浙江省紹興市2022-2023學年高一下學期6月期末數(shù)學試題（教師版）

2022學年第二學期高中期末調(diào)測高一數(shù)學注意事項：1.請將學校、班級、姓名分別填寫在答卷紙相應位置上.本卷答案必須做在答卷相應位置上.2.全卷滿分100分，考試時間120分鐘.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點是，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義表示出，再根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則計算即可.【詳解】復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，則，所以.故選：B．2.某組數(shù)據(jù)、、、、、、、、、的第百分位數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義可求得該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù).【詳解】數(shù)據(jù)、、、、、、、、、共個數(shù)，因為，因此，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故選：C.3.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標運算判斷AB；利用共線向量的坐標表示判斷C；利用垂直關(guān)系的坐標表示判斷D作答.【詳解】向量，，對于A，，，A錯誤；對于B，，，B錯誤；對于C，由于，即與不共線，C錯誤；對于D，，因此，D正確.故選：D4.已知m，n是兩條直線，，是兩個平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間中線線、線面、面面位置關(guān)系逐一判斷各個選項作答.【詳解】對于A，由知，存在過的平面與平面相交，當為交線時，滿足，而，A錯誤；對于B，當與相交時，令交線為，若，則滿足，B錯誤；對于C，，在平面內(nèi)存在直線垂直于，為此直線時，滿足，而，C錯誤；對于D，因為，則存在過的平面與平面相交，令交線為，有，又，因此，而，所以.故選：D5.拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，有如下隨機事件：“正面向上的硬幣數(shù)為i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有兩枚硬幣拋擲結(jié)果相同”，則下列說法正確的是（）A.與B相互獨立 B.與B對立C. D.【答案】D【解析】【分析】列出所有基本事件，計算出對應概率，再根據(jù)獨立事件和對立事件，即可逐一驗證.【詳解】解：總的可能有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正反),(反,反,正),(反,反,反),故,,,,而，,故選項A錯誤;,故選項B錯誤;,故選項C錯誤;{(正,反,反),(反,正反),(反,反,正)},{(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)},{(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正反),(反,反,正)},所以，故選項D正確;故選:D.6.軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧的中點，則異面直線PB與AC所成角的大小為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用幾何法求出異面直線PB與AC所成角的大小作答.【詳解】在直角圓錐中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧的中點，，則，過點作交底面圓于點，連接，如圖，則是異面直線PB與AC所成角或其補角，顯然，即是正三角形，所以，即異面直線PB與AC所成角的大小為.故選：C7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，是的兩個零點，若，則下列為定值的量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求函數(shù)的周期，估計的范圍，再求函數(shù)的零點，由此確定，結(jié)合條件化簡可得結(jié)論.【詳解】函數(shù)，的周期為，由圖象可得，令，可得，，所以，即，又，所以，，，又，所以，所以，故選：A.8.在長方體中，底面ABCD是邊長為4的正方形，P是棱上的一個動點，若，，則三棱錐外接球的表面積是（）A.144π B.36π C.9π D.6π【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定點P的位置，求出的外接圓半徑，再求出球心到平面的距離，求出球半徑作答.【詳解】令長方體的高為，，于是，解得，在中，，則外接圓半徑，顯然平面，因此三棱錐外接球的球心在線段的中垂面上，球心到平面的距離為，則球半徑，所以三棱錐外接球的表面積.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得3分，部分選對的得1分，有選錯的得0分）9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A,逆用二倍角余弦公式，即可求解，對于B,利用輔助角公式，即可求解，對于C,逆用二倍角正弦公式，即可求解，對于D,逆用正切的和差公式即可求解.【詳解】解:對于A,,故A錯誤,對于B,，故B正確，對于C,，故C正確，對于D,，故D正確,故選：BCD.10.5月21日，2023世界珍珠發(fā)展論壇在浙江諸暨舉辦，大會見證了諸暨珍珠開拓創(chuàng)新、追求卓越的堅實步伐.據(jù)統(tǒng)計，今年以來，諸暨珍珠線上線下銷售總額達250億元，已超去年全年的60%，真正實現(xiàn)了“生于鄉(xiāng)間小湖，遠銷五洲四?！?某珍珠商戶銷售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度營收實現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)計這四款商品的營收占比，得到如下餅圖.同比第一季度，下列說法正確的是（）A.今年商品A的營收是去年的4倍B.今年商品B的營收是去年的2倍C.今年商品C的營收比去年減少D.今年商品B，D營收的總和與去年相比占總營收的比例不變【答案】ABD【解析】【分析】由條件，根據(jù)扇形圖分別計算四款珍珠商品的營收，由此確定正確選項.【詳解】設(shè)去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，由扇形圖可得款珍珠商品去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，A正確；款珍珠商品去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，B正確；款珍珠商品去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，C錯誤；因為商品B，D今年第一季度營收的總和占總營收的比例為，商品B，D去年第一季度營收的總和占總營收的比例為，所以今年商品B，D營收的總和與去年相比占總營收的比例不變，D正確；故選：ABD.11.如圖，在邊長為的正方形中，為的中點，將沿折起，使點到達點的位置，且二面角為.若、分別為、的中點，則（）A. B.平面C.平面平面 D.點到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】連接交于點，連接，取的中點，連接、，推導出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項；證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可判斷B選項；利用反證法可判斷C選項；利用等體積法計算出點到平面的距離，可判斷D選項.【詳解】連接交于點，連接，取的中點，連接、，對于A選項，在正方形中，因為，，，所以，，則，所以，，則，即，翻折后，則有，，又因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，A對；對于B選項，因為、分別為、的中點，所以，，因為平面，平面，所以，平面，因為，，則四邊形為梯形，又因為、分別為、的中點，所以，，因為平面，平面，則平面，因為，、平面，則平面平面，因為平面，故平面，B對；對于C選項，因，且，，，所以，，所以，，則，在中，，所以，，因為平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因為平面，所以，，所以，，且，翻折前，，翻折后，，若平面平面，且平面平面，平面，所以，平面，因為平面，則，事實上，，，，則，即、不垂直，假設(shè)不成立，故平面與平面不垂直，C錯；對于D選項，因為，且平面，所以，，在中，，，由余弦定理可得，所以，，所以，，設(shè)點到平面的距離為，由，即，所以，，D對.故選：ABD.【點睛】方法點睛：求點到平面的距離，方法如下：（1）等體積法：先計算出四面體的體積，然后計算出的面積，利用錐體的體積公式可計算出點到平面的距離；（2）空間向量法：先計算出平面的一個法向量的坐標，進而可得出點到平面的距離為.12.在中，D為BC的中點，點E滿足.若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式推理判斷A；利用向量線性運算計算判斷B；作輔助線結(jié)合三角形中位線性質(zhì)判斷D；反證法推理判斷C作答.【詳解】在中，D為BC的中點，，，如圖，對于A，，有，A正確；對于B，，B正確；對于D，過作交的延長線于，由D為BC的中點，得是的中位線，則，于是，D正確；對于C，由選項D知，，假定，則，，，與矛盾，因此，C錯誤.故選：ABD【點睛】結(jié)論點睛：在中，平分交于，則有；若平分的外角交直線于，則有.三、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.函數(shù)的最小正周期是_____________.【答案】【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式計算作答.【詳解】函數(shù)的最小正周期.故答案為：14.某手機社交軟件可以實時顯示兩人之間的直線距離.已知甲在某處靜止不動，乙在點A時，顯示與甲之間的距離為400米，之后乙沿直線從點A點走到點B，當乙在點B時，顯示與甲之間的距離為600米，若A，B兩點間的距離為500米，則乙從點A走到點B的過程中，甲、乙兩人之間距離的最小值為_____________米.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出，進而求出作答.【詳解】令甲的位置為點，如圖，在中，，由余弦定理得，，過作于，所以所求距離的最小值為（米）.故答案為：15.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，的方差為5，且滿足，則樣本數(shù)據(jù)的方差為____________.【答案】9【解析】【分析】由條件可求原數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的表達式，再求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差可得結(jié)論.【詳解】因為，所以數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，方差，由已知，數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差.故答案為：.16.直三棱柱中，，，、分別為線段、的動點，則周長的最小值是____________.【答案】##【解析】【分析】將面、面沿著延展為一個平面，將面、面沿著延展為一個平面，連接，則線段的長即為周長的最小值，利用余弦定理求出線段的長，即為所求.【詳解】如下圖所示：將面、面沿著延展為一個平面，將面、面沿著延展一個平面，連接,此時，線段的長即為周長的最小值，則，，由于，，，則，延展后，則四邊形為矩形，因為，，則為等腰直角三角形，所以，，延展后，則，由余弦定理可得.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.記、、為平面單位向量，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值，結(jié)合平面向量夾角的取值范圍可得出的值；（2）由平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出的值.【小問1詳解】解：由已知，且，所以，，則，所以，，因為，所以，.【小問2詳解】解：由已知可得，且，所以，.18.在正方體中，棱長為3，是上底面的一個動點.（1）求三棱錐的體積；（2）當是上底面的中心時，求與平面ABCD所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用等體積，即可求解.(2)根據(jù)直線與平面夾角的定義，找到線面角，即可求解.【小問1詳解】如圖所示，根據(jù)題意得：.【小問2詳解】如圖所示,過點做平面ABCD的垂線，垂足為G，易知G為AC中點，故為與平面ABCD所成線面角，又,所以與平面ABCD所成角的余弦值為：.19.為了推導兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學設(shè)計了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，，，點E為BC上一點，且，過點D作于點F，設(shè)，.（1）利用圖中邊長關(guān)系，證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用直角三角形的邊角關(guān)系推理作答.（2）利用（1）的信息結(jié)合已知，證得，再借助二倍角公式及同角公式計算作答.【小問1詳解】在中，，，，則，在中，，，，則，在中，，，則，依題意，四邊形是矩形，則，所以.【小問2詳解】由及（1）知，，則，而為銳角，即有，，又是銳角，于是，所以.20.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，而亞運會志愿者的服務(wù)工作是舉辦一屆成功的亞運會的重要保障.為配合亞運會志愿者選拔，某高校舉行了志愿者選拔面試，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機抽取了80名候選者的面試成績，繪制成如下頻率分布直方圖.（1）求的值，并估計這80名候選者面試成績平均值，眾數(shù)，中位數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，中位數(shù)精確到0.1）（2）乒乓球項目場地志愿服務(wù)需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通過該項志愿服務(wù)選拔，需要通過抽簽的方式?jīng)Q定最終的人選，現(xiàn)將3張寫有“中簽”和2張寫有“未中簽”字樣的字條隨機分配給每一位候選人，求中簽者中男生比女生多的概率.【答案】（1），，眾數(shù)為70，中位數(shù)為.（2）【解析】【分析】（1）由頻率和為1列方程可求出的值，根據(jù)平均數(shù)的定義可求出，由眾數(shù)的定義可求得眾數(shù)，先判斷中位數(shù)的位置，再列方程求解即可；（2）利用列舉法結(jié)合古典概型的概率計算公式求解即可.小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，解得，，眾數(shù)為70，因為前2組的頻率和為，前3組的頻率和為，所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為.【小問2詳解】記3名男生分別為，記2名女生分別為，則所有抽簽的情況有：未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽，共有10種情況，其中中簽者中男生比女生多的有：未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽，共7種，所以中簽者中男生比女生多的概率為.21.如圖，在平面四邊形ABCD中，點B與點D分別在直線AC的兩側(cè)，.（1）已知，且（i）當時，求的面積；（ii）若，求.（2）已知，且，求AC的最大值.【答案】（1）（i）；（ii）；（2）.【解析】【分析】（1）（i）利用余弦定理結(jié)合已知求出，再借助等腰三角形性質(zhì)求出面積；（ii）利用等腰三角形性質(zhì)結(jié)合二倍角公式求解作答.（2）連接，由已知結(jié)合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、輔助角公式求解作答.【小問1詳解】（i）設(shè)，在中，由余弦定理得，解得，在中，，則底邊上的高，所以的面積.（ii）設(shè)，依題意，，則，，即，而，所以.【小問2詳解】連接，中，，，由余弦定理得，則，，設(shè)，在中，，于是，在中，，由余弦定理得：，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，，所以AC的最大值是.