)表達式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故選：B．8．（2023?廣西）將拋物線y＝x2先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4【解答】解：將拋物線y＝x2先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是y＝（x﹣3）2+4．故選：A．熱點3.二次函數(shù)圖象的對稱性9．（2022?畢節(jié)市）在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)拋物線對稱性進行推理，進而對所得結論進行判斷．【解答】解：∵圖象開口向下，∴a＜0，∵對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵圖象與y軸的交點在x軸的上方，∴c＞0，∴abc＜0，∴①說法錯誤，∵﹣＝1，∴2a＝﹣b，∴2a+b＝0，∴②說法錯誤，由圖象可知點（﹣1，0）的對稱點為（3，0），∵當x＝﹣1時，y＜0，∴當x＝3時，y＜0，∴9a+3b+c＜0，∴③說法錯誤，∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，∴④說法正確；當x＝﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∴⑤說法正確，∴正確的為④⑤，故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，能從圖象中獲取信息是解題的關鍵．10．（2022?齊齊哈爾）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y軸的交點在（0，1）與（0，2）之間，對稱軸為x＝﹣1，函數(shù)最大值為4，結合圖象給出下列結論：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；③4ac﹣b2＜0；④若關于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，則m＞4；⑤當x＜0時，y隨x的增大而減?。渲姓_的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】由拋物線對稱軸為直線x＝﹣1可判斷①，由拋物線頂點坐標可得a與c的關系，由拋物線與y軸交點位置可判斷c的取值范圍，從而判斷②，由拋物線與x軸交點個數(shù)可判斷③，由拋物線與直線y＝m交點個數(shù)判斷④，由圖象可得x＜﹣1時，y隨x增大而增大，從而判斷⑤．【解答】解：∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，①正確．∵拋物線經(jīng)過（﹣1，4），∴a﹣b+c＝﹣a+c＝4，∴a＝c﹣4，∵拋物線與y軸交點在（0，1）與（0，2）之間，∴1＜c＜2，∴﹣3＜a＜﹣2，②正確．∵拋物線與x軸有2個交點，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，③正確．∵a＝c﹣4，∴ax2+bx+a＝m﹣4可整理為ax2+bx+c＝m，∵拋物線開口向下，頂點坐標為（﹣1，4），∴m＜4時，拋物線與直線y＝m有兩個不同交點，④錯誤．由圖象可得x＜﹣1時y隨x增大而增大，∴⑤錯誤．故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．11．（2022?梧州）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x＝﹣1，直線l∥x軸，且交拋物線于點P（x1，y1），Q（x2，y2），下列結論錯誤的是（）A．b2＞﹣8a B．若實數(shù)m≠﹣1，則a﹣b＜am2+bm C．3a﹣2＞0 D．當y＞﹣2時，x1?x2＜0【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知a＞0，由此可判斷出A；根據(jù)拋物線的對稱軸可得出b＝2a，也可得出函數(shù)的最小值，在x＝﹣1處取到，由此可判斷B；令x＝0，則y＝﹣2，即拋物線與y軸交于點（0，﹣2），根據(jù)函數(shù)圖象可直接判斷D；C沒有直接條件判斷．【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知a＞0，根據(jù)拋物線的對稱軸公式可得x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b2＞0，﹣8a＜0，∴b2＞﹣8a．故A正確，不符合題意；∵函數(shù)的最小值在x＝﹣1處取到，∴若實數(shù)m≠﹣1，則a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若實數(shù)m≠﹣1，則a﹣b＜am2+bm．故B正確，不符合題意；∵l∥x軸，∴y1＝y(tǒng)2，令x＝0，則y＝﹣2，即拋物線與y軸交于點（0，﹣2），∴當y1＝y(tǒng)2＞﹣2時，x1＜0，x2＞0．∴當y1＝y(tǒng)2＞﹣2時，x1?x2＜0．故D正確，不符合題意；∵a＞0，∴3a＞0，沒有條件可以證明3a＞2．故C錯誤，符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質，數(shù)形結合思想等知識，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題關鍵．熱點4.二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關系12．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2【解答】解：關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點的橫坐標，關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點的橫坐標，如圖：由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，故選：B．【點評】本題考查一元二次方程與二次函數(shù)的關系，解題的關鍵是畫出圖象，數(shù)形結合解決問題．13．（2023?云南）數(shù)和形是數(shù)學研究客觀物體的兩個方面，數(shù)（代數(shù)）側重研究物體數(shù)量方面，具有精確性，形（幾何）側重研究物體形的方面，具有直觀性．數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關系．數(shù)形結合就是把兩者結合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題．同學們，請你結合所學的數(shù)學解決下列問題．在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數(shù)，則稱這樣的點為整點．設函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象為圖象T．（1）求證：無論a取什么實數(shù)，圖象T與x軸總有公共點；（2）是否存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：當a＝﹣時，函數(shù)表達式為y＝12x+6，令y＝0得x＝﹣，∴此時函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象與x軸有交點；當a≠時，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4為二次函數(shù)，∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，∴函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象與x軸有交點；綜上所述，無論a取什么實數(shù)，圖象T與x軸總有公共點；（2）解：存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點，理由如下：當a＝﹣時，不符合題意；當a≠時，在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，解得x＝﹣或x＝，∵x＝＝2﹣，a是整數(shù)，∴當2a+1是6的因數(shù)時，是整數(shù)，∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，解得a＝﹣或a＝﹣2或a＝﹣或a＝﹣1或a＝0或a＝或a＝1或a＝，∵a是整數(shù)，∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．熱點5.二次函數(shù)在實際問題中的應用14．（2023?長春）2023年5月28日，C919商