2022年江西省南城縣第一中學數(shù)學高三上期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)定義域為全體實數(shù)，令．有以下6個論斷：①是奇函數(shù)時，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對任意的實數(shù)，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤2．已知定義在上的奇函數(shù)滿足：（其中），且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，，，則，，的大小關系（用不等號連接）為（）A． B．C． D．3．某個命題與自然數(shù)有關，且已證得“假設時該命題成立，則時該命題也成立”．現(xiàn)已知當時，該命題不成立，那么（）A．當時，該命題不成立 B．當時，該命題成立C．當時，該命題不成立 D．當時，該命題成立4．某校8位學生的本次月考成績恰好都比上一次的月考成績高出50分，則以該8位學生這兩次的月考成績各自組成樣本，則這兩個樣本不變的數(shù)字特征是（）A．方差 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．平均數(shù)5．已知，，由程序框圖輸出的為（）A．1 B．0 C． D．6．小明有3本作業(yè)本，小波有4本作業(yè)本，將這7本作業(yè)本混放在-起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A． B． C． D．7．若，則的虛部是A．3 B． C． D．8．已知復數(shù)，則（）A． B． C． D．29．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．定義在R上的函數(shù)滿足，為的導函數(shù)，已知的圖象如圖所示，若兩個正數(shù)滿足，的取值范圍是（）A． B． C． D．11．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位12．已知直線與直線則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)對于都有，且周期為2，當時，，則________________________.14．已知雙曲線C：（）的左、右焦點為，，為雙曲線C上一點，且，若線段與雙曲線C交于另一點A，則的面積為______.15．若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點是線段上一動點，.給出下列四個結論：①為的重心；②；③當時，平面；④當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為.其中，所有正確結論的序號是________________.16．《九章算術》中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價各幾何？”.其意思是“若干個人合買一頭豬，若每人出100，則會剩下100；若每人出90，則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少？”.設分別為人數(shù)、豬價，則___，___.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1,an+1=2Sn+1（1）求數(shù)列{an}（2）設cn=bnan，求數(shù)列18．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當時，求證：.19．（12分）在銳角中，，，分別是角，，所對的邊，的面積，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．20．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的普通方程；（2）過坐標原點作直線交曲線于點（異于），交曲線于點，求的最小值.21．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．22．（10分）如圖，在正四棱錐中，，點、分別在線段、上，．（1）若，求證：⊥；（2）若二面角的大小為，求線段的長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當是奇函數(shù)時，則，所以，所以是偶函數(shù)；當為非奇非偶函數(shù)時，例如：，則，，此時，故⑥錯誤；故③④正確.故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關鍵，屬于基礎題.2、A【解析】因為，所以，即周期為４，因為為奇函數(shù)，所以可作一個周期[-2e,2e]示意圖，如圖在（０，１）單調(diào)遞增，因為，因此，選Ａ．點睛：函數(shù)對稱性代數(shù)表示（1）函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)（定義域關于原點對稱）；（2）函數(shù)關于點對稱，函數(shù)關于直線對稱，（3）函數(shù)周期為T,則3、C【解析】

寫出命題“假設時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題，結合原命題與逆否命題的真假性一致進行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題為“假設當時該命題不成立，則當時該命題也不成立”，由于當時，該命題不成立，則當時，該命題也不成立，故選：C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結合逆否命題的等價性進行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.4、A【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績相比，成績和平均數(shù)都增加了50，所以沒有改變，根據(jù)方差公式可知方差不變.故選：A【點睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5、D【解析】試題分析：，，所以，所以由程序框圖輸出的為.故選D．考點：1、程序框圖；2、定積分．6、A【解析】

利用計算即可，其中表示事件A所包含的基本事件個數(shù)，為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結果，由古典概型的概率計算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選：A.【點睛】本題考查古典概型的概率計算問題，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.7、B【解析】

因為，所以的虛部是.故選B．8、C【解析】

根據(jù)復數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.9、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當，，將問題轉化為的零點問題，用數(shù)形結合的方法研究.【詳解】當時，，令，在是增函數(shù)，時，有一個零點，當時，，令當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當時，有2個零點，如圖所示：所以實數(shù)的取值范圍為綜上可得實數(shù)的取值范圍為，故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結合的思想和轉化問題的能力，屬于中檔題.10、C【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，故由可知.故，又有，綜上得的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎知識，屬于中檔題.11、C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到，結合圖像變換知識得到答案.【詳解】由圖象知：，∴.又時函數(shù)值最大，所以.又，∴，從而，，只需將的圖象向左平移個單位即可得到的圖象，故選C.【點睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求，一般用最高點或最低點求．12、B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.【詳解】若，則，故或，當時，直線，直線，此時兩條直線平行；當時，直線，直線，此時兩條直線平行.所以當時，推不出，故“”是“”的不充分條件，當時，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷，前者應根據(jù)系數(shù)關系來考慮，后者依據(jù)兩個條件之間的推出關系，本題屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用，且周期為2，可得，得.【詳解】∵，且周期為2，∴，又當時，，∴，故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)的周期性與對稱性的應用，考查轉化能力，屬于基礎題.14、【解析】

由已知得即，,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點A坐標,借助,即可解得所求.【詳解】由已知得，又，，所以，解得或，由在雙曲線C上，所以或，所以或（舍去），因此雙曲線C的方程為.又，所以線段的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立消去x整理得，所以，，所以點A坐標為，所以.【點睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關系,考查雙曲線方程的求解,考查求三角形面積,考查學生的計算能力,難度較難.15、①②③【解析】

①點在平面內(nèi)的正投影為點，而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以①是正確的；②取的中點，連接，則點在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以②正確；③若設，則由可得，然后對應邊成比例，可解，所以③正確；④由于，而的面積是定值，所以當點到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，而當點與點重合時，點到平面的距離最大，此時為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯誤.【詳解】因為，連接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，所以①正確；由平面，可知平面平面，記，由，可得平面平面，則，所以②正確；若平面，則，設由得，易得，由，則，由得，，解得，所以③正確；當與重合時，最大，為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯誤.故答案為：①②③【點睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.16、10900【解析】

由題意列出方程組，求解即可.【詳解】由題意可得，解得.故答案為10900【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來求解即可，屬于基礎題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）an=（2）Tn【解析】

（1）利用an與Sn的遞推關系可以an的通項公式；P點代入直線方程得b【詳解】(1)由an+1=2S兩式相減得an+1-a又a2=2S1+1=3，所以a由點P(bn,bn+1則數(shù)列{bn(2)因為cn=b則13兩式相減得：23所以Tn【點睛】用遞推關系an=Sn-18、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)的導函數(shù)進行分類討論單調(diào)性（2）欲證，只需證，構造函數(shù)，證明，這時需研究的單調(diào)性，求其最大值即可【詳解】解：（1）的定義域為，，①當時，由得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當時，由得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當時，，所以在上單調(diào)遞增；④當時，由，得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當時，欲證，只需證，令，，則，因存在，使得成立，即有，使得成立.當變化時，，的變化如下：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以.因為，所以，所以.即，所以當時，成立.【點睛】考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.19、A【解析】

由正弦定理化簡得，解得，進而得到，利用正切的倍角公式求得，根據(jù)三角形的面積公式，求得，進而化簡，即可求解.【詳解】由題意，在銳角中，滿足，由正弦定理可得，即，可得，所以，即，所以，所以，則，所以，可得，又由的面積，所以，則.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，以及三角形的面積公式和正切的倍角公式的綜合應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.20、（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：（2）【解析】

（1）消去曲線參數(shù)方程中的參數(shù)，求得和的普通方程.（2）設出過原點的直線的極坐標方程，代入曲線的極坐標方程，求得的表達式，結合三角函數(shù)值域的求法，求得的最小值.【詳解】（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：.（2）設過原點的直線的極坐標方程為；由得，所以曲線的極坐標方程為在曲線中，.由得曲線的極坐標方程為，所以而到直線與曲線的交點的距離為，因此，即的最小值為.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直角坐標方程化為極坐標方程，考查極坐標系下距離的有關計算，屬于中檔題.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)條件由正弦定理得，又c＝2a，所以，由余弦定理算出，進而算出；（Ⅱ）由二倍角公式算出，代入兩角和的正弦公式計算即可.【詳解】（Ⅰ）bsinB﹣asinA＝asinC，所以由正弦定理得，又c＝2a，所以，由余弦定理得：，又，所以；（Ⅱ），.【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，運用二倍角公式和兩角和的正弦公式求值，考查了學生的運算求解能力.22、（1）證明見解析；（2）．【解析】試題分析：由于圖形是正四棱錐，因此設AC、BD交點為O，則以OA為x軸正方向，以OB為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標系，可用空間向量法解決問題．（1）只要證明＝0即可證明垂直；（2）設＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量為，利用法向量夾角與二面角相等或互補可求得．試題解析:(1)連結AC、BD交于點O，以OA為