廣西壯族自治區(qū)玉林市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（教師版）

2023年春季期玉林市高一期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?班級?考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.一?單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力.2.在以下調(diào)查中，適合用全面調(diào)查的是（）A.調(diào)查一個(gè)水庫所有魚中草魚所占的比例B.調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率C.調(diào)查一批炮彈的殺傷半徑D.調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積【答案】D【解析】【分析】利用全面調(diào)查的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】全面調(diào)查是對調(diào)查對象的所有單位一一進(jìn)行調(diào)查的調(diào)查方式，對于A，調(diào)查一個(gè)水庫所有魚中草魚所占的比例，調(diào)查數(shù)目較多，不適合全面調(diào)查；對于B，調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率，調(diào)查數(shù)目較多，不適合全面調(diào)查；對于，調(diào)查一批炮彈的殺傷半徑，調(diào)查數(shù)目較多，且具有破壞性，可以使用抽樣調(diào)查；對于D，調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積適合全面調(diào)查.故選：D.3.若平面四邊形滿足，在方向上的數(shù)量投影是0，則該四邊形一定是（）A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)向量相等判斷四邊形為平行四邊形，再根據(jù)投影為零得到對角線互相垂直，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以平面四邊形為平行四邊形，又，在方向上?shù)量投影是0，即，即，所以平行四邊形為菱形；故選：C4.如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點(diǎn)距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的A點(diǎn)測得的仰角為，，，（單位：），（點(diǎn)在同一水平地面上），則大跳臺最高高度（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】在中由正弦定理算出，在中，得到.【詳解】在中,，，所以，又，由正弦定理可得,,,在中，,所以，（m）故選：C.5.用斜二測畫法作出的水平放置的直觀圖如圖所示，其中，則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直觀圖可得原圖形，即可根據(jù)圓錐的表面積公式求解.【詳解】由題意，可得原圖形的圖形如圖所示，其中，則，繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體為以為底面圓半徑，為高的圓錐，該圓錐的底面半徑為1，母線長為，所以圓錐的表面積.故選：D6.一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號為的5張標(biāo)簽，無放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，則兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出總的基本事件的總數(shù)，其中兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的事件數(shù)，利用列舉法即可求概率.【詳解】由題意得：總的基本事件為，共10個(gè).其中兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的事件為，共4個(gè).所以兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是.故選：C.7.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則以下命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：A項(xiàng)中，若，，，則平面有可能平行，也有可能相交，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)中，若，，則或，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)中，若，，則直線與平面可能平行，可能相交，也可能，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)中，若，，則，故D項(xiàng)正確.故選：D.8.如圖，在中，為上一點(diǎn)，且滿足，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的共線定理求得，再結(jié)合向量的數(shù)量積和向量模的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】在中，由，為上一點(diǎn)，且滿足，則，又由三點(diǎn)共線，則，即，因?yàn)椋瑒t，則的值為.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.沙糖桔網(wǎng)店2022年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2022年這一年的收支情況，下列說法中正確的是（）A.月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元B.這一年的總利潤超過400C.這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30D.11月份的利潤最大【答案】AC【解析】【分析】由收入折線圖判斷A；根據(jù)給定的收支折線圖求出利潤表，再判斷BCD作答.【詳解】觀察圖象知，月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元，A正確；由圖可知，月份的利潤表，月份123456789101112利潤/萬元203020103030604030305030因此月份的總利潤為，B錯(cuò)誤；由利潤表可知，這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，C正確；由利潤表可知，7月份的利潤最大，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知是單位向量，且，則（）A.與垂直 B.C.與的夾角為 D.在上投影向量的坐標(biāo)為【答案】AD【解析】【分析】向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算法則，對夾角、模、投影進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】，因?yàn)槭菃挝幌蛄浚?，所以，所以，故A正確；因?yàn)椋裕蔅錯(cuò)誤；因?yàn)?，設(shè)與的夾角為，所以，所以與的夾角為，故錯(cuò)誤；在上的投影向量坐標(biāo)為，所以D對.故選：AD.11.在中，角的對邊分別是，下列說法正確的是（）A.若，則有2個(gè)解B.若，則C.若，則為直角三角形D.若為銳角三角形，且，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】由正弦定理及邊角關(guān)系判斷A、B；利用邊角關(guān)系及三角恒等變換化簡條件為，即可判斷C；由已知得，利用三角恒等變換得到關(guān)于A正弦型函數(shù)，進(jìn)而求范圍.【詳解】：由正弦定理得，則，此時(shí)無解，錯(cuò)誤；B：，則，又，所以，故正確；C：因?yàn)椋裕?，所以，又，所以，所以，所以，即為直角三角形，故正確；：因?yàn)?，所?所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，則，故的取值范圍為，正確.故選：BCD.12.如圖，正方體的棱長為分別為的中點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等B.直線與平面所成角的正弦值為C.二面角的余弦值為D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面平行判斷A選項(xiàng),應(yīng)用線面角判斷B選項(xiàng),根據(jù)二面角判斷C選項(xiàng),結(jié)合截面判斷D選項(xiàng).【詳解】對于，如圖1所示，取的中點(diǎn)，連接，則有平面,平面,平面..，,平面.平面平面,平面,平面,,所以平面平面.又因?yàn)槠矫?，所以平面，點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，故正確；對于，如圖2所示，連接，又平面，所以為直線與平面所成角，由已知得：，所以中，，即B錯(cuò)誤；對C，如圖3所示，因?yàn)槠矫?，作交延長線于，連接，則，故設(shè)二面角的平面角為，由得，所以，即C正確；對于D，如圖4所示，連接，延長交于點(diǎn)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以四點(diǎn)共面，所以截面即為等腰梯形.，梯形高為，所以梯形的面積為，故D正確.故選：ACD.三?填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)與的兩邊分別平行，若，則__________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)等角定理即可得到答案．【詳解】根據(jù)等角定理：一個(gè)角的兩邊平行于另外一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．所求角為或.故答案為：或.14.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”問題：“開倉受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊．驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，乃于樣內(nèi)取米一捻，數(shù)計(jì)二百五十四粒，內(nèi)有谷二十八顆．今欲知米內(nèi)雜谷多少．”意思是：官府開倉接受百姓納糧，甲戶交米1534石到廊前，檢驗(yàn)出米里夾雜著谷子，于是從米樣粒取出一捻，數(shù)出共254粒，其中有谷子28顆，則這批米內(nèi)有谷子約_____________石（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；【答案】【解析】【分析】求出米內(nèi)夾谷的比例，再乘以即可得解.【詳解】依題意可得米內(nèi)夾谷比例為，所以這批米內(nèi)有谷子石.故答案為：.15.若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的向量分別為和，則的面積為__________.【答案】##6.5【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得垂直關(guān)系，即可由模長求解得面積.【詳解】由題意，得，則，，的面積為，故答案為：.16.如圖，四邊形為菱形，，現(xiàn)將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為_________.【答案】【解析】【分析】由已知得三棱錐是棱長為正四面體，其內(nèi)切球的半徑為，其外接球的半徑為，利用等體積法求得；又正四面體的棱長可看成是正方體的面對角線，外接球的直徑即為體對角線的長，可求得，再結(jié)合球的表面積公式即可求解.【詳解】由已知得三棱錐是棱長為正四面體，其內(nèi)切球的半徑為，其外接球的半徑為，由內(nèi)切球的球心與正四面體的表面構(gòu)成四個(gè)三棱錐，由體積分割可得，解得；又正四面體的棱長可看成是正方體的面對角線，外接球的直徑即為體對角線的長，即有，即，則，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比為：.故答案為：.四?解答題（共6小題，其中第17題10分，其他每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.甲?乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：（1）2人中恰有1個(gè)人譯出密碼的概率；（2）2人中至少有1人譯出密碼的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式，獨(dú)立事件的乘法公式，以及對立事件的概率公式計(jì)算；（2）利用互斥事件的概率加法公式，獨(dú)立事件的乘法公式，以及對立事件的概率公式計(jì)算；【小問1詳解】設(shè)“甲獨(dú)立地譯出密碼”，“乙獨(dú)立地譯出密碼”，“甲不能獨(dú)立地譯出密碼”，“乙不能獨(dú)立地譯出密碼”，“2人中恰有1個(gè)人譯出密碼”，為相互獨(dú)立事件，與與與相互獨(dú)立且，且兩個(gè)事件為互斥事件，【小問2詳解】設(shè)“2人中至少有1個(gè)人譯出密碼”，方法一：.方法二：.18.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位.（1）當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合題意列出方程組，即可求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由復(fù)數(shù)因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，則滿足，解得，故當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù).【小問2詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則滿足，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.如圖，在正方體中為的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)面面平行的的判定進(jìn)行證明.【小問1詳解】正方體中為的中點(diǎn)，底面；【小問2詳解】方法一：證明：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，且平面平面平面；是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，，且平面平面，平面，且，平面,平面,平面平面.方法二：連接，且中，且平面平面平面；又中，且平面平面，平面；且，平面,平面,平面平面.20.在中，分別是角的對邊，.（1）求角的大??；（2）若是的內(nèi)角平分線，當(dāng)面積最大時(shí)，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，再利用余弦定理即可求解；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得，從而求得當(dāng)面積最大時(shí)，再結(jié)合正弦定理即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以；【小?詳解】在中，由余弦定理得，將代入得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，所以.此時(shí).在中，，由正弦定理得，解得，故的長為.21.某學(xué)校為了了解高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對高二年級的300名學(xué)生進(jìn)行了一次測試.已知參加此次測試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.（1）求的值，并估計(jì)此次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的平均值；（2）學(xué)校要求按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔前30名的學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，試估計(jì)這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)；（3）試估計(jì)這300名學(xué)生的分?jǐn)?shù)的方差，并判斷此次得分為52分和94分的兩名同學(xué)的成績是否進(jìn)入到了范圍內(nèi)？（參考公式：，其中為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1），75分（2）90分（3）答案見解析【解析】【分析】（1）先由各組的頻率和為1，求出，然后利用平均數(shù)的定義可求出，（2）先求出這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)就是該次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的90%分位數(shù)，然后利用百分位的定義求解即可，（3）先利用方差公式求出方差后再判斷即可【小問1詳解】，所以，所以該次校內(nèi)考試測試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：分.【小問2詳解】因?yàn)?，所以這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)就是該次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的分位數(shù).該次校內(nèi)考試測試分?jǐn)?shù)的分位數(shù)為這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)的估計(jì)值為90分.【小問3詳解】，，得分為52分的同學(xué)的成績沒有進(jìn)入到內(nèi)，得分為94分的同學(xué)的成績進(jìn)入到了內(nèi).即：得分為52分的同學(xué)的成績沒有進(jìn)入到范圍，得分為94分的同學(xué)的成績進(jìn)入到范圍了.22.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，是正三角形，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若平面平面.①當(dāng)點(diǎn)恰為中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；②在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使的值最小，并求此時(shí)的值.【答案】（1）證明見解析（2）①；②答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的而判定定理證明即可；（2）①作輔助線，根據(jù)平移法找到異面直線與所成角，解三角形即可求得其余弦值；②根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)說明當(dāng)NFPC時(shí)，NF最短，此時(shí)，點(diǎn)H在棱BP上，然后通過解三角形求得相關(guān)線段長，繼而求得的值.【小問1詳解】證明：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∴A