2025版新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何章末知識梳理新人教A版選擇性必修第一冊

章末學(xué)問梳理要點一空間向量的概念及運算1.空間向量可以看作是平面對量的推廣，有很多概念和運算與平面對量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加減法的三角形法則和平行四邊形法則，數(shù)乘運算與向量共線的推斷、數(shù)量積運算、夾角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐標(biāo)表示是向量運算的基礎(chǔ)．2．向量的運算過程較為繁雜，要留意培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運算實力．1．(1)(多選題)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.以下選項正確的是(BCD)A.eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→))＝0 B．(eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→)))·(eq\o(SB,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→)))＝0C.eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0 D.eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.①求向量a，b，c；②求a＋c與b＋c所成角的余弦值．[解析](1)因為eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→))＝(eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→)))＋(eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→)))＝4eq\o(SO,\s\up6(→))≠0，所以A錯誤；(eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→)))·(eq\o(SB,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0，所以B正確；eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，所以C正確；又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝2×2×cos∠ASB，eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))，因此D正確．(2)①因為向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,1)＝\f(1,y)＝\f(2,－2)，,3＋y－2z＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，,z＝1，))所以向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．②因為a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，所以(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a＋c|＝eq\r(22＋22＋32)＝eq\r(17)，|b＋c|＝eq\r(42＋02＋－12)＝eq\r(17)，所以a＋c與b＋c所成角的余弦值為eq\f(a＋c·b＋c,|a＋c||b＋c|)＝eq\f(5,17).要點二利用空間向量證明位置關(guān)系1.用空間向量推斷空間中位置關(guān)系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；推斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進行證明．2．將立體幾何的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系，可以培育學(xué)生的邏輯思維實力和數(shù)學(xué)運算實力．2.在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點．(1)求證：BM∥平面PAD；(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由．[解析](1)證明：以A為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，∵eq\o(BM,\s\up6(→))＝(0,1,1)，平面PAD的一個法向量為n＝(1,0,0)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))·n＝0，即eq\o(BM,\s\up6(→))⊥n，又BM?平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)由(1)知，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一點N，使MN⊥平面PBD.設(shè)N(0，y，z)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1，y－1，z－1)，從而MN⊥BD，MN⊥PB，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→))＝0，,\o(MN,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2y－1＝0，,－1－2z－1＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)，,z＝\f(1,2)，))∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，∴在平面PAD內(nèi)存在一點Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，使MN⊥平面PBD.要點三利用空間向量計算距離1.空間距離的計算思路(1)點P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝a在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．(2)設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．2．通過利用向量計算空間的角，可以培育學(xué)生的邏輯思維實力和數(shù)學(xué)運算實力．3．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中點，求：(1)M到直線PQ的距離；(2)M到平面AB1P的距離．[解析]如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，B1(0,0,4)．(1)∵eq\o(QM,\s\up6(→))＝(－2，－3,2)，eq\o(QP,\s\up6(→))＝(－4，－2，－2)，∴eq\o(QM,\s\up6(→))在eq\o(QP,\s\up6(→))上的投影的模＝eq\f(|\o(QM,\s\up6(→))·\o(QP,\s\up6(→))|,|\o(QP,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2×－4＋－3×－2＋2×－2,\r(－42＋－22＋－22))＝eq\f(10,\r(24))＝eq\f(5\r(6),6).故M到PQ的距離為eq\r(|\o(QM,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(6),6)))2)＝eq\r(17－\f(25,6))＝eq\f(\r(462),6).(2)設(shè)n＝(x，y，z)是平面AB1P的一個法向量，則n⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AP,\s\up6(→))，∵eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－4,0,4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－4,4,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x＋4z＝0，,－4x＋4y＝0，))因此可取n＝(1,1,1)，由于eq\o(MA,\s\up6(→))＝(2，－3，－4)，那么點M到平面AB1P的距離為d＝eq\f(|\o(MA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|2×1＋－3×1＋－4×1|,\r(3))＝eq\f(5\r(3),3)，故M到平面AB1P的距離為eq\f(5\r(3),3).要點四利用空間向量求空間角(1)求兩異面直線所成的角設(shè)a、b分別是異面直線l1，l2上的方向向量，θ為l1，l2所成的角，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|).(2)求直線與平面所成的角設(shè)l為平面α的斜線，a為直線的方向向量，n為平面α的法向量，θ為l與α所成的角，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).(3)求二面角設(shè)n1、n2分別是平面α、β的法向量，二面角為θ，則θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉(須要依據(jù)詳細(xì)圖形推斷是相等還是互補)．4．(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)證明：A1C＝AC；(2)已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．[解析](1)證明：如圖，過A1作A1D⊥CC1，垂足為D，∵A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1C⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵A1C，AC?平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∵A1D?平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，又CC1，BC?平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1.由已知條件易證△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D為CC1的中點，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC.(2)如圖，連接A1B，由(1)易證A1B＝A1B1，故取BB1的中點F，連接A1F，∵AA1與BB1的距離為2，∴A1F＝2，又A1D＝1且A1C＝AC，∴A1C＝A1C1＝AC＝eq\r(2)，AB＝A1B1＝eq\r(5)，BC＝eq\r(3).建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz如圖所示，則C(0,0,0)，A(eq\r(2)，0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，B1(－eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(2))，C1(－eq\r(2)，0，eq\r(2))，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，0)，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，0，eq\r(2))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－2eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(2))，設(shè)平面BCC1B1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(CB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(CC1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)y＝0，,－\r(2)x＋\r(2)z＝0，))取x＝1，則y＝0，z＝1，∴